2011年南昌中考数学试题(含答案)

江西省南昌市2011年初中毕业暨中等学校招生考试数学试题卷说明：1.本卷共有六个大题，26个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟.2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分.一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题只有一个正确选项. 1.下列各数中，最小的是（ ）.A. 0B. 1C.－1D. －22.根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报，江西省常住人口约为4456万人.这个数据可以用科学计数法表示为（ ）.A. 4.456×107人B. 4.456×106人C. 4456×104人D. 4.456×103人 3.将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图是（ ）.4.下列运算正确的是（ ）. A.a +b =ab B. a 2·a 3=a 5 C.a 2+2ab －b 2=(a －b )2 D.3a －2a =15.下列各数中是无理数的是（ ）A.400B.4C.0.4D.0.046.把点A (－2,1)向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到B ，点B 的坐标是（ ）. A.(－5,3) B.(1,3) C.(1,－3) D.(－5,－1)7.不等式8－2x ＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）.8. 已知一次函数y =x +b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是( ). A .－2 B.－1 C. 0 D. 29.已知x =1是方程x 2+bx －2=0的一个根，则方程的另一个根是( ). A .1 B.2 C.－2 D.－1 10.如图，在下列条件中，不能．．证明△ABD ≌△ACD 的是（ ）. A.BD =DC ， AB =AC B.∠ADB =∠ADC ，BD =DC C.∠B =∠C ，∠BAD =∠CAD D. ∠B =∠C ，BD =DC 11.下列函数中自变量x 的取值范围是x ＞1的是（ ）. A.11y x =- B.1y x =- C.11y x =- D.11y x=-12.时钟在正常运行时，分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°.在运行过程中，时针与分针的夹角会随着时间的变化而变化.设时针与分针的夹角为y (度)，运行时间为t (分)，当时间从12︰00开始到12︰30止，y 与 t 之间的函数图象是（ ）.30 O 180 y (度) t (分) 165 A. 30 O 180 y (度) t (分) B.30 O 180 y (度) t (分) 195 C. 30 O180 y (度)t (分) D.B.C. D. A. 第7题图甲 图乙 第3题0 2 4 6 A.0 2 4 6 B. 0 2 4 6 C. 0 2 4 6 D.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.计算：－2－1=__________.14.因式分解：x 3-x =______________. 15.如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC +∠PCA +∠PAB =__________度. 16.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，∠DAB =30°，有以下四个结论：①AF ⊥BC ②△ADG ≌△ACF ③O 为BC 的中点 ④AG ︰DE =3:4，其中正确结论的序号是 ..三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 17.先化简，再求值：2()11a a a a a+÷--，其中2 1.a =+18.解方程组：2122.x y x y y -=-⎧⎨-=-⎩，四、（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19.甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛. （1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率.（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率.20.如图，四边形ABCD 为菱形,已知A (0,4)，B (－3,0).（1）求点D 的坐标；（2）求经过点C 的反比例函数解析式.五、（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 21.有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm ，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm ，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm. 最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm ，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm ，相邻两圆的间距d 均相等.（1）直接写出其余四个圆的直径长； （2）求相邻两圆的间距.22.如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为23，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点（B ，C21 1.5 1.5 d 3A B C O x yD A C BP 第15题AD CB EO G F 第16题两点除外）. （1）求∠BAC 的度数； （2）求△ABC 面积的最大值. （参考数据：3sin 602=，3cos 302=，3tan 303=.）五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）23.图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形.当点O 到BC （或DE ）的距离大于或等于⊙O 的半径时（⊙O 是桶口所在圆，半径为OA ），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A -B -C -D -E -F ，C -D 是 C D ，其余是线段），O 是AF 的中点，桶口直径AF =34cm ，AB =FE =5cm ，∠ABC =∠FED =149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.（参考数据：314≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97.）24.以下是某省2010年教育发展情况有关数据： 全省共有各级各类学校25000所，其中小学12500所，初中2000所，高中450所，其它学校10050所；全省共有在校学生995万人，其中小学440万人，初中200万人，高中75万人，其它280万人；全省共有在职教师48万人，其中小学20万人，初中12万人，高中5万人，其它11万人.请将上述资料中的数据按下列步骤进行统计分析.（1）整理数据：请设计一个统计表，将以上数据填入表格中.（2）描述数据：下图是描述全省各级各类学校所数的扇形统计图，请将它补充完整. （3）分析数据：①分析统计表中的相关数据，小学、初中、高中三个学段的师生比，最小的是哪个学段？请直接写出.（师生比=在职教师数︰在校学生数） ②根据统计表中的相关数据，你还能从其它角度分析得出什么结论吗？（写出一个即可） ③从扇形统计图中，你得出什么结论？（写出一个即可）图丙A BCD E F O34 B C A O图甲F ED BC A O 图乙DEF 高中 1.8%AB CO 2010年全省教育发展情况统计表六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25.如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x 轴的另一个交点为A1.(1)当a=－1,b=1时，求抛物线n的解析式；(2)四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；(3)若四边形AC1A1C为矩形，请求出a,b应满足的关系式.CBAC1A1xy O26.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设∠BAC =θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB ，AC 上. 活动一：如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A 1A 2为第1根小棒. 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”) （2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1.①θ=_________度； ②若记小棒A 2n -1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1，A 3A 4=a 2，…） 求出此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）.活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1.数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ1 =_________，θ2=________， θ3=________；（用含θ的式子表示） （4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围.数学参考答案A 1A 2 AB C图乙A 3 A 41θ 2θ3θ θA 1 A 2A B C A 3 A 4A 5 A 6 a 1 a 2 a 3图甲θ一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B7．C 8．D 9. C 10. D 11. A 12. A 二、填空题（本大题共４个小题，每小题3分，共12分）13. 3- 14.()()11x x x +- 15. 90 16. ①②③④说明：第16题填了1个或2个序号的得1分，填了3个序号的得2分． 三、（本大题共2个小题，每小题各5分，共10分） 17．解：原式=2111111a aa a a a a a a ⎛⎫-÷=⨯=⎪----⎝⎭. ………………3分当21a =+时， 原式=112.22112==+-………………5分18.解：①－②,得 32yy-=-+，∴1y =.………………2分把1y =代入①得 1x =. ………………4分∴1,1.x y =⎧⎨=⎩ ………………5分四、（本大题共2个小题，每小题各6分，共12分） 19．解：（1）方法一画树状图如下：所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种.∴P （恰好选中甲、乙两位同学）=16. ………………4分方法二列表格如下：甲乙丙 丁 甲甲、乙甲、丙甲、丁乙乙、甲乙、丙乙、丁丙丙、甲 丙、乙丙、丁丁丁、甲 丁、乙丁、丙所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种． ∴P （恰好选中甲、乙两位同学）=16. ………………4分甲 乙 丙 丁 丙 甲 乙 丁 乙 甲 丙 丁 丁甲 乙 丙第一次第二次（2） P （恰好选中乙同学）=13. ………………6分 20．解：（1） ∵(0,4),(3,0)A B -， ∴3,4,O B O A == ∴5AB =.在菱形ABC D 中，5AD AB ==, ∴1OD=, ∴()0,1D -. ………………3分（2）∵BC ∥AD , 5BC AB ==，∴()3,5C --.设经过点C 的反比例函数解析式为k yx=.把()3,5--代入k yx=中，得：53k -=-， ∴15k =，∴15yx=. …………6分五、（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）21．解：（1）其余四个圆的直径依次为：2.8cm, 2.6cm, 2.4cm, 2.2cm. ………………2分 （2）依题意得，4 1.5 1.53 2.8 2.6 2.4 2.221d +++++++=， ………………5分 ∴41621d+=， ∴54d =. ………………6分答：相邻两圆的间距为54cm. ………………7分22．解：(1) 解法一连接OB ，OC ，过O 作OE ⊥BC 于点E .∵OE ⊥BC ，BC =23，∴3BE EC ==. ………………1分 在Rt △OBE 中，OB =2，∵3sin 2B E B O E O B∠==，∴60B O E ∠=, ∴120B O C∠=，∴1602BACBOC ∠=∠=. ………………4分解法二连接BO 并延长，交⊙O 于点D ，连接CD .∵BD 是直径，∴BD =4，90D C B ∠= . 在Rt △DBC 中，233sin 42BC BD CBD∠===,∴60B D C ∠= ，∴60B A C B D C ∠=∠= .………………4分(2) 解法一因为△ABC 的边BC 的长不变，所以当BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点A 落在优弧BC 的中点处. ………………5分过O 作OE ⊥BC 于E ，延长EO 交⊙O 于点A ，则A 为优弧BC 的中点.连接AB ，AC ，则AB =AC ，1302BAEBAC ∠=∠=.在Rt △ABE 中，∵3,30BE BAE =∠=，∴33tan 3033BE AE ===，∴S △ABC =1233332⨯⨯=.答：△ABC 面积的最大值是33. ………………7分 解法二因为△ABC 的边BC 的长不变，所以当BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点A 落在优弧BC 的中点处. ………………5分ABCOEABCODABC OE过O 作OE ⊥BC 于E ，延长EO 交⊙O 于点A ，则A 为优弧BC 的中点.连接AB ，AC ，则AB =AC .∵60B A C ∠= , ∴△ABC 是等边三角形. 在Rt △ABE 中，∵3,30BE BAE =∠= ， ∴33tan 3033BE AE ===，∴S △ABC =1233332⨯⨯=.答：△ABC 面积的最大值是33. ………………7分六、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）. 23．解法一连接OB ，过点O 作OG ⊥BC 于点G . ………………1分 在Rt △ABO 中，AB =5，AO =17，∴ ta n ∠ABO =17 3.45AO AB==，∴∠ABO =73.6°，………………3分∴∠GBO =∠ABC －∠ABO =149°－73.6°=75.4°. ………………4分 又 ∵2251731417.72OB =+=≈， ………………5分 ∴在Rt △OBG 中，sin 17.720.9717.1917O G O B O BG =⨯∠=⨯≈>. ……………7分 ∴水桶提手合格. ……………8分 解法二：连接OB ，过点O 作OG ⊥BC 于点G . ……………1分在Rt △ABO 中，AB =5，AO =17，∴ ta n ∠ABO =17 3.45AO AB==，∴∠ABO =73.6°. ………………3分 要使OG ≥OA ，只需∠OBC ≥∠ABO ， ∵∠OBC =∠ABC －∠ABO =149°－73.6°=75.4°＞73.6°，……7分∴水桶提手合格. ………………8分学校所数 （所） 在校学生数 （万人） 教师数 （万人）小学 12500 440 20初中200020012图丙AB C DEF O 34 G24．解：（1）2010年全省教育发展情况统计表（说明：“合计”栏不列出来不扣分） ……………3分（2）……………5分（3）①小学师生比=1︰22，初中师生比≈1︰16.7， 高中师生比=1︰15，∴小学学段的师生比最小. ………6分②如：小学在校学生数最多等. ………7分 ③如：高中学校所数偏少等. ………8分说明：（1）第①题若不求出各学段师生比不扣分；（2）第②、③题叙述合理即给分. 七、（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）25．解：（1）当1,1a b =-=时，抛物线m 的解析式为：21y x =-+.令0x =，得：1y =. ∴C （0,1）.令0y =，得：1x =±. ∴A （-1,0），B （1,0）∵C 与C 1关于点B 中心对称，∴抛物线n 的解析式为：()222143yx x x =--=-+ ………4分（2）四边形AC 1A 1C 是平行四边形. ………5分 理由：∵C 与C 1、A 与A 1都关于点B 中心对称， ∴11,AB BA BC BC ==,∴四边形AC 1A 1C 是平行四边形. ………8分（3）令0x =，得：y b =. ∴C （0,b ）.令0y=，得：20ax b +=, ∴b xa=±-,∴(,0),(,0)b b A B aa---, ………9分∴2222,b b ABBC O C O B b aa=-=+=-.要使平行四边形AC 1A 1C 是矩形，必须满足AB BC=,高中 450 75 5 其它 10050 280 11 合计 25000 995 48 高中 1.8%全省各级各类学校所数扇形统计图 小学 50% 其它 40.2% 初中 8%∴22b b b aa-=-， ∴24b b b a a⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，∴3ab =-.∴,a b 应满足关系式3ab =-. ………10分26.解: （１）能． ………………1分 （２）① 22.5°. ………………2分 ②方法一∵A A 1=A 1A 2=A 2A 3=1，A 1A 2⊥A 2A 3， ∴A 1A 3=2，AA 3=12+.又∵A 2A 3⊥A 3A 4 ，∴A 1A 2∥A 3A 4.同理：A 3A 4∥A 5A 6，∴∠A =∠AA 2A 1=∠AA 4A 3=∠AA 6A 5， ∴AA 3=A 3A 4，AA 5=A 5A 6∴a 2=A 3A 4=AA 3=12+， ………………3分 a 3=AA 3+ A 3A 5=a 2+ A 3A 5.∵A 3A 5=2a 2，∴a 3=A 5A 6=AA 5=()222221a a +=+. ………………4分 方法二 ∵A A 1=A 1A 2=A 2A 3=1，A 1A 2⊥A 2A 3，∴A 1A 3=2，AA 3=12+.又∵A 2A 3⊥A 3A 4 ，∴A 1A 2∥A 3A 4.同理：A 3A 4∥A 5A 6.∴∠A 2A 3A 4=∠A 4A 5A 6=90°，∠A 2A 4A 3=∠A 4 A 6A 5，∴△A 2A 3A 4∽△A 4A 5A 6， ∴2231a a a =，∴a 3=222(21)1a =+. ………………4分()121n n a -=+ ………………5分（３）12θθ= ………………6分23θθ= ………………7分34θθ= ………………8分（４）由题意得:490,590,θθ⎧<⎪⎨≥⎪⎩∴1822.5θ≤<. ………………10分。