数学毕业论文 仿射变换在三角形中的应用
2014届本科毕业论文仿射变换在三角形中的应用学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学09-3班学生姓名：亚森·达伍提指导教师：吐尔洪·艾尔米丁答辩日期：2014年5月8日新疆师范大学教务处目录引言 (2)一、仿射对应与仿射变换 (2)二、仿射性质 (3)2.1 仿射不变量 (3)2.2 三角形仿射等价性 (5)三、仿射变换在三角形中的应用 (5)总结 (8)参考文献 (8)致谢 (10)仿射变换在三角形中的应用摘要：此文章中主要谈的是仿射变换在三角形问题中的应用.本论文分为六大部分，分别是引言，透视仿射对应，仿射对应与仿射变换，仿射性质，三角形仿射等价性，实际例题和总结.文章先介绍了透视仿射对应与仿射对应（变换），做好了实际应用的准备.然后利用它，进行解决关于三角形的实际问题.在引言部分介绍了“仿射变换”的来源.在透视仿射对应阶段中给出了透视仿射对应的概念.仿射对应与仿射变换部分介绍了仿射对应与仿射变换的定义.仿射性质部分介绍了仿射变换的一些性质.三角形仿射等价性介绍了三角形的特殊性质.最后利用仿射变换的性质进行了解决关于三角形的实际问题.关键词：透视仿射对应；仿射对应；仿射变换；仿射性质；引言仿射变换是高等几何的重要组成部分，是联结高等几何与初等几何的纽带，是应用高等几何知识解决初等几何问题的一条重要通道.本文讲述了仿射变换及其性质，然后提到实际问题和例子再讨论仿射变换在三角形上的应用.本文对中学数学教师，中学生和大专院校数学系学生学习和钻研几何知识会起到良好的辅导和启迪作用.实际上仿射变换的应用是多种多方面的，但这篇文章中我只讨论仿射变换在三角形中的应用.一、仿射对应与仿射变换定义1.1 在一平面上设有直线a 和a '，L 为此平面上与a ，a '均不平行的另一直线，通过直线a 上各点A,B,C ，…分别作与L 平行的直线，顺次交a '于A '，B '，C '，…，这样便得到直线a 上点到 a '上的一个一一对应，称为透视仿射对应.如图（1）图（1）定义1.2 设同一平面内有n 条直线n a a a ,,,21Λ，如图（2）.121,,-n ϕϕϕΛ顺次表示1a 到2a ，2a 到3a ，1,-n a Λ到n a 的透视仿射对应，经过这一串透视仿射对应，使1a 上的点与n a 上的点建立了一一对应，这个对应称为1a 到n a 的仿射对应，用ϕ表示，于是有1221ϕϕϕϕϕ⨯⨯⨯⨯=--Λn n如图（2）1A iA nA 2A 1B 2B i B n B 1C 2C iC n C 2a ia 1a na ABCA 'B 'C 'l a 'a如果直线1a 与n a 重合，则1a 到n a 的仿射对应叫做直线1a 到自身的仿射变换.仿此可以得到二平面间的仿射对应.平面1π到n π的仿射对1221ϕϕϕϕϕ⨯⨯⨯⨯=--Λn n .所以两平面间的仿射对应也是有限次透视仿射对应的结果. 当1π与n π重合时，ϕ称为平面1π到自身的仿射变换.由于仿射对应和仿射变换都是一串透视仿射对应的乘积（称为透视仿射对应链），因此不难证明它们具有下列性质：（1） 保持同素性和结合性； （2） 保持共线三点的单比不变； （3） 保持直线的平行性.但对两个点集来讲，在仿射对应下，对应点连线不一定平行. 现在也可以直接用前两个性质定义仿射对应(变换).定义1.3 若两个平面间(平面到自身)的一个点对应(变换)保持同素性,结合性和共线三点的单比不变,则这个点对应(变换)称为仿射对应(变换).注意: 在这个定义下，可以证明仿射对应(变换)保持两直线的平行性. 据此还可以证明，平行四边形经过仿射对应(变换)后，对应图形仍为平行四边形；两条平行线段经过仿射对应(变换)后，其长度之比不变.二、 仿射性质下面我利用这些定义推出了一些性质. 我们在高等几何中已学过仿射变换的定义和仿射变换的一些性质.它在高等几何中的作用和地位是不能小看的.它的应用是多种多方面的.如:它在三角形中的应用，共线共点问题中的应用, 在椭圆问题上的应用...等等.2.1 仿射不变量定义2.1 图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（仿射不变量）.性质1 两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线.性质2 两条相交直线经仿射变换后仍变为两条相交直线. 性质3 共点直线经仿射变换后仍变为共点直线. 性质4 两条平行直线段之比是仿射不变量. 性质5 两个三角形面积之比是仿射不变量. 性质6 两个多边形面积之比是仿射不变量. 性质7 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.以上说过的仿射变换的7个性质之中我们只证明性质5,其他的很容易得出所以全部忽略.证明 设在笛卡儿坐标系下,已知不共线三点()111,y x p ,()()333222,,,y x p y x p经过仿射变换111213212223x a x a y a y a x a y a '=++⎧⎨'=++⎩22211211a a a a =∆0≠后,对应点为()()()333222111,,,,,y x p y x p y x p '''''''''，于是 11121332211321y x y x y x S p p p =∆的绝对值 （1） 11121332211321y x y x y x S p p p ''''''='''∆的绝对值 （2） 将把111213212223x a x a y a y a x a y a '=++⎧⎨'=++⎩22211211a a a a =∆0≠代入（2），得 11121233223211331231123222221132122112312212113112111321a y a x a a y a x a a y a x a a y a x a a y a x a a y a x a S p p p ++++++++++++=∆的绝对值 10011121231322122111332211a a a a a a y x y x y x ⋅=的绝对值 12212211321a a a a S p p p -=∆所以12212211321321a a a a S S p p p p p p -=∆'''∆同理,任意其它三角形123Q Q Q 经变换111213212223x a x a y a y a x a y a '=++⎧⎨'=++⎩111221220a a a a ∆=≠后得对应三角形123Q Q Q '''.其面积之比仍为 123123Q Q Q Q Q Q s s ∆'''∆=11222112a a a a -所以123123123123p p p p p p Q Q Q Q Q Q s s s s '''∆∆'''∆∆=既两个三角形面积之比是仿射不变量.2.2 三角形仿射等价性因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形.因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立.而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多.例1 在ABC ∆的中线AD 上任取一点P ，连接BP 、CP ，并延长BP 交AC 于E ，延长CP 交AB 于F ，求证：EF ∥BC .'DB图1-1 图1-2证明：如图1-2，作仿射变换T ，使得ABC ∆对应正C B A '''∆，由仿射性质可知，点D 、P 、E 、F 相应地对应D '、P '、E '、F '，且D A ''为正C B A '''∆的中线.在正C B A '''∆中D A ''也是C B ''边上的高，且B '、P '、E '与C '、P '、F '关于D A ''对称，E '、F '到C B ''的距离相等，则F E ''∥C B ''，由于平行性是仿射不变性，因此，在ABC ∆中EF ∥BC .三、仿射变换在三角形中的应用仿射变换在三角形中的应用是很重要的.在初等几何中有大量的命题是研究图形的仿射性质的.我们利用仿射变换的性质来解决在初等几何中关于三角形椭圆,圆,四边形的共线共点的问题.仿射变换在三角形问题中有什么应用呢?现在我们利用仿射性质和仿射变换来解决三角形问题.例2 P 是ABC ∆内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F .求证：1=++CFPFBE PE AD PD .ED FP''AB CPP'图2-1证明：如图2-1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影.P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得，DC DP BD D P AD PD '''==，所以BCP P AD PD '''=. 同理BC C P BE PE ''=，BC BP CF PF '=. 所以1''''''=++=++BCBP BC C P BC P P CFPFBEPE ADPD .例3 ABC ∆的每边三等分，将每分点与三角形的对点相连，这六条线构成一个六边形，求证它们的三对对顶点连线共点．证：设ABC ∆可由一正A B C '''∆经过一仿射变换T 得到如图：图3-1 图3-2显然，1D '，4D '在从点A 向对边所作的中线1A M ''上；同理3D '，6D '与B '，C '所作对边的中线2B M ''，3C M ''上．因正A B C '''∆的三中线共点于O '，所以六边形123456D D D D D D ''''''三对对顶点的连线14D D ''，36D D ''，25D D ''共点于O '．根据仿射变换的性质，可知14D D ，36D D ，25D D 也共点于O ．再将此三角形经仿射变换1-T变为原三角形，结论依然成立.例4 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1.[3]分析 如图4-1，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=⋅⋅NBANMA CM LC BL .−→−T其逆命题亦成立.NBAL'(L)A'C B AMMNA'L C（1） （2）图 4-1证明 （1）证明梅涅劳斯定理成立由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便.如图4-1 (1)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则1''-=⋅⋅=⋅⋅LBLA LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立. 上面所说总之，仿射变换在高等几何中的应用确实很重要的．仿射变换实现了在高等几何中更多的方便，更多的知识路径．总结放射变换是高等几何的重要组成部分，本文利用仿射变换和放射的性质来解决一些初等几何中的三角形问题.本文讲述了仿射变换及其性质，然后提到实际问题和例子再讨论仿射变换在三角形的应用。
仿射变换作用
仿射变换作用一、什么是仿射变换仿射变换是指在平面上对点、直线、平行线等进行变换的一种数学方法。
它是一种保持平行线仍然平行的变换，因此在计算机图形学、计算机视觉等领域中得到了广泛的应用。
二、仿射变换的作用1. 图像处理在图像处理中，仿射变换可以用来实现图像的旋转、缩放、平移等操作。
例如，我们可以通过仿射变换将一张倾斜的图片旋转成正常的图片，或者将一张图片缩小或放大。
2. 计算机视觉在计算机视觉中，仿射变换可以用来实现图像的配准、纠正畸变等操作。
例如，我们可以通过仿射变换将两张不同角度的图片进行配准，或者将一张畸变的图片进行纠正。
3. 三维重建在三维重建中，仿射变换可以用来实现相机的标定、图像的投影等操作。
例如，我们可以通过仿射变换将相机的内参和外参进行标定，或者将三维模型投影到二维平面上。
三、仿射变换的分类1. 平移变换平移变换是指将图像沿着某个方向进行移动的变换。
它可以用一个二维向量来表示，例如 (tx, ty) 表示在 x 方向上移动 tx 个像素，在 y 方向上移动 ty 个像素。
2. 旋转变换旋转变换是指将图像绕着某个点进行旋转的变换。
它可以用一个角度来表示，例如θ 表示绕着原点旋转θ 度。
3. 缩放变换缩放变换是指将图像沿着某个方向进行缩放的变换。
它可以用一个二维向量来表示，例如 (sx, sy) 表示在 x 方向上缩放 sx 倍，在 y 方向上缩放 sy 倍。
4. 剪切变换剪切变换是指将图像沿着某个方向进行剪切的变换。
它可以用一个二维向量来表示，例如 (shx, shy) 表示在 x 方向上剪切 shy 个像素，在 y 方向上剪切 shx 个像素。
四、仿射变换的实现仿射变换可以通过矩阵运算来实现。
具体来说，我们可以将仿射变换表示为一个 3x3 的矩阵，然后将图像中的每个点表示为一个 3x1 的向量，通过矩阵乘法来实现变换。
例如，对于平移变换，我们可以将其表示为如下的矩阵：```1 0 tx0 1 ty0 0 1```对于旋转变换，我们可以将其表示为如下的矩阵：```cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1```对于缩放变换，我们可以将其表示为如下的矩阵：```sx 0 00 sy 00 0 1```对于剪切变换，我们可以将其表示为如下的矩阵：```1 shy 0shx 1 00 0 1```通过这些矩阵，我们可以实现各种不同的仿射变换操作。
空间几何的非线性变换
空间几何的非线性变换空间几何是研究几何对象在三维空间中的性质和变换的一个分支。
线性变换是空间几何中非常重要的一种变换，它能够保持点、线或者平面的位置、方向、长度和角度等性质不变。
然而，在实际应用中，很多情况下需要进行非线性变换，例如在计算机图形学、计算机视觉、自然语言处理等领域就需要对图像、语言等非线性信息进行处理。
本文将重点介绍空间几何的非线性变换。
1. 刚体变换刚体变换是最简单的非线性变换之一。
刚体变换包括平移、旋转和镜像三种基本操作，它们能够保持点之间的距离和夹角不变。
例如，二维平面上的一条直线，如果进行平移、旋转、镜像操作后，依然是一条直线。
当然，在三维空间中进行刚体变换需要更复杂的运算。
刚体变换在计算机图形学的建模和动画制作中有广泛的应用。
2. 仿射变换仿射变换是一种保持直线平行的非线性变换。
它包括平移、旋转、比例和错切四种基本操作。
仿射变换能够保持平面上的点、线和平面的位置和方向不变。
对于一个不共线的三角形，它经过仿射变换后仍然是一个三角形。
仿射变换在计算机视觉、机器学习等领域有很多应用，例如在图像对齐、文本识别和人脸识别中都需要进行仿射变换。
3. 投影变换投影变换是指将三维空间中的物体映射到二维平面上的过程。
投影变换可以是线性和非线性的，其中较常用的是透视投影和正交投影。
透视投影是一种模拟人眼看物体的方法，它能够产生近大远小的效果，常用于3D建模、游戏开发和虚拟现实等领域。
正交投影能够保持物体的形状和大小不变，常用于制作工程图和CAD软件中。
4. 变形变换变形变换是一种将物体进行形状变换的非线性变换。
变形变换包括弯曲、扭曲、拉伸等形变操作，它能够改变物体的形状和大小。
例如，在计算机图形学中，可以使用变形变换对人脸进行变形，从而实现面部表情的动态模拟。
总之，空间几何的非线性变换在现代科技中有着广泛和重要的应用。
通过对非线性变换的研究，我们能够更好地理解和利用三维空间中的几何信息。
未来，随着技术的不断发展和进步，空间几何的非线性变换将会在更广泛的领域中得到应用。
仿射变换下的区域面积之比
仿射变换下的区域面积之比缪 选 民江苏省泰州市海陵区教育局教研室 225300中图分类号：O123.1 文献标识码：A 文章编号：0488-73952007年高考江苏卷出了一道耐人寻味的小题：在平面直角坐标系xO y 中，已知平面区域A 1),{(≤+=y x y x ，且}0,0≥≥y x ，则平面区域B }),(),{(A y x y x y x ∈-+=的面积为（ ）Ａ．2 Ｂ．1 Ｃ．12Ｄ．14这道题貌似线性规划的问题，本质上却是以仿射几何为背景，求一封闭图形区域经过仿射变换后图形区域的面积，本文将对它的解法与拓展作些探讨。
1．代点法。
考试结束后，一学生告诉我,他是这样解的：A 是一个三角形区域，它的三个顶点坐标是O(0,0)、M(1,0)、N(0,1)，将这三点的坐标代入),(y x y x -+中得：O ’（0,0）、M ’（1,1）、N ’(1,-1)，画出由O ’、M ’、N ’三点确定的三角形区域B ，求得区域B 的面积为1，从而选B 。
这种解法很巧妙，因为给定的变换),(),(y x y x y x -+→为仿射变换，其将直线仍变成直线，所以也将∆OMN 围成的区域变成了∆O ’M ’N ’所围区域。
该解法的巧妙之处在于回避了线性规划问题中边界交点问题，直接根据顶点来确定三角形的面积。
2．常规解法。
令⎩⎨⎧=-=+t y x s y x ，则⎩⎨⎧-=+=t s y t s x 22，由区域A 的条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+001y x y x 得⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤001t s t s s ，用线性规划的方法不难画出区域B ，求得其面积为1，答案选择B 。
这个问题的实质是将面积为21的区域A ， 经过仿射变换⎩⎨⎧-=+=y x t yx s 后变成了面积为1的区域B 。
（如下图）3．高等数学的解法。
如果用高等几何的方法来解答本题，过程非常简单，不必画出区域B 。
根据定理“两个三角形面积之比是仿射不变量”，仿射变换⎩⎨⎧-=+=y x t yx s 对应的行列式1111-的绝对值是2，区域A 的面积是21，2=的面积区域的面积区域A B ，故区域B 的面积是1。
仿射变换跟影射变换
仿射变换跟影射变换1.引言1.1 概述本文将介绍两种常见的几何变换方式：仿射变换和影射变换。
这两种变换方式在计算机视觉、图形学和图像处理领域中得到广泛的应用。
仿射变换是一种线性变换，其保持直线的性质。
在仿射变换中，平行线仍然保持平行，不会相交或者改变其相对位置关系。
此外，仿射变换也保持了物体的平直性和距离比例。
在实际应用中，我们常常用仿射变换来描述物体之间的平移、旋转、缩放和倾斜关系。
影射变换则是一种更为一般化的几何变换方式。
与仿射变换不同的是，影射变换可以改变直线的性质。
在影射变换中，我们可以看到平行线相交的情况，并且物体之间的距离比例也可能会改变。
影射变换提供了更大的灵活性，可以描述更为复杂的物体变换关系。
本文将会深入探讨仿射变换和影射变换的定义、特点以及它们在实际应用中的差异和共同点。
通过对它们的对比和分析，我们将能够更好地理解和应用这两种变换方式。
在下一节中，我们将开始介绍仿射变换的定义和特点。
1.2 文章结构文章结构部分将详细介绍本文的整体结构安排，包括各个章节的内容概述和相互之间的联系。
本文将围绕仿射变换和影射变换展开讨论，分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将对本文的主题进行概述，简要介绍仿射变换和影射变换的背景和基本概念，并阐明为何选择这两个主题进行研究。
同时，我们还会介绍本文的结构和目标，为读者提供整体的导引。
接下来的正文部分将详细探讨仿射变换和影射变换。
在2.1节中，我们将先对仿射变换进行定义，介绍其基本概念和数学表达式。
然后，在2.1.2节中，我们将进一步探讨仿射变换的特点，包括线性性、保直线性、保平行性等。
在2.2节中，我们将转向影射变换的讨论。
同样地，我们首先给出影射变换的定义和基本表达式，然后在2.2.2节中探讨其特点，例如保面积性质、保角性质和保相似性质等。
最后，在结论部分，我们将总结仿射变换和影射变换的主要内容和特点。
我们将强调它们之间的关联和差异，并探讨它们在实际应用中的重要性。
解析几何中的仿射与相似变换
解析几何中的仿射与相似变换解析几何是数学中一个重要的分支，研究的是平面和空间中的几何图形，其中涉及到各种各样的变换。
在解析几何中，仿射变换和相似变换是两个常见的变换类型，它们在几何图形的研究和应用中发挥着重要的作用。
一、仿射变换仿射变换是指保持直线平行性和直线上的点的比例关系的变换。
形式上，对于平面上的点P(x, y)，经过仿射变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = a1x + a2y + a3y' = b1x + b2y + b3其中a1、a2、a3、b1、b2、b3是常数，且a1b2 - a2b1 ≠ 0。
对于仿射变换，我们可以将其分解成平移、旋转、缩放和剪切四个基本变换的组合。
具体而言：1. 平移变换：平移变换将点P(x, y)移动到新的位置P'(x', y')，其中新位置与原位置的坐标之差为一个常量向量(v1, v2)。
对于平面上的点P(x, y)，经过平移变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = x + v1y' = y + v22. 旋转变换：旋转变换将点P(x, y)绕一个固定的点O(x0, y0)逆时针旋转θ弧度。
对于平面上的点P(x, y)，经过旋转变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = (x - x0)cosθ - (y - y0)sinθ + x0y' = (x - x0)sinθ + (y - y0)cosθ + y03. 缩放变换：缩放变换将点P(x, y)绕一个固定的点O(x0, y0)按照比例因子k进行缩放。
对于平面上的点P(x, y)，经过缩放变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = k(x - x0) + x0y' = k(y - y0) + y04. 剪切变换：剪切变换通过把点P(x, y)沿着某个方向按照比例因子k进行剪切。
第十五章 仿射变换
一、仿射变换的定义
定义：如果平面上的一个点变换，把共线的任意 三点变成共线的三点，并且保持三点的单比不 变，称这个点变换为仿射变换。
二、仿射变换的性质
1.仿射变换保持同素性:即仿射变换将点变成点, 直线变成直线. 2.仿射变换保持结合性:即仿射变换保持点与直线 的结合关系. 3.仿射变换将向量变成向量,且保持向量的线性关 系
例 1. P 是 ABC 内任一点，连结 AP、BP 、CP 并延长分别交对边于 D、E、F 求证：
PD PE PF + + =1 AD BE CF
证明：分别沿 AB 和 AC 方向作平行投影， P P' ,P P'' 由仿射变换保简单比不变得：
PD P'D DP'' PD P'P'' = = , 所以 = , AD BD DC AD BC PE P''C PF BP' = , = , 同理 BE BC CF BC PD PE PF P'P'' P''C BP' + + = + + =1 所以 AD BE CF BC BC BC
因 A'E'=CF',DA'B'=DCB'=90 ,A'B'=B'C, 所以 A'E'D CDF' ，又由于两个多边形面积之比为仿
射不变量，故有
SAED SA'E'D = =1 。所以 SAED =SCDF . SCDF SCDF'
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
思考： 如图， 已知在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 在 AD 上，AF= DF ，EF 交 AC 于 G ， 求证： AG= AC
仿射几何的基本概念与应用
仿射几何的基本概念与应用什么是仿射几何？仿射几何是几何的一个分支，它主要研究的是不改变平行性质的变换。
它是一种很重要的几何学，因为它可以应用于很多领域，比如计算机图形学、机器视觉、编码理论等等。
在这一篇文章中，我们将讨论一些仿射几何的基本概念以及它们的应用。
仿射变换首先，让我们来看一下仿射变换。
在几何学中，一个变换可以被看作是将一个图形或物体变换成另一个图形或物体的过程。
如果这个变换保持了原有图形或物体的大小、形状和平行性质，那么我们称之为仿射变换。
仿射变换可以被用在很多地方。
例如，在计算机图形学中，一个三维场景可以通过仿射变换来改变它的视角。
在机器视觉中，我们可以用仿射变换来纠正图像中的畸变问题。
因此，对于很多领域来说，了解仿射变换是很重要的。
仿射矩阵仿射变换本质上是一种矩阵运算。
我们可以用一个矩阵来描述一个仿射变换。
这个矩阵被称为仿射矩阵。
在二维平面中，我们可以用一个三行三列的矩阵来描述一个仿射变换。
矩阵的每一行代表了变换后的坐标系中的一条轴线。
如果我们有一个点的坐标 (x,y)，那么这个点在变换后的坐标系中的坐标可以通过仿射矩阵和向量相乘得到：$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a &b &c \\d &e &f \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\1 \end{pmatrix}$在这个式子中，a,b,c,d,e和f都是实数。
注意，仿射矩阵中的最后一行始终是 (0,0,1)。
这是因为仿射变换必须保持直线的平行性质，而这意味着不可能对Z轴进行任何变换。
仿射矩阵的逆矩阵由于仿射变换必须保持平行性质，因此它可以保证矩阵的可逆性。
也就是说，仿射变换矩阵的逆矩阵始终存在。
逆矩阵可以让我们从变换后的坐标系中找到变换前的坐标系。
说明仿射变换与投影变换的特点
说明仿射变换与投影变换的特点仿射变换与投影变换是图像处理中常用的变换方法，它们能够对图像进行各种形式的几何变换。
下面将分别介绍仿射变换和投影变换的特点。
1. 仿射变换:仿射变换是一种保持线段平行性质的变换。
它由线性变换和平移组成，包括平移、旋转、缩放、错切等几种变换方式。
具体特点如下：(1) 保持直线性质：在仿射变换后，直线仍然是直线，直线上的点的顺序不会改变。
(2) 保持平行线性质：平行线变换后仍然是平行线。
(3) 保持中点性质：线段的中点在仿射变换前后位置不变。
(4) 不保持面积比例：三角形的面积在仿射变换后会发生改变。
(5) 仿射变换可逆性：仿射变换可逆，即可以通过逆变换将变换后的图像恢复到原始状态。
2. 投影变换：投影变换是一种通过投影变换矩阵来改变图像的视角的方法。
它是仿射变换的扩展，通过引入透视效果来产生更加真实的效果。
具体特点如下：(1) 透视效果：投影变换引入了透视效果，能够使远处的图像变小，近处的图像变大，以模拟真实世界中的视觉效果。
(2) 改变图像视角：投影变换可以改变观察者与被观察物体之间的距离和角度，从而改变图像的视角，产生新的观察角度。
(3) 变换矩阵：投影变换使用齐次坐标，并通过4x4的齐次变换矩阵来描述变换，其中包括平移、旋转、缩放、错切等变换。
(4) 非线性变换：投影变换是一种非线性变换，不能用仿射变换的线性组合来表示，因此需要使用更复杂的方式来计算和实现。
综上所述，仿射变换和投影变换在图像处理中有着不同的应用和特点。
仿射变换主要用于几何变换，保持了图像中直线和平行线的性质，而投影变换则引入了透视效果，能够改变图像的视角和观察角度。
这两种变换方法在计算机视觉、图像合成和图像处理等领域具有广泛的应用。
用仿射变换解决高考中解析几何问题研究
用仿射变换解决高考中解析几何问题研究
作者：张天柱李松雪
来源：《新教育时代·学生版》2018年第14期
解析几何在高考中有着重要的地位，其中，与椭圆有关的问题出现频率很高。
在人教版选修4-2矩阵与变换中详细介绍了仿射变换，但在实际教学中，这部分内容往往被孤立起来，没有与其他知识形成体系。
如果将此部分知识运用到解析几何的解题中，可以通过仿射变换将椭圆变换成圆，再将与圆有关的性质应用到椭圆上，从而另辟蹊径，使得问题解决起来得心应手。
一、仿射变换的概念
仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变为另一个向量空间。
在人教版选修4-2《矩阵与变换》中，开篇介绍了几类特殊线性变换及其二阶矩阵。
其中包括：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换和切变变换。
本文将两题为例将以上几种特殊的仿射变换应用到与椭圆有关的解析几何的问题中，从而回避繁杂的计算，降低解题难度。
二、仿射变换的性质
不难证明，仿射变换具有以下性质：
性质一仿射变换前直线与曲线相切（相交、相离），仿射变换后直线与曲线依然相切（相交、相离）。
性质二仿射变换前直线与直线平行（相交、重合），伸缩变换后直线与直线依然平行（相交、重合）。
从仿射变换的性质上来看，我们的目的是将一般的几何图形变换为具有一定特殊性质的图形（例如将椭圆变换成圆，将一般三角形变换成正三角形，将平行四边形变换为正方形），根据其特殊性质来进行求解。
对于数学素养较高，数学能力较强的学生，接受起来还是比较容易的。
又因为此类学生很有可能参加数学联赛、自主招生等选拔考试，运用仿射变换解决相应题目，可以提高学生的解题能力。
专题14 仿射变换在圆锥曲线中的应用(二)
专题14 仿射变换在圆锥曲线中的应用（二）【微点综述】在上一微点我们研究了仿射变换的定义、性质及其在圆锥曲线中的初步应用——求轨迹、作图、求直线的斜率、求弦长等，本节我们讨论仿射变换的进一步应用——处理同一条线段的比例问题、面积问题、以及综合运用． 由仿射变换的性质，总结可得下表： 变换前 变换后方 程 ()222210x y a b a b +=>>222x y a ''=+横坐标 xx '纵坐标 ya y y b'=斜 率 y k x∆=∆ a yy a b k kx x b∆'∆'==='∆∆面积 12S x y =∆⋅∆ 12a S x y S b'''=∆⋅∆=弦 长 21l k x=+∆222222221111a ka b l k x k x lb k+'''=+∆=+∆=+不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比仿射变换一般而言主要应用于选填中快速得出结果，对于解答题可以利用仿射变换快速得出结果但是容易丢掉步骤分，因此还是用正常解法写出过程． （五）利用仿射变换处理同一条线段的比例问题 例7．（2018年高考浙江卷17）已知点(0,1)P ，椭圆()2214x y m m +=>上两点,A B 满足2AP PB =，则当m = 时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】解法一：如图，作仿射变换：2,,x x y y =⎧⎨=''⎩得22x y m ''+=，由于A B P ,,三点共线，则变换后,,A B P '''依然共线，且对应长度的比不变，则有2A P P B ''''=，不妨设B 在第一象限，设(),B s t '且0,0s t >>，则()2,32A s t '−−，由于,A B ''在圆22x y m ''+=上，()()2222,232,s t m s t m ⎧+=⎪∴⎨−+−=⎪⎩ 则()22243421s t t t =−+−=−−+，当2t =时，s ∴取最大值1，即B 点的横坐标的绝对值最大，此时5m =．解法二：令)B θθ．2AP PB =，则(,3)A θθ−−，()()2234m θθ−∴+−=，32m θ+∴=，22342B m m x +⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，2259424Bm x m ∴=−+−，当5m =时，点B 横坐标的绝对值最大．解法三：显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：1y kx =+，联立方程221,44,y kx x y m =+⎧⎨+=⎩可得22(14)8440k x kx m +++−=， 记()11,A x y ，()22,B x y ，则122814kx x k +=−+，1224-414k x x k=+，由2AP PB =可得122x x =−，所以22814k x k −=−+，2881144k k x k k ==++，当2x 取最大值时，214k =，此时5m =． 【评注】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．例8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()2,0M ，离心率为12，A ，B 是椭圆C 上两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率之积为34−．（1）求椭圆C 的方程；（2）若射线OA 上的点Р满足3PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求BP BQ的值．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，易知一个2312a b c a =⎧⎪⇒=⎨=⎪⎩椭圆方程为平23143x y +=（2）解法1：设1122(,),(,)A x y B x y ，则()113,3P x y ，设BQ QP λ=，则212133,11x x y y Q λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭由于A ，B ，Q 都在椭圆上，并且34OA OB k k ⋅=−，因此，∴()221910λλλ+=+⇒=（舍）或14，因此5BP BQ =． 解法2：作变换2x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，于是椭圆C 变为圆：224x y '+'=，因此314OA OB OA OB OA OB k k k k ''⎫⎫⋅=⋅=⋅=−⎪⎪⎭⎭，2OA OB '='=， 过点O 作OH B P ⊥''于H ，则29P H OP B H OB ''⎛⎫== ⎪''⎝⎭，又由于1052BP B P B H P H B HOQ OB B H Q H BQ B Q B H Q H B H'''+'''='⇒'='⇒===='''+''． 思考总结：当出现同一条边的比值问题的时候很多时候就可以考虑能否用仿射变换利用圆的性质对其作变形化简，很多情况能简化相当多的问题．而这道题还出现了斜率之积为22b a−，于是更加考虑用仿射变换去解决． （六）利用仿射变换处理面积问题利用仿射变换可以将椭圆内接三角形变成圆内接三角形，它们的面积之间存在固定的比例关系，而求解圆内接三角形的面积运算量要低很多．例9．M ，N 分别是椭圆22143x y +=和221168x y +=上的动点，则MON △面积最大值为 ．【答案】【解析】作变换x xy '=⎧⎪⎨'⎪⎩之后两个椭圆均变为圆，方程分别为22224,16x y x y '+'='+'=，故2,4OM ON '='=，当OM ON '⊥'时面积最大，此时12442M ON S ''=⨯⨯=△，MON M ON S ''∴=△△=例10．（2019年高考全国II 理21）已知()()2,0,2,0A B −，动点(),M x y 满足直线AM 与直线BM 斜率之积为12−，记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ．连接QE 并延长交C 于点G ．（i ）证明：PQG 是直角三角形； （ⅱ）求PQG 面积的最大值．【解析】（1）由题意得1222y y x x ⨯=−+−，整理得曲线C 的方程：()220421x y y +=≠， ∴曲线C 是焦点在x 轴上不含长轴端点的椭圆．（2）（i ）解法1：设()00,P x y ，则()00,Q x y −−，()()0,0,,G G E x G x y ，∴直线QE 的方程为：()0002y y x x x =−，与22142x y +=联立消去y ，得()222222000200002280xy x x y x y x x +−+−=，∴2220000220082G x y x x x x y −−=+，∴()200220082G y x x x y −=+，∴()()220000022000422G G y x y y y x x x x y −−=−=+， ∴()()()()2200022022232300000000000002322220000000000002200442242828242G PGG y x y y y x y y y x y y y x y y x y k x x x x y x x y x y x y x x x y−−−−3−−+−−−−====−−−−−−−−+， 把22024x y +=代入上式，得()()222000000222000000434222442PGy x x y x x k x y y x y y −−+−⨯===−−−−， ∴00001PQ PG y x k k x y ⎛⎫⨯=⨯−=− ⎪⎝⎭，∴PQ PG ⊥，故PQG 为直角三角形． 解法2：作变换2x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩后椭圆C 变为圆C '，方程为224x y '+'=，由于P Q ''为直径，则P G Q G ''⊥''，则1122PG QG P G Q G P G Q G k k k k ''''''''⎫⎫⋅=⋅=⋅=−⎪⎪⎭⎭， 又1,22P P PQ OP QE PQ P P x y k k k k y x ====， ∴221PQ PG QE PG PG QG k k k k k k PG PQ ⋅=⋅=⋅=−⇒⊥即PQG 是直角三角形． （ii ） ()()()2000000220081112222PQGG Q G y x S PE x x y x x y x x y ⎡⎤−⎢⎥=⨯−=+=++⎢⎥⎣⎦△ ()()22222220000000000000222222000000428212222y x x y x x y x y x y y x x y x y x y +++−++=⨯==+++()()()()()22223300000000000022442222220000000000288222522y x x y y x x y y x x y x y x y x y x y x y +++===+++++000020000821x y y x x y y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 令0000x y t y x =+>0，则2t ≥，2881212PQGt S t t t==++△，利用函数()12f t t t=+在[)2,+∞的单调性可知，()19422f t ≥+= （2t =时取等号），∴816992PQG S ≤=△（此时003x y ==），故PQG 面积的最大值为169． 【评注】求△PQG 面积的构建有以下方法： （1）12PQG S PG QG ∆=； （2）设G 点到直线PQ 的距离为d ，则12PQG S PQ d ∆=； （3）设P 点到直线QG 的距离为d ，则12PQG S PQ d ∆=； （4）12PQG Q G S PE x x ∆=−； （5）仿射变换； （6）用角表示面积．例11．（2014年高考新课标Ⅰ理20）已知点()0,2A −，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心F 是椭圆的右焦点，直线AFO 为坐标原点．（1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程． 【分析】这里第二问出现OPQ △面积最大，因此可以联想仿射变换化椭为圆去做． 【解析】（I ）设(),0F c ，由条件知，得2233c =，又32c a =， ∴2222,1a b a c ==−=，故E 的方程2214x y +=．（2）解法1：作变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩，椭圆E 变为圆：224x y ''+=，此时P Q ''过点()0,4A '−，此时2OP Q OPQ S S ''=△△，因此OPQS最大时，OP Q S ''△同样最大．1sin sin 22OP Q S OP OQ P OQ P OQ ''='⋅'∠''=2∠''≤△，当且仅当2P OQ π∠''=时最大，设直线P Q ''方程为4y k x '=''−，那么O 到直线P Q ''距离2271d k k ==∴'='+， 1722PQ k k ∴='=±∴直线l 的方程为：72y x =−． 解法2：依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线:2l y kx =−，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 将2y kx =−代入2214x y +=，得()221416120k x kx +−+=，当()216430k =−>△，即234k >时，21,28243k k x ±−=1222241431|k k PQ k x x +⋅+−−==，又点O 到直线PQ 的距离21d k =+∴OPQ △的面积22143214OPQ k S d PQ k−==+△， 243k t −=，则0t >，244144OPQ t S t t t==≤++△，当且仅当72,t k ==等号成立，且满足0>，∴当OPQ △的面积最大时，l 的方程为：72y −或72y =−． 【评注】当过椭圆外一个定点P 作一条直线与椭圆交于A ，B 两点时，AOB 面积最大值2ab，当且仅当经过仿射变换之后的A B ''与原点O 所构成的三角形为直角三角形时取到最大值．如果定点P 是圆内点，则有两种情况：①如果作仿射变换之后P '到圆心距离大于等于22a ，那么面积最大值仍然是2ab ，②如果作仿射变换之后P '，那么当OP A B '⊥''时面积取到最大值．例12．已知A ，B 分别为椭圆22:142x y C +=的左、右顶点，P 为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，直线PA ，PB 的斜率分别记为12,k k ．（1）求12k k ；（2）过坐标原点О作与直线PA ，PB 平行的两条射线分别交椭圆C 于点M ，N ，问：MON ∆的面积是否为定值？请说明理由．【分析】第一问的2122b k k a=−，并且出现了以原点为顶点的三角形的面积因此考虑用仿射变换去处理．【解析】（1）设()00,P x y ，则2200142x y +=，∴()22000012220000141222442x y y y k k x x x x −⋅=⋅===−+−−−． （2）解法1：①MN l x ⊥轴时，设(),M a b ，则212212b k k a =−=−，又22221422,1a a b b +=⇒==，则12||2MON S ab =⋅△．②MN l 与x 轴不垂直时，设直线MN 方程为：()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，()122222221224,,12124240,241,,4212km y kx m x x kk kmx m x y m x x k ⎧=++=−⎧⎪⎪⎪+∴+++−=∴⎨⎨−+=⎪⎪=⎩⎪+⎩()22222221212121221212224412122412m kmk km m k x x km x x m y y k k k k m x x x x k −−+⋅++++++∴===−+222224112242m k m k m −==−⇒=+−，∴112MONS MN d x x =⋅⋅=−==△综上可知，MON △2解法2：作变换2x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，椭圆C 变为圆：224x y '+'=，于是)()2221OM ON OM ON OM ON k k k k k k ''⋅=⋅=⋅=−，∴OM ON '⊥'，则1sin 2M ON S OM ON M ON ''=⋅'⋅'⋅∠''=2△，∴222M ON M ON S S ''==△△．【总结思考】当斜率之积出现22b a−时，很多情况都可以考虑用仿射变换去处理，∵经过变换之后，这两条直线变成垂直了，于是就可以利用垂直以及圆的特殊性质去处理． （七）仿射变换的综合应用例13．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【分析】利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M N P Q 、、、四点分别变换为''''M N P Q 、、、四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x 轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点12F F 、，当1OF 为多少时，能使得过12F F 、的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大．【解析】作仿射变换，令','ax x y y b==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，点12F F 、坐标分别为(,0)(,0)c c −、，过12F F 、作两条平行的弦分别与圆交于''''M N P Q 、、、四点．由平行四边形性质易知，三角形'''O P Q 的面积为''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积的14，故只需令三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到即可．由文[2]中的结论，易得当2c ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到．故此题离心率的取值范围为20⎛ ⎝⎦，．【评注】此题的一般解法也较多，但按照常规解法则较为繁琐．而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算较为简便，故使得本题的解答过程大大简化．本题以面积的求解为载体，在此载体下可以有多种变式，笔者给出一种，有兴趣的读者不妨用仿射变换的办法尝试求解． 例13变式．1．已知椭圆22143x y +=，()1,A m 为椭圆内一定点，过点A 的弦与椭圆交于,P Q 两点，若使得三角形OPQPQ 存在两条，则m 取值范围为_________________． 例14．2．已知动直线l 与椭圆C:22132x y +=交于()11,P x y ，()22,Q x y 两个不同点，且OPQ ∆的面积OPQ S ∆=2,其中O 为坐标原点. (1)证明2212x x +和2212y y +均为定值;(2)设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值； (3)椭圆C 上是否存在点D ，E ，G ，使得62ODEODGOEGS SS===判断DEG △的形状；若不存在，请说明理由. 【总结】以上内容是对仿射变换在解析几何应用的总结，当然有些题有其它做法，但是应用仿射变换解决起来更简捷、更方便．从以上例题可以总结得出，应用仿射变换中的仿射不变性质与仿射不变量解题的步骤可概括如下：①判断求解的问题是否能利用仿射不变性质，仿射不变量求解，一般涉及到点共直线，直线共点，线段比，面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题；②选择合适的仿射变换，找出所给图形的合适的仿射图形；③在仿射图形中求证，写出具体的仿射变换及解题过程．但值得我们注意的是，所考虑的问题都必须是仿射性质的问题，否则这种方法就不适用了．如有关线段长度，直线垂直，直线夹角大小的问题属于非仿射性质，自然就不能使用平行投影的方法解决． 【针对训练】3．如图，作斜率为12的直线l 与椭圆2214x y +=交于 ,P Q 两点，且M ⎭在直线l 的上方，则△MPQ 内切圆的圆心所在的定直线方程为__________________________．4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右端点为A ，O 为坐标原点，若在椭圆上存在一点P 使得OP ⊥P A ，则此椭圆离心率的取值范围是________. 5．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右准线为直线l ，动直线(0,0)y kx m k m =+<>交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于点P Q 、，如图，当A B 、两点分别是椭圆E 的右顶点及上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且5OQ OM =．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如果OP 是OM OQ 、的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．6．Р是椭圆22143x y +=上任意一点，O 为坐标原点，2PO OQ =，过点Q 的直线交椭圆于A ，B 两点，并且QA QB =，则PAB △面积为______________．7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的右准线为直线l ，动直线(0,0)y kx m k m =+<>交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于点P Q 、，如图，当A B 、两点分别是椭圆E 的右顶点及上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且OQ =．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如果OP 是OM OQ 、的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由． （2022成都一模）8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2，且直线1x y a b +=与圆222x y +=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ﹐B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆C 相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上．记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围． 9．平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144+=x y E a b ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆C 于点Q .（i ）求OQOP的值； （ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值.专题14 仿射变换在圆锥曲线中的应用（二）【微点综述】在上一微点我们研究了仿射变换的定义、性质及其在圆锥曲线中的初步应用——求轨迹、作图、求直线的斜率、求弦长等，本节我们讨论仿射变换的进一步应用——处理同一条线段的比例问题、面积问题、以及综合运用． 由仿射变换的性质，总结可得下表： 变换前变换后方 程 ()222210x y a b a b +=>>222x y a ''=+横坐标 xx '纵坐标 ya y y b'=斜 率 y k x∆=∆ a yy a b k kx x b∆'∆'==='∆∆面 积12S x y=∆⋅∆ 12a S x y S b'''=∆⋅∆=弦 长21l k x=+∆222222221111a ka b l k x k x lb k+'''=+∆=+∆=+不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比仿射变换一般而言主要应用于选填中快速得出结果，对于解答题可以利用仿射变换快速得出结果但是容易丢掉步骤分，因此还是用正常解法写出过程． （五）利用仿射变换处理同一条线段的比例问题例7．（2018年高考浙江卷17）已知点(0,1)P ，椭圆()2214xy m m +=>上两点,A B 满足2AP PB =，则当m = 时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】解法一：如图，作仿射变换：2,,x x y y =⎧⎨=''⎩得22x y m ''+=，由于A B P ,,三点共线，则变换后,,A B P '''依然共线，且对应长度的比不变，则有2A P P B ''''=，不妨设B 在第一象限，设(),B s t '且0,0s t >>，则()2,32A s t '−−，由于,A B ''在圆22x y m ''+=上，()()2222,232,s t m s t m ⎧+=⎪∴⎨−+−=⎪⎩ 则()22243421s t t t =−+−=−−+，当2t =时，s ∴取最大值1，即B 点的横坐标的绝对值最大，此时5m =．解法二：令)B θθ．2AP PB =，则(,3)A θθ−−，()()2234m θθ−∴+−=，32m θ+∴=，22342B m m x +⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，2259424B m x m ∴=−+−，当5m =时，点B 横坐标的绝对值最大．解法三：显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：1y kx =+，联立方程221,44,y kx x y m =+⎧⎨+=⎩可得22(14)8440k x kx m +++−=， 记()11,A x y ，()22,B x y ，则122814kx x k +=−+，1224-414k x x k =+，由2AP PB =可得122x x =−，所以22814k x k −=−+，22881144k k x k k ==++，当2x 取最大值时，214k =，此时5m =． 【评注】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．例8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()2,0M ，离心率为12，A ，B 是椭圆C上两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率之积为34−．（1）求椭圆C 的方程；（2）若射线OA 上的点Р满足3PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求BP BQ的值．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，易知一个2312a b c a =⎧⎪⇒=⎨=⎪⎩椭圆方程为平23143x y += （2）解法1：设1122(,),(,)A x y B x y ，则()113,3P x y ，设BQ QP λ=，则212133,11x x y y Q λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭由于A ，B ，Q 都在椭圆上，并且34OA OB k k ⋅=−，因此，∴()221910λλλ+=+⇒=（舍）或14，因此5BP BQ =． 解法2：作变换3x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，于是椭圆C 变为圆：224x y '+'=， 因此31433OA OB OA OB OA OB k k k k ''⎫⎫⋅=⋅=⋅=−⎪⎪⎭⎭，2OA OB '='=， 过点O 作OH B P ⊥''于H ，则29P H OP B H OB ''⎛⎫== ⎪''⎝⎭，又由于1052BP B P B H P H B HOQ OB B H Q H BQ B Q B H Q H B H'''+'''='⇒'='⇒===='''+''． 思考总结：当出现同一条边的比值问题的时候很多时候就可以考虑能否用仿射变换利用圆的性质对其作变形化简，很多情况能简化相当多的问题．而这道题还出现了斜率之积为22b a−，于是更加考虑用仿射变换去解决． （六）利用仿射变换处理面积问题利用仿射变换可以将椭圆内接三角形变成圆内接三角形，它们的面积之间存在固定的比例关系，而求解圆内接三角形的面积运算量要低很多．例9．M ，N 分别是椭圆22143x y +=和221168x y +=上的动点，则MON △面积最大值为 ．【答案】【解析】作变换x xy '=⎧⎪⎨'⎪⎩之后两个椭圆均变为圆，方程分别为22224,16x y x y '+'='+'=，故2,4OM ON '='=，当OM ON '⊥'时面积最大，此时12442M ON S ''=⨯⨯=△，MON M ON S ''∴=△△ 例10．（2019年高考全国II 理21）已知()()2,0,2,0A B −，动点(),M x y 满足直线AM 与直线BM 斜率之积为12−，记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ．连接QE 并延长交C 于点G ．（i ）证明：PQG 是直角三角形； （ⅱ）求PQG 面积的最大值．【解析】（1）由题意得1222y y x x ⨯=−+−，整理得曲线C 的方程：()220421x y y +=≠，∴曲线C 是焦点在x 轴上不含长轴端点的椭圆．（2）（i ）解法1：设()00,P x y ，则()00,Q x y −−，()()0,0,,G G E x G x y ，∴直线QE 的方程为：()0002y y x x x =−，与22142x y +=联立消去y ，得()222222000200002280xy x x y x y x x +−+−=，∴2220000220082G x y x x x x y −−=+，∴()200220082G y x x x y −=+，∴()()220000022000422G G y x y y y x x x x y −−=−=+， ∴()()()()2200022022232300000000000002322220000000000002200442242828242G PGG y x y y y x y y y x y y y x y y x y k x x x x y x x y x y x y x x x y −−−−3−−+−−−−====−−−−−−−−+， 把22024x y +=代入上式，得()()222000000222000000434222442PGy x x y x x k x y y x y y −−+−⨯===−−−−， ∴00001PQ PG y x k k x y ⎛⎫⨯=⨯−=− ⎪⎝⎭，∴PQ PG ⊥，故PQG 为直角三角形． 解法2：作变换2x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩后椭圆C 变为圆C '，方程为224x y '+'=，由于P Q ''为直径，则P G Q G ''⊥''，则112222PG QG P G Q G P G Q G k k k k ''''''''⎫⎫⋅=⋅=⋅=−⎪⎪⎭⎭， 又1,22P P PQ OP QE PQ P P x y k k k k y x ====， ∴221PQ PG QE PG PG QG k k k k k k PG PQ ⋅=⋅=⋅=−⇒⊥即PQG 是直角三角形． （ii ） ()()()2000000220081112222PQGG Q G y x S PE x x y x x y x x y ⎡⎤−⎢⎥=⨯−=+=++⎢⎥⎣⎦△ ()()22222220000000000000222222000000428212222y x x y x x y x y x y y x x y x y x y +++−++=⨯==+++()()()()()22223300000000000022442222220000000000288222522y x x y y x x y y x x y x y x y x y x y x y +++===+++++000020000821x y y x x y y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 令0000x y t y x =+>0，则2t ≥，2881212PQG t S t t t==++△，利用函数()12f t t t=+在[)2,+∞的单调性可知，()19422f t ≥+= （2t =时取等号），∴816992PQG S ≤=△ （此时00x y ==，故PQG 面积的最大值为169． 【评注】求△PQG 面积的构建有以下方法： （1）12PQG S PG QG ∆=； （2）设G 点到直线PQ 的距离为d ，则12PQG S PQ d ∆=； （3）设P 点到直线QG 的距离为d ，则12PQG S PQ d ∆=； （4）12PQG Q G S PE x x ∆=−； （5）仿射变换； （6）用角表示面积．例11．（2014年高考新课标Ⅰ理20）已知点()0,2A −，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆的右焦点，直线AF O 为坐标原点．（1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程． 【分析】这里第二问出现OPQ △面积最大，因此可以联想仿射变换化椭为圆去做．【解析】（I ）设(),0F c ，由条件知，得2c =c a = ∴2222,1a b a c ==−=，故E 的方程2214x y +=．（2）解法1：作变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩，椭圆E 变为圆：224x y ''+=，此时P Q ''过点()0,4A '−，此时2OP Q OPQ S S ''=△△，因此OPQS最大时，OP Q S ''△同样最大．1sin sin 22OP Q S OP OQ P OQ P OQ ''='⋅'∠''=2∠''≤△，当且仅当2P OQ π∠''=时最大，设直线P Q ''方程为4y k x '=''−，那么O 到直线P Q ''距离2271d k k ==∴'=±'+172PQ k k ∴='=∴直线l 的方程为：72y x =−． 解法2：依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线:2l y kx =−，设1122(,),(,)P x y Q x y ，将2y kx =−代入2214x y +=，得()221416120k x kx +−+=，当()216430k =−>△，即234k >时，21,28243k k x ±−=1222241431|k k PQ k x x +⋅+−−==O 到直线PQ 的距离21d k =+，∴OPQ △的面积214432OPQ k S d PQ −==△ 243k t −=，则0t >，244144OPQ t S t t t==≤++△，当且仅当72,t k ==等号成立，且满足0>，∴当OPQ △的面积最大时，l 的方程为：72y =−或72y =−． 【评注】当过椭圆外一个定点P 作一条直线与椭圆交于A ，B 两点时，AOB 面积最大值2ab，当且仅当经过仿射变换之后的A B ''与原点O 所构成的三角形为直角三角形时取到最大值．如果定点P 是圆内点，则有两种情况：①如果作仿射变换之后P '到圆心距离大于等于2，那么面积最大值仍然是2ab ，②如果作仿射变换之后P '2，那么当OP A B '⊥''时面积取到最大值．例12．已知A ，B 分别为椭圆22:142x y C +=的左、右顶点，P 为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，直线PA ，PB 的斜率分别记为12,k k ．（1）求12k k ；（2）过坐标原点О作与直线PA ，PB 平行的两条射线分别交椭圆C 于点M ，N ，问：MON ∆的面积是否为定值？请说明理由．【分析】第一问的2122b k k a=−，并且出现了以原点为顶点的三角形的面积因此考虑用仿射变换去处理．【解析】（1）设()00,P x y ，则2200142x y +=，∴()22000012220000141222442x y y y k k x x x x −⋅=⋅===−+−−−． （2）解法1：①MNl x ⊥轴时，设(),M a b ，则212212b k k a =−=−， 又22221422,1a a b b +=⇒==，则12||2MON S ab =⋅=△②MN l 与x 轴不垂直时，设直线MN 方程为：()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，()122222221224,,12124240,241,,4212km y kx m x x kk kmx m x y m x x k ⎧=++=−⎧⎪⎪⎪+∴+++−=∴⎨⎨−+=⎪⎪=⎩⎪+⎩()22222221212121221212224412122412m km k km m k x x km x x m y y k k k k m x x x x k −−+⋅++++++∴===−+222224112242m k m km −==−⇒=+−，∴112MONS MN d x x =⋅⋅=−==△．综上可知，MON △解法2：作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，椭圆C 变为圆：224x y '+'=，于是))21OM ON OM ON OM ON k k k k ''⋅=⋅=⋅=−，∴OM ON '⊥'，则1sin 2M ON S OM ON M ON ''=⋅'⋅'⋅∠''=2△，∴2M ON M ON S S ''=△△【总结思考】当斜率之积出现22b a−时，很多情况都可以考虑用仿射变换去处理，∵经过变换之后，这两条直线变成垂直了，于是就可以利用垂直以及圆的特殊性质去处理． （七）仿射变换的综合应用例13．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【分析】利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M N P Q 、、、四点分别变换为''''M N P Q 、、、四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x 轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点12F F 、，当1OF 为多少时，能使得过12F F 、的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大．【解析】作仿射变换，令','ax x y y b==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，点12F F 、坐标分别为(,0)(,0)c c −、，过12F F 、作两条平行的弦分别与圆交于''''M N P Q 、、、四点．由平行四边形性质易知，三角形'''O P Q 的面积为''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积的14，故只需令三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到即可．由文[2]中的结论，易得当20,2c a ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到．故此题离心率的取值范围为202⎛ ⎝⎦，．【评注】此题的一般解法也较多，但按照常规解法则较为繁琐．而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算较为简便，故使得本题的解答过程大大简化．本题以面积的求解为载体，在此载体下可以有多种变式，笔者给出一种，有兴趣的读者不妨用仿射变换的办法尝试求解． 例13变式．1．已知椭圆22143x y +=，()1,A m 为椭圆内一定点，过点A 的弦与椭圆交于,P Q 两点，若使得三角形OPQ 3PQ 存在两条，则m 取值范围为_________________． 例14．2．已知动直线l 与椭圆C:22132x y +=交于()11,P x y ，()22,Q x y 两个不同点，且OPQ ∆的面积OPQ S ∆=62,其中O 为坐标原点. (1)证明2212x x +和2212y y +均为定值;(2)设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值； (3)椭圆C 上是否存在点D ，E ，G ，使得62ODEODGOEGS SS===判断DEG △的形状；若不存在，请说明理由.【总结】以上内容是对仿射变换在解析几何应用的总结，当然有些题有其它做法，但是应用仿射变换解决起来更简捷、更方便．从以上例题可以总结得出，应用仿射变换中的仿射不变性质与仿射不变量解题的步骤可概括如下：①判断求解的问题是否能利用仿射不变性质，仿射不变量求解，一般涉及到点共直线，直线共点，线段比，面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题；②选择合适的仿射变换，找出所给图形的合适的仿射图形；③在仿射图形中求证，写出具体的仿射变换及解题过程．但值得我们注意的是，所考虑的问题都必须是仿射性质的问题，否则这种方法就不适用了．如有关线段长度，直线垂直，直线夹角大小的问题属于非仿射性质，自然就不能使用平行投影的方法解决． 【针对训练】3．如图，作斜率为12的直线l 与椭圆2214x y +=交于 ,P Q 两点，且2M ⎫⎪⎪⎭在直线l 的上方，则△MPQ 内切圆的圆心所在的定直线方程为__________________________．4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右端点为A ，O 为坐标原点，若在椭圆上存在一点P 使得OP ⊥P A ，则此椭圆离心率的取值范围是________.5．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的右准线为直线l ，动直线(0,0)y kx m k m =+<>交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于点P Q 、，如图，当A B 、两点分别是椭圆E 的右顶点及上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且OQ =．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如果OP 是OM OQ 、的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．6．Р是椭圆22143x y +=上任意一点，O 为坐标原点，2PO OQ =，过点Q 的直线交椭圆于A ，B 两点，并且QA QB =，则PAB △面积为______________．7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的右准线为直线l ，动直线(0,0)y kx m k m =+<>交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于点P Q 、，如图，当A B 、两点分别是椭圆E 的右顶点及上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且5OQ OM =．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如果OP 是OM OQ 、的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由． （2022成都一模）8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>22，且直线1x y a b +=与圆222x y +=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ﹐B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆C 相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上．记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围． 9．平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144+=x y E a b ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆C 于点Q .（i ）求OQOP的值； （ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值.参考答案：1．333,,222⎛⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】当直线PQ 斜率不存在时，可验证知其不合题意；可设:PQ y kx t =+，由A 在直线上可得t m k =−；将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式和点到直线距离公式可表示出OPQS，将t m k =−代入化简可整理得到2224320k mk m ++−=，根据满足题意的直线有两条可知0∆>，结合点A 在椭圆内即可求得m 的范围.【详解】当直线PQ 斜率不存在时，其方程为1x =，则31,2P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，131322OPQ S ∴=⨯⨯=≠∴直线PQ 斜率存在，可设其方程为：y kx t =+，()1,A m 在直线PQ 上，k t m ∴+=，即t m k =−；由22143x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()2223484120k x ktx t +++−=， ()()()2222226443441248340k t k t k t ∴∆=−+−=+−>，即2234t k <+；设()11,P x y ，()22,Q x y ，122834kt x x k ∴+=−+，212241234t x x k−=+，PQ∴==又原点O 到直线PQ距离d =12OPQSPQ d ∴=⋅==()()2222243434t k t k +−=+， 将t m k =−代入上式得：()()()()2222243434m k k m k k −+−−=+，()()()2222340m k k ∴−−+=，即()22234m k k −=+，整理可得：2224320k mk m ++−=，使得三角形OPQ PQ 存在两条，()2221683232240m m m ∴∆=−−=−>，234m ∴>；()1,A m 在椭圆内部，21143m ∴+<，则294m <，23944m ∴<<，32m ∴−<<32m <<，即实数m 的取值范围为333,,222⎛⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：333,,2222⎛⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2．(1)2222121232x x y y +=+=，； (2)52(3)椭圆C 上不存在三点D E G 、、，使得 62ODEODGOEGS SS===【分析】（1）根据已知设出直线l 的方程，利用弦长公式求出|PQ |的长，利用点到直线的距离公式求点O 到直线l 的距离，根据三角形面积公式，即可求得2212x x +和2212y y +均为定值；（2）由（I ）可求线段PQ 的中点为M ，代入|OM |•|PQ |并利用基本不等式求最值； （3）假设存在1122()(),()D u v E x y G x y ，，，，，满足62ODEODGOEGSSS===1）得2213u x +=，2223u x +=，22123x x +=，2212v y +=，2222v y += ，22122y y +=，从而得到D E G 、、的坐标，可以求出DE DG EG 、、方程，从而得出结论.(1)（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以1212x x y y ==−， ∵11()P x y ，在椭圆上 ∴2211132x y += ①又∵OPQS=2，∴11x y =②由①②得1x =11y =．此时2222121232x x y y +=+=，； （ⅱ）当直线l 的斜率存在时，是直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，，将其代入22132x y +=得 ()()222326320kx kmx m +++−=故()()222236123220k m k m ∆=−+−＞即2232k m +>又122632km x x k +=−+， ()21223232m x x k −=+ ∴PQ =∵点O 到直线l 的距离为d = ∴OPQ S又OPQS=整理得22322k m += 此时()2221212122x x x x x x +=+−()2222326=()233232m km k k −−−⨯=++ ()()()222222121212222y 3342333x x x x y +=−+−=−+= 综上所述2222121232x x y y +=+=，．结论成立．(2)（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，由（1）知1OM x ==，122PQ y ==因此OM PQ ⋅=（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，由（1）知221212123321,m 22222x x y y x x k k m k m m m +++−+=−=+==2222212122222916211||322442x x y y k m OM m m m m ++−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()22222222224322211||12223k m m PQ k m m k +−−⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭+所以22222211111||||322322OM PQ m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−⨯⨯+=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222211322524m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭≤=5||||2OM PQ ⋅≤ ．当且仅当221132m m−=+，即m =综合（1）（2）得||||OM PQ ⋅的最大值为52.(3)椭圆C 上不存在三点D E G 、、，使得 62ODEODGOEGSSS===证明：假设存在1122()(),()D u v E x y G x y ，，，，，满足62ODEODGOEGSS S===由（1）得2213u x +=，2223u x +=，22123x x +=，2212v y +=，2222v y += ，22122y y +=解得：2221232u x x ===，222121v y y ===.因此12u x x ，，从集合22⎪⎪⎩⎭-中选取，12v y y ，，从集合{}1,1−中选取；因此D E G 、、只能从点集(1)(1)⎧⎫⎪⎪−−⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，这四个点选取三个不同的点，而这三个点的两两连线必然有一条经过原点，这与62ODEODGOEGS SS===. 所以椭圆C 上不存在三点D E G 、、，使得 62ODE ODGOEGSSS===【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．（3）考查学生观察、推理以及创造性地分析问题解决问题的能力. 3．x =【分析】作仿射变换，则椭圆变成圆221x y ''+=，则可得O N P Q ''''⊥，由垂径定理可得M N ''的方程1x '=，从而可求得MN 的方程【详解】如图，作仿射变换：2x x y y =⎧⎨=''⎩，椭圆变为221x y ''+=，直线PQ 的斜率12变为直线P Q ''的斜率1，M ⎭变为,M '⎝⎭ 1,O N P Q k k O N P Q ''''''''∴=−∴⊥，由垂径定理M N ''平分P M Q '''∠，其方程为1x '=，MN ∴平分PMQ ∠，。