高等代数试卷
大学高等代数试卷
大学高等代数试卷一、选择题（每题5分，共20分）下列关于行列式的叙述，正确的是（）A. 行列式的值只与矩阵的元素有关B. 行列式可以通过行变换或列变换进行化简C. 若行列式的两行互换位置，则行列式的值不变D. 行列式的值可以是任意复数下列关于矩阵的叙述，错误的是（）A. 矩阵的秩是指矩阵中行向量或列向量的最大线性无关组的大小B. 矩阵的逆矩阵存在当且仅当矩阵是可逆的C. 矩阵的转置是将矩阵的行变为列，列变为行D. 矩阵的特征值总是实数二、填空题（每题5分，共20分）若矩阵A满足A^2 = A，则称A为幂等矩阵，此时矩阵A的特征值λ满足____________。
若矩阵B满足B^2 = 0，则称B为幂零矩阵，此时矩阵B的特征值λ满足____________。
设矩阵C的特征值为2, -1, -3，则矩阵C的迹（即矩阵C的主对角线元素之和）为____________。
三、计算题（每题10分，共30分）计算矩阵A的行列式，其中A = [1, 2; 3, 4]。
计算矩阵B的特征值，其中B = [1, -1; -1, 1]。
设矩阵C的一个特征值为λ，求对应的特征向量。
四、应用题（每题10分，共20分）证明或反证：若矩阵A是n阶正交矩阵，则A的逆矩阵A^{-1}等于A的转置矩阵A^T。
证明或反证：若矩阵A是n阶可逆矩阵，且满足AA^T = A^TA = I，则A是正交矩阵。
五、探究题（每题5分，共10分）探究矩阵A的相似对角化问题，其中A = [0, 1; -1, 0]。
说明是否存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP是对角矩阵，并给出相应的对角矩阵。
总分：80分这份试卷涵盖了行列式、矩阵的性质、特征值和特征向量等基础知识点，以及矩阵的相似对角化问题，难度较高，适合作为一次高等代数的考试试卷。
高等代数试题(附答案)
科目名称：《高等代数》姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题（每小题5分，共25分）1、 在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。
2、 向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。
3、 （维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。
4、 假设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。
5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题（每小题2分，共20分）1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。
（ ）2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。
（ ）3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。
（ ）4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。
（ ）5、 令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。
其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。
（ ）6、 矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。
（ ）7、 若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。
（ ） 8、 n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。
（ ）9、 在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的子空间。
（ ）10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。
北京大学数学科学学院高等代数(II)期末考试题
试题1（北京大学高等代数(I)期末考试题）一、（本题共40分）给定有理数域Q 上的多项式42()3 3.f x x x =++1．（本题5分）证明()f x 为Q 中的不可约多项式.2．（本题5分）设α是()f x 在复数域C 内的一个根，定义[]{}2012.Q a a a a αα=++证明：对于任意的[]()g x Q x ∈，有[]()g Q αα∈；又对于任意的[],Q βγα∈，有[]Q βγα∈.3．（本题5分）接上题，证明：若[]Q βα∈，0β≠，则存在[]Q γα∈，使得1βγ=.4．（本题5分）找出()f x 的一个sturm 序列, 判断()f x 有几个实根.5．（本题5分）求下面三阶方阵在有理数域Q 上的最小多项式：0 031 000 13A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 二、（本题10分）在欧氏空间4R 内求下列齐次线性方程组123412412342303220390x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪++-=⎩的解空间的正交补空间的一组标准正交基.三、（本题15分）给定数域P 上的多项式3()f x x px q =++.设()f x 在复数域C 内的三个根是123,,ααα.求P 上的首1三项式()F x ，它以222123,,ααα为三个根. 四、（本题15分）设σ是n 维酉空间V 内的一个Hermite 变换.1．（本题5分）证明i σε-可逆，这里i 为虚单位.2．（本题10分）证明1()()i i τσεσε-=-+为酉变换.五、（本题10分）设σ是n 维酉空间V 内的一个线性变换.如果σ的特征向量都是*σ的特征向量，证明σ是正规变换.六、（本题5分） 证明在n 维欧氏空间V 中两两夹钝角（即夹角大于2π）的向量不能多于1n +个.七、（本题5分）考察复数域上全体n 阶方阵所成的集合()n M C ，它关于矩阵的加法及实数与矩阵的数乘组成实数域R 上的线性空间.设M 为其子空间，且满足：（i ）若,A B M ∈，则,A B M ∈；（ii ）若,0A M A ∈≠ ，则A 可逆，且1A M -∈.1．证明：任给A M ∈，则()A aE a R =∈或A aE B =+，这里a R ∈，且2(,0)B b E b R b =∈<. 2．令{}2|,,0N A M A bE b R b =∈=∈<，证明N 是M 的子空间.。
高等代数期末考试试卷
一、填空题（每小题2分，共10分）1．多项式22009320101()(2)()2f x x x =+-的常数项为 。
2．设,,a b c 是方程30x px q ++=的三个根，则a bcb c a c a b = 。
3．线性方程组m n A x b ⨯=有无穷多解的充要条件是______________________。
4．设矩阵123012001A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭＝，则1A -的秩为 。
5．设实二次型123(,,)f x x x 的矩阵是111t ⎛⎫⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x 是正定二次型的充要条件是 。
二、单选题（每小题2分，共10分）1．实数域上次数大于1的多项式()f x 有一实根是()f x 在实数域上可约的（ ）。
a) 必要非充分条件 b) 充分必要条件 c) 充分非必要条件 d) 既非充分又非必要条件2．行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则332313322212312111a a a a a a a a a =（ ）。
a) d - b) d c) 0 d) 不确定3．λ=（ ），非齐次线性方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解。
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4．若矩阵A 满足20A A E ++=，则9A =（ ）。
a) A b) A - c) E d) 05．矩阵（ ）合同与200010005-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 。
a) 4000100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭b) 300020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭c) 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭d) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、判断题（每小题2分，共10分）1．若()()()h x f x g x ，则()()h x f x 或()()h x g x 。
(完整word版)高等代数期末试卷
高等代数课程期末试卷命题人：审题人：姓名数学系班学号：题号一二三四五总分得分一、是非题（每小题2分，共10分）1．f(x)=ax+b (a≠0)在任意数域上不可约。
（）2．行列式D=0，则行列式定有两行成比例。
（）3.两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。
（）4.若对于方阵A，存在0021≠≠αα，满足2211αααα-==A A ，，则21αα、线性无关.()5.设δ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换，则δ关于V 的任一基的矩阵都为正交矩阵.()二、选择题（每小题3分，共18分）1.设f(x)∈R[x],若对任意的首项系数为1的g(x)∈R[x],都有（f(x),g(x)）=g(x),则f(x)必为()A.零次多项式B.零多项式C.f(x)≡1D.不存在得分得分2.记D=ba c a cb cb a ,A=a+b+c,B=a 2+b 2+c 2,C=ab+bc+ca ,如果D=0,那么必有（）A.A=0B.B-C=0C.A=0或B-C=0D.A,B,C 不确定3.若21,W W 都是n 维线性空间V 的子空间，那么（）A.维()1W +维()21W W =维()2W +维()21W W +；B.维()21W W +=维()1W +维()2W ；C.维()1W +维()21W W +=维()2W +维()21W W ；D.维()1W -维()21W W =维()21W W +-维()2W 。
4.同一个线性变换在不同基下的矩阵是（）A.合同的；B.相似的；C.相等的；D.正交的。
5.设V 是n 维欧氏空间，那么V 中的元素具有如下性质（）A 若()()γβγαβα=⇒=,,；B 若βαβα=⇒=；C 若()11,=⇒=ααα；D 若()βα,>βα=⇒0。
6、设u 是正交矩阵，则（）A u 的行列式等于1B u 的行列式等于-1C u 的行列式等于±1D u 的行列式等于0三、填空题（每小空3分，共21分）1.2i 是多项式f(x)=x 7+x 5+2x 4-8x 3+8x 2-12x+8的二重根，f(x)的其他根是。
(完整word版)免费-高等代数试卷二及答案
高等代数试卷二一、 单项选择题（每小题2分，共10分）【 】1、设)(x f 为3次实系数多项式，则A.)(x f 至少有一个有理根B. )(x f 至少有一个实根C.)(x f 存在一对非实共轭复根D. )(x f 有三个实根.【 】2、设,A B 为任意两个n 级方阵，则如下等式成立的是 A. 222()2A B A AB B +=++ B. A B A B +=+ C. AB B A = D. A B A B -=-【 】3、设向量组12,αα线性无关，则向量组1212,a b c d αααα++线性无关的充分必要条件为A. ad bc ≠B. ad bc =C. ab cd ≠D. ab cd = 【 】4.一个(2)n ≥级方阵A 经过若干次初等变换之后变为B , 则一定有A. A B =B. 0Ax =与0Bx =同解C. 秩()A =秩()BD. **A B =【 】5、设矩阵A 和B 分别是23⨯和33⨯的矩阵，秩()2A =，秩()3B =，则秩()AB 是A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每小题2分，共20分）1．多项式)(x f 没有重因式的充要条件是 . 2 .若()()1f x g x +=,则((),())f x g x = .3. 设1230231002A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则*1()A -= .4. 行列式1230000a a a 的代数余子式之和:313233A A A ++为______________. 5.设3级方阵1211222,2A B ααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,i i αβ均为3维行向量。
若16,2A B ==，则A B -= .6. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为0, 则 r(A)= .7.线性方程组 121232343414x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩, 有解的充要条件是 .8. 若向量组12,,r αααL 可由12,,s βββL 线性表示，且12,,r αααL 线性无关，则 r s.9.设A 为3级矩阵, 且12A =, 则 1*A A --= 10. 设001200373*******A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭, 则1A -= .三、判断题（每小题2分，共10分）【 】1、若不可约多项式p(x)是()f x '的2重因式,则p(x)是)(x f 的3重因式.【 】2、设n 级方阵A 为可逆矩阵，则对任意的n 维向量β，线性方程组Ax β=都有解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等代数试卷一一、填空题（每小题2分，共10分）1．多项式22009320101()(2)()2f x x x =+-的常数项为 。
2．设,,a b c 是方程30x px q ++=的三个根，则a bcb c a c a b = 。
3．线性方程组m n A x b ⨯=有无穷多解的充要条件是______________________。
4．设矩阵123012001A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭＝，则1A -的秩为 。
5．设实二次型123(,,)f x x x 的矩阵是111t ⎛⎫⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x 是正定二次型的充要条件是 。
二、单选题（每小题2分，共10分）1．实数域上次数大于1的多项式()f x 有一实根是()f x 在实数域上可约的（ ）。
a) 必要非充分条件 b) 充分必要条件 c) 充分非必要条件 d) 既非充分又非必要条件2．行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则332313322212312111a a a a a a a a a =（ ）。
a) d - b) d c) 0 d) 不确定3．λ=（ ），非齐次线性方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解。
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4．若矩阵A 满足20A A E ++=，则9A =（ ）。
a) A b) A - c) E d) 05．矩阵（ ）合同与200010005-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭。
a) 4000100010⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ b) 300020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ c) 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ d) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、判断题（每小题2分，共10分）1．若()()()h x f x g x ，则()()h x f x 或()()h x g x 。
（ ） 2．设,A B 为同级方阵，则行列式||||||A B A B +=+。
（ ） 3．若,A B 都是n 级方阵，且20A =，30B =，则6()0AB =。
（ ） 4．如果向量组123,,ααα线性相关，且3α不能由12,αα线性表出，则向量1α和2α仅差一个数值因子。
（ ）5．实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的主子式全大于零。
（ ） 四、计算题 （每小题10分，共50分） 1．计算下列行列式1) 111111111111x x x x ----；2)1111(1)(1)11()()1n n nn n n a a a a a a a n a n a n ---------。
（3）求2123110010001n n n a a a a a A a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵2．讨论非齐次线性方程组1231231232,1,21,a x x x xb x x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩何时有唯一解？有无穷多个解？无解？3．（1）设0100001000010000n nH ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算,2,3,,k H k n = ； （2）计算2211()()n n E aH E aH a H a H ---++++ ；4．用非退化线性替换化二次型22112213232348x x x x x x x x --+-为标准形。
五、证明题（每小题10分，共30分）1．设向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表出，但β不能由向量组121,,,s ααα- 线性表出。
证明：秩121(,,,,)s s αααα- 与秩121(,,,,)s αααβ- 。
2．元素全为整数的矩阵称为整数矩阵。
对于一个n 级整数矩阵A ，如果存在一个n 级整数矩阵B ，使得AB BA E ==，那么称A 是整数环Z 上的可逆矩阵。
证明：整数矩阵A 是Z 上的可逆矩阵当且仅当||1A =±。
3．设12(),(),()[]f x g x g x P x ∈，且((),())1,1,2i f x g x i ==， 证明：（1）若2()|()x g x ϕ，则((),())1f x x ϕ=；（2）若12(,)()fg g d x =，则12(,)()g g d x =。
高等代数试卷二一、填空题（共10 题，每题2分，共20分）。
1． 多项式可整除任意多项式。
2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。
3．在n 阶行列式D 中，0的个数多于 个是0D =。
4．若A 是n 阶方阵，且秩1A n =-，则秩A *= 。
5．实数域上不可约多项式的类型有 种。
6．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)()k f x -的 重因式。
7．写出行列式展开定理及推论公式 。
8．当排列12n i i i 是奇排列时，则12n i i i 可经过 数次对换变成12n 。
9．方程组12312322232121x x x ax bx cx d a x b x c x d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当满足 条件时，有唯一解，唯一解为 。
10．若242(1)1x ax bx -∣++，则a = ，b = 。
二、判断题（共10 题，每题1分， 共 10分）。
1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。
（ ）2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。
（ ）3．设12n ααα 是n P 中n 个向量，若n P β∀∈，有12,n αααβ 线性相关，则12n ααα 线性相关。
（ ）4.设α是某一方程组的解向量，k 为某一常数，则k α也为该方程组的解向量。
（ ） 5．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。
（ ）6 秩()A B +＝秩A ，当 且仅当秩0B =。
（ ） 7．向量α线性相关⇔它是任一向量组的线性组合。
（ ）8． 若(),()[]f x g x P x ∈，且((),()1f x g x =，则(()(),()()1f xg x f x g x +=。
（ ）9．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。
（ ）10．若,,,n n A B C D P ⨯∈，则A BAD BC C D=-。
（ ） 三、选择题（共 5 题，每题2分， 共10分）。
1．A 为方阵，则3A =（ ）A. 3AB. AC. 3n AD. 3n A2.若既约分数rs是整系数多项式()f x 的根，则下面结论那个正确（ ）A. (1),(1)s r f s r f +∣-∣-B. (1),(1)s r f s r f +∣+∣-C. (1),(1)s r f s r f +∣--∣D. (1),(1)s r f s r f +∣-+∣-3. n 阶行列式D ，当n 取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（ ）A. 4k 或42k +B. 4k 或41k +C. 4k 或43k +D. 41k +或42k +4．含n 有个未知量1n +个方程的线性方程组1111221111221,111,221,1n n n n nn n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b+++++++=⎛+++= +++=⎝ 有解的 （ ）条件是行列式111211121,11,21,10n n n nnn n n n nn a a a b a a a b a a a b ++++=。
A.充要B.必要C.充分必要D.不充分不必要 5． 1110()[]n n n n f x a x a x a x a Z x --=++++∈ ，若既约分数pq是()f x 的有理根，则下列结论正确的是（ ）A. 0,n p a q a ∣∣B. ,n n p a q a ∣∣C. 0,n p a q a ∣∣D. 00,p a q a ∣∣ 四、计算题（共4 题，每题7分，共28分）。
1．设 432()343f x x x x x =+---，32()31023g x x x x =++- 求((),())f x g x ，并求(),()u x v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+。
2．计算下列n 阶行列式111212122212n n n n n n na b a b a b a b a b a b D a b a b a b ------=---3．求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出它的通解。
1234123412341234502303803970x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩ 4．设012114210A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，判断A 是否可逆，若可逆，求1A -五、证明题（共 4 题，每题 8分， 共 32 分）。
1．设,A B 为n n ⨯矩阵，如果0AB =，那么秩()A ＋秩()B n ≤。
2．如果a 是()f x '''的一个k 重根，证明a 是()[()()]()()2x ag x f x f a f x f a -''=+-+的一个3k +重根。
3．证明：cos 1000012cos 1000012cos 000cos 0002cos 1000012cos 1012cos n D n ααααααα==4．设向量组12,,,(1)s ααα 12,,,(2)t βββ1212,,,,,,(3)s t αααβββ ,的秩分别为123,,r r r ，证明12312max{,}r r r r r ≤≤+。
高等代数试卷二一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。
2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。
3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。
4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。
5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。
6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。