信号分析与处理答案(第二版)

第二章习题参考解答
2.1 求下列系统的阶跃响应和冲激响应。
(1)
解 当激励为时，响应为，即：
由于方程简单，可利用迭代法求解：
， ，

…，
由此可归纳出的表达式：
利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应：

(2)
解 (a)求冲激响应

，当时，。
特征方程 ，解得特征根为。所以：
…(.1)
通过原方程迭代知，，，代入式(.1)中得：

解得， 代入式(.1)：

…(.2)

可验证满足式(.2)，所以：

(b)求阶跃响应

通解为
特解形式为 ，，代入原方程有 ， 即
完全解为
通过原方程迭代之，，由此可得

解得，。所以阶跃响应为：

(3)
解

(4)
解
当t>0时，原方程变为：。
…(.1)

…(.2)
将(.1)、式代入原方程，比较两边的系数得：

阶跃响应：
2.2 求下列离散序列的卷积和。

(1)

解 用表格法求解

(2)

解 用表格法求解

(3) 和 如题图所示
解 用表格法求解

(4)
解

(5)
解

(6)
解 参见右图。

当时：

当时：
当时：
当时：
当时：
(7) ，
解 参见右图：

当时：

当时：

当时：
当时：

当时：

(8) ，
解 参见右图
当时：
当时：

当时：

当时：

(9)
，

解

(10) ，
解

或写作：
2.3 求下列连续信号的卷积。
(1) ，
解 参见右图：
当时：

当时：
当时：
当时：
当时：
当时：

(2) 和 如图所示

解 当时：
当时：
当时：
当时：

当时：

(3) ，

解

(4) ，
解
(5) ，
解 参见右图。当时：

当时：
当时：
当时：

(6) ，

解

(7) ，
解

(8) ，

解
(9) ，
解

2.4 试求题图2.4示系统的总冲激响应表达式。
解

2.5 已知系统的微分方程及初始状态如下，试求系统的零输入响应。
(1) ；

解 ，，

(2) ； ，
解 ，，
，，可定出

(3) ； ，
解 ，
，，可定出

2.6 某一阶电路如题图2.6所示，电路达到稳定状态后，开关S于时闭合，试求输出响应。

解 由于电容器二端的电压在ｔ＝０时不会发生突变，所以。
根据电路可以立出ｔ＞０时的微分方程：

， 整理得
齐次解：
非齐次特解：设 代入原方程可定出Ｂ＝２

，
则：

2.7 积分电路如题图2.7所示，已知激励信号为，试求零状态响应。
解 根据电路可建立微分方程：

当时：

由可定出 ，

根据系统的时不变性知，当时：
当 时：

2.8 求下列离散系统的零输入响应。
(1) ； ，
解
由，， 可定出 ，

(2) ； ，
解
由，， 可定出
.

(3) ； ，，
解 特征方程，，

由

可定出

2.9 求下列离散系统的完全响应。
(1) ；
解 齐次方程通解：

非齐次方程特解： 代入原方程得：

由 可定出

(2) ； ，
解 齐次方程通解：
非齐次方程特解： 代入原方程定出

由 可定出
2.10 试判断下列系统的稳定性和因果性。
(1)
解 因果的；稳定的。

(2)
解 因为冲激响应不满足绝对可和条件，所以是不稳定的；非因果的。

(3)
解 稳定的，非因果的。

(4)
解 不稳定的，因果的。

(5)
解 不稳定的，因果的。

(6) (为实数)
解 时： 不稳定的，因果的；

时： 稳定的，因果的；
时：
不稳定的，因果的。

(7)
解 不稳定的，非因果的。

(8)
解 稳定的，非因果的。

2.11 用方框图表示下列系统。
(1)
(2)
(3)

*2.12 根据系统的差分方程求系统的单位脉冲响应。
(1)
解
当时： ,
由原方程知当时：，由此可定出

(2)
解
当时： 齐次方程的通解为，
由原方程迭代求解可得为：

由此可以定出

*2.13 根据系统的微分方程求系统的单位冲激响应。
(1)
解

当时：，，代入原方程可确定
(2)
解
当时：

代入原方程，比较两边系数得：
*2.14 试求下列系统的零输入响应、零状态响应、强迫响应、自由响应。
(1) ；，，
解 (a)求强迫响应： 假设特解为：
代入原方程，可定出； 则强迫响应
(a)求自由响应：
利用冲激平衡法可知：

可定出；所以

完全解形式：，由定出
即完全响应为：
所以自由响应为：
(b)求强迫响应： 假设特解为：
代入原方程，可定出； 则强迫响应
(c)求零输入响应：

由 可定出

(d)求零状态响应
零状态响应＝自由响应＋强迫响应－零输入响应

＝
综上所求，有：

(2) ；，，
解法一 用z变换求解。方程两边进行z变换，则有：

解法二：时域解法。
求强迫响应：

当时： 即为常值序列，

设特解为，代入原方程可定出
当时：仅在激励作用下，由原方程知，即：
特解在时均满足方程。
求自由响应：

完全解：
由经迭代得：
由可定出完全解中系数为：

则自由响应分量为：
零输入响应：

由 可以定出：

零状态响应：

*2.15 试证明线性时不变系统具有如下性质：
(1) 若系统对激励的响应为，则系统对激励的响应为；
(2) 若系统对激励的响应为，则系统对激励的响应为。
证(1) 已知，根据系统的线性试不变性有：

；令，则有：
证(2) 已知，根据系统的线性试不变性有：

令 则 ，
所以
证毕。

*2.16 考察题图2.16(a)所示系统，其中开平方运算取正根。
(1) 求出和之间的关系；
(2) 该系统是线性系统吗，是时不变系统吗？

(3) 若输入信号是题图2.16(b)所示的矩形脉冲(时间单位：秒)，求响应。

解 (1)
由系统
框图可
得
(2) 由输入一输出关系可以看出，该系统不满足可加性，故系统是非线性的。

又因为当输入为时，输出为），故系统是时不变的。
(3) 由输入一输出关系，可以求得输出为图示波形。

*2.17 一个线性系统对的响应为，
(1) 该系统是否为时不变系统？
(2) 该系统是否是因果系统？

(3) 若 a)；b)，求该系统对每个输入的响应。
解 (1) 当时，输入为输出为
当时，输入为输出为
显然 ，是时变系统。
(2) 当时，如
显然，响应出现于激励之前，所以是非因果系统。

(3) 因为不是LTI系统，所以输出响应不能用来计算。对于线性时变系统，输出响
应可求解如
下：

任意信号仍可分解为冲激函数的和，即有：
因为（这里是的二元函数）

由于系统为线性的，故有：
对于此例有，
当时：

（注意：）

即
当时：

第三章习题参考解答
3.1 求下列信号展开成傅里叶级数，并画出响应相应的幅频特性曲线。

解 (a)
解 (b)

解 (c)
解 (d)

3.2 求题图3.2所示信号的傅里叶变换。
解 (a)
解 (b) 设，

由傅氏变换的微积分性质知：