数值分析总复习提纲

数值分析总复习提纲

数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。

一、误差分析与算法分析

误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算

截断误差根据泰勒余项进行计算。

基本的问题是

(1)1

()(01)(1)!

n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。

例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。

解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。由麦克劳林公式，可知

211(01)2!!(1)!

n x x

n x x e e x x n n θθ+=+++++<<+

当x=1时，1

111(01)2!

!(1)!

e e n n θθ=+++

++

<<+

故3

(1)(1)!(1)!

n e R n n θ=<++。

当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。此时， e≈2.718 285。

2、绝对误差、相对误差及误差限计算

绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。 基本的计算公式是：

①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx

② *()()()ln r e x e x dx

e x d x x x x

====

③(())()()()e f x f x dx f x e x ''== ④(())(ln ())r e f x d f x =

⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+ ⑥121212((,))

((,))(,)

f x x f x x f x x εδ=

⑦ x

ε

δ=

注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式

()()r e x e x x =

或x

ε

δ=， 这样计算简单。

例1．2：测得圆环的外径d 1=10±0.05(cm)，内径d 2=5±0.1(cm)。求其面积的近似值和相应的绝对误差限、相对误差限。

解：圆环的面积公式为： 22

12()4

S d d π

=

-

所以，圆环面积的近似值为

222(105)58.905()4

S cm π

=

-≈

由上述讨论，面积近似值的绝对误差限为

112211222()(2()2())(()())

4

2

(100.0550.1)2

1.57()

S d d d d d d d d cm π

π

εεεεεπ

≤

+=

+=

⨯+⨯≈

相对误差为

() 1.57

()100% 2.7%58.905

S S S εδ==⨯≈

相对误差要化成百分数。

3、绝对误差、相对误差、有效数字的关系计算

绝对误差、相对误差、有效数字的关系依据如下结论讨论： ①如果一个数

*123

11

10.(0)n n n x a a a a a a a -+=±≠

其近似值

123

10.n n x a a a a a -=±

是对x*的第n+1位进行四舍五入后得到的，则x 有n 位有效数字，且其绝对误差不超过

1

102

n -⨯ ，即 1

*102

n x x --≤⨯ 。

②如果一个数

*123

1110.10(0)m n n n x a a a a a a a -+=±⨯≠

的近似值

123

10.10m n n x a a a a a -=±⨯

是对x*的第n+1位进行四舍五入后得到的，则x 有n 位有效数字，且其绝对误差不超过

1

102

m n -⨯ ，即 1

*102

m n x x --≤⨯。

③设12310.10m n n x a a a a a -=±⨯是x*的具有n 位有效数字的近似值，则其相对误差限为

11

1102n a δ-=⨯

反之，若x 的相对误差限111

102(1)

n a δ-=

⨯+

则x 至少具有n 位有效数字。

例1.3

的近似值，使其绝对误差不超过31

102

-⨯。

解：因为12<<

所以，化成12310.10m n n x a a a a a -=±⨯的形式，有11,1a m ==。

而31411

101022

ε--=⨯=⨯，

所以，由定理2，n=4，

所以近似值应保留4位有效数字。

1.732≈。

例1．4

的近似值的相对误差不超过410-，应取几位有效数字？

（5％）

解：设取n 个有效数字可使相对误差小于410-，则 1411

10102n a --⨯<，

而34≤≤，显然13a =，此时，

114111*********n n a ---⨯=⨯<⨯， 即141

10106

n --⨯<， 也即561010n ⨯> 所以，n=5。