九年级数学上册第一章检测题(含答案)
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元模拟试题(含答案)(5)
第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）（100分钟，120分）一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°4．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（）A．③B．①② C．②③D．③④5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A．3B．4 C．5 D．76．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A．8 B．9 C．11 D．129．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．3 C．D．二、填空题11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形．12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H为AD边中点，∴OH=AD=3.5；15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。
北师版九年级数学上册 第1章 特殊平行四边形中的旋转、最值、动点问题 专题训练 (含答案)
6.解：(1)根据图形的对称性，本来DF和BF相等，但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段DF与BF始终相等”不正确．例如，当点F旋转到AB上时，BF最短(小于AB)，而这时DF大于AD，即DF大于BF
(2)如图②，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与DG始终相等，并以图为例说明理由．
二、最值问题
7．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )
A．2 B．4
∴BD，EG互相平分，∴BO＝OD，
∴点O为正方形的角平分线的交点，
∴直线EG必过正方形角平分线的交点
20.解：(1)BG＝DE，BG⊥DE，证明如下：
延长BG交DE于点H，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，
(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？
24.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．
(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式是；
(2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
北师大版九年级数学上册第1章达标测试卷附答案
北师大版九年级数学上册第一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，已知菱形ABCD 的边长等于2，∠DAB ＝60°，则对角线BD 的长为( )A ．1B. 3C ．2D ．2 3(第1题) (第3题) (第4题) (第6题) 2．已知正方形的面积为36，则其对角线的长为( )A ．6B ．6 2C ．9D ．9 23．如图，矩形ABCD 的对角线AC ＝8 cm ，∠AOD ＝120°，则AB 的长为( )A. 3 cmB ．2 cmC ．2 3 cmD ．4 cm4．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6 cm ，8 cm ，则这个菱形的周长为( )A ．5 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．20 cm5．下列命题中，真命题是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( ) A.15B.14C.13D.3107．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，四边形ADEF 为菱形，S △ABC ＝83，则S 菱形ADEF 等于( )A ．4B ．4 6C ．4 3D ．28(第7题) (第9题) (第10题)8．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是() A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC9．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，若线段AE＝6，则四边形ABCD的面积是()A．3 B．4 C．2 6 D．610．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为(10，8)，点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是() A．(0，4) B．(0，5) C．(0，3) D．(0，2)二、填空题(每题3分，共30分)11．在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝4 cm，那么斜边AB＝________．12．已知菱形的两条对角线长分别为2 cm，3 cm，则它的面积是________．13．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16 cm，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝16 cm，则∠1＝________．(第13题)(第16题)(第17题)14．已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，当添加条件__________时，矩形ABCD 是正方形(只填一个即可)．15．矩形的对角线相交所成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为1 cm，则其对角线长为________，矩形的面积为________．16．如图，菱形ABCD的顶点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．17．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED＝________．18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．(第18题)(第19题)(第20题)19．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝________．20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G.下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论的序号为__________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：BE＝CF.22.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．23．如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB，EA，延长BE交AD于点F.(1)求证：△ADE≌△BCE；(2)求∠AFB的度数．24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB.(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小(作图说明)；(2)求出△BPE周长的最小值．25．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于点H，点E是AH上一点，延长AH 至点F，使FH＝EH，连接BE，CE，BF，CF.(1)求证：四边形EBFC是菱形；(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.26．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG，CG，如图①，易证EG＝CG且EG⊥CG.(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．答案一、1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.B7．C8.C9.D10.C二、11.8 cm12.3 cm213.120°14．AC⊥BD(答案不唯一)15．2 cm； 3 cm216.(4，4)17.45°18.501319.2－120.①②③⑤三、21.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD.∴BO＝CO.∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°.又∵∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF(AAS)．∴BE＝CF.22．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD.又∵E在AB的延长线上，且BE＝AB，∴BE∥CD，BE＝CD.∴四边形BECD是平行四边形．∴BD＝EC.(2)解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE.∴∠ABO＝∠E＝50°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.23．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC.∵△CDE 是等边三角形，∴∠CDE ＝∠DCE ＝60°，DE ＝CE . ∴∠ADE ＝∠BCE ＝30°. 在△ADE 和△BCE 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠ADE ＝∠BCE ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△BCE (SAS)． (2)解：∵△ADE ≌△BCE ， ∴AE ＝BE . ∴∠BAE ＝∠ABE .又∵∠BAE ＋∠DAE ＝90°， ∠ABE ＋∠AFB ＝90°， ∴∠DAE ＝∠AFB .∵∠ADE ＝30°，DE ＝DC ＝DA ， ∴∠DAE ＝75°. ∴∠AFB ＝75°.24．解：(1)如图，连接DE ，交AC 于点P ′，连接BP ′，则此时P ′B ＋P ′E 的值最小，即当点P 在点P ′处时，△BPE 的周长最小．(2)∵四边形ABCD 是正方形， ∴B ，D 关于AC 对称． ∴P ′B ＝P ′D . ∴P ′B ＋P ′E ＝DE . ∵BE ＝2，AE ＝3BE ， ∴AE ＝6.∴AD ＝AB ＝8. ∴DE ＝62＋82＝10. ∴PB ＋PE 的最小值是10.∴△BPE的周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12. 25．证明：(1)∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH.又∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形.又∵EF⊥BC，∴四边形EBFC是菱形．(2)如图所示．∵四边形EBFC是菱形，∴∠2＝∠3＝12∠ECF.∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠4＝12∠BAC.又∵∠BAC＝∠ECF，∴∠4＝∠3.∵∠4＋∠1＋∠2＝90°，∴∠3＋∠1＋∠2＝90°，即AC⊥CF.26．解：(1)EG＝CG，EG⊥CG.(2)EG＝CG，EG⊥CG.证明如下：延长FE交DC的延长线于点M，连接MG，如图所示．易得∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC 是矩形．∴BE ＝CM ，BC ＝EM ，∠EMC ＝90°. 易知∠ABD ＝45°， ∴∠EBF ＝45°. 又∵∠BEF ＝90°，∴△BEF 为等腰直角三角形． ∴BE ＝EF ，∠F ＝45°. ∴EF ＝CM .∵∠EMC ＝90°，FG ＝DG ， ∴MG ＝12FD ＝FG . ∵BC ＝EM ，BC ＝CD ， ∴EM ＝CD . ∵EF ＝CM ， ∴FM ＝DM . 又∵FG ＝DG ，∴∠CMG ＝12∠EMC ＝45°. ∴∠F ＝∠CMG . 在△GFE 和△GMC 中，⎩⎨⎧FG ＝MG ，∠F ＝∠GMC ，EF ＝CM ，∴△GFE ≌△GMC (SAS)． ∴EG ＝CG ，∠FGE ＝∠MGC . ∵MF ＝MD ，FG ＝DG ， ∴MG ⊥FD .∴∠FGE ＋∠EGM ＝90°. ∴∠MGC ＋∠EGM ＝90°， 即∠EGC ＝90°. ∴EG ⊥CG .北师大版九年级数学上册期末达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1. 下列方程中，不是一元二次方程的是( )A.3y 2＋2y ＋1＝0B.12x 2＝1－3xC.110a 2－16a ＋23＝0 D ．x 2＋x －3＝x 2 2．如图放置的几何体的左视图是( )3．下列命题为真命题的是( )A ．四边相等的四边形是正方形B ．对角线相等的四边形是菱形C ．四个角相等的四边形是矩形D ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 4．若反比例函数y ＝kx 的图象经过点(m ，3m )，其中m ≠0，则反比例函数的图象在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限5．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ≤－2B ．k ≤2C ．k ≥2D ．k ≤2且k ≠16．有三张正面分别标有数－2，3，4的不透明卡片，它们除数不同外，其他全部相同．现将它们背面朝上洗匀后，从中任取两张，则抽取的两张卡片上的数之积为正偶数的概率是( ) A.49B.112C.13D.167．如图，在△ABC中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，DE∥AB，且CE：EB ＝2：3，则DE AB等于()A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．4：58．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB的中点，折叠该纸片使点C落在点C′处，且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的度数为()A．30°B．40°C．45°D．60°9．设△ABC的一边长为x，这条边上的高为y，y与x之间的反比例函数关系如图所示．当△ABC为等腰直角三角形时，x＋y的值为()A．4 B．5 C．5或3 2 D．4或3 210．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边上的中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，DE与BM相交于点N，EF⊥AC于点F，有以下结论：①∠DBM＝∠CDE；②S△BDE<S四边形BMFE；③CD·EN＝BN·BD；④AC＝2DF.其中正确结论的数量是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每题3分，共24分)11．已知一元二次方程(m－2)x2－3x＋m2－4＝0的一个根为0，则m＝________.12．如图，物理课上张明做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24 cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间带小孔的纸板应放在离蜡烛________的地方．13．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有________个．14．为预防流感，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)之间的函数关系如图所示．已知在药物燃烧阶段，y与x成正比例，燃烧完后y与x成反比例．现测得药物10 min燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg.当每立方米空气中含药量低于 1.6 mg时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经过________min后教室内的空气才能达到安全要求．15．已知三角形纸片(△ABC)中，AB＝AC＝5，BC＝8，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点B落在直线AC上，记为点B′，折痕为EF.若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是________．16．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者首先从鱼塘中捕获10条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞100条鱼．如果在这100条鱼中有2条鱼是有记号的，则可估计鱼塘中约有鱼________条．17．如图，以▱ABCO 的顶点O 为原点，边OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，顶点A ，C 的坐标分别为(2，4)，(3，0)，过点A 的反比例函数y ＝kx 的图象交BC 于点D ，连接AD ，则四边形AOCD 的面积是________．18．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ，点E ，F ，G ，H 分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为________． 三、解答题(19～22题每题8分，23，24题每题11分，25题12分，共66分) 19．解方程：(1)x 2－6x －6＝0; (2)(x ＋2)(x ＋3)＝1.20．已知关于x 的一元二次方程kx 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且满足(x 1＋x 2)2＋x 1·x 2＝3，求k 的值．21．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们除所标数字外其他完全相同，小明从布袋里随机取出1个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出1个小球，记下数字为y.(1)计算由x，y确定的点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率．(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy＞6，则小明胜，若x，y满足xy＜6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．22．如图，九(1)班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆DE的高度，已知直立在地面上的竹竿AB的长为3 m．某一时刻，测得竹竿AB在阳光下的投影BC的长为2 m.(1)请你在图中画出此时旗杆DE在阳光下的投影，并写出画图步骤；(2)在测量竹竿AB的影长时，同时测得旗杆DE在阳光下的影长为6 m，请你计算旗杆DE的高度．23．如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，－2)，反比例函数y ＝kx 的图象经过点C ，一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过A ，C 两点．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)若点P 是反比例函数图象上的一点，△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求点P 的坐标．24．如图①，在正方形ABCD 中，P 是BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且P A＝PE ，PE 交CD 于F . (1)求证：PC ＝PE ； (2)求∠CPE 的度数；(3)如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC ＝120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．25．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 延长线上一点，E 是AC 上一点，DE 交BC 于点F .(1)如图①，若BD ＝CE ，求证：DF ＝EF .(2)如图②，若BD ＝1n CE ，试写出DF 和EF 之间的数量关系，并证明．(3)如图③，在(2)的条件下，若点E 在CA 的延长线上，那么(2)中的结论还成立吗？试证明．答案一、1.D 2.C 3.C4．B 【点拨】把点(m ，3m )的坐标代入y ＝kx ，得到k ＝3m 2，因为m ≠0，所以k >0.所以图象在第一、三象限． 5．D 6.C 7.B 8.C9．D 【点拨】由题意得xy ＝4，当等腰直角三角形ABC 的斜边长为x 时，x ＝2y ，所以2y 2＝4，解得y ＝2或y ＝－2(不合题意，舍去)，所以x ＝22，所以x ＋y ＝32；当等腰直角三角形ABC 的一条直角边长为x 时，x ＝y ，所以y 2＝4，解得y ＝2或y ＝－2(不合题意，舍去)，所以x ＝2，所以x ＋y ＝4.故x ＋y 的值为4或3 2.故选D. 10．C 【点拨】设∠EDC ＝x ，则∠DEF ＝90°－x ，从而可得到∠DBE ＝∠DEB ＝180°－(90°－x )－45°＝45°＋x ，∠DBM ＝∠DBE －∠MBE ＝45°＋x －45°＝x ，从而可得到∠DBM ＝∠CDE ，所以①正确．可证明△BDM ≌△DEF ，然后可证明S △DNB ＝S 四边形NMFE，所以S △DNB ＋S △BNE ＝S四边形NMFE＋S △BNE ，即S △BDE ＝S 四边形BMFE .所以②错误．可证明△DBC ∽△NEB ，所以CD BD ＝BNEN，即CD ·EN ＝BN ·BD .所以③正确．由△BDM ≌△DEF ，可知DF ＝BM ，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM ＝12AC ，所以DF ＝12AC ，即AC ＝2DF .所以④正确．故选C. 二、11.－2 12.8 cm13．5 【点拨】综合左视图和主视图知，这个几何体有两层，底层最少有2＋1＝3(个)小正方体，第二层有2个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有3＋2＝5(个)． 14．50 【点拨】设药物燃烧完后y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ，把点(10，8)的坐标代入y ＝k x ，得8＝k 10，解得k ＝80，所以药物燃烧完后y 与x 之间的函数表达式为y ＝80x .当y ＝1.6时，由y ＝80x 得x ＝50，所以从消毒开始，经过50 min 后教室内的空气才能达到安全要求． 15．4或4013 16.50017．9 【点拨】由题易知OC ＝3，点B 的坐标为(5，4)，▱ABCO 的面积为12.设直线BC 对应的函数表达式为y ＝k ′x ＋b ，则⎩⎨⎧3k ′＋b ＝0，5k ′＋b ＝4，解得⎩⎨⎧k ′＝2，b ＝－6.∴直线BC 对应的函数表达式为y ＝2x －6.∵点A (2，4)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝8.∴反比例函数的表达式为y ＝8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －6，y ＝8x解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－8(舍去)．∴点D 的坐标为(4，2)． ∴△ABD 的面积为12×2×3＝3. ∴四边形AOCD 的面积是9.18．12 【点拨】易知EF ∥BD ∥HG ， 且EF ＝HG ＝12BD ＝3，EH ∥AC ∥GF 且EH ＝GF ＝12AC ＝4.∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形．∴四边形EFGH 的面积＝EF ·EH ＝3×4＝12. 三、19.解：(1)x 2－6x －6＝0， x 2－6x ＋9＝ 15， (x －3)2＝ 15， x －3＝ ±15，∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. (2)(x ＋2)(x ＋3)＝1， x 2＋5x ＋6＝ 1， x 2＋5x ＋5＝ 0， ∵a ＝1，b ＝5，c ＝5，∴b 2－4ac ＝52－4×1×5＝5. ∴x ＝－5±52.∴x 1＝－5＋52，x 2＝－5－52. 20．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12＋8k ＞0， ∴k ＞－18. 又∵k ≠0，∴k 的取值范围是k ＞－18且k ≠0.(2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－1k ，x 1·x 2＝－2k . ∵(x 1＋x 2)2＋x 1·x 2＝3，∴⎝⎛⎭⎫－1k 2－2k ＝3，即3k 2＋2k －1＝0， 解得k ＝13或k ＝－1. 由(1)得k ＞－18且k ≠0， ∴k ＝13.21．解：(1)画树状图如图．由树状图可知共有12种等可能的结果．其中在函数y ＝－x ＋5的图象上的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)， ∴点(x ，y )在函数y ＝－x ＋5的图象上的概率为412＝13.(2)不公平．理由：∵x ，y 满足xy ＞6的有(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种结果，x ，y 满足xy ＜6的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种结果， ∴P (小明胜)＝412＝13，P (小红胜)＝612＝12.∵13≠12，∴游戏不公平．公平的游戏规则为：若x ，y 满足xy ≥6，则小明胜，若x ，y 满足xy ＜6，则小红胜．(规则不唯一)22．解：(1)如图，线段EF 就是此时旗杆DE 在阳光下的投影．作法：连接AC ，过点D 作DF ∥AC ，交直线BE 于点F ，则线段EF 即为所求．(2)∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE . 又∠ABC ＝∠DEF ＝90°， ∴△ABC ∽△DEF .∴AB DE ＝BC EF . ∵AB ＝3 m ，BC ＝2 m ，EF ＝6 m ， ∴3DE ＝26. ∴DE ＝9 m.即旗杆DE 的高度为9 m.23．解：(1)∵点A 的坐标为(0，1)，点B 的坐标为(0，－2)， ∴AB ＝1＋2＝3，即正方形ABCD 的边长为3， ∴点C 的坐标为(3，－2)．将点C 的坐标代入y ＝kx 可得k ＝－6，∴反比例函数的表达式为y ＝－6x .将C (3，－2)，A (0，1)的坐标分别代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎨⎧3a ＋b ＝－2，b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋1.(2)设P ⎝⎛⎭⎫t ，－6t ， ∵△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，∴12×1×|t |＝3×3，解得t ＝±18.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫18，－13或⎝⎛⎭⎫－18，13. 24．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADP ＝∠CDP .又∵DP ＝DP ，∴△ADP ≌△CDP .∴P A ＝PC .又∵P A ＝PE ，∴PC ＝PE .(2)解：由(1)知△ADP ≌△CDP ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵P A ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E .∴∠FCP ＝∠E .又∵∠PFC ＝∠DFE ，∠EDF ＝90°，∴∠CPE ＝∠EDF ＝90°.(3)解：AP ＝CE .理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠ADP ＝∠CDP .又∵DP ＝DP ，∴△ADP ≌△CDP .∴P A ＝PC ，∠DAP ＝∠DCP .又∵P A ＝PE ，∴PC ＝PE ，∠DAP ＝∠DEP .∴∠DCP ＝∠DEP .又∵∠PFC ＝∠DFE ，∴∠CPF ＝∠EDF .∵在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，∴∠ADC ＝120°.∴∠EDC ＝60°.∴∠CPE ＝∠EDF ＝60°.又∵PC ＝PE ，∴△PCE 是等边三角形．∴PE ＝CE .又∵P A ＝PE ，∴AP ＝CE .25．(1)证明：在题图①中作EG ∥AB 交BC 于点G ， 则∠ABC ＝∠EGC ，∠D ＝∠FEG .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C .∴∠EGC ＝∠C .∴EG ＝EC .∵BD ＝CE ，∴BD ＝EG .又∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠GFE ，∴△BFD ≌△GFE .∴DF ＝EF .(2)解：DF ＝1n EF .证明：在题图②中作EG ∥AB 交BC 于点G ，则∠D ＝∠FEG . 同(1)可得EG ＝EC .∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠EFG ，∴△BFD ∽△GFE .∴BD EG ＝DF EF. ∵BD ＝1n CE ＝1nEG ， ∴DF ＝1n EF .(3)解：成立．证明：在题图③中作EG ∥AB 交CB 的延长线于点G ， 则仍有EG ＝EC ，△BFD ∽△GFE .∴BD EG ＝DF EF .∵BD ＝1n CE ＝1n EG ，∴DF ＝1nEF .。
【北师大版】九年级数学上册：第1章达标检测卷(含答案)
第一章达标检测卷(120分，90分钟) 题 号一 二 三 总 分 得 分一.选择题(每题3分，共30分)1.如图，已知菱形ABCD 边长为3，∠ABC ＝60°，则对角线AC 长是( ) A .12 B .9 C .6 D .3 (第1题) (第4题)(第6题)2.下列命题为真命题是( ) A .四个角相等四边形是矩形 B .对角线垂直四边形是菱形C .对角线相等四边形是矩形D .四边相等四边形是正方形3.若顺次连接四边形ABCD 四边中点，得到图形是一个矩形，则四边形ABCD 一定是( )A .矩形B .菱形C .对角线相等四边形D .对角线互相垂直四边形4.如图，EF 过矩形ABCD 对角线交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分面积是矩形ABCD 面积( )A .15B .14C .13D .3105.已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中错误有( )①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC ＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，已知正方形ABCD对角线长为22，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分周长为( )A.8 2B.4 2C.8D.67.如图，每个小正方形边长为1，A，B，C是正方形顶点，则∠ABC 度数为( )A.90°B.60°C.45°D.30°8.如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN 与AC交于点O，连接OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC度数为( )A.28°B.52°C.62°D.72°(第7题) (第8题)(第9题) (第10题)9.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误是( )A.AF＝AEB.△ABE≌△AGFC.EF＝2 5D.AF＝EF10.如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(点P不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正确有( )A.0个B.1个C.2个D.3个二.填空题(每题3分，共24分)11.如图是一个平行四边形活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当∠α度数为________时，两条对角线长度相等.12.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线交点，过O点三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形两条对角线长分别为6和8时，则阴影部分面积为________.(第11题) (第12题)(第13题)13.如图是根据四边形不稳定性制作边长为15 cm可活动衣架，若墙上钉子间距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝________.14.已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC 垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________.15.如图，矩形OBCD顶点C坐标为(1，3)，则对角线BD长等于________.(第15题)(第16题)(第17题)(第18题)16.如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝________.17.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC中点，E，F分别是线段BM，CM中点.若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM周长为________.18.如图，在边长为1菱形 ABCD中，∠DAB＝60°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE＝60°，…，按此规律所作第n个菱形边长是________.三.解答题(19，20题每题9分，21题 10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC垂直平分线交AD，BC于点E，F.求证：四边形AECF是菱形.(第19题)20.如图，O为矩形ABCD对角线交点，DE∥AC，CE∥BD.(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED面积.(第20题)21.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)若∠FDC＝30°，求∠BEF度数.(第21题)22.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上F 点处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE；(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE长.(第22题)23.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点一个60°角∠EAF绕点A旋转，∠EAF两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.(1)求证：BE＝CF.(2)在∠EAF绕点A旋转过程中，四边形 AECF面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由.(第23题)24.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB平分线于点E，交△ABC外角∠ACD平分线于点F.(1)探究线段OE与OF数量关系并说明理由.(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由.(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形(填“可能”或“不可能”).请说明理由.(第24题)答案一.1.D 2.A3.D点拨：首先根据三角形中位线定理知：所得四边形对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形对角线必互相垂直，由此得解.4.B5.A 点拨：①当AB＝BC时，它是菱形，正确；②当AC⊥BD时，它是菱形，正确；③当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确；④当AC＝BD 时，它是矩形，因此④是错误.6.C7.C8.C9.D点拨：如图，由折叠得∠1＝∠2.∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴AE＝AF.故选项A正确.由折叠得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.∵AB＝CD，∴AB＝AG.∵AE＝AF，∠B＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL).故选项B正确.设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.又AG＝AB＝4，∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2＝42＋x2.解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.则AE＝AF＝5，∴BE＝AE2－AB2＝52－42＝3.过点F作FM⊥BC于点M，则EM＝5－3＝2.在Rt △EFM 中，根据勾股定理得EF ＝EM 2＋FM 2＝22＋42＝20＝25，则选项C 正确.∵AF ＝5，EF ＝25，∴AF ≠EF.故选项D 错误.(第9题)10.D 点拨：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠PAE ＝∠MAE ＝45°. ∵PM ⊥AC ，∴∠PEA ＝∠MEA .又∵AE ＝AE ，∴根据“ASA”可得△APE ≌△AME .故①正确.由①得PE ＝ME ，∴PM ＝2PE .同理PN ＝2PF .又易知PF ＝BF ，四边形PEOF 是矩形，∴PN ＝2BF ，PM ＝2FO .∴PM ＋PN ＝2FO ＋2BF ＝2BO ＝BD .故②正确.在Rt △PFO 中，∵FO 2＋PF 2＝PO 2，而PE ＝FO ，∴PE 2＋PF 2＝PO 2.故③正确.二.11.90° 点拨：对角线相等平行四边形是矩形.12.12 点拨：∵菱形两条对角线长分别为6和8，∴菱形面积＝12×6×8＝24.∵O 是菱形两条对角线交点，∴阴影部分面积＝12×24＝12. 13.120°(第14题)14.22.5° 点拨：如图，由四边形ABCD 是正方形，可知∠CAD ＝12∠BAD ＝45°.由FE ⊥AC ，可知∠AEF ＝90°.在Rt △AEF 与Rt △ADF 中， AE ＝AD ，AF ＝AF ，∴Rt △AEF ≌Rt △ADF(HL ).∴∠FAD ＝∠FAE ＝12∠CAD ＝12×45°＝22.5°. 15.10 16.2－117.20 点拨：点N 是BC 中点，点E ，F 分别是BM ，CM 中点，由三角形中位线定理可证EN ∥MC ，NF ∥ME ，EN ＝12MC ，FN ＝12MB.又易知MB ＝MC ，所以四边形ENFM 是菱形.由点M 是AD 中点，AD ＝12得AM ＝6.在Rt △ABM 中，由勾股定理得BM ＝10.因为点E 是BM 中点，所以EM ＝5.所以四边形ENFM 周长为20.18.(3)n －1三.19.证明：∵EF 垂直平分AC ，∴∠AOE ＝∠COF ＝90°，OA ＝OC.∵AD ∥BC ，∴∠OAE ＝∠OCF.∴△AOE ≌△COF(ASA ).∴AE ＝CF.又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形.∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形.20.(1)证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 为平行四边形.∵四边形ABCD 为矩形，∴OD ＝OC.∴四边形OCED 为菱形.(2)解：∵四边形ABCD 为矩形，∴BO ＝DO ＝12BD.∴S △OCD ＝S △OCB ＝12S △ABC ＝12×12×3×4＝3.∴S 菱形OCED ＝2S △OCD ＝6.21.(1)证明：在△BCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ，CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF.(2)解：∵△BCE ≌△DCF ，∴∠EBC ＝∠FDC ＝30°.∵∠BCD ＝90°，∴∠BEC ＝60°.∵EC ＝FC ，∠ECF ＝90°，∴∠CEF ＝45°.∴∠BEF ＝105°.22.(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝∠C ＝90°， ∴∠ADB ＝∠DBC.根据折叠性质得∠ADB ＝∠BDF ，∠F ＝∠A ＝90°， ∴∠DBC ＝∠BDF ，∠C ＝∠F.∴BE ＝DE.在△DCE 和△BFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DEC ＝∠BEF ，∠C ＝∠F ，DE ＝BE ，∴△DCE ≌△BFE.(2)解：在Rt △BCD 中，∵CD ＝2，∠ADB ＝∠DBC ＝30°，∴BD ＝4.∴BC ＝2 3.在Rt △ECD 中，易得∠EDC ＝30°.∴DE ＝2EC.∴(2EC)2－EC 2＝CD 2.∵CD ＝2，∴CE ＝233. ∴BE ＝BC －EC ＝433.(第23题)23.(1)证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，∴∠ABE ＝∠ACF ＝60°，∠1＋∠2＝60°.∵∠3＋∠2＝∠EAF ＝60°，∴∠1＝∠3.∵∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形.∴AC ＝AB.∴△ABE ≌△ACF.∴BE ＝CF.(2)解：四边形AECF 面积不变.由(1)知△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC .如图，过A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2，∴AM＝AB2－BM2＝42－22＝2 3.∴S△ABC＝12BC·AM＝12×4×23＝4 3.故S四边形AECF＝4 3.24.解：(1)OE＝OF.理由如下：∵CE是∠ACB平分线，∴∠ACE＝∠BCE.又∵MN∥BC，∴∠NEC＝∠BCE.∴∠NEC＝∠ACE.∴OE＝OC.∵CF是∠ACD平分线，∴∠OCF＝∠FCD.又∵MN∥BC，∴∠OFC＝∠FCD.∴∠OFC＝∠OCF.∴OF＝OC.∴OE＝OF.(2)当点O运动到AC中点，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形.理由如下：∵当点O运动到AC中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形.∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.∴四边形AECF是矩形.已知MN∥BC，当∠ACB＝90°时，∠AOE＝90°，∴AC⊥EF.∴四边形AECF是正方形.(3)不可能理由如下：连接BF，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝12∠ACB＋12∠ACD＝12(∠ACB＋∠ACD)＝90°.若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC.但在一个三角形中，不可能存在两个角为90°，故四边形BCFE不可能为菱形.。
北师大版数学九年级上册第1章单元检测试题1(附答案)
级上册第1章单元检测试题1（附答案）一、选择题（每题4分，共40分）（下列每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内）1、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( )A 、对角线互相平分的四边形B 、对角线互相垂直且平分的四边形C 、对角线相等的四边形D 、对角线相等且互相垂直的四边形 2、下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边形是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有（ ） A 、3 个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 3、过四边形A BCD 的顶点A 、B 、C 、D 作BD 、AC 的平行线围成四边形EFGH,若EFGH 是菱形,则四边形ABCD 一定是( )A 、平行四边形B 、菱形C 、矩形D 、对角线相等的四边形 4、在菱形ABCD 中，,,CD AF BC AE ⊥⊥ 且E 、F 分别是BC 、CD 的中点，那么=∠EAF （ ）A 、075 B 、055 C 、450 D 、0605、矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线的长是（ ） A 、56 B 、55 C 、54 D 、356、矩形的内角平分线能够组成一个（ ）A 、矩形B 、菱形C 、正方形D 、平行四边形7、以正方形ABCD 的一组邻边AD 、CD 向外作等边三角形ADE 、CDF ，则下列结论中错误的是（ ）A 、BD 平分EBF ∠B 、030=∠DEFC 、BD EF ⊥ D 、045=∠BFD8、已知正方形ABCD 的边长是10cm ，APQ ∆是等边三角形，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，则BP 的边长是（ ） A 、55cm B 、3320cm C 、)31020(-cm D 、)31020(+cm 9、菱形的周长为20,两邻角的比为2∶1，则一组对边的距离为（ ） A 、32B 、332C 、3 3D 、53210、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）A 、四个角都是直角B 、两组对边分别相等C 、内角和为0360 D 、对角线平分对角二、填空题（每空1分，共11分）6、将长为12，宽为5的矩形纸片ABCD 沿对角线AC 对折后，AD 与BC 交于点E ，则DE 的长度为 .ABC D EFH G 7、从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1:3两部分，则矩形的两条对角线夹角为 . 8、菱形两条对角线长度比为1:3,则菱形较小的内角的度数为 . 9、正方形的一条对角线和一边所成的角是 度.10、已知四边形ABCD 是菱形，AEF ∆是正三角形，E 、F 分别在BC 、CD 上，且CD EF =，则=∠BAD .三、解答题（第1、2小题各10分，第3、4小题各5分，共30分）1、如图3，AB//CD ，090=∠ACB ，E 是AB 的中点， CE=CD ，DE 和AC 相交于点F. 求证：（1）AC DE ⊥；（2）ACE ACD ∠=∠.2、如图4，ABCD 为平行四边形，DFEC 和BCGH 为正方形.求证：EG AC ⊥.图43、证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ABCD EF图3图 5 A B C DE4、从菱形钝角的顶点向对边作垂线，且垂线平分对边，求菱形各角的度数？四、（第1、2小题各6分，第3小题7分，共19分）1、如图5，正方形纸片ABCD 的边BC 上有一点E ，AE=8cm ，若把纸片对折，使点A 与点E 重合，则纸片折痕的长是多少？2、如图6，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点且AE=AD ，又AE DF 于点F ，证明：EC=EF.图6 A B CD E F3、如图7，已知P 是矩形ABCD 的内的一点.求证：2222PD PB PC PA +=+.FH 图5ABCD E 参考答案一、选择题1、B;2、B3、D ；4、D ；5、A ；6、C ；7、B ；8、C ；9、D ；10、A 二、填空题 6、24119； 7、060或0120；8、060；9、045；10、0100。
数学九年级上册第一章检测题(BS)
数学九年级上册第一章检测题(BS)(时间：120分钟 满分：120分)分数：________一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．(坪山区期末)菱形、矩形、正方形都具有的性质是 ( D )A ．四条边相等，四个角相等B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．对角线互相平分2．(吉安县期末)菱形的一个内角是60°，边长是5 cm ，则这个菱形的较短的对角线长是 ( B ) A.52cm B ．5 cm C ．5 3 cm D ．10 3 cm3．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠ACB ＝30°，则∠AOB 的大小为 ( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．(南昌期末)用一长一短的两根木棒，在它们的中心处固定一个小螺钉，做成一个可转动的叉形架，四个顶点用橡皮筋连成一个四边形，转动木条，当这个四边形变成菱形时，两根木棒所成角的度数是( A) A．90° B．60° C．45° D．30°5．(莲湖区期中)如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为 ( D) A．10° B．15°C．30° D．22.5°6．★如图，矩形ABCD中，AD＝2AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，延长BF交CD于点H.若AB＝6，则CH＝ ( D) A．6－ 2 B．12－4 3C．3 2 D．12－6 2二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．(天心区期末)著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规．如图所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来，若AB＝10 cm，则画出的圆的半径为__5__cm__．8．(百色期末)已知正方形ABCD的周长是20 cm，则这个正方形的面积是__25__cm2.9．(明水县期中)如图，四边形ABCD是矩形，则只需补充条件__AB＝AD__(用字母表示，只添加一个条件)就可以判定四边形ABCD是正方形．10．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，在四边形ABCD中，若AB＝8，∠ABC＝60°，则AC＝__8__．11．(东平县期末)如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于E，F，G，H四点，则四边形EFGH为__菱形__．12．★如图是一张矩形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上的一点，AE＝5，点P在矩形ABCD的一边上，要使△AEP是等腰三角形，则△AEP的底边长为__5或52或45__．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF.求证：△ADE≌△CDF.证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝DC ，又∵E ，F 为CD ，AD 的中点，∴DF ＝12AD ，DE ＝12DC ， ∴DF ＝DE.又∵∠ADE ＝∠CDF ，∴△ADE ≌△CDF(SAS)．14．(丹东期末)如图，AD 是△ABC 的中线，AE ∥BC ，且AE ＝12BC ，连接DE ，CE.(1)求证：AB ＝DE ；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是矩形？并说明理由．(1)证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ＝12BC ， ∵AE ＝12BC ，∴AE ＝BD ， ∵AE ∥BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AB ＝DE.(2)解：当△ABC 满足AB ＝AC 时，四边形ADCE 是矩形．理由：∵AE ＝12BC ，BD ＝CD ＝12BC ，∴AE ＝CD ， ∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AB ＝DE ，∴当AB ＝AC 时，AC ＝DE ，∴四边形ADCE 是矩形．15．如图，在▱ABCD中，点E，F在直线AC上(点E在F点左侧)，BE ∥DF.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；证明：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.由BE∥DF得∠BEO＝∠DFO.又∵∠EOB＝∠FOD，∴△BEO≌△DFO，∴BE＝DF，又∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形．(2)若AB⊥AC，AB＝4，BC＝213，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．解：∵AB⊥AC，AB＝4，BC＝213，∴AC＝6，∴AO＝3，∴在Rt△BAO中，BO＝5.∵四边形BEDF是矩形，∴OE＝OB＝5.∴点E在OA的延长线上，∴AE＝2.16．(东湖区期末)请用无刻度的直尺作图：(1)在图①中，已知点E是正方形ABCD边AB的中点，分别画出BC，CD，DA的中点F，G，H；(2)图②是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点(BE＞DE)，以AE 为边画一个菱形．解：(1)如图①，点F，G，H即为所求．(2)如图②，四边形AECF即为所画的菱形．延长AE交CD于点N，连接AC交BD于点O，连接NO并延长交AB于点M，连接CM交BD于点F，四边形AECF即为所求．17．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE ＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，求正方形的边长．解：设正方形的边长为x.∵AC为正方形ABCD的对角线，∴AC＝2x，∴AE＝2x，CB＝x，∴S菱形AEFC＝AE·CB＝2x·x＝2x2＝92，解得x＝±3，依题意舍去x＝－3，即正方形的边长为3.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(河西区期中)如图，菱形花坛ABCD 的一边长AB 为20 m ， ∠ABC ＝60°，沿着该菱形的对角线修建两条小路AC 和BD.(1)求AC 和BD 的长；(2)求菱形花坛ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，∠ABD ＝12∠ABC ＝30°， ∴AO ＝12AB ＝10 m ，BO ＝AB 2－AO 2＝10 3 m ， ∴AC ＝20 m ，BD ＝20 3 m.(2)菱形花坛ABCD 的面积＝12×20×203＝2003(m 2)．19．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OE ，OF.(1)求证：△BCE ≌△DCF ；(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠D.∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴BE ＝DF ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)．(2)解：当AB ⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形．理由：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴OE ⊥AB ，∴∠AEO ＝90°，∴四边形AEOF 是正方形．20．(金水区月考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB ，OC 的中点D ，E 作AE ，AD 的平行线，相交于点F ，已知OB ＝8.(1)求证：四边形AEFD 为菱形；(2)求四边形AEFD 的面积．(1)证明：∵DF ∥AE ，EF ∥AD ，∴四边形AEFD 是平行四边形．∵四边形ABOC 是正方形，∴OB ＝OC ＝AB ＝AC ，∠ACE ＝∠ABD ＝90°.∵点D ，E 是OB ，OC 的中点，∴CE ＝BD ，在△ACE 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠ACE ＝∠ABD ＝90°，CE ＝BD ，∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴AE ＝AD ，∴四边形AEFD 是菱形．(2)解：连接DE.∵S△ABD＝12AB·BD＝12×8×4＝16，S△ODE＝12OD·OE＝12×4×4＝8，∴S△AED＝S正方形ABOC－2S△ABD－S△ODE＝64－2×16－8＝24，∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．(大余县期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C 运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为t s.(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；解：∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，由已知，得BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16－t，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16－t，解得t＝8，∴当t为8时，四边形ABQP是矩形．(2)当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由．解：四边形AQCP为菱形．理由：∵t＝6，∴BQ＝6，DP＝6，∴CQ＝16－6＝10，AP＝16－6＝10，∴AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，在Rt△ABQ中，AQ＝AB2＋BQ2＝82＋62＝10，∴AQ＝CQ，∴平行四边形AQCP为菱形，即当t＝6时，四边形AQCP为菱形．22．(德州期末)以四边形ABCD的边AB，AD为边分别向外侧作等边△ABF和△ADE，连接EB，FD，交点为G.(1)当四边形ABCD为正方形时(如图①)，EB和FD的数量关系是__EB＝FD__；(2)当四边形ABCD为矩形时(如图②)，EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图③中求出∠EGD的度数．解：(2)EB＝FD.证明：∵△AFB为等边三角形，∴AF＝AB，∠FAB＝60°.∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE，∠EAD＝60°，∴∠FAB＋∠BAD＝∠EAD＋∠BAD，即∠FAD＝∠BAE，∴△FAD≌△BAE，∴EB＝FD.(3)不变．同(2)易证△FAD≌△BAE，∴∠AEB＝∠ADF，设∠AEB＝x°，则∠ADF＝x°，∴∠BED＝(60－x)°，∠EDF＝(60＋x)°，∴∠EGD＝180°－∠BED－∠EDF＝180°－(60－x)°－(60＋x)°＝60°.六、(本大题共12分)23．(吉安市期末)阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示的形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE＝∠ECF＝∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O.(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是__正方形____；(2)当图③中的∠BCD ＝120°时，∠AEB ′＝__80__°；(3)当图②中的四边形AECF 为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有多少个(包含四边形ABCD)．请说明理由．解：(3)当图②中的四边形AECF 为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个．理由：根据题意，得BE ＝B ′E ，BC ＝B ′C ，∠B ＝∠CB ′E ＝90°， CD ＝CD ′，FD ＝FD ′，∠D ＝∠CD ′F ＝90°，∴四边形EBCB ′、四边形FDCD ′是“完美筝形”；∵四边形ABCD 是“完美筝形”，∴AB ＝AD ，CB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°，∴CD ′＝CB ′，∠CD ′O ＝∠CB ′O ＝90°，∵四边形AECF 为菱形，∴AE ＝AF ，CE ＝CF ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，∴D ′E ＝B ′F ，∠AEB ′＝∠CB ′E ＝90°，∠AFD ′＝∠CD ′F ＝90°，在△OED ′和△OFB ′中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OD ′E ＝∠OB ′F ，∠EOD ′＝∠FOB ′，D ′E ＝B ′F ，∴△OED′≌△OFB′(AAS)，∴OD′＝OB′，OE＝OF，∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”，∵包含四边形ABCD，∴对应图③中的“完美筝形”有5个．。
九年级数学第一章第一节练习题及答案北师大版 试题
1.1证明（二）练习题 一、选择题1、给出下列命题，正确的（ ）①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2、如图5，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ） （A ）45°（B ）55° （C ）60°（ D ）75°3、如下左图，在△ABC 中，∠B =∠C =40°，D ，E 是BC 上两点，且∠ADE =∠AED =80°，则图中共有等腰三角形（ ）A.6个B.5个C.4个D.3个4、如上右图，已知△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，又DE ∥BC ，交AC 于E ，若DE =4 cm ，AE =5 cm ，则AC 等于（ ） A.5 cm B.4 cm C.9 cm D.1 cm5、在Rt △ABC 中，如右图所示，∠C =90°，∠CAB =60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE =3.8 cm ，则BC 等于 A.3.8 cm B.7.6 cm C.11.4 cm D.11.2 cm二、填空题6、等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________；7、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根。
.8、如右图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，D 是BC 的中点，DE ⊥AC ，则∠C =__________°; CE ∶EA =__________.9、如左图，已知△ABC 是等边三角形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，垂足为D ，E 为AC 的中点，AD =DE =6cm 则∠ACD =_____°,AC =______cm, ∠DAC =_______°，△ADE 是______三角形.10、如右图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ， 垂足分别为D ，E ，如果AB =8 cm ，则BD =_______cm ， ∠BDE =_____°,BE =______cm. 三、解答题11、已知，如左下图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，AE =6，求四边形AFDE 的周长.12、.如右图所示△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，∠A =60°.求证：BD =3AD .13、如右图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE =CD .14、如下图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD ⊥BC ，交∠ABC 的平分线于点D ，求证：MD =MA .ECDBA1.1证明（二）练习题答案一、选择题 1－5、B.C.C.C.C 二.填空题6、17㎝7、8 8.30 3∶15 9.30 12 60 等边 10.4 30 2 三.解答题11.解：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠EAD =∠F AD ，且DF ∥AE ∴∠EAD =∠ADF ，∴∠F AD =∠ADF ∴AF =FD .同理，可得AE =ED ，∠EAD =∠EDA ∴在△ADE 和△ADF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FDA EDA ADAD FAD EAD ∴△ADE ≌△ADF （ASA ） ∴AE =AF ，DE =DF 综上，AE =ED =DF =AF =6∴四边形AFDE 的周长为4AE =4×6=24. 12.证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°， 又∵∠A =60°，∴∠ACD =30° ∴在Rt △ACD 中，AD =21AC ， 又∵∠ACB =90°，在Rt △ACB 中，∴∠B =30°，∴AC =21AB ∴AD =4AB ， 则AD =31BD ，即BD =3AD . 13.证明：∵MD ⊥BC ，且∠B =90°， ∴AB ∥MD ，∴∠BAD =∠D 又∵AD 为∠BAC 的平分线∴∠BAD =∠MAD ，∴∠D =∠MAD ， ∴M A=MD14.解：∵AD =DC ，且∠A =20°， ∴∠A =∠ACD =20°， 又∵∠ACD ∶∠BCD =2∶3 ∴∠BCD =30°，∴∠ACB =50° ∴∠ABC =180°－∠A －∠ACB =180°－20°－50°=110°。
2022年新人教版九年级数学上册第1单元学习质量检测卷(附参考答案)
2022年新人教版九年级数学上册第1单元学习质量检测卷时间：120分钟满分：120分班级__________姓名__________得分__________一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为m，记Δ＝b2﹣4ac，下列说法正确的是（）A．Δ＝（am+b）2B．Δ＝（am﹣b）2C．Δ＝（2am+b）2D．Δ＝（2am﹣b）22．（3分）关于x的一元二次方程ax2−x−14=0有两个相等的实数根，则点P（a﹣2，﹣a+3）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（）A．x1+x2＞0B．x1•x2＜0C．x1≠x2D．方程的根有可能为04．（3分）下列关于x的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣4x+4＝0B．x2﹣mx+4＝0C．x2﹣4x﹣m＝0D．x2﹣4x﹣m2＝05．（3分）定义运算：m*n＝m2+mn﹣n2，例如：4*2＝42+4×2﹣22＝20，则方程0*x＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有无数个实数根D．有两个不相等的实数根6．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x12+x2的值为（）A．0B．2C．1D．﹣17．（3分）如图，把一块长为50cm，宽为40cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为800cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）A．（50﹣2x）（40﹣x）＝800B．（50﹣x）（40﹣x）＝800C．（50﹣x）（40﹣2x）＝800D．（50﹣2x）（40﹣2x）＝8008．（3分）若α和β是关于x的方程x2+bx﹣1＝0的两根，且αβ﹣2α﹣2β＝﹣11，则b 的值是（）A．﹣3B．3C．﹣5D．59．（3分）某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A．19%B．20%C．21%D．22% 10．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x+1）x＝6210B．3 （x﹣1）＝6210C．（3x﹣1）x＝6210D．3（x﹣1）x＝6210二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）已知：m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则（m2﹣1）（n2﹣1）＝．12．（3分）若关于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有两个不同的实数根，则k 的取值范围是．13．（3分）把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为．14．（3分）已知方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，分解因式2x2+bx+c＝．15．（3分）现要在一个长为35m，宽为22m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为625m2，设小道的宽为xm，则根据题意，可列方程为．三、解答题（共10小题，满分75分）16．（6分）解方程：（1）25（x+3）2﹣16＝0；（2）x（2x+3）＝4x+6．17．（7分）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−1＝0．（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？（2）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和另一根．18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣k+4＝0有两个相等的实数根．（1）求k的值；（2）求此时方程的根．19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求m的值及方程的另一个实数根．20．（7分）幸福小区规划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若要使草坪的面积为864平方米，求通道的宽度．21．（7分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．22．（7分）某饮料批发商店平均每天可售出某款饮料300瓶，售出1瓶该款饮料的利润是1元．经调查发现，若该款饮料的批发价每降低0.1元，则每天可多售出100瓶．为了使每天获得的利润更多，该饮料批发商店决定降价x元．（1）当x为多少时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为400元？（2）该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润能达到600元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．23．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k﹣2＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根：（2）若该方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝﹣2k+3．求k的值．24．（9分）“新冠肺炎”疫情初期，一家药店购进A，B两种型号防护口罩共8万个，其中B型口罩数量不超过A型口罩数量的1.5倍，第一周就销售A型口罩0.4万个，B型口罩0.5万个，第三周的销量占30%．（1）购进A型口罩至少多少万个？（2）从销售记录看，第二周两种口罩销售增长率相同，第三周A型口罩销售增长率不变，B型口罩销售增长率是第二周的2倍．求第二周销售的增长率．25．（9分）2022年北京冬奥会和冬残奥会吉祥物分别为“冰墩墩”和“雪容融”，两个吉祥物玩偶非常畅销．某网店计划购进一种“冰墩墩”和“雪容融”玩偶共10000个进行直播销售，其中“冰墩墩”玩偶进价40元/个，“雪容融”玩偶进价30元/个，经预算，此次购买两种玩偶一共至少需要360000元．“冰墩墩”玩偶售价80元/个，“雪容融”玩偶售价60元/个．（1）计划购买“冰墩墩”玩偶最少是多少个？（2）在直播销售过程中发现“冰墩墩”玩偶很畅销，每天可销售1000个，“雪容融”玩偶每天仅销售20个，于是该网店决定将“雪容融”玩偶降价促销，经调查发现，“雪容融”玩偶每降价1元，每天可多销售2个，若想“雪容融”玩偶每天盈利800元，则每个“雪容融”玩偶应降价多少元？参考答案一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．C ； 2．B ； 3．B ； 4．D ； 5．B ； 6．B ； 7．D ； 8．C ； 9．B ； 10．D ； 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．0；12．k ＜18且k ≠0； 13．14；14．2（x+2）（x ﹣2）； 15．（35﹣2x ）（22﹣x ）＝625； 三、解答题（共10小题，满分75分） 16．解：（1）25（x +3）2﹣16＝0， 移项，得25（x +3）2＝16， 则（x +3）2=1625， ∴x +3＝±45， ∴x 1=−195，x 2=−115； （2）x （2x +3）＝4x +6， 则x （2x +3）﹣2（2x +3）＝0， ∴（x ﹣2）（2x +3）＝0， ∴x ﹣2＝0或2x +3＝0， 解得：x 1＝2，x 2=−32．17．解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴b 2﹣4ac ＝4﹣4m +4＞0， 即m ＜2．（2）当x ＝1时，1﹣2+m ﹣1＝0， ∴m ＝2， ∴x 2−2x +1＝0， 解得x 1＝x 2＝1． 即另一根是1．18．解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣8x ﹣k +4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2﹣4ac ＝0，即（﹣8）2﹣4×1×（﹣k+4）＝0，解得：k＝﹣12；（2）当k＝﹣12时，此时方程为x2﹣8x+16＝0，∴（x﹣4）2＝0，∴x1＝x2＝4．19．解：（1）∵方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个实数根，∴Δ＞0，即（﹣1）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤5 4．故m的取值范围是m≤5 4；（2）把x＝1代入方程可得1﹣1+m﹣1＝0，解得m＝1，∴方程为x2﹣x＝0，解得x1＝1，x2＝0，即方程的另一个实数根为0．20．解：设通道的宽为x米，则种草部分可合成长为（40﹣2x）米，宽为（26﹣x）米的矩形，依题意得：（40﹣2x）（26﹣x）＝864，整理得：x2﹣46x+88＝0，解得：x1＝2，x2＝44（不符合题意，舍去）．答：通道的宽为2米．21．（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，∴另外一边长度为5，∴方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，∴25﹣5（k+2）+2k＝0，解得k＝5，∴方程为x2﹣（5+2）x+2×5＝0，∴（x﹣5）（x﹣2）＝0，解得x1＝5，x2＝2，故△ABC的周长＝5+5+2＝12．22．解：（1）∵该饮料批发商店决定降价x元，∴售出1瓶该款饮料的利润是（1﹣x）元，平均每天可售出300+x0.1×100＝（300+1000x）瓶．依题意得：（1﹣x）（300+1000x）＝400，整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．答：当x为0.2或0.5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为400．（2）该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到600元，理由如下：依题意得：（1﹣x）（300+1000x）＝600，整理得：10x2﹣7x+3＝0，∵Δ＝（﹣7）2﹣4×10×3＝﹣71＜0，∴原方程没有实数根，即该饮料批发商每天卖出该款饮料的利润不能达到600元．23．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k﹣2）＝4k2+4k+1﹣4k+8＝4k2+9＞0，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k﹣2，∵x1﹣x2＝﹣2k+3，∴（x1﹣x2）2＝4k2﹣12k+9，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4k2﹣12k+9，∴（2k+1）2﹣4（k﹣2）＝4k2﹣12k+9，解得k＝0．24．解：（1）设购进A型口罩x万个，则购进B型口罩（8﹣x）万个，依题意得：8﹣x≤1.5x，解得：x≥3.2．答：购进A型口罩至少3.2万个．（2）设第二周销售的增长率为m，则第三周A型口罩销售增长率为m，B型口罩销售增长率为2m，依题意得：0.4（1+m）2+0.5（1+m）（1+2m）＝8×30%，整理得：14m2+23m﹣15＝0，解得：m1＝0.5＝50%，m2=−157（不符合题意，舍去）．答：第二周销售的增长率为50%．25．解：（1）设计划购买“冰墩墩”玩偶x个，则“雪容融”玩偶玩偶（10000﹣x）个，依题意有：40x+30（10000﹣x）≥360000，解得x≥6000．故计划购买“冰墩墩”玩偶最少是6000个；（2）设每个“雪容融”玩偶应降价y元，依题意有：（60﹣y﹣30）（20+2y）＝800，解得y1＝y2＝10．故每个“雪容融”玩偶应降价10元．。
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第一章检测题 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．(内江中考)下列命题中，真命题是( C ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．(西宁中考)如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为( D )
A．5 B．4 C.342 D.34
3．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C ) A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
,第2题图) ,第4题图) ,第5题图) ,第6题图) 4．如图，两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中，不一定成立的是( D ) A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB＋∠BCD＝180°
5．(衡阳中考)如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M、N的坐标分别是( A ) A．M(5，0)，N(8，4) B．M(4，0)，N(8，4) C．M(5，0)，N(7，4) D．M(4，0)，N(7，
4) 6．(陕西中考)如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于点M′、N′，则图中的全等三角形共有( C ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．(广东中考)如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连接EF为边的正方形EFGH的周长为( B ) A.2 B．22 C.2＋1 D．22＋1
8．(葫芦岛中考)如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为( D ) A.103 B．4 C．4.5 D．5
,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) ,第10题图) 9．(广州中考)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( A ) A.2 B．2 C.6 D．22
10．(宜宾中考)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A ) A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
二、填空题(每小题3分，共18分) 11．(成都中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为__33__. 12．(青岛中考)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD.若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__32__度．
,第11题图) ,第12题图) ,第14题图) ,第16题图) 13．(兰州中考)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__. 14．(江西中考)如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为__26__. 15．(哈尔滨中考)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为__5.5或0.5__. 16．已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝__2n＋1__. 三、解答题(共72分) 17．(6分)已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE＝CF.
证明：易证△OBE≌△OCF(SAS)，∴BE＝CF 18．(7分)如图，菱形ABCD中，E是对角线AC上一点． (1)求证：△ABE≌△ADE； (2)若AB＝AE，∠BAE＝36°，求∠CDE的度数．
(1)证明：易证△ABE≌△ADE(SAS)； (2)解：∵AB＝AE，∠BAE＝36°，
∴∠AEB＝∠ABE＝180°－∠BAE2＝72°， ∵△ABE≌△ADE，∴∠AED＝∠AEB＝72°， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAE＝36°， ∴∠CDE＝∠AED－∠DCA＝72°－36°＝36°
19．(7分)(贺州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若CD＝3，BD＝25，求四边形ABCD的面积．
(1)证明：易证△AOD≌△COB(ASA)，∴AO＝OC，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形 (2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝12BD＝5，∴OC＝CD2－OD2＝2，∴AC＝2OC＝4，∴S菱形ABCD＝12AC·BD＝45 20．(7分)(上海中考)已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)在△ADE与△CDE中，AD＝CDDE＝DEEA＝EC，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形
(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180×22＋3＋3＝45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形 21．(7分)(遵义中考)如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点． (1)求证：CP＝AQ； (2)若BP＝1，PQ＝22，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．
(1)证明：易证△CFP≌△AEQ(ASA)，∴CP＝AQ (2)解：∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°， ∵∠AEF＝45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE＝BP＝1，AQ＝AE，∴PE＝2BP＝2，∴EQ＝PE＋PQ＝2＋22＝32，∴AQ＝AE＝3，∴AB＝AE－BE＝2，∵CP＝AQ，AD＝BC，∴DQ＝BP＝1，∴AD＝AQ＋DQ＝3＋1＝4，∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝2×4＝8 22．(8分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接B，F，D，E各点． (1)求证：△BAE≌△BCF； (2)若∠ABC＝40°，求当∠EBA为多少度时，四边形BFDE是正方形． (1)证明：易证△BAE≌△BCF(SAS) (2)解：若∠ABC＝40°，则当∠EBA＝25°时，四边形BFDE是正方形．理由如下：∵四边形ABCD
是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABO＝12∠ABC＝20°，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，∵∠EBA＝25°，∴∠OBE＝25°＋20°＝45°，∴△OBE是等腰直角三角形，∴OB＝OE，∴BD＝EF，∴菱形BFDE是正方形
23．(8分)(云南中考)如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点． (1)求证：四边形AEDF是菱形； (2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.
解：(1)∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE＝12AB＝AE，Rt△ACD中，DF＝12AC＝AF，又∵AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形 (2)如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3，设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝
49①，∵AD⊥EF于O，∴Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，∴(12y)2＋(12x)2＝32，即x2＋y2＝36②，把②
代入①，可得2xy＝13，∴xy＝132，∴菱形AEDF的面积S＝12xy＝134 24．(10分)(开江县期末)如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG. (1)求证：△ADG≌△ABE； (2)求证：∠FCN＝45°； (3)请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．