高中不等式所有知识及典型例题(超全)
高中不等式经典例题
高中不等式经典例题例1解不等式：(1)2x ³-x ²-15x>0;(2)(x+4)(x+5)²(2-x)³<0.分析：如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正：②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式， 也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图.典型例题二例2解下列分式不等式： (1)3x−2≤1−2x+2; (2)x 2−4x+13x 2−7x+2<1分析：当分式不等式化为 f (x )g (x )<0(或≤0)时，要注意它的等价变形(1) 解：原不等式等价于3x−2≤x x+23x−2−x x+2≤03(x+2)−x (x−2)(x−2)(x+2)≤0−x 2+5x+6(x−2)(x+2)≤0可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况。
解:(1) 原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>0x 1=0,x 2=−52,x 3=3顺次标上数轴， 然后从右上开始画线顺次经过三个根， 其解集如下图的阴影部分，∴原不等式解集为(2) 原不等式等价于(x+4)(x+5)³(x -2)³>0x>2 ∴原不等式解集为 或-5<x<-4或x>2}f (x )g (x )<0f (x )⋅g (x )<0;(x−6)(x+1)(x−2)(x+2)≥0{(x −6)(x +1)(x −2)(x +2)≥0(x +2)(x −2)≠0(2) 解法一：原不等式等价于2x 2−3x+13x 2−7x+2>0 (2x 2−3x +1)(3x 2−7x +2)>0{2x 2−3x +1>03x 2−7x +2>0或 {2x 2−3x +1<03x 2−7x +2<0x <13或 12<x <1或x>2，∴原不等式解集为 (−∞,13)∪(12,1)∪(2,+∞). 解法二：原不等式等价于典型例题三例3解不等式|x ²-4|<x+2 分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 |a|={a (a ≥0)−a(a <0)二是根据绝对值的性质： |x|<a −a <x <a,|x|ax >a 或x<-a, 因此本题有如下两种解法。
高中不等式所有知识及典型例题(超全)
一．不等式的性 ：二．不等式大小比 的常用方法 ： 1．作差：作差后通 分解因式、配方等手段判断差的符号得出 果； 2．作商（常用于分数指数 的代数式） ； 3．剖析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的 性； 7． 找中 量或放 法 ；8． 象法。
此中比 法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式2 21. （ 1）若 a,bR ， a 2b 22ab (2) 若 a, bR ， abab （当且 当 ab 取“ =”）22. (1) 若a, b* ，a b ab(2)若a, b R *， ab2 ab （当且 当a b取“ ”）R2=a 2*， abb( 当且 当 ab 取“ =”）(3) 若 a, b R23. 若 x0 ，x1 2 (当且 当x1 取“ ”） ;x=1若 x0 ，x2 (当且 当x1 取“ ”）x=若 x0， x 11 1-2(当且 当 ab 取“ =”）x2即 x2或 xxx若 ab0 ，ab 2( 当且 当 ab 取“ =”）ba若 ab0 ，ab 2即ab 2或 ab -2(当且 当a b 取“ ”）bababa=224. 若 a,bR ， (ab 2ab（当且 当 ab 取“ =”）)22注：（1）当两个正数的 定植 ，能够求它 的和的最小 ，当两个正数的和 定植 ，能够求它 的 的最小 ，正所 “ 定和最小，和定 最大” ．（ 2）求最 的条件“一正，二定，三取等”(3)均 定理在求最 、比 大小、求 量的取 范 、 明不等式、解决 方面有宽泛的 用．5.a 3+b 3+c 3≥3abc （ a,b,cR +） ,a+b+c≥ 3 abc （当且 当 a=b=c 取等号）；31na 1a 2 L a n (a+6. n (a +a +⋯⋯ +a )≥R ,i=1,2,⋯， n)，当且 当 a =a =⋯=a 取等号；12 ni1 2n222≥ab+bc+ca; ab ≤( a+b 2+≤ a+b+c 3 +式： a +b +c ) (a,b) (a,b,c R )2 R ) ; abc (32ab a+ba 2+b 2 a ≤a+b≤ ab ≤2 ≤2≤b.(0<a ≤ b)b －n b b+m7. 度不等式： a －n < a < a+m ,a>b>n>0,m>0;用一：求最例 1：求以下函数的 域（1）y ＝3x 2＋ 12（ ） ＝ ＋12x2 yxx解 技巧：技巧一：凑项例 1：已知 x5，求函数 y 4 x 21的最大值。
高中数学：复习不等式知识点及主要题型_讲义含解答
不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或设相应的一元二次方程的两根为，，则()002≠=++a c bx ax 2121x x x x ≤且、ac b 42-=∆不等式的解的各种情况如下表：>∆=∆<∆ 二次函数cbx ax y ++=2（）的图象0>a cbx ax y ++=2c bx ax y++=2cbx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x xx <<∅∅2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上()A x f >D D ()min f x A >若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上()B x f <D D ()max f x B<二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax +By +C ，所得到实y x ,y x ,数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解2a b +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥；ab ≤,当且仅当a=b 时取等号.ab 222⎪⎭⎫⎝⎛+b a 3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值;P 2如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值.42S 注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
高中不等式例题(超全超经典)
技巧一：凑项例1：已知 ，求函数 的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1.当 时，求 的最大值。
技巧三：分离例3.求 的值域。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为__________（答：（－1,2））
例2.(1)求函数 的最大和最小值；
(2)设 ，函数 .
若 ，求 的最大值
1．不等式的性质：
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式
7．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如
（1）若 ，则 的取值范围是__________（答： 或 ）；
（2）解不等式
（答： 时， ； 时， 或 ； 时， 或 ）
1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法
3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集。如
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其中比较法（作差、作商）是最基86．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；本的方法。
三．重要不等式22b?a22=”），则 (2)若（当且仅当时取“1.（1）若，则ab2b?a?Ra,b?R?a,b ba??ab2b?a**aba?b?2 (2)若（当且仅当2. (1)若，则，则时取“=”）Rba,?aR,?b ba?ab?22b?a??*”时取“，则若=） (当且仅当(3)Rb?a,b?a?ab??2??1”，则=）; (当且仅当时取“3.若2??x1?x?0x x1”时取“） (当且仅当若，则=2?x??0?x1x??x111） (若当且仅当时取“，则=”0x?b?a-2x?2或?x???2即x?xxxba时取“ (当且仅当=若，则”）b?ab?0a2??ab bbaaba”时取“，则=）若 (当且仅当b?ab?a0-2??22即??或??aabbab22b?ba?a）（当且仅当时取“=”，则4.若Rb,?a ba?2?() 22）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求1注：（．它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”）求最值的条件“一正，二定，三取等”（2均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛(3) 的应用．c+a+b+3333abc c时取等号）；=（当且仅当a+c3abc≥（a,b,c ? Rb）, 5.a=+b≥31+ =a取等号；，当且仅当a=a=+a) ≥(a? R…,i=1,2,…，n)+6. (a+a……aaa n n2n211i n n21cb++ba+a+32222+)(a,b,c ? R) ; abc≤( 变式：a+b)+c ≥ab+bc+ca; ab≤( ) R (a,b?3222b+b2aba+a≤≤b.(0<a≤b) ≤a ≤ab ≤2+b2ab－nbb+m 7.浓度不等式：< < ,a>b>n>0,m>0; maa+a－n应用一：求最值11 2＋（2）y3＝）：求下列函数的值域（例11yx＝x＋2x2x精品文档．精品文档解题技巧：51：已知1 例，求函数技巧一：凑项的最大值。
高中不等式知识点习题含答案.doc
不等式总结一、不等式的主要性质：(举例子验证)(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>（同加c ）； d b c a d c b a +>+⇒>>,（大+大>小+小） (4)乘法法则（变不变号）：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法0>∆0=∆0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象))((212x x x x a cbx ax y --=++=))((212x x x x a c bx ax y --=++=c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x x x<<∅∅注意：一般常用求根公式法求解一元二次不等式顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba n nn a a a n a a a 2121≥+++2、使用均值不等式的条件：一正、二定、“三相等（非常重要）”3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即2112a b a b++（当a = b 时取等）4、柯西不等式：))(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++推论：)()(22221221n n a a a n a a a +++≤+++四、含有绝对值的不等式1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 ，例如 |4||2|-+-x x 的最小值为___________（答案：2） 2、分类讨论思想则不等式：如果,0>aa x a x a x -≤≥<=>≥或||（公式）a x a a x <<-<=><||（公式）如果0≤a ，则不等式：<=>≥a x ||R <=><ax ||Φ3． 当0c >时， ||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈． 当0=c 时，<=>>+c b ax || <=><+c b ax ||4、解含有绝对值不等式的主要方法：公式法 步1：是否需对a 分类讨论步2：套用公式 || (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．练习1：4332+<+x x 832≥+x 练习2：a x <+32 a x ≥-32五、其他常见不等式形式总结：①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ ②无理不等式：转化为有理不等式求解（利用x y =的单调性）()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ③指数不等式：转化为代数不等式（利用x a y =的单调性）()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>④对数不等式：转化为代数不等式（利用x y a log =的单调性）()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩六、三角不等式： |b ||a ||b a ||b |-|a |+≤+≤七、不等式证明的几种常用方法比较法（做差法、做商法）、综合法（由已知推结论）、分析法（由结论到已知）、换元法、反证法、放缩法。
高一不等式专题训练
高一不等式专题训练一、不等式的基本性质1. 知识点回顾不等式的基本性质：对称性：a>bLeftrightarrow b < a。
传递性：a > b,b > cRightarrow a>c。
加法性质：a > bRightarrow a + c>b + c；a>b,c > dRightarrow a + c>b + d。
乘法性质：a>b,c>0Rightarrow ac > bc；a > b,c < 0Rightarrow ac < bc；a>b>0,c>d>0Rightarrow ac>bd。
乘方性质：a > b>0Rightarrow a^n>b^n(n∈N,n≥slant1)。
开方性质：a > b>0Rightarrowsqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。
2. 例题例1：已知a < b < 0，比较下列各数大小：(1)/(a)与(1)/(b)。
解析：因为a < b < 0，给a < b两边同时除以ab（ab>0），根据不等式的乘法性质，得到(a)/(ab)<(b)/(ab)，即(1)/(b)<(1)/(a)。
例2：已知a>b，c < d，求证：a c>b d。
解析：因为c < d，根据不等式的性质，c>-d。
又因为a>b，再根据不等式的加法性质，将两个不等式相加，得到a+( c)>b+( d)，即a c>b d。
二、一元二次不等式及其解法1. 知识点回顾对于一元二次不等式ax^2+bx + c>0(a≠0)（或<0），先求出一元二次方程ax^2+bx + c = 0的根（判别式Δ=b^2-4ac）。
高一数学不等式部分经典习题及答案
ab ；⑥若a<b<0,贝贝—>—；cdab3.不等式一．不等式的性质：1■同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a>b，c>d,则a+c>b+d(若a>b,c<d，则a-c>b-d)，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd(若a>b>0,0<c<d,则a>—)；3•左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b>0，则a n>—或%疮>n b;4.若ab>0,a>b,则1<1；若ab<0,a>b,则1>1。
如abab(1) 对于实数a,b,c中，给岀下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a<b<0,贝Ua2>ab>b2；④若a<b<0,贝』<—；⑦若c>a>b>0,贝卩a>b；⑧若a>b丄>,则a>0,b<0oc一ac一bab其中正确的命题是(答：②③⑥⑦⑧);(2) __________________________________________________ 已知-1<x+y<1,1<x一y<3，则3x一y的取值围是(答：1<3x-y<7)；c(3) 已知a>b>c，且a+b+c=0,则_的取值围是二.不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得岀结果2•作商(常用于分数指数幂的代数式)；3•分析法;4. 平方法；答：5. 分子(或分母)有理化；6. 利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。
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一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 a =b =c 时取等号）； 6. 1n (a 1+a 2+……+a n )2n a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3)3(a,b,c ∈ R +)a ≤ 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 ≤b.(0<a ≤b) 7.浓度不等式：b －n a －n< b a < b +ma +m ,a>b>n>0,m>0; 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t =时,4259y t t≥⨯=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
例：求函数224y x =+的值域。
24(2)x t t +=≥，则224y x =+2214(2)4x t t t x =+=+≥+因10,1t t t >⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。
所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
2．已知01x <<，求函数(1)y x x =-.；3．203x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且b a 33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： b a 33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6． 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22 。
同时还应化简1＋y 2中y 2前面的系数为 12 ， x 1＋y 2 ＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22 分别看成两个因式：x ·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34 即x 1＋y 2＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤ 342技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1 由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t ≥2t ·16t ＝8∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab 令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考查不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 22 ，本题很简单3x ＋2y ≤ 2（3x ）2＋（2y ）2 ＝ 23x ＋2y ＝2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20∴ W ≤20 ＝2 5应用二：利用基本不等式证明不等式1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2221）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥，可由此变形入手。
解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=。
∴111a b c a a a a -+-==≥。
同理11b -≥11c -≥上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111221118ac ab a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
当且仅当13a b c ===时取等号。
应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
解：令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky∴++= 10312k k∴-≥⋅ 。
16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a 21=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lgQ ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg( ∴R >Q四．不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。
2.一元二次不等式的解法3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
如（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
（答：{|1x x ≥或2}x =-）；（2）不等式(0x -≥的解集是____（答：{|3x x ≥或1}x =-）；（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x >的解集为______（答：(,1)[2,)-∞+∞）；（4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.（答：81[7,)8）4．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。