数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值计算课后习题答案(全)
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
数值分析简明教程课后习题答案(第二版)
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值计算第一二章答案
第一章数值计算中的误差习题一1.1 下列各近似数的绝对误差限是最末位的半个单位，试指出它们各有几位有效数字。
1x =-3。
105 , 2x =0.001, 3x =0。
100, 4x =253。
40， 5x =5000， 6x =5⨯310.答案：4，1，3，6，4，1。
1。
2 设100〉*x >10,x 是*x 的有五位有效数字的的近似数,求x 的绝对误差限。
答案:当10<x 〈100时，因为有5位有效数字,所以绝对误差限为0。
005。
1。
3 求下列各近似数的相对误差限和有效数字位数： 1） 123x x x ++,2） 124x x x 3） 24x x 答案：()10.0005e x ≤()20.0005e x ≤()30.0005e x ≤ ()40.005e x ≤ ()50.5e x ≤ ()60.5e x ≤1）()()()()123123e x x x e x e x e x ++=++≤()()()123e x e x e x ++3221.5100.15100.510---≤⨯=⨯≤⨯2123()0.1510x x x ε-++=⨯123123123()()0.0004993...0.0004994r x x x e x x x x x x ε++++==≤++123x x x ++=-3。
004 精确到小数点后两位,所以有三位有效数字。
2）()()()()()()12424112424114224()e x x x x x e x x e x x x x e x x x e x x e x =+=++ =()()()241142124)x x e x x x e x x x e x ++()()()241142124x x e x x x e x x x e x ≤++ =660.5100.31050.0005 3.1050.510--⨯+⨯+⨯⨯ 所以43124() 1.71275100.510x x x ε--=⨯≤⨯124x x x =43.105100.0003105--⨯=-41241244124() 1.7127510()0.5515...3.10510r x x x e x x x x x x ε--⨯===⨯3）()()2222424244444()()1x x e x x e x e e x e x x x x x x ⎛⎫≈-≤+⎪⎝⎭325105420.5100.5100.197316100.77868100.1997100.510253.40253.40------⨯⨯=+=⨯+⨯≈⨯<⨯ 又由24x x 50.3946310-≈⨯知有0位有效数字 ∴522440.1997100.5r x e x x x -⎛⎫⨯≤≈ ⎪⎝⎭1。
数值分析第二版(丁丽娟)答案
，求差商 （2）
例6 设
，
Hermite 插值多项式 其误差余项。
，满足
例7已知函数 的取值如下，
x
－1
y
－1
y’
4
，求函数
在区间
上的
，
。并写出
0
1
3
1
3
31
28
求其三次样条值函数
，并求出
在 -0.5 和2 的近似值。
练习六
38.000
19.5000
18.199999999999999 16.636363636363637
16.578947368421051 16.179487179487179
16.120879120879120 16.038251366120218
16.034920634920635 16.011093502377179
第八章答案
练习： 第一章
答案
练习二 练习三
练习四
1、 什么是幂法？它收敛到矩阵 A 的哪个特征向量？ 若 A 的按模最大的特征值是单根，用幂法求此特征 值的收敛速度由什么量来决定？怎样改进幂法的收敛速度？
2、 反幂法收敛到矩阵的哪个特征向量？ 在幂法或者反幂法中，为什么每步都要将迭代向量规范化？
第一章答案
第二章答案
第三章答案
0 0.5 0.5 1 1 2.5000
5.0000 5.5000
第四章答案
2 10.5000 19.0000 19.5000
3 42.5000 91.0000 91.5000
4 170.5000 315.0000 315.5000
5 682.5000 1467.0000 1467.5000
数值计算课后习题答案(全)
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
数值分析简明教程第二版课后习题答案（供参考）
数值分析简明教程第⼆版课后习题答案（供参考）0.1算法1、（p.11，题1）⽤⼆分法求⽅程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由⼆分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取⾃然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即⾄少需2、（p.11，题2）证明⽅程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯⼀个实根；使⽤⼆分法求这⼀实根，要求误差不超过21021-?。
【解】由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(⼜010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯⼀实根.由⼆分法的误差估计式211*1021212||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取⾃然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即⾄少需⼆分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有⼏位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-?=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字；因为12102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值计算课后习题答案
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x-==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265...=0.314159265 (10)22 3.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
数值计算课后习题答案(全)
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
现代数值计算方法—肖筱南
现代数值计算方法习题答案习 题 一1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此49×10-2：E = 0.005； r E = 0.0102； 2位有效数字.0.0490 ：E = 0.00005；r E = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； r E = 0.0000102；5位有效数字. 2、解：722= 3.1428 …… ， π = 3.1415 …… ， 取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；r E =14.3E = 14.30013.0 = 0.00041. 3、解：101的近似值的首位非0数字1α = 1,因此有 |)(*x E r |)1(10121--⨯⨯=n < = 21× 10-4, 解之得n > = 5，所以 n = 5 . 4、证：)()(1)()(1)(*11**11**x x x nx E x n x E n n n-=≈--)(11)()(1)()(*****11****x E nx x x n x x x x nx x E x E r nnnn n r =-=-≈=- 5、解：(1)因为=20 4.4721…… ，又=)(*x E |*x x -| = |47.420-| = 0.0021 < 0.01, 所以 =*x 4.47.(2)20的近似值的首位非0数字1α = 4,因此有 |)(*x E r |)1(10421--⨯⨯=n < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，=*x 4.47. 6、解：设正方形的边长为x ,则其面积为2x y =，由题设知x 的近似值为*x = 10cm .记*y 为y 的近似值，则)(20)(20)(2)(*****x E x x x x x y E =-=-= < = 0.1，所以)(*x E < = 0.005 cm . 7、解：因为)()(*1x x nx x E n n -≈-,所以n x nE x x x n xx E x E r nn nr 01.0)()()(*==-≈=. 8、解：9、证：)()()(**t gtE t t gt S S S E =-≈-=t t E gt t t gt S S S S E r )(22/)()(2**=-≈-= 由上述两式易知，结论. 10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.12、解： 因为20=x ,41.1*0=x ,所以|*00x x -| < = δ=⨯-21021于是有 |*11x x -| = |110110*00+--x x | = 10|*00x x -| < =δ10|*22x x -| = |110110*11+--x x | = 10|*11x x -| < =δ210类推有 |*1010x x -| < =810102110⨯=δ 即计算到10x ，其误差限为δ1010，亦即若在0x 处有误差限为δ，则10x 的误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.习 题 二1、 解：只用一种方法.（1）方程组的增广矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----11114423243112 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1010411101110112 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11041001110112 → 31=x , 12=x , 13=x . （2）方程组的增广矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------017232221413 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--247210250413 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--147200250413 → 21=x , 12=x , 2/13=x . （3）适用于计算机编程计算.2、 解：第一步：计算U 的第一行，L 的第一列，得611=u 212=u 113=u 114-=u3/1/112121==u a l 6/1/113131==u a l6/1/114141-==u a l第二步：计算U 的第二行，L 的第二列，得3/1012212222=-=u l a u 3/213212323=-=u l a u 3/114212424=-=u l a u 5/1/)(2212313232=-=u u l a l10/1/)(2212414242=-=u u l a l第三步：计算U 的第三行，L 的第三列，得10/37233213313333=--=u l u l a u 10/9243214313434-=--=u l u l a u 37/9/)(33234213414343-=--=u u l u l a l第四步：计算U 的第四行，得370/9553443244214414444-=---=u l u l u l a u从而， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3101141101421126=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--137/910/16/1015/16/10013/10001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---370/95500010/910/37003/13/23/1001126由b LY = , 解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T . 由Y UX = , 解得X =（1，-1，1，－1）T .3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.11a ＝ 3 > 0,2223= 2 > 0, 301022123 = 4 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：第一步 分解：A = L L T. 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l 3331=l 3632-=l 233=l因此， L ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-23633036332003. 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （335，36，2）T . 第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X =（0，2，1）T .（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.11a ＝ 3 > 0,2223= 2 > 0, 1203022323 = 6 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行： 第一步 分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l331=l 632-=l 333=l因此， L ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-363036332003 . 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （335，66-，33）T. 第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X = （1，21，31）T . 4、解： 对1=i , 2111==a d ；对2=i , 121-=t , 2121-=l , 252-=d ；对3=i , 131=t , 2732=t ,2131=l , 5732-=l ,5273=d .所以数组A 的形式为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=527572102521002A 求解方程组LY = b . 解得Y = （4，7，569）T . 求解方程组DL T X = Y . 解得X = （910，97，923）T .5、解：（1）设A = LU = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1010000000000010010015432l l l l ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡5432106000000000600006006u u u u u 计算各元素得： 51=u , 512=l , 1952=u , 1953=l , 19653=u , 65194=l , 652114=u , 211655=l , 2116655=u . 求解方程组LY = d . 解得Y = （1，51-，191，651-，211212）T.求解方程组UX = Y . 解得X = （6651509，6651145，665703，665395-，665212）T.（2）设A = LU = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100100132l l ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32101001u u u 计算各元素得：51=u ，512=l ，5242=u ，2453=l ，241153=u . 求解方程组LY = d . 解得Y = （17，553，24115）T.求解方程组UX = Y . 解得X = （3，2，1）T . 6、证：（1）（2）相同.因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛. （1）雅可比迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+--=+k k k x x x14141)(3)(1)1(2+--=+k k k x x x329292)(2)(1)1(3+--=+k k k x x x高斯－赛德尔迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+--=+k k k x x x14141)(3)1(1)1(2+--=++k k k x x x329292)1(2)1(1)1(3+--=+++k k k x x x（2）雅可比迭代公式：545152)(3)(2)1(1+-=+k k k x x x 525351)(3)(1)1(2++-=+k k k x x x 5115152)(2)(1)1(3++=+k k k x x x 高斯－赛德尔迭代公式：545152)(3)(2)1(1+-=+k k k x x x 525351)(3)1(1)1(2++-=++k k k x x x5115152)1(2)1(1)1(3++=+++k k k x x x 7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛。
数值分析简明教程(第二版)课后习题答案
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
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精品文档 AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x0, 求开方值(0)aa的牛顿迭代公式 112(),0,1,2,......kakkxxxk
恒成立下列关系式： 21
12(1)(),0,1,2,....(2),1,2,......kkkxkxaxakxak
证明： （1）2
2
112222kkkkkkkkxaaxaxaxaxaxxx
（2） 取初值00x，显然有0kx，对任意0k，
aaxaxxaxxkkkkk21212
1
6 证明： 若kx有n位有效数字，则nkx110218，
而kkkkkxxxxx288821821
nnkkxx2122110215.22104185.28
1kx必有2n位有效数字。 精品文档 AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x的近似数*x可表示为mnaaax10......021*，如果*x具有l位有效数字，则其相对误差限为11**1021laxxx，其中1a为*x
中第一个非零数）精品文档
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 则7.21x，有两位有效数字，相对误差限为 025.010221111xxe
71.22x，有两位有效数字，相对误差限为 025.010221122xxe
32.718x，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.010221333xex
②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21x，0183.01ex
其相对误差限为00678.07.20183.011
xex
同理对于71.22x，有 003063.071.20083.022xex
对于718.23x，有 00012.0718.20003.033xex
备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较精品文档 AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。
11. 解: ......142857.3722，.......1415929.3113255 21021722
，具有3位有效数字精品文档
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 61021113255
，具有7位有效数字
9.解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。 令1x,2x,3x所对应的真实值分别为*1x,*2x,*3x，则 ① ∣1x-*1x∣≤21l110=2
1
210
∣1x-*1x∣/∣1x∣＜21210/2.72＜0.00184 ② ∣2x-*2x∣≤21l110=2
1
510
∣2x-*2x∣/∣2x∣＜21510/2.71828＜0.00000184 ③ ∣3x-*3x∣＜21l110=2
1
410
∣3x-*3x∣/∣3x∣＜21410/0.0718＜0.000697
12.解： ⑴ x211－xx11=)1)(21(22xxx
⑵ 1-cosx=xxcos1sin2=22sin2
x
⑶ 1xe≈1+x+!22x+…+!nxn-1=x+!22x+…+!n
xn
13.解：⑴ xx1-xx1=xxx1x1x/2 精品文档 AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF ⑵ dttxx1211=)1arctan(x-xarctan
设)1arctan(x=a，xarctan=b,则 )tan(ba =babatantan1tantan=)1(11xx
)1arctan(x-xarctan=)1(11arctanxx精品文档
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF ⑶ )1ln(2xx=11ln2xx=)1ln(1ln2xx=-)1ln(2xx 习题一（54页） 5.证明： 利用余项表达式（11）（19页），当)(xf为次数≤n的多项式时，由于)(1xfn=0，于是有)(xRn=)(xf－)(xPn=0,即)(xPn=)(xf，表明其n次插值多项式)(xPn
就是它自身。
9.证明： 由第5题知，对于次数≤n的多项式，其n次插值多项式就是其自身。 于是对于)(xf=1，有)(2xP=)(xf
即，)(0xl)(0xf+)(1xl)(1xf+)(2xl)(2xf=)(xf
则，)(0xl+)(1xl+)(2xl=1 11.分析： 由于拉格朗日插值的误差估计式为)(xf－)(xPn
=
)!1)()1(nfn（
nkkxx0)( 精品文档 AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 误差主要来源于两部分)!1)()1(nfn（和nkkxx0)(。 对于同一函数讨论其误差，主要与nkkxx0)(有关。 在（1）中计算x=0.472的积分值，若用二次插值，需取三个节点，由于0.472在1，2两个节点之间，所以应选1，2为节点，在剩下的两个点中，0x与0.472更靠近，所以此题应选0x,1x,2x为节点来构造插值多项式。 1202201
01021012
102
2120
()()()()(1)()()()()()()()0.4955529()()xxxxxxxxpxyyxxxxxxxxxxxxyxxxx
15.证明： 由拉格朗日插值余项公式有 ︱)(xf－)(xp︱≤102)(!2)(kkxxf≤21︱))((10xxxx︱10max
xxx
︱)(2xf︱精品文档
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 由于201)(xx=201)(xxxx=))((201xxxx+21)(xx+2
0)(xx
≥))((401xxxx
︱)(xf－)(xp︱≤8)(201xx10maxxxx︱)(2xf︱ 20.证明： 当n=1时，),(10xxF=0101)()(xxxFxF=C·0101)()(xxxfxf=C),(10xxf
假设当n=k时，结论成立，则有 ),...,(0kxxF= C),...,,(10kxxxf； ),...,(11kxxF= C),...,,(121kxxxf； 那么，当n=k+1时， ),...,,(110kxxxF=01011),...,(),...,(xxxxFxxFkkk
=C01011),...,(),...,(xxxxfxxfkkk= C),...,,(110kxxxf
证明完毕。（类似的方式可证明第一个结论）
21.解： 由定理4（26页）可知： ),...,,(10nxxxf=!)()(nfn,其中niixx0]max,[min
当n>k时，)()(xfn=)(nkx=0； 精品文档 AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 当n=k时，)()(xfn=)(kkx=!k； ),...,,(10nxxxf=
时当时当knkn,1,0
13.解： 由题意知，给定插值点为
0x=0.32,0y=0.314567;1x=0.34,1y=0.333487;2x=0.36,2y=0.352274 由线性插值公式知线性插值函数为 )(1xP=0101yxxxx+1010yxxxx=314567.002.034.0x+333487.002.032.0
x