05.第五讲 矩阵的特征值和特征向量(1)

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第五讲 矩阵的特征值和特征向量

【考试要求】

1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量．

2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．

3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．

考点：特征值和特征向量的概念和计算 1. 特征值和特征向量的定义

定义 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ和n 维非零列向量x 使

λ=Ax x

成立，即 ()λ−=E A x 0

有非零解，则称λ为A 的一个特征值，此时，非零解x 称为A 的对应于特征值λ的特征向量.

注：由定义， λ是n 阶方阵A 的特征值 ⇔ =0λ−E A ，

这时，齐次方程组()λ−=E A x 0的非零解都是矩阵A 属于特征值λ的特征向量.

例如，122322236−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥

⎢⎥−−⎣⎦A ，有1111111⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，故1λ=为A 的特征值，111⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为A 的对应于特征值1λ=特征向量.

【例1】 若1

2

不是方阵A 的特征值，则2−E A 为可逆矩阵，对吗？为什么？

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【例2】

已知三阶矩阵3212231x y −⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦A 有一个特征向量1123⎡⎤

⎢⎥=−⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

P ，则______,_______x y ==，1P 所对应的特征值1_______λ=.

2. 特征多项式和特征方程

关于λ的n 次多项式 ()11

121212221

2

=

n n

n n nn

a a a a a a f a a a λλλλλ−−−−−−=−−−−E A

称为A 的特征多项式，

=0λ−E A

称为A 的特征方程（也可写作=0λ−E A ），它的根称为A 的特征根，A 的特征根即A 的特征值.

3. 求具体矩阵的特征值和特征向量

⬧ 第一步 解特征方程，求A 的特征值——如何快速提出因式(λ+a )？提不出时怎么对三次多项式因式分解？

⬧ 第二步 求每个特征值对应的特征向量——如何更快捷高效？求“全部特征向量”应如何表述？

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【例3】

求146025003⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

A 的特征值与特征向量.

注：上（下）三角矩阵的特征值即为主对角线上的元素.

【例4】 求矩阵433231213−−⎡⎤

⎢⎥=−⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

A 的特征值与特征向量. 注：若矩阵

B 有二重特征值124λλ==，且求得两个对应无关特征向量12,αα，则如何表示124λλ==对应的全部特征向量？

【例5】 求矩阵220212020−⎛⎫ ⎪

=−− ⎪ ⎪−⎝⎭

A 的特征值和特征向量.

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考点：特征值和特征向量的性质

1）设12,,,s ⋯ααα都是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则1122s s k k k ++⋯+ααα也是矩阵A 属于特征值λ的特征向量（12,,,s k k k ⋯不全为0）；

2）矩阵A 属于不同特征值的特征向量线性无关；

推论：若12,αα分别是A 属于不同特征值的特征向量，则12+αα不是A 的特

征向量. 3）k 重特征值至多有k 个线性无关的特征向量； 4）设n 阶方阵A 的n 个特征值为12,,,n λλλ 则有1

()n

i i tr λ==∑A ，12

n λλλ=A ；

推论：A 可逆当且仅当0(1,2,

,)i i n λ≠=.

5）设λ为A 的任一特征值，α是对应特征向量： ①110()m m m m f a a a −−=++

+A A A E ，则()f λ为矩阵()f A 的特征值. 对应特征向

量α；

12,λλ

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注：a ）由①可知，若()=f A O ，则A 的任一特征值λ都满足方程()=0f λ（即特征值只能取()=0f λ的解），但()=0f λ的解不一定都是A 的特征值；

b ）A 的特征向量都是()f A 的特征向量，但()f A 的特征向量不一定是A 的特征向量（当A 可对角化，()f x 是一一对应时，A 与()f A 具有相同的特征向量）；

c ）有以下常用结论成立（设A 的全部特征值为12,,...,n λλλ）：

⬧ a b +E A 的全部特征值为12,,

,n a b a b a b λλλ+++；

⬧ m A 的全部特征值为12,,

,m m m n λλλ；

⬧ a b +E A 与A 具有完全相同的特征向量.

②若A 可逆，则0λ≠，且

1

λ

是矩阵1−A 的特征值，对应特征向量α；

③若0λ≠，则λ

A

是矩阵*A 的特征值，对应特征向量α；

④若1−=P AP B ，则λ为B 的特征值，对应特征向量1−P α.

6） n 阶矩阵T A A 和有相同的特征值，但对应的特征向量不一定相同.