【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期一调考试理数试题
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期一调考试生物试题
河北省衡水中学2017届高三上学期一调考试生物试题第I卷(45题45分）一、选择题(毎小题所给选项只有一项符合题意）1.生物学是一门以实验为基础的科学，下面有关科学家的经典实验及结论，叙述错误的是A.施莱登、施旺的细胞学说指出细胞通过分裂产生新细胞B.科学家在电镜下看到细胞膜呈现出暗—亮—暗三层结构，大胆提出生物膜都由蛋白质—脂质—蛋白质三层结构构成C.卡尔文用14C标记的14CO2供小球藻进行光合作用，发现碳在光合作用中的转移途径为14CO2→14C3→（14CH2O）D.赫尔希和蔡斯利用同位素标记的T2噬菌体侵染细菌实验，证实了DNA是遗传物质，但没有证实蛋白质是否是遗传物质2.下列试剂与鉴定的物质及颜色变化的对应关系不正确的一组是A. 双缩脲试剂-蛋白质-紫色；健那绿染液-线粒体-蓝绿色B. 碘液-淀粉-蓝色；重铬酸钾溶液-酒精-灰绿色C. 甲基绿-DNA-蓝色；斐林试剂-麦芽糖-砖红色D. 醋酸洋红染液-染色体-红色；苏丹Ⅳ染液-脂肪-橘红色3.下列关于酒精在生物实验中的相关应用，叙述不正确的是A．在使用苏丹Ⅲ鉴定脂肪的实验中，酒精的作用是洗去实验材料上的浮色B．无水酒精在绿叶中色素的提取和分离实验中起到提取色素的作用C．探究酵母细胞呼吸的方式实验中，用酸性条件下的重铬酸钾溶液检验酒精会变成灰绿色D．在观察DNA和RNA分布的实验中，可用酒精来改变细胞膜通透性，加速染色剂进入细胞4.关于细胞中元素和化合物的叙述，正确的是A.碳在细胞的各种化合物中含量最多B.C、H、O、N、P是遗传密码、类囊体膜共有的化学元素C.细胞的能源物质是糖类、脂肪、蛋白质、核酸D.脂肪和性激素都属于脂质，具有调节功能5.人们经常食用的牛、羊、猪等肉类和白菜、土豆等蔬菜，经消化吸收后，其中的成分可被转化为人体的组成成分。
对以上事实解释合理的是A．组成生物体细胞的化学元素在无机自然界都能找到B．在不同生物的细胞内，组成它们的化学元素和化合物种类大体相同C．组成生物体细胞的生物分子都是以碳链作为骨架D．不同生物的细胞内，组成它们的化学元素的含量大体相同6.蛋白质功能的多样性取决于蛋白质结构的多样性，以下关于蛋白质结构的说法中正确的是A. 每种蛋白质分子都是由20种氨基酸组成B. 一个蛋白质分子只能由一条肽链构成C. 蛋白质的氨基酸排列顺序及空间结构都是基因控制的结果D. 相同种类和数量的氨基酸只能构成同一种类的蛋白质7.关于真核细胞结构和功能的叙述，错误的是A.水在光下分解发生在叶绿体的类囊体薄膜上B.核孔可实现细胞核与细胞质之间进行信息交流的通道C.正常情况下，溶酶体执行功能时伴随其膜组分的更新D.水稻细胞的中心体参与有丝分裂过程中纺锤体形成8.用差速离心法分离出某动物细胞的甲、乙、丙三种细胞器，测定其中三种有机物的含量如下图所示。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理数试题解析(解析版)
河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质. 2. 若()1z i i +=，则z 等于（ ）A ．1BC ．D ．12【答案】C 【解析】试题分析：由()1z i i +=得()()()11111122i i i z i i i i -===+++-，所以2z ==，故选C. 考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.3. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，每层悬挂的灯数从上到下依次构成比差数列，公比为2，设顶层的灯数为1a ，则77111(12)(2112738112a a a -==-－）＝，解之得13a =，故选D.考点：1.数学文化；2.等比数列的性质与求和.4. 已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±【答案】C考点：双曲线的标准议程与几何性质.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9 C.7 D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：模拟算法，开始：输入0,0,1T S n ===；2,9(11)18,123,T S n T S ==+==+=≥不成立； 328,9(31)36,325,T S n T S ===+==+=≥不成立； 5232,9(51)54,527,T S n T S ===+==+=≥不成立； 72128,9(71)63,729,T S n T S ===+==+=≥成立；输出9n =，结束得算法.故选B.考点：程序框图.6. 已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增【答案】D考点：三角函数的图象和性质.7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =；②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．1 【答案】A考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.分段函数的表示与求值. 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20 C.40 D ．60 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体的直观图如下图所示，且三角形ABC 是以角A 为直角的直角三角形，4,3AB AC ==,从而5BC =,又5BD =，且BD ⊥平面ABC ，故四边形BCED 中边长为5的正方形，过A 作AH BC ⊥于H ，由易知AH ⊥平面BCED ，在直角三角形ABC 中可求得125AH =，从而ABCD 11125520335A BCED V V S AH -==⨯⨯=⨯⨯⨯=正方形,故选B.考点：1.三视图；2.多面体和体积.9. 已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k≠，，则12k k +的最小值为（ ）A ．1 BD【答案】A考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.基本不等式；3.斜率公式.【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质、基本不等式、斜率公式，属中档题；双曲线的标准方程与几何性质是高考的热点，特别是双曲线的性质，几乎每年均有涉及，主要以选择题、填空题为主，解题时，应利用图形，挖掘题目中的隐含条件，结合图形求解.10. 在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ）A ．36B ．C.24 D ． 【答案】A考点：1.线面垂直的判定与性质；2.轨迹方程的求法；3.多面体的体积.11. 已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【答案】B 【解析】试题分析：在同一坐标系内作出函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，与函数y ax =和图象，通过图象可知，当直线y ax =绕着原点从x 轴旋转到与图中直线l 重合时，符合题意，当0x >时，2()3(1)f x x '=-，设直线l与函数()y f x =的切点为00(,)P x y ，则3200000(1)3(1)y x x x x --==，解之得032x =，所以直线l 的斜率2333(1)24k =⨯-=，所以a 的取值范围为30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故选B.考点：1.函数与不等式；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题考查函数与不等式、导数的几何意义，属中档题；导数的几何意义是每年高考的必考内容，利用导数解决不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的范围；或参变分离，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；或通过数列结合解题.12. 已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）A ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ B ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭C.()(22316x y -+-= D ．()(22316x y -+=【答案】C考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；2.圆的标准方程.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、圆的标准方程，属难题；在解抛物线有关问题时，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般要运用定义转化为到准线的距离处理；抛物线的焦点弦一直是高考的热点，对于焦点弦的性质应牢固掌握.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若x、y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1yx-的最大值为．【答案】2考点：线性规划.14. 在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC ⋅的值为 ． 【答案】8考点：数量积的几何运算.【名师点睛】本题考查数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积有两种运算，一是依据长度与夹角，即数量积的几何意义运算，一是利用坐标运算，本题充分利用向量线性运算的几何意义与数量积的几何意义进行运算，运算量不大，考查子学生逻辑思维能力，体现了数形结合的数学思想. 15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．【答案】120 【解析】试题分析：数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为321121211223111154444n n n a a a a a a a a a a a a a a +-----+++=++==+++，所以122n a +=， 又114 n n n na a a a ++-=+，所以221 4n n a a +-=，由此可得22211444,2244,120n a a n n n n +=+=+∴=+=，即应填120.考点：1.数列求和；2.累和法求数列通项.【名师点睛】本题考查数列求和，累和法求数列通项，属中档题；由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.16. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为 ． 【答案】24y x =考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.向量数量积的几何意义.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值； （2）求ABC △的面积.【答案】（1）34；（2.试题解析：（1）在ABC △中，sin sin b c B C =，因为 4 6 2b c C B ===，，，所以46sin sin 2B B=，即 46sin 2sin cos B B B =，又sin 0B ≠，∴3cos 4B =.（2）由（1）知3cos 4B =，从而sin B =.因此sin sin 22sin cos C B B B ===21cos cos22cos 18C B B ==-=.所以()()13sin sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C B C π=--=+=+=+=所以ABC △的面积为1462⨯⨯. 考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和与三角形面积公式.【名师点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角形内角和与三角形面积公式，属中档题. 正、余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用正弦定理解决一类已知三角形两边及一角对边求其它元素，或已知两边及一边对角求其它元素的问题，这时要讨论三角形解的个数问题；利用余弦定理可以快捷求第三边直接运用余弦定理解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边. 18. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由； （3）求二面角1B AC C --的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) EF ∥平面ABC ；.试题解析：（1）连接1BC ，在正方形11ABB A 中，1AB BB ⊥， 因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11ABB A ，所以AB ⊥平面11BB C C ，因为1B C ⊥平面11BB C C ，所以1AB B C ⊥.在菱形11BB C C 中，11BC B C ⊥，因为1BC ⊥面1ABC ，AB ⊥平面1ABC ，1BC AB B =，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为1AC ⊥平面1ABC ，所以11B C AC ⊥.（2）EF ∥平面ABC ，理由如下：取BC 的中点G ，连接GE 、GA ，因为E 是1B C 的中点，所以1GE BB ∥，且112GE BB =，因为F 是 1AA 的中点，所以112AF AA =. 在正方形11ABB A 中，1111 AA BB AA BB =∥，，所以GE AF ∥，且GE AF =. ∴四边形GEFA 为平行四边形，所以EF GA ∥. 因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面， 所以EF ABC ∥平面.（3）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ⊥，由（1）可知：11AB BB C C ⊥平面，以点B 为坐标原点，分别以BA 、1BB 所在的直线为x 、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设()2 0 0A ，，，则()10 2 0B ，，. 在菱形11BB C C 中，1160BB C ∠=︒，所以(0 1 C -，，(10 1 C ，. 设平面1ACC 的一个法向量为() 1x y =n ，，. 因为100n AC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()(()() 1 2 1 0 10 2 00x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，所以0x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩0 1n ⎫=⎪⎪⎝⎭，，， 由（1）可知：1CB 是平面1ABC 的一个法向量.所以(1110 10 3 cosn CB n CB n CB ⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⋅⎝<>===⋅，，，，，，所以二面角1B AC C --. 考点：1.面面垂直的判定与性质；2.线面平行、垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.【名师点睛】本题考查.面面垂直的判定与性质、线面平行、垂直的判定与性质及空间向量的应用，属中档题；解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解.此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在.19. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12k k 的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.【答案】（1）((228x y-+-=；（2）12-；（3）36.试题解析：（1）由圆R的方程知圆R的半径r=，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以4OR==，即220016x y+=①又点R在椭圆C上，所以220012412x y+=②联立①②，解得0xy⎧=⎪⎨=⎪⎩R的方程为((228x y-+-=．（2）因为直线1:OP y k x=和2:OQ y k x=都与圆R==212288yk kx-⋅=-，因为点()00R x y，在椭圆C上，所以220012412x y+=，即22001122y x=-，所以2122141228xk kx-==--．（3）方法一（1）当直线OP、OQ不落在坐标轴上时，设()11P x y，，()22Q x y，，由（2）知12210k k+=，所以121221y yx x=，故2222121214y y x x=，因为()11P x y，，()22Q x y，，在椭圆C上，所以221112412x y+=，222212412x y+=，即22111122y x =-，22221122y x =-，所以222212121111212224x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221224x x +=，所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222222221122121236OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=.（2）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时，显然有2236OP OQ +=. 综上：2236OP OQ +=.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系. 20. （本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线30x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)12；(2) 22143x y +=；（3）1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =.（3）设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，由此可得112121212F MN S F F y y y y =⋅-=-△，设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立得()2234690my my ++-=，由根与系数关系代入112F MNS y y =-=△，换元令t =()12121211313F MN t S t t t t==≥-+△，可知当1t =时，14F MN S R =△有最大值3，从而求出内切圆面积的最大值与相应的直线方程即可.试题解析：（1）由题()0 A b ，，1F 为2QF 的中点.设()()12 0 0F c F c -，，，，则()3 0Q c -，， ()3 AQ c b =--，，()2 AF c b =-，，由题2AQ AF ⊥，即22230AQ AF c b ⋅=-+=，∴()22230c a c -+-=即224a c =，∴12c e a ==. （2）由题2Rt QAF △外接圆圆心为斜边2QF 的中点()1 0F c -，，半径2r c =， ∵由题2Rt QAF △外接圆与直线30x -=相切，∴d r =，即322c c --=，即34c c +=，∴1c =，22a c ==，b =C 的方程为22143x y +=.（3）设()11 M x y ，，()22 N x y ，，由题12 y y ，异号，设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，()111142F MN S MN F M F N R R =++=△， 因此要使1F MN △内切圆的面积最大，只需R 最大，此时1F MN S △也最大，112121212F MN S F F y y y y =⋅-=-△， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，（0m R ∆>∈⇒）112F MN S y y =-=△令t =1t ≥，()12121211313F MN t S t t t t==≥-+△， 当1t =时，14F MN S R =△有最大值3，此时，0m =，max 34R =， 故1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =. 考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系. 21. （本小题满分12分） 已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.【答案】(1)5[ )3+∞，；(2) 1(0 ]3，.(2)()()()323223131313123131222x x x t t t x x tx xe m m xe x x tx x e x x t +++⎛⎫-++≤-+⇔≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭，构造函数()()23132x t g x e x x t +=-+-，道m 的最大值为1，等价于()()231302x t g x e x x t +=-+-≥在区间[0 )+∞，上恒成立，由于()0130g t =-≥，则103t <≤，此时()0g x '>恒成立，即()g x 在区间[0 )+∞，上单调递增，符合题意.试题解析：（1）()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，①当01t <<时，()f x 在()0 t ，上单调递增，在() 1t ，单调递减，在()1 2，单调递增， ∴()()2f t f ≥，由()()2f t f ≥，得3234t t -+≥在01t <<时无解， ②当1t =时，不合题意；③当12t <<时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 t ，递减，在() 2t ，单调递增， ∴()()1212f f t ⎧≥⎪⎨<<⎪⎩即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩，∴523t ≤<，④当2t ≥时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 2，单调递减，满足条件， 综上所述：5[ )3t ∈+∞，时，存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值. ∴()()0130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1(0 ]3，.考点：1.导数与函数的单调性、极值，最值；2.函数与不等式.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点(0 A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值. 【答案】0y +-=；（2. 试题解析：（1）曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143x y +=，其轨迹为椭圆，焦点为()1 1 0F -，，()21 0F ，.经过(0 A 和()21 0F ，的直线方程为11x =0y +. （2）由（1）知，直线2AF的斜率为2l AF ⊥，所以l，倾斜角为30︒， 所以l的参数方程为112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).代入椭圆C的方程中，得213360t --=. 因为 M N ，在点1F的两侧，所以1112MF NF t t -=+=考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线参数方程的应用. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 59 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）()1 2[ )2-∞-+∞，， 【解析】试题分析：（1）由绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数()f x 表示成分段函数的形式，作出函数()f x 的图象，数形结合可得到不等式的解集；（2）在同一坐标系内作出函数()y f x =与函数1y ax =-的图象，数形结合可求出a 的范围.（2）函数1y ax =-的图象是过点()0 1-，的直线， 当且仅当函数()y f x =与直线1y ax =-有公共点时，存在题设的x .由图象知，a 的取值范围为()1 2[ )2-∞-+∞，，.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示与作图；3.函数与不等式.。
【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理数试题
数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥2.若()1z i i +=，则z 等于（ ） A ．1 B ．32 C ．22 D ．123.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．34.已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9 C.7 D ．56.已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20 C.40 D ．609.已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k ≠，，若椭圆的离心率为32，则12k k +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C.32D ．3 10.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ） A ．36 B ．123 C.24 D ．18311.已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12.已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =u u u u r u u u r ，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）A ．2212316333x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．221316333x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()()2232316x y -+-= D ．()()223316x y -+-=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为 ．14.在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC ⋅u u u r u u u r的值为 ．15.已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，，则抛物线的方程为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值； （2）求ABC △的面积. 18. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由； （3）求二面角1B AC C --的余弦值. 19. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12 k k ，的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 20.（本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=u u u u r u u u u r. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线330x y --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点()0 3A ，，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.2016-2017学年度高三上学期四调考试高三年级数学试卷（理科）一、选择题1-5：CCDCB 6-10:DABAA 11、12：BC二、填空题13.2 14.8 15.120 16.24y x = 三、解答题17.【答案】（1）34；（2）1574.试题解析：（1）在ABC △中，sin sin b c B C =，因为 4 6 2b c C B ===，，，所以46sin sin 2B B=，即 46sin 2sin cos B B B =，又sin 0B ≠，∴3cos 4B =. （2）由（1）知3cos 4B =，从而7sin 4B =.因此37sin sin 22sin cos 8C B B B ===，21cos cos22cos 18C B B ==-=.所以 ()()7133757sin sin sin sin cos cos sin 484816A B C B C B C B C π=--=+=+=⨯+⨯=， 所以ABC △的面积为157157462164⨯⨯⨯=. 18.证明：（1）连接1BC ，在正方形11ABB A 中，1AB BB ⊥，1B C ⊥平面1ABC ，因为1AC ⊥平面1ABC ，所以11B C AC ⊥.（2）EF ∥平面ABC ，理由如下：取BC 的中点G ，连接GE 、GA ，因为E 是1B C 的中点，所以1GE BB ∥，且112GE BB =，因为F 是 1AA 的中点，所以112AF AA =. 在正方形11ABB A 中，1111 AA BB AA BB =∥，，所以GE AF ∥，且GE AF =. ∴四边形GEFA 为平行四边形，所以EF GA ∥. 因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面， 所以EF ABC ∥平面.（3）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ⊥，由（1）可知：11AB BB C C ⊥平面，以点B 为坐标原点，分别以BA 、1BB 所在的直线为x 、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设()2 0 0A ，，，则()10 2 0B ，，. 在菱形11BB C C 中，1160BB C ∠=︒，所以()0 1 3C -，，，()10 1 3C ，，. 设平面1ACC 的一个法向量为() 1x y =n ，，. 因为100n AC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u u r 即()()()() 1 2 1 30 10 2 00x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，， 所以320x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即3 0 12n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，， 由（1）可知：1CB uuu r是平面1ABC 的一个法向量.所以()1113 0 10 3 327cos 731934n CB n CB n CB ⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⋅⎝⎭<>===-⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r ，，，，，， 所以二面角1B AC C --的余弦值为77. 19.【答案】（1）()()2222228x y -+-=；（2）12-；（3）36.试题解析：（1）由圆R 的方程知圆R 的半径22r =，因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以24OR r ==，即220016x y += ①又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y += ②联立①②，解得002222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以，所求圆R 的方程为()()2222228x y -+-=．（2）因为直线1:OP y k x =和2:OQ y k x =都与圆R 相切，所以10021221k x y k-=+，20022221k x y k -=+，化简得20122088y k k x -⋅=-，因为点()00R x y ，在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即 22001122y x =-，所以201220141228x k k x -==--． （3）方法一（1）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，， 由（2）知12210k k +=，所以121221y y x x =，故2222121214y y x x =，因为()11 P x y ，，()22 Q x y ，，在椭圆C 上，所以221112412x y +=，222212412x y +=， 即22111122y x =-，22221122y x =-，所以222212121111212224x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221224x x +=，所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222222221122121236OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=.方法（二）（1）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，， 联立2212412y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22211122112424 1212k x y k k ==++，，所以()2122112124112k x y k ++=+. 同理，得()2222222224112k x y k ++=+，由（2）12210k k +=，得1212k k =-.所以()()2212222222112222122412411212k k OP OQ x y x y k k +++=+++=+++()2221112221111241224136723612121122k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+- ⎪+⎢⎥⎝⎭+⎣⎦=+==++⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （2）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时，显然有2236OP OQ +=. 综上：2236OP OQ +=.20.试题解析：（1）由题()0 A b ，，1F 为2QF 的中点.设()()12 0 0F c F c -，，，，则()3 0Q c -，，()3 AQ c b =--u u u r ，，()2 AF c b =-u u u u r ，，由题2AQ AF ⊥u u u r u u u u r ，即22230AQ AF c b ⋅=-+=u u u r u u u u r ，∴()22230c a c -+-=即224a c =，∴12c e a ==. （2）由题2Rt QAF △外接圆圆心为斜边2QF 的中点()1 0F c -，，半径2r c =， ∵由题2Rt QAF △外接圆与直线330x y --=相切，∴d r =，即322c c --=，即34c c +=，∴1c =，22a c ==，3b =，故所求的椭圆C 的方程为22143x y +=.（3）设()11 M x y ，，()22 N x y ，，由题12 y y ，异号，设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，()111142F MN S MN F M F N R R =++=△， 因此要使1F MN △内切圆的面积最大，只需R 最大，此时1F MN S △也最大，112121212F MN S F F y y y y =⋅-=-△， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+， 由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，（0m R ∆>∈⇒） ()1221212122121434F MN m S y y y y y y m +=-=+-=+△， 令21t m =+，则1t ≥，()12121211313F MN t S t t t t==≥-+△， 当1t =时，14F MN S R =△有最大值3，此时，0m =，max 34R =， 故1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =. 21.解析：（1）()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，①当01t <<时，()f x 在()0 t ，上单调递增，在() 1t ，单调递减，在()1 2，单调递增， ∴()()2f t f ≥，由()()2f t f ≥，得3234t t -+≥在01t <<时无解，②当1t =时，不合题意；③当12t <<时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 t ，递减，在() 2t ，单调递增， ∴()()1212f f t ⎧≥⎪⎨<<⎪⎩即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩，∴523t ≤<，④当2t ≥时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 2，单调递减，满足条件， 综上所述：5[ )3t ∈+∞，时，存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值. （2）()32313122x t x x tx xe m +-++≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立， 即()()3223131313122x x t t m xe x x tx x e x x t ++⎛⎫≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，令()()23132x t g x e x x t +=-+-，[0 )x ∈+∞，，根据题意，可以知道m 的最大值为1，则 ()()231302x t g x e x x t +=-+-≥恒成立，由于()0130g t =-≥，则103t <≤，当103t <≤时，()()31'22x t g x e x +=-+，则()''2x g x e =-，若()''20x g x e =-=，则()'g x 在()0 ln 2，上递减，在()ln 2 +∞，上递增，则()()()max 3'ln 2212ln 202g x g t ==++->，∴()g x 在[0 )+∞，上是递增的函数.∴()()0130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1(0 ]3，.22.解：（1）曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143x y +=，其轨迹为椭圆，焦点为()1 1 0F -，，()21 0F ，. 经过()0 3A ，和()21 0F ，的直线方程为113x y +=，即330x y +-=. （2）由（1）知，直线2AF 的斜率为3-，因为2l AF ⊥，所以l 的斜率为33，倾斜角为30︒， 所以l 的参数方程为31212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). 代入椭圆C 的方程中，得213123360t t --=.因为 M N ，在点1F 的两侧，所以111212313MF NF t t -=+=. 23.解：（1）()72 334 1 3427 4x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，，，， 作函数()y f x =的图象，它与直线2y =交点的横坐标为52和92，由图象知不等式()2f x ≤的 解集为59 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.（2）函数1y ax =-的图象是过点()0 1-，的直线， 当且仅当函数()y f x =与直线1y ax =-有公共点时，存在题设的x . 由图象知，a 的取值范围为()12[ )2-∞-+∞U ，，.。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理数试题解析(原卷版)
河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥2.若()1z i i +=，则z 等于（ ）A ．1BCD ．123.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．34.已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9 C.7 D ．56. 已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20 C.40 D ．609. 已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k ≠，，则12k k +的最小值为（ ）A ．1B D 10. 在棱长为6的正方体1111ABCD A BCD -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ） A ．36 B ． C.24 D ．11.已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12.已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ） A．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ B．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭C.()(22316x y -+-= D ．()(22316x y -+=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为 ．14. 在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC ⋅的值为 ．15.已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值； （2）求ABC △的面积. 18.（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由； （3）求二面角1B AC C --的余弦值. 19.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12k k 的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.20.（本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线30x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点(0 A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.。
【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期一调考试生物试题
河北省衡水中学2017届高三上学期一调考试生物试题第I卷(45题45分）一、选择题(毎小题所给选项只有一项符合题意）1.生物学是一门以实验为基础的科学，下面有关科学家的经典实验及结论，叙述错误的是A.施莱登、施旺的细胞学说指出细胞通过分裂产生新细胞B.科学家在电镜下看到细胞膜呈现出暗—亮—暗三层结构，大胆提出生物膜都由蛋白质—脂质—蛋白质三层结构构成C.卡尔文用14C标记的14CO2供小球藻进行光合作用，发现碳在光合作用中的转移途径为14CO2→14C3→（14CH2O）D.赫尔希和蔡斯利用同位素标记的T2噬菌体侵染细菌实验，证实了DNA是遗传物质，但没有证实蛋白质是否是遗传物质2.下列试剂与鉴定的物质及颜色变化的对应关系不正确的一组是A. 双缩脲试剂-蛋白质-紫色；健那绿染液-线粒体-蓝绿色B. 碘液-淀粉-蓝色；重铬酸钾溶液-酒精-灰绿色C. 甲基绿-DNA-蓝色；斐林试剂-麦芽糖-砖红色D. 醋酸洋红染液-染色体-红色；苏丹Ⅳ染液-脂肪-橘红色3.下列关于酒精在生物实验中的相关应用，叙述不正确的是A．在使用苏丹Ⅲ鉴定脂肪的实验中，酒精的作用是洗去实验材料上的浮色B．无水酒精在绿叶中色素的提取和分离实验中起到提取色素的作用C．探究酵母细胞呼吸的方式实验中，用酸性条件下的重铬酸钾溶液检验酒精会变成灰绿色D．在观察DNA和RNA分布的实验中，可用酒精来改变细胞膜通透性，加速染色剂进入细胞4.关于细胞中元素和化合物的叙述，正确的是A.碳在细胞的各种化合物中含量最多B.C、H、O、N、P是遗传密码、类囊体膜共有的化学元素C.细胞的能源物质是糖类、脂肪、蛋白质、核酸D.脂肪和性激素都属于脂质，具有调节功能5.人们经常食用的牛、羊、猪等肉类和白菜、土豆等蔬菜，经消化吸收后，其中的成分可被转化为人体的组成成分。
对以上事实解释合理的是A．组成生物体细胞的化学元素在无机自然界都能找到B．在不同生物的细胞内，组成它们的化学元素和化合物种类大体相同C．组成生物体细胞的生物分子都是以碳链作为骨架D．不同生物的细胞内，组成它们的化学元素的含量大体相同6.蛋白质功能的多样性取决于蛋白质结构的多样性，以下关于蛋白质结构的说法中正确的是A. 每种蛋白质分子都是由20种氨基酸组成B. 一个蛋白质分子只能由一条肽链构成C. 蛋白质的氨基酸排列顺序及空间结构都是基因控制的结果D. 相同种类和数量的氨基酸只能构成同一种类的蛋白质7.关于真核细胞结构和功能的叙述，错误的是A.水在光下分解发生在叶绿体的类囊体薄膜上B.核孔可实现细胞核与细胞质之间进行信息交流的通道C.正常情况下，溶酶体执行功能时伴随其膜组分的更新D.水稻细胞的中心体参与有丝分裂过程中纺锤体形成8.用差速离心法分离出某动物细胞的甲、乙、丙三种细胞器，测定其中三种有机物的含量如下图所示。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理数试题解析(解析版)
河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质. 2. 若()1z i i +=，则z 等于（ ）A ．1BC ．2D ．12【答案】C 【解析】试题分析：由()1z i i +=得()()()11111122i i i z i i i i -===+++-，所以2z ==，故选C. 考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.3. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，每层悬挂的灯数从上到下依次构成比差数列，公比为2，设顶层的灯数为1a ，则77111(12)(2112738112a a a -==-－）＝，解之得13a =，故选D.考点：1.数学文化；2.等比数列的性质与求和.4. 已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±【答案】C考点：双曲线的标准议程与几何性质.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9 C.7 D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：模拟算法，开始：输入0,0,1T S n ===；2,9(11)18,123,T S n T S ==+==+=≥不成立； 328,9(31)36,325,T S n T S ===+==+=≥不成立； 5232,9(51)54,527,T S n T S ===+==+=≥不成立； 72128,9(71)63,729,T S n T S ===+==+=≥成立；输出9n =，结束得算法.故选B.考点：程序框图.6. 已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增【答案】D考点：三角函数的图象和性质.7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形.其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．1 【答案】A考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.分段函数的表示与求值. 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20 C.40 D ．60 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体的直观图如下图所示，且三角形ABC 是以角A 为直角的直角三角形，4,3AB AC ==,从而5BC =,又5BD =，且BD ⊥平面ABC ，故四边形BCED 中边长为5的正方形，过A 作AH BC ⊥于H ，由易知AH ⊥平面BCED ，在直角三角形ABC 中可求得125AH =，从而ABCD 11125520335A BCED V V S AH -==⨯⨯=⨯⨯⨯=正方形,故选B.考点：1.三视图；2.多面体和体积.9. 已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k≠，，则12k k +的最小值为（ ）A ．1 BD【答案】A考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.基本不等式；3.斜率公式.【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质、基本不等式、斜率公式，属中档题；双曲线的标准方程与几何性质是高考的热点，特别是双曲线的性质，几乎每年均有涉及，主要以选择题、填空题为主，解题时，应利用图形，挖掘题目中的隐含条件，结合图形求解.10. 在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ）A ．36B ．24 D ． 【答案】A考点：1.线面垂直的判定与性质；2.轨迹方程的求法；3.多面体的体积.11. 已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【答案】B 【解析】试题分析：在同一坐标系内作出函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，与函数y ax =和图象，通过图象可知，当直线y ax =绕着原点从x 轴旋转到与图中直线l 重合时，符合题意，当0x >时，2()3(1)f x x '=-，设直线l与函数()y f x =的切点为00(,)P x y ，则3200000(1)3(1)y x x x x --==，解之得032x =，所以直线l 的斜率2333(1)24k =⨯-=，所以a 的取值范围为30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故选B.考点：1.函数与不等式；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题考查函数与不等式、导数的几何意义，属中档题；导数的几何意义是每年高考的必考内容，利用导数解决不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的范围；或参变分离，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；或通过数列结合解题.12. 已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）A ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ B ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭C.()(22316x y -+-= D ．()(22316x y -+=【答案】C考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；2.圆的标准方程.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、圆的标准方程，属难题；在解抛物线有关问题时，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般要运用定义转化为到准线的距离处理；抛物线的焦点弦一直是高考的热点，对于焦点弦的性质应牢固掌握.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为 ．【答案】2考点：线性规划.14. 在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC ⋅的值为 ． 【答案】8考点：数量积的几何运算.【名师点睛】本题考查数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积有两种运算，一是依据长度与夹角，即数量积的几何意义运算，一是利用坐标运算，本题充分利用向量线性运算的几何意义与数量积的几何意义进行运算，运算量不大，考查子学生逻辑思维能力，体现了数形结合的数学思想. 15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．【答案】120 【解析】试题分析：数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为321121211223111154444n n n a a a a a a a a a a a a a a +-----+++=++==+++，所以122n a +=， 又114 n n n na a a a ++-=+，所以221 4n n a a +-=，由此可得22211444,2244,120n a a n n n n +=+=+∴=+=，即应填120.考点：1.数列求和；2.累和法求数列通项.【名师点睛】本题考查数列求和，累和法求数列通项，属中档题；由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.16. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为 ． 【答案】24y x =考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.向量数量积的几何意义.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值； （2）求ABC △的面积.【答案】（1）34；（2.试题解析：（1）在ABC △中，sin sin b c B C =，因为 4 6 2b c C B ===，，，所以46sin sin 2B B=，即46sin 2sin cos B B B =，又sin 0B ≠，∴3cos 4B =.（2）由（1）知3cos 4B =，从而sin B =.因此sin sin 22sin cos C B B B ===21cos cos22cos 18C B B ==-=.所以()()13sin sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C B C π=--=+=+=+=所以ABC △的面积为1462⨯⨯. 考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和与三角形面积公式.【名师点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角形内角和与三角形面积公式，属中档题. 正、余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用正弦定理解决一类已知三角形两边及一角对边求其它元素，或已知两边及一边对角求其它元素的问题，这时要讨论三角形解的个数问题；利用余弦定理可以快捷求第三边直接运用余弦定理解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边. 18. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由； （3）求二面角1B AC C --的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) EF ∥平面ABC ；.试题解析：（1）连接1BC ，在正方形11ABB A 中，1AB BB ⊥， 因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11ABB A ，所以AB ⊥平面11BB C C ，因为1B C ⊥平面11BB C C ，所以1AB B C ⊥.在菱形11BB C C 中，11BC B C ⊥，因为1BC ⊥面1ABC ，AB ⊥平面1ABC ，1BC AB B =，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为1AC ⊥平面1ABC ，所以11B C AC ⊥.（2）EF ∥平面ABC ，理由如下：取BC 的中点G ，连接GE 、GA ，因为E 是1B C 的中点，所以1GE BB ∥，且112GE BB =，因为F 是 1AA 的中点，所以112AF AA =. 在正方形11ABB A 中，1111 AA BB AA BB =∥，，所以GE AF ∥，且GE AF =. ∴四边形GEFA 为平行四边形，所以EF GA ∥. 因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面， 所以EF ABC ∥平面.（3）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ⊥，由（1）可知：11AB BB C C ⊥平面，以点B 为坐标原点，分别以BA 、1BB 所在的直线为x 、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设()2 0 0A ，，，则()10 2 0B ，，.在菱形11BB C C 中，1160BB C ∠=︒，所以(0 1 C -，，(10 1 C ，. 设平面1ACC 的一个法向量为() 1x y =n ，，.因为100n AC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()(()() 1 2 1 0 10 2 00x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，所以0x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩0 1n ⎫=⎪⎪⎝⎭，，， 由（1）可知：1CB 是平面1ABC 的一个法向量.所以(1110 10 3 cos nCB n CB n CB ⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⋅⎝<>===⋅，，，，，，所以二面角1B AC C --. 考点：1.面面垂直的判定与性质；2.线面平行、垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.【名师点睛】本题考查.面面垂直的判定与性质、线面平行、垂直的判定与性质及空间向量的应用，属中档题；解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解.此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在.19. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12k k 的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 【答案】（1）((228x y -+-=；（2）12-；（3）36.试题解析：（1）由圆R的方程知圆R的半径r=OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以4OR==，即220016x y+=①又点R在椭圆C上，所以220012412x y+=②联立①②，解得0xy⎧=⎪⎨=⎪⎩R的方程为((228x y-+-=．（2）因为直线1:OP y k x=和2:OQ y k x=都与圆R==212288yk kx-⋅=-，因为点()00R x y，在椭圆C上，所以220012412x y+=，即22001122y x=-，所以2122141228xk kx-==--．（3）方法一（1）当直线OP、OQ不落在坐标轴上时，设()11P x y，，()22Q x y，，由（2）知12210k k+=，所以121221y yx x=，故2222121214y y x x=，因为()11P x y，，()22Q x y，，在椭圆C上，所以221112412x y+=，222212412x y+=，即22111122y x=-，22221122y x=-，所以222212121111212224x x x x⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221224x x+=，所以222212121112121222y y x x⎛⎫⎛⎫+=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222222221122121236OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=.（2）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时，显然有2236OP OQ +=. 综上：2236OP OQ +=.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系. 20. （本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线30x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)12；(2) 22143x y +=；（3）1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =.（3）设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，由此可得112121212F MN S F F y y y y =⋅-=-△，设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立得()2234690my my ++-=，由根与系数关系代入112F MNS y y =-=△，换元令t =()12121211313F MN t S t t t t==≥-+△，可知当1t =时，14F MN S R =△有最大值3，从而求出内切圆面积的最大值与相应的直线方程即可.试题解析：（1）由题()0 A b ，，1F 为2QF 的中点.设()()12 0 0F c F c -，，，，则()3 0Q c -，， ()3 AQ c b =--，，()2 AF c b =-，，由题2AQ AF ⊥，即22230AQ AF c b ⋅=-+=，∴()22230c a c -+-=即224a c =，∴12c e a ==. （2）由题2Rt QAF △外接圆圆心为斜边2QF 的中点()1 0F c -，，半径2r c =， ∵由题2Rt QAF △外接圆与直线30x -=相切，∴d r =，即322c c --=，即34c c +=，∴1c =，22a c ==，b =C 的方程为22143x y +=.（3）设()11 M x y ，，()22 N x y ，，由题12 y y ，异号，设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，()111142F MN S MN F M F N R R =++=△， 因此要使1F MN △内切圆的面积最大，只需R 最大，此时1F MN S △也最大，112121212F MN S F F y y y y =⋅-=-△， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+， 由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，（0m R ∆>∈⇒）112F MN S y y =-=△令t =1t ≥，()12121211313F MN t S t t t t==≥-+△， 当1t =时，14F MN S R =△有最大值3，此时，0m =，max 34R =，故1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =. 考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系. 21. （本小题满分12分） 已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.【答案】(1)5[ )3+∞，；(2) 1(0 ]3，.(2)()()()323223131313123131222x x x t t t x x tx xe m m xe x x tx x e x x t +++⎛⎫-++≤-+⇔≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭，构造函数()()23132x t g x e x x t +=-+-，道m 的最大值为1，等价于()()231302x t g x e x x t +=-+-≥在区间[0 )+∞，上恒成立，由于()0130g t =-≥，则103t <≤，此时()0g x '>恒成立，即()g x 在区间[0 )+∞，上单调递增，符合题意.试题解析：（1）()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，①当01t <<时，()f x 在()0 t ，上单调递增，在() 1t ，单调递减，在()1 2，单调递增， ∴()()2f t f ≥，由()()2f t f ≥，得3234t t -+≥在01t <<时无解， ②当1t =时，不合题意；③当12t <<时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 t ，递减，在() 2t ，单调递增， ∴()()1212f f t ⎧≥⎪⎨<<⎪⎩即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩，∴523t ≤<，④当2t ≥时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 2，单调递减，满足条件， 综上所述：5[ )3t ∈+∞，时，存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值.∴()()0130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1(0 ]3，.考点：1.导数与函数的单调性、极值，最值；2.函数与不等式.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点(0 A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值.【答案】0y +-=；（2试题解析：（1）曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143x y +=，其轨迹为椭圆，焦点为()1 1 0F -，，()21 0F ，.经过(0 A 和()21 0F ，的直线方程为11x =0y +. （2）由（1）知，直线2AF的斜率为2l AF ⊥，所以l，倾斜角为30︒， 所以l的参数方程为112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). 代入椭圆C的方程中，得213360t --=. 因为 M N ，在点1F的两侧，所以1112MF NF t t -=+=考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线参数方程的应用. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 59 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）()1 2[ )2-∞-+∞，，【解析】试题分析：（1）由绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数()f x 表示成分段函数的形式，作出函数()f x 的图象，数形结合可得到不等式的解集；（2）在同一坐标系内作出函数()yf x =与函数1y ax =-的图象，数形结合可求出a 的范围.（2）函数1y ax =-的图象是过点()0 1-，的直线， 当且仅当函数()y f x =与直线1y ax =-有公共点时，存在题设的x .由图象知，a 的取值范围为()12[ )2-∞-+∞，，.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示与作图；3.函数与不等式.。
【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理数试题
其中真命题的个数是（
）
A． 4 B ． 3 C.2 D
．1
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A． 10
B
．20 C.40
D
． 60
9. 已知
A 、B 是椭圆
x2 a2
y2 b 2 1 a b 0 长轴的两个端点， M 、N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点， 直线 AM 、
BN 的斜率分别为 k1 ，k2 k1k 2 0 ，若椭圆的离心率为
D ． 18 3
ln 1 x ，x 0
11. 已知函数 f x
3
，若 f x ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是（
）
x 1 1 ，x 0
A． 0 ， 2 3
B
． 0 ，3
4
C.
0 ，1
D
． 0，3
2
12. 已知过抛物线 G : y2 2 px p 0 焦点 F 的直线 l 与抛物线 G 交于 M 、 N 两点（ M 在 x 轴上方），满足
x2 是椭圆 C :
y2 1 上的一点，从原点 O 向圆
24 12
2
2
R: x x0
y y0 8 作两条切线，分别交椭圆于 P ， Q .
（ 1）若 R 点在第一象限，且直线 OP ， OQ 互相垂直，求圆 R 的方程；
（ 2）若直线 OP ， OQ 的斜率存在，并记为 k1 ，k2 ，求 k1 ，k2 的值；
OR
2r 4 ，即 x02 y02 16 ①
2
2
又点 R 在椭圆 C 上，所以 x0 y0 1 ②
24 12
联立①②，解得
x0
22 ，所以，所求圆
【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期五调(12月)文数试题
数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24}A x x =<<，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =∩（ ） A ．(1,3) B ．(1,4) C ．(2,3) D ．(2,4)2.已知21iZ i=+（i 为虚数单位），则Z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.若3sin 23a =，则cos a =（ ） A ．23-B ． 13-C ．13D ． 234.设向量,a b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b =•（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．5 5.要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移个12π单位 B ．向右平移个12π单位 C. 向左平移个3π单位 D ．向右平移个3π单位6.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．13B ． 11 C. 9 D ．77.已知(,)P x y 为平面区域001(0)x y x y a x a a -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤+>⎩内的任意一点，当该区域的面积为3时，2z x y =-的最大值是（ ）A ．6B ．3 C.2 D ．18.已知实数0a <，函数22,1,(),1,x a x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩若(1)(1)f a f a -≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,0)-B ．[2,1]-- C.(,2]-∞- D ．(,0)-∞9.《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著.其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少?若π取3，估算该圆堡的体积为（1丈=10尺）（ ） A ．1998立方尺 B ．2012立方尺 C.2112立方尺 D ．2324立方尺 10.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． 24B ．30 C. 48 D ．7211.若实数数列：123181a a a --，，，，成等比数列，则圆锥曲线2221y x a +=的离心率是（ ）A ．13或10 B ．10或223 C. 223 D ．1012.设函数()y f x =的图象与2x ay +=的图象关于直线y x =对称，且(2)(4)1f f +=-，则a =（ ）A ．-1B ．1 C.2 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数3()2f x ax x =-的图象过点(1,4)-，则a = ．14.已知抛物线2:4C y x =，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若线段AB 的中点坐标为(2,2)，则直线l 的方程为 ． 15.若42log (34)log a b ab +=，则a b +的最小值为 ．16.数列{}n a 满足1(1)(1)n n n a a a +--=，82a =，则2017S = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3sin cos a B b A c +=. （1）求B ；（2）若23a c =，23ABC S ∆=，求b . 18. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前三项为142a a -，，，记前n 项和为n S . （1）设2550k S =，求a 和k 的值； （2）设nn S b n=，求371141n b b b b -++++的值.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， 60BAD ∠=°，2PA PD AD ===，点M 在线段PC 上，且2PM MC =，N 为AD 的中点.（1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积. 20. （本小题满分12分）已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为26，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向.（1）求2C 的方程；（2）若||||AC BD =，求直线l 的斜率. 21. （本小题满分12分） 设函数2()mxf x ex mx =+-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为123x ty t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求2232x xy y-+的最小值，并求相应点M 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =---的最大值为3. （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.高三年级五调考试文科数学答案一、选择题1-5: CDCAB 6-10: CABCA 11、12：DC二、填空题13. 2- 14. 0x y -= 15. 743+ 16.20172三、解答题：本大题共6小题，共70分。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理数试题解析(解析版)
河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质. 2. 若()1z i i +=，则z 等于（ ）A ．1BC ．D ．12【答案】C 【解析】试题分析：由()1z i i +=得()()()11111122i i i z i i i i -===+++-，所以z ==，故选C. 考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.3. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，每层悬挂的灯数从上到下依次构成比差数列，公比为2，设顶层的灯数为1a ，则77111(12)(2112738112a a a -==-－）＝，解之得13a =，故选D.考点：1.数学文化；2.等比数列的性质与求和.4. 已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±【答案】C考点：双曲线的标准议程与几何性质.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9 C.7 D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：模拟算法，开始：输入0,0,1T S n ===；2,9(11)18,123,T S n T S ==+==+=≥不成立； 328,9(31)36,325,T S n T S ===+==+=≥不成立； 5232,9(51)54,527,T S n T S ===+==+=≥不成立； 72128,9(71)63,729,T S n T S ===+==+=≥成立；输出9n =，结束得算法.故选B.考点：程序框图.6. 已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增【答案】D考点：三角函数的图象和性质.7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =；②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．1 【答案】A考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.分段函数的表示与求值. 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20 C.40 D ．60 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体的直观图如下图所示，且三角形ABC 是以角A 为直角的直角三角形，4,3AB AC ==,从而5BC =,又5BD =，且BD ⊥平面ABC ，故四边形BCED 中边长为5的正方形，过A 作AH BC ⊥于H ，由易知AH ⊥平面BCED ，在直角三角形ABC 中可求得125AH =，从而ABCD 11125520335A BCED V V S AH -==⨯⨯=⨯⨯⨯=正方形,故选B.考点：1.三视图；2.多面体和体积.9. 已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k≠，，则12k k +的最小值为（ ）A ．1 BD【答案】A考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.基本不等式；3.斜率公式.【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质、基本不等式、斜率公式，属中档题；双曲线的标准方程与几何性质是高考的热点，特别是双曲线的性质，几乎每年均有涉及，主要以选择题、填空题为主，解题时，应利用图形，挖掘题目中的隐含条件，结合图形求解.10. 在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ）A ．36B ．C.24 D ． 【答案】A考点：1.线面垂直的判定与性质；2.轨迹方程的求法；3.多面体的体积.11. 已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【答案】B 【解析】试题分析：在同一坐标系内作出函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，与函数y ax =和图象，通过图象可知，当直线y ax =绕着原点从x 轴旋转到与图中直线l 重合时，符合题意，当0x >时，2()3(1)f x x '=-，设直线l与函数()y f x =的切点为00(,)P x y ，则3200000(1)3(1)y x x x x --==，解之得032x =，所以直线l 的斜率2333(1)24k =⨯-=，所以a 的取值范围为30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故选B.考点：1.函数与不等式；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题考查函数与不等式、导数的几何意义，属中档题；导数的几何意义是每年高考的必考内容，利用导数解决不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的范围；或参变分离，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；或通过数列结合解题.12. 已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）A ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ B ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭C.()(22316x y -+-= D ．()(22316x y -+=【答案】C考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；2.圆的标准方程.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、圆的标准方程，属难题；在解抛物线有关问题时，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般要运用定义转化为到准线的距离处理；抛物线的焦点弦一直是高考的热点，对于焦点弦的性质应牢固掌握.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若x、y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1yx-的最大值为．【答案】2考点：线性规划.14. 在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC ⋅的值为 ． 【答案】8考点：数量积的几何运算.【名师点睛】本题考查数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积有两种运算，一是依据长度与夹角，即数量积的几何意义运算，一是利用坐标运算，本题充分利用向量线性运算的几何意义与数量积的几何意义进行运算，运算量不大，考查子学生逻辑思维能力，体现了数形结合的数学思想. 15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．【答案】120 【解析】试题分析：数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为321121211223111154444n n n a a a a a a a a a a a a a a +-----+++=++==+++，所以122n a +=， 又114 n n n na a a a ++-=+，所以221 4n n a a +-=，由此可得22211444,2244,120n a a n n n n +=+=+∴=+=，即应填120.考点：1.数列求和；2.累和法求数列通项.【名师点睛】本题考查数列求和，累和法求数列通项，属中档题；由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.16. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为 ． 【答案】24y x =考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.向量数量积的几何意义.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值； （2）求ABC △的面积.【答案】（1）34；（2试题解析：（1）在ABC △中，sin sin b c B C =，因为 4 6 2b c C B ===，，，所以46sin sin 2B B=，即 46sin 2sin cos B B B =，又sin 0B ≠，∴3cos 4B =.（2）由（1）知3cos 4B =，从而sin B =.因此sin sin 22sin cos C B B B ==21cos cos22cos 18C B B ==-=.所以()()13sin sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C B C π=--=+=++=所以ABC △的面积为1462⨯⨯=. 考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和与三角形面积公式.【名师点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角形内角和与三角形面积公式，属中档题. 正、余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用正弦定理解决一类已知三角形两边及一角对边求其它元素，或已知两边及一边对角求其它元素的问题，这时要讨论三角形解的个数问题；利用余弦定理可以快捷求第三边直接运用余弦定理解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边. 18. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由； （3）求二面角1B AC C --的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) EF ∥平面ABC ；.试题解析：（1）连接1BC ，在正方形11ABB A 中，1AB BB ⊥， 因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11ABB A ，所以AB ⊥平面11BB C C ，因为1B C ⊥平面11BB C C ，所以1AB B C ⊥.在菱形11BB C C 中，11BC B C ⊥，因为1BC ⊥面1ABC ，AB ⊥平面1ABC ，1BC AB B =，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为1AC ⊥平面1ABC ，所以11B C AC ⊥.（2）EF ∥平面ABC ，理由如下：取BC 的中点G ，连接GE 、GA ，因为E 是1B C 的中点，所以1GE BB ∥，且112GE BB =，因为F 是 1AA 的中点，所以112AF AA =. 在正方形11ABB A 中，1111 AA BB AA BB =∥，，所以GE AF ∥，且GE AF =. ∴四边形GEFA 为平行四边形，所以EF GA ∥. 因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面， 所以EF ABC ∥平面.（3）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ⊥，由（1）可知：11AB BB C C ⊥平面，以点B 为坐标原点，分别以BA 、1BB 所在的直线为x 、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设()2 0 0A ，，，则()10 2 0B ，，.在菱形11BB C C 中，1160BB C ∠=︒，所以(0 1 C -，，(10 1 C ，. 设平面1ACC 的一个法向量为() 1x y =n ，，. 因为100n AC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()(()() 1 2 1 0 10 2 00x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，所以0x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩0 1n ⎫=⎪⎪⎝⎭，，， 由（1）可知：1CB 是平面1ABC 的一个法向量.所以(1110 10 3 cos nCB n CB n CB ⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⋅⎝<>===⋅，，，，，，所以二面角1B AC C --. 考点：1.面面垂直的判定与性质；2.线面平行、垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.【名师点睛】本题考查.面面垂直的判定与性质、线面平行、垂直的判定与性质及空间向量的应用，属中档题；解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解.此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在.19. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12k k 的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.【答案】（1）((228x y-+-=；（2）12-；（3）36.试题解析：（1）由圆R的方程知圆R的半径r=，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以4OR==，即220016x y+=①又点R在椭圆C上，所以220012412x y+=②联立①②，解得0xy⎧=⎪⎨=⎪⎩R的方程为((228x y-+-=．（2）因为直线1:OP y k x=和2:OQ y k x=都与圆R==212288yk kx-⋅=-，因为点()00R x y，在椭圆C上，所以220012412x y+=，即22001122y x=-，所以2122141228xk kx-==--．（3）方法一（1）当直线OP、OQ不落在坐标轴上时，设()11P x y，，()22Q x y，，由（2）知12210k k+=，所以121221y yx x=，故2222121214y y x x=，因为()11P x y，，()22Q x y，，在椭圆C上，所以221112412x y+=，222212412x y+=，即22111122y x=-，22221122y x=-，所以222212121111212224x x x x⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221224x x +=，所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222222221122121236OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=.（2）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时，显然有2236OP OQ +=. 综上：2236OP OQ +=.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系. 20. （本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线30x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)12；(2) 22143x y +=；（3）1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =.（3）设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，由此可得112121212F MN S F F y y y y =⋅-=-△，设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立得()2234690my my ++-=，由根与系数关系代入112F MNS y y =-=△，换元令t =()12121211313F MN t S t t t t==≥-+△，可知当1t =时，14F MN S R =△有最大值3，从而求出内切圆面积的最大值与相应的直线方程即可.试题解析：（1）由题()0 A b ，，1F 为2QF 的中点.设()()12 0 0F c F c -，，，，则()3 0Q c -，， ()3 AQ c b =--，，()2 AF c b =-，，由题2AQ AF ⊥，即22230AQ AF c b ⋅=-+=，∴()22230c a c -+-=即224a c =，∴12c e a ==. （2）由题2Rt QAF △外接圆圆心为斜边2QF 的中点()1 0F c -，，半径2r c =， ∵由题2Rt QAF △外接圆与直线30x --=相切，∴d r =，即322c c --=，即34c c +=，∴1c =，22a c ==，b =C 的方程为22143x y +=.（3）设()11 M x y ，，()22 N x y ，，由题12 y y ，异号，设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，()111142F MN S MN F M F N R R =++=△， 因此要使1F MN △内切圆的面积最大，只需R 最大，此时1F MN S △也最大，112121212F MN S F F y y y y =⋅-=-△， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，（0m R ∆>∈⇒）112F MN S y y =-=△令t =1t ≥，()12121211313F MN t S t t t t==≥-+△， 当1t =时，14F MN S R =△有最大值3，此时，0m =，max 34R =， 故1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =. 考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系. 21. （本小题满分12分） 已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.【答案】(1)5[ )3+∞，；(2) 1(0 ]3，.(2)()()()323223131313123131222x x x t t t x x tx xe m m xe x x tx x e x x t +++⎛⎫-++≤-+⇔≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭，构造函数()()23132x t g x e x x t +=-+-，道m 的最大值为1，等价于()()231302x t g x e x x t +=-+-≥在区间[0 )+∞，上恒成立，由于()0130g t =-≥，则103t <≤，此时()0g x '>恒成立，即()g x 在区间[0 )+∞，上单调递增，符合题意.试题解析：（1）()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，①当01t <<时，()f x 在()0 t ，上单调递增，在() 1t ，单调递减，在()1 2，单调递增，∴()()2f t f ≥，由()()2f t f ≥，得3234t t -+≥在01t <<时无解， ②当1t =时，不合题意；③当12t <<时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 t ，递减，在() 2t ，单调递增， ∴()()1212f f t ⎧≥⎪⎨<<⎪⎩即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩，∴523t ≤<，④当2t ≥时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 2，单调递减，满足条件， 综上所述：5[ )3t ∈+∞，时，存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值. ∴()()0130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1(0 ]3，.考点：1.导数与函数的单调性、极值，最值；2.函数与不等式.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点(0 A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值.【答案】0y +-=；（2. 试题解析：（1）曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143x y +=，其轨迹为椭圆，焦点为()1 1 0F -，，()21 0F ，.经过(0 A 和()21 0F ，的直线方程为11x =0y +-=. （2）由（1）知，直线2AF的斜率为2l AF ⊥，所以l，倾斜角为30︒， 所以l的参数方程为112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). 代入椭圆C的方程中，得213360t --=. 因为 M N ，在点1F的两侧，所以1112MF NF t t -=+=. 考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线参数方程的应用. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 59 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）()1 2[ )2-∞-+∞，， 【解析】试题分析：（1）由绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数()f x 表示成分段函数的形式，作出函数()f x 的图象，数形结合可得到不等式的解集；（2）在同一坐标系内作出函数()y f x =与函数1y ax =-的图象，数形结合可求出a 的范围.（2）函数1y ax =-的图象是过点()0 1-，的直线， 当且仅当函数()y f x =与直线1y ax =-有公共点时，存在题设的x .由图象知，a 的取值范围为()12[ )2-∞-+∞，，.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示与作图；3.函数与不等式.。
【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理数试题
数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥2.若()1z i i +=，则z 等于（ ） A ．1 B ．32 C ．22 D ．123.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．34.已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9 C.7 D ．56.已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20 C.40 D ．609.已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k ≠，，若椭圆的离心率为32，则12k k +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C.32D ．3 10.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ） A ．36 B ．123 C.24 D ．18311.已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12.已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ） A ．2212316333x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．221316333x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()()2232316x y -+-= D ．()()223316x y -+-=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为 ．14.在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则A O B C ⋅的值为 ．15.已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值； （2）求ABC △的面积. 18. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由； （3）求二面角1B AC C --的余弦值. 19. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12 k k ，的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 20.（本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线330x y --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点()0 3A ，，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.2016-2017学年度高三上学期四调考试高三年级数学试卷（理科）一、选择题1-5：CCDCB 6-10:DABAA 11、12：BC二、填空题13.2 14.8 15.120 16.24y x = 三、解答题17.【答案】（1）34；（2）1574.试题解析：（1）在ABC △中，sin sin b c B C =，因为 4 6 2b c C B ===，，，所以46sin sin 2B B=，即 46sin 2sin cos B B B =，又sin 0B ≠，∴3cos 4B =. （2）由（1）知3cos 4B =，从而7sin 4B =.因此37sin sin 22sin cos 8C B B B ===，21cos cos22cos 18C B B ==-=.所以 ()()7133757sin sin sin sin cos cos sin 484816A B C B C B C B C π=--=+=+=⨯+⨯=， 所以ABC △的面积为157157462164⨯⨯⨯=. 18.证明：（1）连接1BC ，在正方形11ABB A 中，1AB BB ⊥，1B C ⊥平面1ABC ，因为1AC ⊥平面1ABC ，所以11B C AC ⊥.（2）EF ∥平面ABC ，理由如下：取BC 的中点G ，连接GE 、GA ，因为E 是1B C 的中点，所以1GE BB ∥，且112GE BB =，因为F 是 1AA 的中点，所以112AF AA =. 在正方形11ABB A 中，1111 AA BB AA BB =∥，，所以GE AF ∥，且GE AF =. ∴四边形GEFA 为平行四边形，所以EF GA ∥. 因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面， 所以EF ABC ∥平面.（3）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ⊥，由（1）可知：11AB BB C C ⊥平面，以点B 为坐标原点，分别以BA 、1BB 所在的直线为x 、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设()2 0 0A ，，，则()10 2 0B ，，. 在菱形11BB C C 中，1160BB C ∠=︒，所以()0 1 3C -，，，()10 1 3C ，，. 设平面1ACC 的一个法向量为() 1x y =n ，，. 因为100n AC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()()()() 1 2 1 30 10 2 00x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，，所以320x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即3 0 12n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，， 由（1）可知：1CB 是平面1ABC 的一个法向量.所以()1113 0 10 3 327cos 731934n CB n CB n CB ⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⋅⎝⎭<>===-⋅+⋅+，，，，，，所以二面角1B AC C --的余弦值为77. 19.【答案】（1）()()2222228x y -+-=；（2）12-；（3）36.试题解析：（1）由圆R 的方程知圆R 的半径22r =，因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以24OR r ==，即220016x y += ①又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y += ②联立①②，解得002222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以，所求圆R 的方程为()()2222228x y -+-=．（2）因为直线1:OP y k x =和2:OQ y k x =都与圆R 相切，所以10021221k x y k-=+，20022221k x y k -=+，化简得20122088y k k x -⋅=-，因为点()00R x y ，在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即 22001122y x =-，所以201220141228x k k x -==--． （3）方法一（1）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，， 由（2）知12210k k +=，所以121221y y x x =，故2222121214y y x x =，因为()11 P x y ，，()22 Q x y ，，在椭圆C 上，所以221112412x y +=，222212412x y +=， 即22111122y x =-，22221122y x =-，所以222212121111212224x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221224x x +=，所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222222221122121236OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=.方法（二）（1）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，， 联立2212412y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22211122112424 1212k x y k k ==++，，所以()2122112124112k x y k ++=+. 同理，得()2222222224112k x y k ++=+，由（2）12210k k +=，得1212k k =-.所以()()2212222222112222122412411212k k OP OQ x y x y k k +++=+++=+++()2221112221111241224136723612121122k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+- ⎪+⎢⎥⎝⎭+⎣⎦=+==++⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （2）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时，显然有2236OP OQ +=. 综上：2236OP OQ +=.20.试题解析：（1）由题()0 A b ，，1F 为2QF 的中点.设()()12 0 0F c F c -，，，，则()3 0Q c -，，()3 AQ c b =--，，()2 AF c b =-，，由题2AQ AF ⊥，即22230AQ AF c b ⋅=-+=，∴()22230c a c -+-=即224a c =，∴12c e a ==. （2）由题2Rt QAF △外接圆圆心为斜边2QF 的中点()1 0F c -，，半径2r c =， ∵由题2Rt QAF △外接圆与直线330x y --=相切，∴d r =，即322c c --=，即34c c +=，∴1c =，22a c ==，3b =，故所求的椭圆C 的方程为22143x y +=.（3）设()11 M x y ，，()22 N x y ，，由题12 y y ，异，设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，()111142F MN S MN F M F N R R =++=△， 因此要使1F MN △内切圆的面积最大，只需R 最大，此时1F MN S △也最大，112121212F MN S F F y y y y =⋅-=-△， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+， 由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，（0m R ∆>∈⇒） ()1221212122121434F MN m S y y y y y y m +=-=+-=+△， 令21t m =+，则1t ≥，()12121211313F MN t S t t t t==≥-+△， 当1t =时，14F MN S R =△有最大值3，此时，0m =，max 34R =， 故1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =. 21.解析：（1）()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，①当01t <<时，()f x 在()0 t ，上单调递增，在() 1t ，单调递减，在()1 2，单调递增， ∴()()2f t f ≥，由()()2f t f ≥，得3234t t -+≥在01t <<时无解，②当1t =时，不合题意；③当12t <<时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 t ，递减，在() 2t ，单调递增， ∴()()1212f f t ⎧≥⎪⎨<<⎪⎩即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩，∴523t ≤<，④当2t ≥时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 2，单调递减，满足条件， 综上所述：5[ )3t ∈+∞，时，存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值. （2）()32313122x t x x tx xe m +-++≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立， 即()()3223131313122x x t t m xe x x tx x e x x t ++⎛⎫≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，令()()23132x t g x e x x t +=-+-，[0 )x ∈+∞，，根据题意，可以知道m 的最大值为1，则 ()()231302x t g x e x x t +=-+-≥恒成立，由于()0130g t =-≥，则103t <≤，当103t <≤时，()()31'22x t g x e x +=-+，则()''2x g x e =-，若()''20x g x e =-=，则()'g x 在()0 ln 2，上递减，在()ln 2 +∞，上递增，则()()()max 3'ln 2212ln 202g x g t ==++->，∴()g x 在[0 )+∞，上是递增的函数.∴()()0130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1(0 ]3，.22.解：（1）曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143x y +=，其轨迹为椭圆，焦点为()1 1 0F -，，()21 0F ，. 经过()0 3A ，和()21 0F ，的直线方程为113x y +=，即330x y +-=. （2）由（1）知，直线2AF 的斜率为3-，因为2l AF ⊥，所以l 的斜率为33，倾斜角为30︒， 所以l 的参数方程为31212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). 代入椭圆C 的方程中，得213123360t t --=.因为 M N ，在点1F 的两侧，所以111212313MF NF t t -=+=. 23.解：（1）()72 334 1 3427 4x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，，，， 作函数()y f x =的图象，它与直线2y =交点的横坐标为52和92，由图象知不等式()2f x ≤的 解集为59 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.（2）函数1y ax =-的图象是过点()0 1-，的直线， 当且仅当函数()y f x =与直线1y ax =-有公共点时，存在题设的x . 由图象知，a 的取值范围为()1 2[ )2-∞-+∞，，.。
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数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合2log1Pxx，1Qxx，则PQI（ ）
A．10,2 B．1,12 C．0,1 D．11,2 2. 已知i为虚数单位，复数z满足2313i1iz，则z为（ ） A．12 B．22 C．24 D．216 3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）
A．8 B．12 C．18 D．24 4. 已知命题p：方程2210xax有两个实数根；命题q：函数4fxxx的最小值为4．给出下列命题： ①pq；②pq；③pq；④pq． 则其中真命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5. 由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为（ ）
A．103 B．4 C．163 D．6
6. 函数21cos1exfxx的图象的大致形状是（ ） A． B． C． D． 7. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）
A．1321 B．2113 C．813 D．138 8. 定义在R上的函数fx满足1fxfx，04f，则不等式ee3xxfx（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A．0, B．,03,U
C．,00,U D．3, 9. 若实数a，b，c，d满足2223ln20baacd，则22acbd的最小值为（ ） A．2 B．2 C．22 D．8
10. 已知21,01,3log,1,2xxfxxx存在210xx，使得12fxfx，则12xfxg的取值范围为（ ） A．3,24 B．3,22 C．34,43 D．2,23 11. 设函数32133fxxxx，若方程210fxtfx有12个不同的根，则实数t的取值范围为（ ） A．10,23 B．,2 C．34,215 D．1,2 12. 设曲线exfxx（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l，总存在曲线32cosgxaxx上某点处的切线2l，使得12ll，则实数a的取值范围为（ ）
A．1,2 B．3, C．21,33 D．12,33 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 设1m，变量x，y在约束条件,,1yxymxxy下，目标函数zxmy的最大值为2，则m_________． 14. 函数exymx在区间0,3上有两个零点，则m的取值范围是_________． 15. 已知函数3223fxxmxnxm在1x时有极值0，则mn_________． 16. 定义在R上的函数fx满足：2fxfxx，当0x时，fxx，则不等式112fxfxx的解集为_________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且cos2cos3cosabcABC． （1）求角A的大小； （2）若ABC的面积为3，求a的值． 18.（本小题满分12分） 函数21()ln22fxxaxx． （1）当3a时，求fx的单调区间； （2）若1,a，1,ex，有0fxb，求实数b的取值范围． 19.（本小题满分12分） 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4sin7bAa． （1）求sinB的值； （2）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求coscosAC的值． 20.（本小题满分12分） 已知函数242lnfxaxbxax（,abR）．
（1）若函数yfx存在极大值和极小值，求ba的取值范围；
（2）设m，n分别为fx的极大值和极小值，若存在实数2e1e1,2e2ebaa，使得1mn，求a的取值范围． 21.（本小题满分12分） 已知函数lnfxxx，exxgx． （1）记Fxfxgx，判断Fx在区间1,2内的零点个数并说明理由； （2）记Fx在1,2内的零点为0x，min,mxfxgx，若mxn（nR）在1,内有两个不等实根1x，2x（12xx），判断12xx与02x的大小，并给出对应的证明． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AE是圆O的切线，A是切点，ADOE于D，割线EC交圆O于B，C两点．
（1）证明：O，D，B，C四点共圆； （2）设50DBC，30ODC，求OEC的大小． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为10,xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为24sin20． （1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）将直线l向右平移h个单位，所得直线l与圆C相切，求h． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数2fxxaa，aR，21gxx． （1）若当5gx时，恒有6fx，求a的最大值； （2）若当xR时，恒有3fxgx，求a的取值范围．
试卷答案 一、选择题 1.A 2.C 3. B 4.C 5.C 6.B 7.D 8.A 9.D 10.A 11.C 12.D
11．解析：32133fxxxx，2230fxxx，3x，1x，函数在,3，1,
单调递增，且在3,1单调递减，函数的极大值为39f，函数的极小值为513f，根据函数的图象可知，设fxm，可知210mtm，原方程有12个不同的根，则210mtm方程应在50,
3
内有两个不同的根，设21hmmtm则250353402231540httt，所以取值的范围34215t．
二、填空题 13. 12m 14. 3ee,3 15. 11 16. 12x 三、解答题 17.解（1）cos2cos3cosabcABCQ， sinsinsincos2cos3cosABCABC，
即tantantan23BCA，则tan2tanBA，tan3tanCA． 又在ABC中，tantantantan1tantanBCABCBC． 则22tan3tantan16tanAAAA，解得2tan1A， tan1A或tan1A， 2sin5B，3sin10C．
在ABC中有sinsinabAB， 则2sin2105sin522BbaaaA，
则21121033sin3225510ABCaSabCaa． 得25a，所以5a． 18.（Ⅰ）增区间10,3是，减区间1,3；（Ⅱ）3,2．
试题解析：（Ⅰ）2321xxfxx（0x），10,3x时，0fx，fx单增 1,3x
时，0fx，fx单减。
（Ⅱ）首先，对于任意1,a，21ln22xaxxb恒成立，则2max1ln22bxaxx 因为函数2211ln22ln22haxaxxxaxx在1,上是减函数， 所以2112ln2hahxxx，212ln2bxxx
其次，1,xe，使不等式212ln2bxxx成立，于是2min12ln2bxxx
令212ln2gxxxx，则21120xgxxxx，所以函数gx在1,e上是增函数，于是min312gxg，故32b，即b的取值范围是3,2 19. （Ⅰ）由4sin7bAa，根据正弦定理得4sinsin7sinBAA，
所以7sin4B． …4分 （Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得 7sinsin2AC． ①
设coscosACx， ② ①2+②2，得2722cos4ACx． ③ …7分 又abc，ABC，所以090B，coscosAC， 故3coscos4ACB． …10分 代入③式得274x．
因此7coscos2AC 20.解：（Ⅰ）2224224aaxbxafxaxbxx，其中0x……………2分 由于函数yfx存在极大值和极小值，故方程0fx有两个不等的正实数根， 即22420axbxa有两个不等的正实数根记为1x，2x，显然0a…………4分
所以221212160,20,10.babxxaxx解得1ba．…………………………………………6分 （Ⅱ）由2e1e1,2e2ebaa得0a，且2e1e1,2e2eba．由（Ⅰ）知fx存在极大值和极小值． 设0fx的两根为1x，2x（120xx），则fx在10,x上递增，在12,xx上递减，在2,x上