高等数学第八章习题详细解答答案

习 题 8-1

1．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．

解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全

部电荷为

1

lim (,)(,)d ,n

i i i i D

Q x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰

其中1max{i i n

λσ≤≤=∆的直径}．

2. 设1

2231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又2

2232()d D I x y σ

=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．

解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．

3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()D

D σσ

σ=⎰⎰其中为的面积；

(2) (,)d (,)d ()D

D

kf x y k f x y k σσ

=⎰⎰⎰⎰其中为常数；

(3)

1

2

(,)d (,)d (,)d ,D

D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中1

2

D D D

= ，1D 、2D 为两个无公共

内点的闭区域.

证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得

1

1

d lim (,)lim lim .n

n

i

i

i

i i i D

f λ

λλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰

(2) 0

1

1

(,)d lim (,)lim (,)(,)d .n

n

i i i i i i i i D

D

kf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰

(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。这样(,)f x y 在

12D D 上的积分和就等于1D 上的积分和加2D 上的积分和，记为

12

1

2

(,)(,)(,).i i i i i i i i i D D D D f f f ξησξησξησ∆=∆+∆∑∑∑

令所有i σ∆的直径的最大值0λ→，上式两端同时取极限，即得

12

1

2

(,)d (,)d (,)d .D D D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰

4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：

(1) 2()d D

x y σ+⎰⎰与3()d D

x y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线1x y +=所

围成；

(2) 2()d D

x y σ+⎰⎰与3()d D

x y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由圆周2

2(2)

(1)2x y -+-=所围

成；

(3)

ln()d D

x y σ

+⎰⎰与

2

[ln()]d D

x y σ

+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为

(1,0),(1,1),(2,0)；

(4) ln()d D

x y σ+⎰⎰与2[ln()]d D

x y σ+⎰⎰，其中{(,)35,01}D x y x y =≤≤≤≤.

解 (1) 在积分区域D 上，01x y ≤+≤，故有32()()x y x y +≤+，根据二重积分的性质４，可得32()d ()d .D

D

x y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰

(2) 由于积分区域D 位于半平面{(,)|1}x y x y +≥内，故在D 上有23()()x y x y +≤+．从而23()d ()d .D

D

x y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰

(3) 由于积分区域D 位于条形区域{(,)|12}x y x y ≤+≤内，故知D 上的点满足0l n ()1x y ≤+≤，从而有2[ln()]ln()x y x y +≤+．因此2[ln()]d ln()d .D

D

x y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰

(4) 由于积分区域D 位于半平面{(,)|e}x y x y +≥内，故在D 上有ln()1x y +≥，从而有2[ln()]ln()x y x y +≥+．因此2[ln()]d ln()d .D

D

x y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰

5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：

(1) ()d D

I xy x y σ=+⎰⎰其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤；

(2) 22sin sin d D

I x y σ=⎰⎰其中{(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；

(3) (1)d D

I x y σ=++⎰⎰其中{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤；

(4) 22(49)d D

I x y σ=++⎰⎰其中22{(,)4}D x y x y =+≤.

解 (1) 在积分区域D 上，01x ≤≤，01y ≤≤，从而0()2xy x y ≤+≤，又D 的面积等