线性代数练习册第四章习题及答案(本)
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第四章 线性方程组
§4-1 克拉默法则
一、选择题
1．下列说法正确的是（ C ）
A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；
B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；
C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；
D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）
A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；
B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；
C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；
D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题
1．已知齐次线性方程组1231231
230020
x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解，
则λ= 1 ，μ= 0 .
2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =
i D D
.
三、用克拉默法则求解下列方程组
1．832
623x y x y +=⎧⎨+=⎩
解：
8320
6
2
D =
=-≠
1235
3
2
D =
=-，
28212
6
3D =
=-
所以，125,62D D x y D D
=
==
=-
2．1231231
23231
x x x x x x ⎪
+-=⎨⎪-+-=⎩
解：
2131
121121
22
1303550111
010
r r D r r ---=--=-≠+---
112221
05
1
1321135011011D r r ---=-+-=---，
212121
5
052
13221310101101D r r --=-+-=-----，
312122
5
002
11221151
1011
0D r r --=+=---
所以， 3121231,2,1
D D D x x x D
D
D
===
==
=
3．21241832x z x y z x y z -=⎧⎪
+-=⎨⎪-++=⎩
解：
13201001
2
412041200183
58
3
D c c --=-+-=≠-
131101
1
00
1
41140202832
85D c c -=-+=，
232211
2
102
112100123125D c c -=-+=--，
313201
012
412041201
8258
2D c c =-=--
所以， 3121,0,1D D D x y z D
D
D
===
==
=
4．1234123412341
234242235232110
x x x x x x x x x x x x ⎪
+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩
解：
21314121311111111112140123223150537331211
21
8
123123
5537013814222
180
5
14r r D r r r r r r r r ---=
------------+=----=-+---
321421232
5111
5
111022214225182315235281101
2
11
010
5110010
5251827332142102
528235
22c c D c c c c c c --------=
----------+=-----=----
2123141
1323
15111511121407232221501237330211
151
8723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----=
--------------=----=------123422131
1151
21510312245
221823251111
3228310110
10
02510200251521852974265211
228
11
51
27
c c D c c c c c c -------=
---------+=-----=----
124323221
111521153121252522231211352312
010
215215
5525027142511
5
2
6
4
c c D c c r r r r --------=
----------+=----=---
所以， 312412341,2,3,1D D D D x x x x D
D
D
D
=====
==
=-
§4-2 齐次线性方程组
一、选择题
1．已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）. A.1k α； B.2k α； C.12()k αα+； D.12()k αα-.
解：因为m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系 含1个向量。而12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解， 所以120αα-≠为0AX =的解，则方程组0AX =的通解为12()k αα-。
2．设线性方程组1231231
230020
kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，则正确的是（ C ）
A.k 必定为0；
B. k 必定为1；
C. k 为0或1；
D.这样的k 值不存在.