北京市朝阳区2015届高三保温练习(一)数学理试题
2015年高三二模数学（理）北京市朝阳区试题Word版带解析.doc
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2015．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知集合{}21A x x =>，集合{}(2)0B x x x =-<，则AB =A ．{}12x x << B. {}2x x > C ． {}02x x << D ． {1x x ≤，或}2x ≥ 【答案】A【解析】由不等式21x >得1x <-或1x >，即{1A x =<-或}1x >;由不等式(2)0x x -<得02x <<，即{}02B x x =<<，所以{}12A B x x =<<，故选A【考点】 集合运算;一元二次不等式 【难度】 22. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值是A ．7B ．10C ．66D ．166【答案】B【解析】初始值：S ＝1，n ＝1第一次循环：4n =，21417S =+= 第二次循环：7n =，217766S =+=第三次循环：10n =，26610166100S =+=>，输出10n =，故选B 【考点】算法与程序框图 【难度】 23. 设i 为虚数单位，m R ∈，“复数(1)+i m m -是纯虚数”是“1m ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】“复数(1)+i m m -是纯虚数”等价于(1)0m m -=，所以0m =或1m =;所以“复数(1)+i m m -是纯虚数”是“1m”的必要不充分条件，故选B【考点】 充分条件与必要条件 【难度】 24.已知平面上三点,,A B C 满足=6AB ，=8AC ，=10BC ，则++AB BC BC CA CA ABA. 48B. 48C.100D. 100 【答案】D【解析】因为=6AB ，=8AC ，=10BC ，所以AB AC ⊥，以A 为原点，AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立坐标系，则有(6,0)AB =，(0,8)AC =，所以(6,8)BC =- ，(0,8)CA =-， 所以++(6,0)(6,8)(6,8)(0,8)(0,8)(6,0)AB BC BC CA CA AB 36640100故选D【考点】 平面向量运算 【难度】 25.已知函数()2sin()25f x x ππ=+.若对任意的实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值是 A. 2 B.4 C. π D. 2π 【答案】A【解析】依题意1()f x 是函数的最小值，2()f x 是函数的最大值，所以12x x -的最小值为半个周期2，故选A 【考点】 三角函数的图象与性质 【难度】 26.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若52PF =，则双曲线的渐近线方程为 A. 12y x =±B. 2y x =±C. y =D.y = 【答案】C【解析】由抛物线方程可知(,)F 10，因为52PF =，所以P 点横坐标为53122-=，所以纵坐标为 因为点P 为交点，且有公共焦点，所以222296141a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得221434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以渐近线方程为by x a=±=，故选C 【考点】 双曲线;抛物线 【难度】 37.已知函数e e()2xxf x ，x R ，若对任意π(0,]2，都有(sin )(1)0f m f m 成立，则实数m 的取值范围是A. 0,1B. 0,2C. ,1D. ,1【答案】D【解析】因为ee e e ()()22xx xxf x f x ，所以()f x 为奇函数;又因为1'()(e e )02x x f x ，所以()f x 为增函数，由(sin )(1)0f m f m 得(sin )(1)(1)f m f m f m所以sin 1m m 对于π(0,]2恒成立，即11sinm 恒成立， 因为π(0,]2，所以sin 0,1，所以1110m，故选D 【考点】 函数的性质 【难度】 48. 如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD 折叠，使得点B 始终落在边AD 上，则折起的部分的面积最小值为A. 14B. 38 C. 25 D. 12【答案】B【解析】如图，设折痕为ME ，过E 作EF AB⊥于F ，连接'BB 交ME 于N ，根据对称性可知'BB M E ⊥，且1'2BN BB =，所以'AB B NMB ∆∆∽，所以'BN BMAB BB =，即'BNBM BB AB= 设'AB x =，则'BB ，BN 21(1)2BM x =+又因为EF AB ⊥，所以'M EF B BA ∠=∠，而EF AB =，所以'M EF B BA ∆∆≌，所以'MF B A x == 所以21(1)2BF BM MF x x =-=+-，即21(1)2EC x x =+-所以折起部分的面积22211(1)(1)122(1)222x x xBM EC S BC x x +++-+=⨯==-+ 因为01x ≤≤，所以当12x =时min 38S =，故选D 【考点】 函数的应用 【难度】 4ACBB 1(B )D C 1(C )NM F E C'B'D A CB第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 41(1)3x展开式中含3x 项的系数是 . 【答案】427【解析】二项展开式通项为114411()()33r r rr r r T C x C x --+=-=-令3r =得3x 项的系数是33414()327C -=-【考点】 二项式定理及性质 【难度】 210.已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，且和两条直线0x y +=和120x y +-=都相切，则圆C 的标准方程是 .【答案】()223(3)18x y -+-=【解析】 设圆心(,)C a b ，因为圆心在直线0x y -=上，所以a b =，即(,)C a a因为和两条直线0x y +=和120x y +-==，解得3a =所以半径为r ==所以圆的标准方程为()223(3)18x y -+-=【考点】 直线与圆的位置关系;圆的标准方程 【难度】 211. 如图，已知圆B 的半径为5，AMN 与ADC 为圆B 的两条割线，且割线AMN 过圆心B .若2AM，60CBD ，则AD = .【答案】3 【解析】因为60CBD，所以5CD =，由割线定理AD AC AM AN ⋅=⋅，即(5)21224AD AD ⋅+=⨯=所以25240AD AD +-=，解得3AD = 【考点】 割线定理 【难度】 212.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为______.A正视图侧视图俯视图【答案】239【解析】四棱锥的直观图如图所示，底面ABCD 为边长为1的菱形，高PO 为3，顶点P 在底面的射影O 为菱形中心，过O 作OE BC ⊥于E ，则32OE =，所以斜高392PE =，所以侧面积为1139424239222BC PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=【考点】 几何体的三视图与直观图 【难度】 313.已知点11(,1)A a ，22(,2)A a ，…，(,)n n A a n （N *n ∈）都在函数13log y x =的图象上.则数列{}n a 的通项公式为_________；设O 为坐标原点，点(,0)n n M a （N *n ∈），则11OA M ∆，22OA M ∆，…，n n OA M ∆中，面积的最大值是_________. 【答案】13nna ;16. 【解析】因为点(,)n a n 在函数13log y x =的图象上，所以13log n n a =，即1()3n n a =;设n n OA M ∆的面积111()223n n n S na n ==，则1111()(1)23n n S n ++=+所以111111()(1)()2323n n n n S S n n ++-=+-1112()233n n-=因为N *n ∈所以10n n S S +-<， 所以当1n =时n S 最大，为16【考点】 等比数列;数列综合运用 【难度】 3 14．设集合123(,,)2,0,2,1,2,3iA m m m m i ，集合A 中所有元素的个数为 ;集合A 中满足条件“12325m m m ”的元素个数为 .【答案】27;18【解析】集合A 中所有元素的个数为11133327C C C =个;因为0i m =或2，所以1m ，2m ，3m 三个数字中只有两种情况（1）一个０，两个2，此时123(,,)m m m 有11132212C C C =种（2）两个０，一个2，此时123(,,)m m m 有11326C C =种共有1８种元素 【考点】 排列组合 【难度】 4三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在梯形ABCD 中，AB CD ，2CD ，120ADC ，57cos 14CAD. （Ⅰ）求AC 的长; （Ⅱ）求梯形ABCD 的高. 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）在ACD 中，因为57cos 14CAD，所以21sin 14CAD ， 由正弦定理得，sin sin AC CDADC CAD，即32sin 227sin 21CD ADC ACCAD. ……………………………………6分（Ⅱ）在ACD 中，由余弦定理得，22422cos120AC AD AD =+-⨯⨯，整理得22240AD AD +-=，解得4AD =(舍负). 过点D 作D E AB ⊥于E ，则DE 为梯形ABCD 的高. 因为AB CD ，120ADC ，所以60BAD .在直角ADE 中，sin 6023DEAD .即梯形ABCD 的高为【考点】 解斜三角形【难度】 316．（本小题满分13分）某学科测试中要求考生从,,A B C 三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试.选择,,A B C 三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答卷中抽出若干份答卷，其中从选择A 题的答卷中抽出了3份，则应分别从选择,B C 题的答卷中抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，,,A B C 三题答卷得优的份数都是2.从被抽出的,,A B C 三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷恰有1份得优的概率;（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B 题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X ，求X 的分布列及其数学期望EX ． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由题意可得：应分别从,B C 题的答卷中抽取5份，2份.（Ⅱ）记事件M ：被抽取的,,A B C 三种答卷中分别再各任取1份，这3份答卷恰有1份得优，可知只能C 题答卷为优. 依题意131()1355P M =⨯⨯=． （Ⅲ）由题意可知，B 题答卷得优的概率是13．显然被抽取的B 题的答卷中得优的份数X 的可能取值为0,1,2,3,4,5，且X1(5,)3B ．00551232(0)()()33243P X C ===;11451280(1)()()33243P X C ===;22351280(2)()()33243P X C ===;33251240(3)()()33243P X C ===;44151210(4)()()33243P X C ===;5505121(5)()()33243P X C ===．随机变量X 的分布列为所以0123452432432432432432433EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【考点】 古典概率;随机变量的分布列与期望 【难度】 317．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=︒，112AD DC AB ===．直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面ABEF ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：FA BC ⊥;（Ⅱ）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值;（Ⅲ）设H 为BD 的中点，M ，N 分别为线段,FD AD 上的点（都不与点D 重合）.若直线FD平面MNH ，求MH 的长.【答案】见解析【解析】 证明：（Ⅰ）由已知得90FAB ∠=︒，所以FA AB ⊥，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF平面ABCD AB =，所以FA ⊥平面ABCD ， 由于BC ⊂平面ABCD ， 所以FA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知FA ⊥平面ABCD ，所以,FA AB FA AD ⊥⊥， 由已知DA AB ⊥，所以,,AD AB AF两两垂直．以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）． 因为112AD DC AB ===， 则(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1)B C D E ，ADHCBEFMN ADH CBEN M所以(1,1,0),(0,1,1)BC BE =-=-， 设平面BCE 的一个法向量为()x,y,z n =．所以0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x y y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)n =．设直线BD 和平面BCE 所成角为θ， 因为(1,2,0)BD =-，所以1sin cos ,3BD BD BDθ⋅=〈〉===⋅n n n . 所以直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值为15． (Ⅲ)在A 为原点的空间直角坐标系Axyz 中，(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，H 1(,1,0)2.设01DMk k DF， 即DMkDF .,0,DMk k ，则(1,0,)M k k ，1(,1,)2MHkk ，(1,0,1)FD .若FD平面MNH ，则FDMH .即0FD MH .102kk ，解得14k. 则11(,1,)44MH，324MH . 【考点】立体几何综合 【难度】 318．（本小题满分13分）已知点M 为椭圆22:3412C x y +=的右顶点，点,A B 是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），满足直线MA 与直线MB 斜率之积为14．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及焦点坐标;（Ⅱ）试判断直线AB 是否过定点？若是，求出定点坐标;若否，说明理由． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2a =，b 1c =． 故离心率为12，焦点坐标为(1,0),(1,0)-．（Ⅱ）由题意，直线AB 斜率存在.可设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11y kx m =+，22y kx m =+．由22,3412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 判别式2222=644(34)(412)k m k m =2248(43)0k m .所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，因为直线MA 与直线MB 斜率之积为14， 所以12121224y y x x ⋅=--， 所以12124()()(2)(2)kx m kx m x x ++=--．化简得221212(41)(42)()440k x x km x x m -++++-=， 所以22222412(8)(41)(42)4403434m km k km m k k---+++-=++， 化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-.当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-． 4m k =代入判别式大于零中，解得1122k. 当2m k =-时，直线AB 方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意舍去． 故直线AB 过定点(4,0)-． 【考点】 圆锥曲线综合 【难度】 419.（本小题满分14分）已知函数2()()e xf x x a =-，a ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）若在区间1,2上存在不相等的实数,m n ，使()()f m f n 成立，求a 的取值范围;（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，求证：212()()4e f x f x -<.【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）当0a =时，2()e x f x x =，2()e (2)x f x x x '=+．由2e (2)0x x x +=，解得0x =，2x =-.当(,2)x ∈-∞-时，f '(x)＞0，f (x)单调递增;当(2,0)x ∈-时，f '(x)＜0，f (x)单调递减;当(0,)x ∈+∞时，f '(x)＞0，f (x)单调递增．所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(0,)+∞，单调减区间为(2,0)-（Ⅱ）依题意即求使函数2()e ()x f x x a =-在1,2上不为单调函数的a 的取值范围.2()e (2)x f x x x a '=+-.设2()2g x x x a =+-，则(1)3g a ，(2)8g a .因为函数()g x 在1,2上为增函数， 当(1)30(2)80g a g a ，即当38a 时，函数()g x 在1,2上有且只有一个零点，设为0x .当0(1,)x x 时，()0g x <，即()0f x ，()f x 为减函数; 当0(,2)x x 时，()0g x >，即()0f x ，()f x 为增函数，满足在1,2上不为单调函数. 当3a 时，(1)0g ，(2)0g ，所以在1,2上()g x 0成立（因()g x 在1,2上为增函数），所以在1,2上()0f x '>成立，即()f x 在1,2上为增函数，不合题意.同理8a时，可判断()f x 在1,2上为减函数，不合题意. 综上38a. (Ⅲ) 2()e (2)x f x x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的极值点，即()f x 有两个不同的零点，即方程220x x a 的判别式440a ∆=+>，解得1a >-.由220x x a +-=，解得1211x x =-=-此时122x x +=-，12x x a =-.随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1x 是函数()f x 的极大值点，2x 是函数()f x 的极小值点.所以1()f x 为极大值，2()f x 为极小值．所以12221212()()e ()e ()x x f x f x x a x a =-⨯-12222221212=e [()]x x x x a x x a +-++{}122222121212=e [()2]x x x x a x x x x a +-+-+222=e [(42]a a a a --++）2=4e .a --因为1a >-，所以224e 4e a ---<．所以212()()4e f x f x -<．【考点】 导数的综合应用【难度】 420.（本小题满分13分）已知数列n n a a a A ,,,:21 2,n n N 是正整数n ,,3,2,1 的一个全排列.若对每个{}2,3,,∈k n ，都有12--=k k a a 或3，则称n A 为H 数列．（Ⅰ）写出满足55=a 的所有H 数列5A ;（Ⅱ）写出一个满足)403,,2,1(55 ==k k a k 的H 数列2015A 的通项公式;（Ⅲ）在H 数列2015A 中，记5(1,2,,403)k k b a k ==.若数列{}k b 是公差为d 的等差数列，求证：5d =或5-． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5;与2，4，1，3，5．…… 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知数列5A ：2，4，1，3，5满足55=a ，把其各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为65||2a a -=，所得数列10A 显然满足12--=k k a a 或3，{}2,3,,10k ∈，即得H 数列10A ：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中10,5105==a a ．如此下去，即可得一个满足)403,,2,1(55 ==k k a k 的H 数列2015A 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=--=+-=+=kn n k n n k n n k n n k n n a n 5,15,125,235,245,1，（其中)403,,3,2,1 =k （写出此通项也可以：2,541,531,522,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧-=-⎪⎪=+=-⎨-=-⎪=⎪⎩（其中)403,,3,2,1 =k ） （Ⅲ）不妨设0d >．(1)若6d ≥，则20154031402140262413a b b d ==+≥+⨯=，与20152015≤a 矛盾．(2)若14d ≤≤．（i ）若1001≤b ，则1(1)10040241708k b b k d =+-≤+⨯=，403.,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设052015l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈. 于是000000555515(1)5||||||312.l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|2015|12l a -≤，可得2003005≥=l l a b ，与17080≤l b 矛盾． （ii ）若1011≥b ，则1011≥≥b b k ，403,,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设051l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈． 于是000000555515(1)5||||||312l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|1|12l a -≤，可得13005≤=l l a b ，与1010≥l b 矛盾．因为d 为整数，所以综上可得5d =. 由（Ⅱ）可知存在使55k k b a k ==（其中403,,2,1⋅⋅⋅=k ）的H 数列2015A ． 把上述H 数列2015A 倒序排列，即有5d =-． 所以5d =或5-.【考点】 数列综合【难度】 5。
北京理工大学附属中学2015届高三第一次月考数学理试题 Word版含答案
北京市理工附属中学2014-2015学年高三第一次月考 数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）已知集合{}{}4,3,2,4==B A , 且)()(B A C B A ⋃⊆⊆⋂, 则集合C 的个数是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）52. 使得函数为增函数的区间为 （ ）A. B. C. D.3.已知)2,23(,125)tan(ππααπ∈=-，则=+)2cos(πα（A ）135 （B ）135- （C ）1312-（D ）1312 [来源:学科网ZXXK]4. 一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 5. 下列关系式中正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．6. 已知向量a 、b 不共线，c abR),dab,如果cd ，那么（ ） A ．且c 与d 同向 B ．且c 与d 反向 C ．且c 与d 同向 D ．且c 与d 反向7. 已知是偶函数，当时，；若当时，恒成立，则的最小值为（ ）A、1B、C、D、8. 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，则的值为（）Ａ.Ｂ. Ｃ. Ｄ.9. 函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于10. 已知是方程的两根，且，则的值为（）A. B. C. 或 D. 或11. 若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝（A）(B)3 (C) (D)412. 给出下列命题：①在其定义域上是增函数；②函数的最小正周期是；③在内是增函数，则p是q的充分非必要条件；④函数的奇偶性不能确定。
北京市朝阳区2015届高三4月第一次综合练习数学(文科试题)
市某某区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类）2015．4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集{,,,}U a b c d =，集合{,},{,}A a b B b c ==，则()UA B 等于A ．{}bB ．{}dC ．{,,}a c dD ．{,,}a b c（2）已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则A ．:p ⌝x ∀∈R ，sin 1x ≥B ．:p ⌝x ∀∈R ,sin 1x >C ．:p ⌝0x ∃∈R ,0sin 1x ≥D ．:p ⌝0x ∃∈R ，0sin 1x >（3）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p 的值为AB ．2C ．4 D．（4）如图所示的程序框图表示的算法功能是A ．计算123456S =⨯⨯⨯⨯⨯的值B ．计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值C ．计算1234S =⨯⨯⨯的值D ．计算1357S =⨯⨯⨯的值 （5）已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331()log 3x x =，则A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<第（4）题图（6）函数ππ()2sin()cos()66f x x x =--图象的一条对称轴方程是A ．π6x = B.π3x = C.5π12x = D.2π3x =（7）已知实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．若3z x y =+的最大值为5，则z 的最小值为A ．52B ．1C ．0D ．1- （8）已知边长为3的正方形ABCD 与正方形CDEF 所在的平面互相垂直，M 为线段CD 上的动点（不含端点），过M 作//MH DE 交CE 于H ，作//MG AD 交BD 于G ，连结GH ．设CM x =(03)x <<，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C GHM -的体积y 与变量x 变化关系的是ABC D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）i 为虚数单位，计算1i1i+-=． （10）已知平面向量a ，b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为60︒，则()⋅+=a a b ．（11）圆22:(2)(2)8C x y -+-=与y 轴相交于,A B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为．（12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积是．（13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%） （2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）. 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前．．．)为元． （14）记12x x -为区间12[,]x x 的长度．已知函数2xy =，x ∈[]2,a -(0a ≥)，其值域为[],m n ，则区间[],m n 的长度的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，π3A =，cos 3B =，6BC =． （Ⅰ）求AC 的长；（Ⅱ）求ABC ∆的面积．第（12）题图正视图 侧视图俯视图（16）（本小题满分13分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）： （Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水 平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校 随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中， 甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．（17）（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面11A ACC ； （Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面D BC 1； （Ⅲ）设M 为线段1BC上任意一点，在D BC 1内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ，并说明理由．（18）（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a =，1n n a S +=，n *∈N .（Ⅰ）写出2a ，3a ，4a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{}n b 中，有22b a =， 33b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．（19）（本小题满分14分）ABCDA 1B 1C 1已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，过焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程． （20）（本小题满分13分）已知函数()()e xaf x x x=+，a ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()f x 在(0,)+∞上为增函数；（Ⅲ）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值X 围．市某某区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类）201一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分） （Ⅰ）因为cos B =，(0,)B ∈π，又22sin cos 1B B +=，所以sin 3B =. 由正弦定理得，sin sin AC BCB A=. =. 所以4AC=. ………6分 （Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin(60)C B =+sin cos60cos sin 60B B =+ 1sin 2B B =+=1+2323⨯ =6. 所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=1462⨯⨯⨯=……13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高．………4分 （Ⅱ）设事件M ：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩．由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为12,A A ；乙校成绩不低于90分的同学有5人，从小到大依次记为12345,,,,B B B B B ． 其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能． 所以42()105P M ==． 即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25.………13分 （17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以11,CC BC CC AC ,BC AC C .所以1CC 底面ABC ． 因为BD底面ABC ，所以1CC BD ．由已知可得，底面ABC 为正三角形． 因为D 是AC 中点，所以BD AC ．因为1ACCC C ，所以BD平面11ACC A ． ……… 5分（Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点．因为D 是AC 中点，所以1//AB OD ． 又因为OD平面1BC D ，1AB 平面1BC D ， ABC DA 1B 1C 1O所以直线1//AB 平面1BC D ． ………10分（Ⅲ）在D BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE ⊥DM ．此时点E 是在线段1C D 上. 证明如下：过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ， 由（Ⅰ）可知BD 平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ，所以BDCE ．又1CE C D ⊥，1BDC DD ，所以CE平面D BC 1．又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ． ……… 14分（18）（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为14a =，1n n a S +=，所以2114a S a ===，3212448a S a a ==+=+=，4312344816a S a a a ==++=++=． ………3分（Ⅱ）当2n ≥时，11222n n nn n n a S S +-=-=-=．又当1n =时，114a S ==． 所以4,1,2, 2.n nn a n =⎧=⎨≥⎩………6分 （Ⅲ）依题意，224b a ==，338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得，10b =，4d =,则4(1)n b n =-.所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩ 所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N .因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，C 1AB CDA 1B 1ME所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯. 所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯-.所以316(2)2n n T n +=+-⨯.………13分（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =. 故椭圆的方程为22162x y +=． ………5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k +=+．因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=0k．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k+-=+．解得k =±．故直线l 的方程为2)y x =-．………14分（20）（本小题满分13分）解：函数()f x 定义域为{0}x x ≠，322()e xx x ax a f x x++-'=. （Ⅰ）当0a =时，()e x f x x =⋅，()f x '=(1)e xx +.所以(1)e,(1)2e f f '==.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-， 即2e e =0x y --. ………3分（Ⅱ）当1a =-时，()f x '=3221e xx x x x +-+. 设()g x =321x x x +-+，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+.令()(31)(1)0g x x x '=-+>得，13x >或1x <-，注意到0x >，所以13x >. 令()(31)(1)0g x x x '=-+<得，注意到0x >，得103x <<.所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数，在1(,)3+∞上是增函数.所以函数()g x 在13x =时取得最小值，且122()0327g =>.所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零.于是，当(0,)x ∈+∞，()f x '=3221e 0xx x x x+-+>恒成立. 所以当1a =-时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数. ………7分教育11 / 11 （Ⅱ）问另一方法提示：当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+. 由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立，即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数. （Ⅲ）（Ⅱ）322()e ()xx x ax a f x x ++-'=. 设()h x =32x x ax a ++-，2()32h x x x a '=++. (1) 当0a >时，()0h x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数.而(0)0h a =-<，(1)20h =>，则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ，使0()0f x '=,且在0(0,)x 上，()0f x ，在0,1x 上，()0f x ，故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点;（2）当0a =时，当x ()0,1时，2()320h x x x '=+>成立，函数()h x 在区间()0,1上为增函数，又此时(0)0h =，所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立，即()0f x ， 故函数()f x 在区间()0,1为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值；（3）当0a <时，()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-.当()0,1x ∈时，总有()0h x >成立，即()0f x '>成立，故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值.综上所述0a >.………13分。
2015年高三一模数学(文)北京市朝阳区试题Word版带解析
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类）2015．4一、选择题：（1）已知全集{,,,}U a b c d =，集合{,},{,}A a b B b c ==，则()UA B 等于（ ）A ．{}bB ．{}dC ．{,,}a c dD ．{,,}a b c【难度】1【考点】集合的运算 【答案】B 【解析】 由题意得：{},,A B a b c =，所以{}()U A B d =故选B（2）已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A ．:p ⌝x ∀∈R ，sin 1x ≥B ．:p ⌝x ∀∈R , sin 1x >C ．:p ⌝0x ∃∈R , 0sin 1x ≥D ．:p ⌝ 0x ∃∈R ，0sin 1x > 【难度】1【考点】全称量词与存在性量词 【答案】D 【解析】全称命题的否定是存在性命题，所以命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤的否定为：:p ⌝ 0x ∃∈R ，0sin 1x >故选D（3）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A B ．2 C ．4 D ．【难度】1 【考点】抛物线 【答案】C 【解析】由题意得：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(,0)2p双曲线222x y -=的右焦点为(2,0) 所以，4p = 故选C（4）如图所示的程序框图表示的算法功能是（ ）A ．计算123456S =⨯⨯⨯⨯⨯的值B ．计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值C ．计算1234S =⨯⨯⨯的值D ．计算1357S =⨯⨯⨯的值 【难度】2【考点】算法和程序框图 【答案】B 【解析】程序执行过程如下：1,2S t ==，符合条件100S ≤，进入循环体； 122,3S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 236,4S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 6424,5S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 245120,6S t =⨯==，不符合条件100S ≤，跳出循环体；输出120S =；所以该程序是计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值， 故选B （5）已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331()log 3x x =，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x << 【难度】2【考点】零点与方程 【答案】A 【解析】 分别作出13log y x =，2x y =，1()3x y =，3log y x =的图象有图可知：110x -<<，201x <<，312x << 所以，123x x x << 故选A（6）函数ππ()2sin()cos()66f x x x =--图象的一条对称轴方程是（ ）A ．π6x =B. π3x =C. 5π12x =D. 2π3x = 【难度】2【考点】三角函数的图像与性质 【答案】C 【解析】把选项依次代入函数ππ()2sin()cos()66f x x x=--只有C选项得到的值为1故选C（7）已知实数x，y满足20,20,0,x yx yy t+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t>．若3z x y=+的最大值为5，则z的最小值为（）A．52B．1C．0D．1-【难度】2【考点】线性规划【答案】D【解析】作出可行域如下图：由题意可知当z取最大值时，目标函数为：35y x=-+联立235y xy x=⎧⎨=-+⎩得：(1,2)；所以2t=联立22y xy=-⎧⎨=⎩得：(1,2)-，代入目标函数可求得：min1z=-故选D（8）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作//MH DE交CE于H，作//MG AD交BD于G，连结GH．设CM x=(03)x<<，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C GHM-的体积y与变量x变化关系的是（）【难度】3 【考点】函数综合 【答案】A【解析】如图所示：由题意得：CM MH x ==,3DM GM x ==-;11(3)22GMH S GM MH x x ∆=⋅=-231111(3)(3)3326C MGH GMH V S CM x x x x x -∆=⋅=⋅-⋅=-1()(2)2V x x x '=-，所以x(0,2) 2 (2,3)3()f x '+-()f x(0)0f =单增单减(3)0f =故选A 二、填空题：（9）i 为虚数单位，计算1i1i+-= ． 【难度】1【考点】复数综合运算 【答案】i【解析】1i (1i)(1+i)21i (1i)(1+i)2ii ++===-- 故答案为i（10）已知平面向量a ，b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为60︒，则()⋅+=a a b ． 【难度】1【考点】数量积的应用 【答案】32【解析】2()cos ,a a b a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅⋅<>1311122=+⨯⨯= 故答案为32（11）圆22:(2)(2)8C x y -+-=与y 轴相交于,A B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为 ． 【难度】2【考点】直线与圆的位置关系 【答案】90 【解析】由题意得：令0y =，解得：0x =或4x =即(0,0)A ，(4,0)B ，4AB =，又CA CB ==所以，ABC ∆为等腰直角三角形，其中90BCA ∠= 故答案为90（12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是 ．【难度】2【考点】空间几何体的三视图与直观图【答案】36；74【解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，直观图如下：其中底面是边长为1的正方形，高为32 PH=其体积为13311326V=⨯⨯⨯=;由直观图可知，四个侧面分别为：,,,PAB PBC PCD PDA∆∆∆∆这四个三角形均可看成以P为顶点的三角形，显然，PBC∆的高PE是四个三角形最长的高，所以2113711222PBCS BC PE∆⎛⎫==⨯+=⎪⎪⎝⎭37（13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%） （2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）. 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前．．．)为 元． 【难度】3 【考点】函数综合 【答案】2800 【解析】由题意得：设此人应得稿费(扣税前．．．)为x 元 先假设此人一份书稿稿费(扣税前．．．)符合条件（1），即4000x ≤ 则：280(800)20%(130%)x =-⨯⨯-， 解得：28004000x =≤，符合条件（1）再假设此人一份书稿稿费(扣税前．．．)符合条件（2），即4000x > 则：280(120%)20%(130%)x =⋅-⨯⨯-， 解得：25004000x =≤，不符合条件（2） 故答案为2800（14）记12x x -为区间12[,]x x 的长度．已知函数2xy =，x ∈[]2,a -(0a ≥)，其值域为[],m n ，则区间[],m n 的长度的最小值是 ． 【难度】3【考点】函数的定义域与值域 【答案】3 【解析】由题意得，函数2xy =的图像如图所示：当01a ≤≤时，函数2xy =的值域为[1,4]，此时[],m n 的长度为3；当1a >时，函数2xy =的值域为[1,()]f a ，此时[],m n 的长度大于3；故答案为3 三、解答题：（15）在ABC ∆中，π3A =，6cos 3B =，6BC =． （Ⅰ）求AC 的长； （Ⅱ）求ABC ∆的面积． 【难度】3【考点】解斜三角形 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）因为6cos 3B =，(0,)B ∈π，又22sin cos 1B B +=， 所以3sin 3B =.由正弦定理得，sin sin AC BC B A =.33=. 所以4AC =.（Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin(60)C B =+sin cos60cos sin 60B B =+13sin 2B B ==133623+32.所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=1462⨯⨯⨯3+32=23+62. （16）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中， 甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．【难度】3 【考点】概率综合 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分 高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高． （Ⅱ）设事件M ：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学， 抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩． 由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为12,A A ；乙校成绩不低于90分的同学有5人， 从小到大依次记为12345,,,,B B B B B ． 其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能．所以42()105P M ==． 即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学， 抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25. （17）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面11A ACC ；（Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面D BC 1；（Ⅲ）设M 为线段1BC 上任意一点，在D BC 1内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ，并说明理由．【难度】3【考点】立体几何综合【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以11,CC BC CC AC ,BC AC C . 所以1CC 底面ABC ． 因为BD 底面ABC ，所以1CC BD ．由已知可得，底面ABC 为正三角形．因为D 是AC 中点，所以BDAC ． 因为1AC CC C ，所以BD平面11ACC A ． （Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点．因为D 是AC 中点， 所以1//AB OD ．又因为OD平面1BC D ，1AB 平面1BC D ， 所以直线1//AB 平面1BC D ．（Ⅲ）在D BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE ⊥DM ．此时点E 是在线段1C D 上.证明如下：过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，由（Ⅰ）可知BD平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ， 所以BD CE ．又1CE C D ⊥，1BDC D D ，所以CE 平面D BC 1． 又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ．（18）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a =，1n n a S +=，n *∈N .（Ⅰ）写出2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{}n b 中，有22b a =， 33b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．【难度】3【考点】数列综合应用【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：因为14a =，1n n a S +=，所以2114a S a ===，3212448a S a a ==+=+=，4312344816a S a a a ==++=++=．（Ⅱ）当2n ≥时，11222n n n n n n a S S +-=-=-=．又当1n =时，114a S ==．所以4,1,2, 2.n n n a n =⎧=⎨≥⎩（Ⅲ）依题意，224b a ==，338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得，10b =，4d =,则4(1)n b n =-. 所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N .因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯.所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- . 所以316(2)2n n T n +=+-⨯.（19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．【难度】4【考点】圆锥曲线综合【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由题意可得2222,,3,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =故椭圆的方程为22162x y +=． （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --， 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k +=+． 因为121224(4)13k y y k x x k-+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k k D k k-++． 因此直线OD 方程为30x ky +=0k ．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=． 所以222(91)4013k k+-=+．解得k =．故直线l的方程为2)y x =-． （20）已知函数()()e xa f x x x =+，a ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =-时，求证：()f x 在(0,)+∞上为增函数；（Ⅲ）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值范围．【难度】4【考点】导数的综合运用【答案】见解析【解析】 解：函数()f x 定义域为{0}x x ≠，322()e x x x ax a f x x++-'=. （Ⅰ）当0a =时，()e x f x x =⋅，()f x '=(1)e x x +.所以(1)e,(1)2e f f '==.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-，即2e e =0x y --.（Ⅱ） 当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+. 设()g x =321x x x +-+，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+.令()(31)(1)0g x x x '=-+>得，13x >或1x <-，注意到0x >，所以13x >. 令()(31)(1)0g x x x '=-+<得，注意到0x >，得103x <<. 所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数，在1(,)3+∞上是增函数. 所以函数()g x 在13x =时取得最小值，且122()0327g =>. 所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零.于是，当(0,)x ∈+∞，()f x '=3221e 0x x x x x+-+>恒成立. 所以当1a =-时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数.（Ⅱ）问另一方法提示：当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+. 由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立，即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数.（Ⅲ）（Ⅱ）322()e ()xx x ax a f x x ++-'=. 设()h x =32x x ax a ++-，2()32h x x x a '=++.(1) 当0a >时，()0h x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数.而(0)0h a =-<，(1)20h =>，则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ， 使0()0f x '=,且在0(0,)x 上，()0f x ，在0,1x 上，()0f x ，故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点;（2）当0a =时，当x ()0,1时，2()320h x x x '=+>成立，函数()h x 在区间()0,1上为增函数，又此时(0)0h =，所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立，即()0f x ，故函数()f x 在区间()0,1为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值；（3）当0a <时，()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-. 当()0,1x ∈时，总有()0h x >成立，即()0f x '>成立， 故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值.综上所述0a >.。
北京市朝阳区高三学习目标与检测(理)讲义复习第一章答案
第一章 集合、常用逻辑、“三个二次”与基本推理方法第1节：集合及相关概念三、课前热身：1．D 2．A 3．B四、例题分析：例1．解：方法一：可利用特殊值法，令k =－2，－1，0，1，2可得：}1,43,21,41,0{},45,43,41,41,43{=--=N M ∴M N ，答案：B 方法二：集合M 的元素为：412412+=+=k k x （k ∈Z ），集合N 的元素为：x =42214+=+k k （k ∈Z ），而2k +1为奇数，k +2为整数， 因此M N .∴M N ，选择B ．例2．解：:利用数形结合,在同一坐标系中作出两个函数的图象,观察他们公共点的个数即可．（注意到两个函数都是奇函数的特点，只需画出0≥x 部分即可）．答案：A ．例3．解：由已知得B A ⊆，所以2x A ∈，21x ≠．若23x =，得x =．若2x x =，得0x =，或1x =，而1x ≠，所以0x =．综合两种情况，共有三个值．故选B ．例4．解：利用数轴帮助分析，选B 。
例5．（1）{}33≤≤-=x x A ，[)+∞=,2B ，故[]3,2=B A ．（2）在同一坐标系中作出函数29x y -=和函数322+-=x x y 的图象，显然有两个交点，所以B A 中元素的个数是2．五、巩固练习：1．D 2．C 3．5,16 4． B第2节：集合的运算三、课前热身：1．{|2,1}x x x <-≥或 2．C 3．D四、例题分析：例1．选C例2．集合{}{}|31,|3M x x N x x =-<<=≤-，而集合{}|1x x ≥的元素既不属于集合M ，又不属于集合N ，恰好是它们的并集的补集，所以选D ．例3．集合M 是由32m -<<之间的整数组成，所以{2,1,0,1}M =--，集合N 是由13n -≤≤之间的整数组成，所以{1,0,1,2,3}N =-，M N = 则{}101-，，，选B ． 例4．教材中没有要求这个概念，这里是考察学生及时学习能力，能否利用新定义进行解题。
2015年北京市各区高三理科数学分类汇编----不等式
2015年北京高三理科数学试题分类汇编----不等式2015一模试题（理科）（6）（15年海淀一模理）若,x y 满足0,1,0,x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则下列不等式恒成立的是（ ）（A ）1y ≥ （B ）2x ≥ （C ）220x y ++≥ （D ）210x y -+≥3. （15年房山一模理）设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．913. （15年朝阳一模理）设3z x y =+，实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．若z 的最大值为5，则实数t 的值为______，此时z 的最小值为______.11．（15年丰台一模理）若变量x ，y 满足约束条件40,40,0,y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值是____．11．（15年石景山一模理）设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________．abc7.（15年顺义一模理）若,x y 满足42400kx y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，且5z y x =-的最小值为8-，则k 的值为 1.2A -1.2B .2C - .2D5.（15年顺义一模理）若441x y+=，则x y +的取值范围是（ ）.[0,1]A .[1,0]B - .[1,)C -+∞ .(,1]D -∞-12.（15年延庆一模理）已知1,0x y ≥≥，集合{(,)|4}A x y x y =+≤,{(,)|1}B x y y kx ==-，如果A B φ⋂≠,则k 的取值范围是 .2015二模试题（理科）（6）（15年东城二模理）若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的取值范围是（ ）（A ）[1,3]- （B ）[1,11]（C ）]3,1[（D ）]11,1[-（14）（15年海淀二模理）设关于,x y 的不等式组340,(1)(36)0x y x y -≥⎧⎨-+-≤⎩表示的平面区域为D ，已知点(0,0),(1,0)O A ，点M 是D 上的动点. OA OM OM ⋅=λ，则λ的取值范围是 .5. （15年西城二模理）某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 （10）（15年东城二模理）已知正数,x y 满足x y x y +=，那么x y +的最小值为 ．9．（15年丰台二模理）已知正实数x ，y 满足3xy =，则2x y +的最小值是 ．7．（15年丰台二模理）某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A，B，C三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：则每周最高产值是(A) 30 (B) 40 (C) 47.5 (D) 52.5。
北京市2015届高三综合能力测试(二)(东城区示范校零模)数学(理)试题(附答案) (1)
北京市2014-2015学年高三年级综合能力测试（二）（东城区普通高中示范校2015届高三3月零模）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、复数1z i=在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()0,1-B ．()0,1C ．()1,0-D ．()1,02、sin 3的取值所在的范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,⎛- ⎝⎭3、在极坐标系中，圆2cos ρθ=的半径为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4 4、执行如图所示的程序框图，那么输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、已知直线1:l 1ax y +=和直线2:l 42x ay +=，则“20a +=”是“12//l l ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知数列{}n a 满足11a =，且12n n n a a +=，则数列{}n a 的前20项的和为（ ）A ．11323⨯-B ．11321⨯-C ．10322⨯-D ．10323⨯-7、已知向量a ，b 是夹角为60的单位向量．当实数1λ≤-时，向量a 与向量a b λ+的夹角范围是（ ）A ．)0,60⎡⎣B ．)60,120⎡⎣C ．)120,180⎡⎣D ．)60,180⎡⎣8、某几何体的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9、双曲线C :2213y x -=的离心率为 ． 10、已知()5234501234521x a a x a x a x a x a x +=+++++，则01a a += ．11、如图，AB 是半圆O 的直径，D B 与C A 相交于点E ，且C O E⊥A ．若3D 3B E=E=，则C A 的长为 ．12、某门选修课共有9名学生参加，其中男生3人，教师上课时想把9人平均分成三个小组进行讨论．若要求每个小组中既有男生也有女生，则符合要求的分组方案共有 种．13、已知函数x y ae =（其中0a >）经过不等式组010x x y <⎧⎨-+>⎩所表示的平面区域，则实数a 的取值范围是 ．14、已知两个电流瞬时值的函数表达式唯爱()1sin t t I =，()()2sin t t ϕI =+，2πϕ<，它们合成后的电流瞬时值的函数()()()12t t t I =I +I 的部分图象如图所示，则()t I = ，ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分13分）如图，在锐角三角形C AB 中，2AB =，点D 在C B 边上，且D A ，DC 135∠A =．()I 求角B 的大小；()II 若C A =C B 的长．16、（本小题满分13分）在某地区的足球比赛中，记甲、乙、丙、丁为同一小组的四支队伍，比赛采用单循环制（每两个队比赛一场），并规定小组积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．由于某些特殊原因，在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计，乙队胜或平丙队的概率均为14，乙队胜、平、负丁队的概率均为13，且四个队之间比赛结果相互独立． ()I 求在整个小组赛中，乙队最后积4分的概率；()II 设随机变量X 为整个小组比赛结束后乙队的积分，求随机变量X 的分布列与数学期望； ()III 在目前的积分情况下，M 同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N 同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）17、（本小题满分14分）已知三棱柱111C C AB -A B 中，C ∆AB 是以C A 为斜边的等腰直角三角形，且111C C 2B A =B =B B =A =．()I 求证：平面1C B A ⊥底面C AB ；()II 求1C B 与平面11ABB A 所成角的正弦值；()III 若E ，F 分别是线段11C A ，1C C 的中点，问在线段1F B 上是否存在点P ，使得//EP 平面11ABB A ．18、（本小题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-．()I 若直线y x b =+与()f x 在1x =处相切，求实数a ，b 的值；()II 若0a >，求证：()f x 存在唯一极小值．19、（本小题满分14分）已知椭圆1C 过点2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，且其右顶点与椭圆2C :2224x y +=的右焦点重合． ()I 求椭圆1C 的标准方程；()II 设O 为原点，若点A 在椭圆1C 上，点B 在椭圆2C 上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆221x y +=的位置关系，并证明你的结论．20、（本小题满分13分）已知无穷整数数集{}123,,,,,n a a a a A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅（123n a a a a <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅）具有性质P ：对任意互不相等的正整数i ，j ，k ，总有i k j a a a +-∈A ．()I 若{}1,21⊆A 且5∉A ，判断13是否属于A ，并说明理由；()II 求证：1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅，n a ，⋅⋅⋅是等差数列；()III 已知x ，y ∈N 且0y x >>，记M 是满足{}0,,x y ⊆A 的数集A 中的一个，且是满足{}0,,x y ⊆A 的所有数集A 的子集，求证：x ，y 互质是M =N 的充要条件．。
北京市朝阳区2015届高三下学期第二次综合练习数学(理)
北京市朝阳区2015学年度第二学期高三综合练习 数学（理科） 2015．5第一部分（选择题 共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．已知集合，集合，则＝（ ）．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：{}{}2|1|11A x x x x x =>=<->或,{}{}|(2)0|02B x x x x x =-<=<<,所以{|12}A B x x =<<，故选A.考点：1.二次不等式；2.集合运算.2．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值是（ ）．A ．7B ．10C ．66D ．166 【答案】B考点：程序框图. 3．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B考点：1.充分条件与必要条件；2.复数相关概念. 4．已知平面上三点A ，B ，C ，满足，则= （ ）．A ．48B ．-48C ．100D ．-100 【答案】D 【解析】试题分析：如下图所示，由题意可知，90B ∠=︒，所以3cos 5A =，4cosC 5=，所以 ()()()cos 180cos 180cos 180AB BC BC CA CA AB AB BC B BC CA C CA AB A ⋅+⋅+⋅=⋅︒-+⋅︒-+⋅︒-()()610cos90108cos 18086cos 180100C A =⨯⨯︒+⨯⨯︒-+⨯⨯︒-=-，故选D.A考点：1.向量数量积的几何运算；2.直角三角形中三角函数定义. 5．已知函数，若对任意的实数x ，总有，则的最小值是（ ）．A ．2B ．4C ．D ．2【答案】A考点：三角函数的图象与性质. 6．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ．若，则双曲线的渐近线方程为（）．【答案】C 【解析】试题分析：抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-，设00(,)P x y ，则00531,22PF x x =+==，所以200346,2y y =⨯==，又因为点P 在双曲线上，所以()2222321a b ⎛⎫⎪⎝⎭-=，221a b +=，解之得1,22a b ==，所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选C.考点： 双曲线、抛物线的几何性质. 7．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m 的取值范围是（ ）．【答案】D 【解析】试题分析：()02x xe ef x -+'=>，所以()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数，又()()2x xe ef x f x ---==-，所以()f x 是奇函数，所以(sin )(1)0(sin )(1)(sin )(1)sin 1f m f m f m f m f m f m m m θθθθ+->⇔>--⇔>-⇔>-sin 10m m θ⇔-+>对任意0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，设sin t θ=，()1h t mt m =-+，由(0)0(1)0h h ≥⎧⎨>⎩得 1m ≤，故选D.考点：1.函数单调性；2.函数奇偶性；3.函数与不等式.8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD 折叠，使得点B 始终落在边AD 上，则折起部分面积的最小值为（ ）．【答案】B 【解析】试题分析：以点B 为坐标原点，建立如下图所示直角坐标系，则(0,0),(1,0)B C ，(1,0),(1,1)A D ，设1(,1)B t ，折痕为,EF 则点1,B B 关于直线EF 对称，线段1BB 有上点为1(,)22t H ，直线1BB 的斜率为11k t=，所以线段1BB 的中垂线EF 的方程为1()22t y t x -=--，令0x =得2(0,)2t E ，令1x =得2(1,1)22t tF -+，所以被折起部分的面积为222211113(1)1(1)()222222248t t t t S t t =⨯+-+⨯=⨯-+=⨯-+，所以当14t =时，面积S 有最小值38,故选B.考点：1.平面解析几何基本思想；2.直线方程；3.二次函数.第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．展开式中含项的系数是__________．【答案】427- 【解析】试题分析：4113x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为：4441441133rrr r r r T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1r =时，4111432414327T C x x ---⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以3x -的系数为427-.考点：二项式定理.10．已知圆C 的圆心在直线x －y=0上，且圆C 与两条直线x ＋y=0和x ＋y －12=0都相切，则圆C 的标准方程是__________． 【答案】22(3)(3)18x y -+-= 【解析】试题分析：由题意可设圆心为(,)C a a ，半径为r =3a =，所以半径r ==，所以圆的方程为22(3)(3)18x y -+-=.考点：直线与圆的方程.11．如图，已知圆B 的半径为5，直线AMN 与直线ADC 为圆B 的两条割线，且割线AMN 过圆心B ．若AM=2，，则AD=__________．【答案】3 【解析】试题分析：因为60,5CBD BC BD ∠=︒==，所以CBD ∆为等边三角形，所以5CD =，由割线定理得AM AN AD AC ⋅=⋅ 即()AM AN AD A D DC ⋅=⋅+，所以()2125AD AD ⨯=⨯+，解之得3AD =. 考点:圆的性质.12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．【答案】【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底面是菱形ABCD，且顶点S在底面上和射影为底面对角线的交点E，且1,AE BE SE===,M N为线段,AB BC的中点，所以EM EN==2SM SN===14222S=⨯⨯⨯=A考点：1.三视图；2.多面体的表面积.13．已知点在函数13logy x=的图像上，则数列的通项公式为__________；设O 为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．【答案】13n⎛⎫ ⎪⎝⎭,16考点：1.对数函数性质；2.求数列通项；3.数列单调性. 14．设集合，集合A 中所有元素的个数为__________；集合A 中满足条件“”的元素个数为__________．【答案】27,18 【解析】试题分析：确定集合A 中的元素，需要确定123,,m m m 三个数，第一步先确定1m ，有三种不同的确定方法，第二步确定元素2m ，有三种不同的确定方法，第三步确定元素3m ，有三种不同的确定方法，由分步计数原理可知集合共有A 中的元素共有33327⨯⨯=个;在这27个元素中，满足1232m m m ++<只有一个元素(0,0,0)，若1235m m m ++>，则123,,m m m 三个数是的每一个数均在2,2-中选择一个即可，即满足1235m m m ++>的元素共有2228⨯⨯=个，所以满足12325m m m ≤++≤共有271818--=个.考点：1.集合的表示;2.分步计数原理.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共13分）在梯形ABCD 中，（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）考点：正弦定理与余弦定理的应用.16．（本小题共13分）某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A ，B ，C 三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A ，B ，C 三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率； （Ⅲ）测试后的统计数据显示，B 题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B 题作答的答卷中，记其中得优的份数为X ，求X 的分布列及其数学期望EX ．【答案】（Ⅰ）5份、2份；（Ⅱ）15； （Ⅲ）随机变量X 的分布列为：(X)3E =． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由分层抽样的定义安比例可计算选择B 、C 作答的答卷中抽出的份数； （Ⅱ）因为C 题答卷中2份均为优，所以A 、B 中抽出的一份一定不是优，由古典概型计算法则可求概率；（Ⅲ）B 题答案得优的概率为13，所以1(5,)3X B ，则二项分布公式直接计算即可.试题解析：（Ⅰ）由题意可得：应分别从,B C 题的答卷中抽出5份，2份．（Ⅱ）记事件M ：被抽出的,,A B C 三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C 题答案为优，依题意131()1355P M =⨯⨯=． （Ⅲ）由题意可知，B 题答案得优的概率为13，显然被抽出的B 题的答案中得优的份数X 的可能取值为0,1,2,3,4,5，且1(5,)3XB ．5051232(0)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;14151280(1)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;23251280(2)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;34351240(3)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 41451210(4)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;505121(5)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 随机变量X 的分布列为：所以(X)0123452432432432432432433E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．(或15()533E X =⨯=).考点：1.分层抽样；2.古典概型；3.二项分布. 17．（本小题共14分）如图，在直角梯形ABCD 中，．直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面平面ABCD ．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值；（Ⅲ）设H 为BD 的中点，M ，N 分别为线段FD ，AD 上的点（都不与点D 重合）．若直线平面MNH ，求MH 的长．【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）先证平面ABEF ⊥平面ABCD ，通过面面垂直性质可证结论成立； （Ⅱ）（Ⅲ）由（1）及已知可得,,AD AB AF 两两垂直，以A 为原点建立空间直角坐标系，由空间向量直接计算即可.试题解析：（Ⅰ）由已知得90FAB ∠=︒，FA AB ⊥．因为平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF平面ABCD AB =，所以FA ⊥平面ABCD ，由于BC ⊂平面ABCD ，所以FA BC ⊥． （Ⅱ）由（1）知FA ⊥平面ABCD所以FA AB ⊥,FA AD ⊥，． 由已知DA AB ⊥，所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为112AD DC AB ===， 则((0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,1,1)E ， 所以(1,1,0),(0,1,1)BC BE =-=-， 设平面BCE 的一个法向量(,,)n x y z =．所以00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y y z -=⎧⎨-+=⎩．令1x =，则(1,1,1)n =．设直线BD 与平面BCE 所成角为θ， 因为(1,21)BD =-， 所以15sin cos ,n BD n BD n BDθ⋅=<>==⋅．所以直线BD 和平面BCE （Ⅲ）在A 为原点的空间直角坐标系A xyz -中，(0,0,0),A ()1,0,0D ，(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，1(,1,0)2H ．设(01)DMk k DF=<≤， 即DM kDF =．(,0,)DM k k =-，则(1,0,)M k k -，1(,1,)2MH k k =--(1,0,1)FD =-．若FD ⊥平面MNH ，则FD MH ⊥． 即0FD MH ⋅=．102k k -+=．解得14k =． 则113,1,,244MH MH ⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 考点：1.面面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用. 18．（本小题共13分）已知点M 为椭圆的右顶点，点A ，B 是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），且满足直线MA 与直线MB 斜率之积为14． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB 是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由． 【答案】（Ⅰ）12e =;12(1,0),(1,0)F F -;（Ⅱ）过定点(4,0)-.【解析】试题分析：（Ⅰ）将椭圆方程化为标准方程，求出,,a b c 即可； （Ⅱ）设出直线AB 的方程y kx m =+与椭圆方程联立，由斜率这积为14得到,k m 的关系式，可验证直线是否过定点.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2,1a b c ===．故离心率为12，焦点坐标为12(1,0),(1,0)F F -．故直线AB 过定点(4,0)-．考点：1.椭圆的几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.19．（本小题共14分）已知函数． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．【答案】（Ⅰ）()f x 的单调增区间为(,2),(0,)-∞-+∞，单调减区间为(2,0)-； （Ⅱ）38a <<；（Ⅲ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，由导数在各个区间上的符号讨论函数的单调性即可；（Ⅱ）求导2()(2)x f x e x x a '=+-，令2g()2x x x a =+-，由()g x 与()f x '符号一致，由()g x 在区间(1,2)的符号正有负求a 的范围即可；（Ⅲ）求导，由导数有两个零点求出a 的范围，再求出函数的极大值与极小值计算即可.试题解析：（Ⅰ）当0a =时，()22(),()2x x f x x e f x e x x '==+．由()220xexx +=，解得0x =或2x =-．当(,2)x ∈-∞-时，()0,f x '>()f x 单调递增； 当(2,0)x ∈-时，()0,()f x f x '<单调递减； 当(0,,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增． 所以()f x 的单调增区间为(,2),(0,)-∞-+∞， 单调减区间为(2,0)-．（Ⅲ）2()(2)x f x e x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的零点，即()f x '有两个不同的零点，即方程220x x a +-=的判别式440a ∆=+>，解得1a >-．由220x x a +-=，解得1211x x =-=- 此时12122,x x x x a +=--．随着x 变化，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点，所以1()f x 是极大值，2()f x 是极小值所以1()f x 2()f x =()()122212x x exa e x a -⨯-12222221212()x x e x x a x x a +⎡⎤-++⎣⎦122222121212()2x x e x x a x x x x a +⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦2222(42)4e a a a a ae -⎡⎤=-++=-⎣⎦因为1a >-，所以2244ae e ---<，所以212()()4f x f x e -<．考点：1.导数与函数的单调性；2.导数与函数极值；3.不等式性质. 20．（本小题共13分）已知数列，是正整数1，2，3，，n 的一个全排列．若对每个都有或3，则称为H 数列．（Ⅰ）写出满足的所有H 数列；（Ⅱ）写出一个满足的数列的通项公式；（Ⅲ）在H 数列中，记．若数列是公差为d 的等差数列，求证：或． 【答案】（Ⅰ）3,1,4,2,5;2,4,1,3,5;（Ⅱ）1,542,532,521,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k +=-⎧⎪+=-⎪⎪=-=-⎨⎪-=-⎪=⎪⎩（其中1,2,403k =）或2,541,532,521,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧⎪+=-⎪⎪=-=-⎨⎪-=-⎪=⎪⎩（其中1,2,403k =）（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由定义直接写出即可；（Ⅱ）先写出符合条件的5A ，10A ，归纳规律可写出相应的通项公式；（Ⅲ）先求出公差23,,d x y x y Z =+∈，写出符合条件5x y +=的所有解，再逐个讨论可知d 只能为5或5-.试题解析：（Ⅰ）满足条件的数列有两个： 3,1,4,2,5;2,4,1,3,5．（Ⅱ）由（1）知数列5:2,4,1,3,5A 满足55a =，把各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为652a a -=，所得数列10A 显然满足12k k a a --=或3，{}2,3,10k ∈，即得H 数列10:2,4,1,3,5,7,9,6,8,10A ．其中5105,10a a ==．如此下去即可得到一个满足55(1,2,403)k A k k ==的H 数列2015A 为：1,542,532,521,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧⎪+=-⎪⎪=-=-⎨⎪-=-⎪=⎪⎩（其中1,2,403k =）（写出此通项也可以2,541,532,521,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧⎪+=-⎪⎪=-=-⎨⎪-=-⎪=⎪⎩（其中1,2,403k =））（Ⅲ）由题意知23,,d x y x y Z =+∈，且5x y +=．5x y +=有解：()(,)(0,5),(1,4),2,3,(4,1),(5,0)x y =①(||,||)(0,5)x y =，5,15y d =±=±，则403114026030b b d b =+=±，这与14031,2015b b ≤≤是矛盾的．②(||,||)(5,0)x y =时，与①类似可得不成立．③(||,||)(1,4)x y =时，34210d ≥⨯-=，则4031402b b d =+不可能成立．④(||,||)(4,1)x y =时，若(||,||)(4,1)x y =-或(||,||)(4,1)x y =-，则5d =或5d =-． 若(||,||)(4,1)x y =或(||,||)(4,1)x y =--，则11d =,类似于③可知不成立．④(||,||)(2,3)x y =时，若,x y 同号，则13d =，由上面的讨论可知不可能；若(||,||)(2,3)x y =-或(||,||)(2,3)x y =-，则5d =-或5d =； ⑤(||,||)(3,2)x y =时，若,x y 异号，则0d =，不行；若,x y 同号，则12d =，同样由前面的讨论可知与14031,2015b b ≤≤矛盾．综上，d 只能为5或5-，且（2）中的数列是5d =的情形，将（2）中的数列倒过来就是5d =-，所以d 为5或5-．考点：1.新定义数列问题；2.等差数列的定义与通项公式.。
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第 1 页 共 11 页 理科保温练习一 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1、设集合{|33,},{1,2},{2,1,2}IxxxZAB，则()IACB等于（ ）
A．1 B．1,2 C．0,1,2 D．1,0,1,2 2、复数z满足i1iz，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、设nS为等比数列na的前n项和，2580aa，则52SS （ ） A．11 B．5 C．11 D． 8 4、某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为15，则a等于（ ） A．1 B．0 C．2 D．1
5已知,表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
开始 n=n+1 x=2x+1 n≤3?
输出x 结束
是 否
n=1，x=a 第 2 页 共 11 页
6. 变量x、y满足条件1101xyyx ，则22)2(yx的最小值为( ) A．223 B．5 C．29 D．5 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A．16 B． 12 C. 23 D． 56
8.如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则OCOB的最大值是
（ ） A．2 B. 12 C. 3 D. 4
第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.过点(2,)3且垂直于极轴的直线的极坐标方程为
10. 已知双曲线221 (0)yxmm的一个焦点与抛物线218yx的焦点重合，则此双曲线的离心率为 . 11. 已知3(π,2π),cos,5则πtan()4= .
正视图 侧视图 俯视图
1
1
1 第 3 页 共 11 页
12. 设函数21,,2()1log,2xaxfxxx的最小值为1，则实数a的取值范围是 13.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 种.
14. 如图，函数()sin()fxAx
(0,0,2A)的图象经过点)1,0(、5π(,0)12、11π(,0)
12，则 ；
4π()3f .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. (本小题满分13分)
已知向量m =BBcos1,sin，向量n =0,2，且m与n的夹角为π3，其中A、 B、C是ABC的内角. （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）求CAsinsin的取值范围
5π12 11π
12
y x O 1 第 4 页 共 11 页
16. (本小题满分13分) 某业余俱乐部由10名乒乓球队员和5名羽毛球队员组成，其中乒乓球队员中有4名女队员；羽毛球队员中有2名女队员，现采用分层抽样方法（按乒乓球队和羽毛球队分层，在每一层内采用简单随机抽样）从这15人中共抽取3名队员参加一项比赛． （Ⅰ）求所抽取的3名队员中乒乓球队员、羽毛球队员的人数； （Ⅱ）求从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员的概率； （Ⅲ）记为抽取的3名队员中男队员人数，求的分布列及数学期望.
17. (本小题满分14分) 已知ABC为等腰直角三角形，4BCAC，90ACB，D、E分别是边AC和AB的中点，现将ADE沿DE折起，使面ADE面DEBC，H、F分别是边AD 和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点． （Ⅰ）求证：IH//BC； （Ⅱ）求二面角CGIA的余弦值； （Ⅲ）求AG的长．
18. (本小题满分13分) 已知椭圆)0(12222babyax的右焦点为)0,1(F，M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点， 且使点F为△PQM的垂心(即三角形三条高线的交点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
A H I
C D
B F
G
E 第 5 页 共 11 页
19. (本小题满分14分) 设函数2()(1)ln(1)fxxxbx，曲线)(xfy在点)0,0(处的切线方程为0y. （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）证明：当0x时，23()2fxx；
（Ⅲ）若当0x时，2)(mxxf恒成立，求实数m的取值范围．
20．(本小题满分13分) 正数列}{na的前n项和nS满足：11nnnaarS，01aa，常数Nr.
（Ⅰ）求证：nnaa2为定值； （Ⅱ）若数列}{na是一个周期数列（即存在非零常数T，使nTnaa恒成立），求该数列的最小正周期； （Ⅲ）若数列}{na是一个各项为有理数的等差数列，求nS.
理科保温练习一答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
答案 A D C D B D D A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 第 6 页 共 11 页
题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）
答案 cos1 23
3
1
7 1
[,)2 120 2；1
三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15. (本小题满分13分)
解：（Ⅰ） m =BBcos1,sin，且与向量n = （2，0）所成角为π3，
所以222sin122sin(1cos)BBB. 整理得22coscos10BB，解得cos1B或1cos2B. 由于角B为三角形的内角，则1cos2B. 则23B …………………………..7分 (II)由（Ⅰ）知，2=π3B，所以π+=3AC.
所以sinsinACπsinsin3AA=13sincos22AA=πsin3A 因为π03A，所以ππ2π333A. 所以π3sin(),132A，所以sinsinAC3,12 ………………… 13分
16. (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）抽取乒乓球队员的人数为215103人；
羽毛球队员的人数为11553人. ………………………………………….. 2分 （Ⅱ）设“从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员”为事件A， 第 7 页 共 11 页
则32)(210241416CCCCAP， 所以从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员的概率为32.…………………….. 6分 （Ⅲ）=0,1,2,3
214221105
4(0)75CCPCC
11121642432121105105
22(1),75CCCCCPCCCC
21111626432121105105
34(2)75CCCCCPCCCC
,
(3)P=21632110515CCCC.
的分布列为
0 1 2 3
P 475 2275 3475 15 E
4223419
012375757555.………………………………………… 13分
17. (本小题满分14分) 解： (Ⅰ)因为D、E分别是边AC和AB的中点， 所以BCED//， 因为BC平面BCH，ED平面BCH， 所以//ED平面BCH 因为ED平面BCH，ED平面AED，平面BCH平面HIAED 所以HIED// 又因为BCED//， 所以IH//BC. „„„„„„„„„„„ 4分 (Ⅱ) 依题意DEDA,DEDC,ADDC. 如图，以D为原点，分别以,,DEDCDA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
由题意得，)0,0,0(D，)0,0,2(E，)2,0,0(A，
)0,1,3(F，(0,2,0)C，)1,0,0(H，
)2,0,2(EA，)0,1,1(EF，