微积分初步形成性考核作业(三)

微积分初步形成性考核作业（三）

———不定积分、极值应用问题

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．若)(x f 的一个原函数为2ln x ，则=)(x f 2/x 。

2．若)(x f 的一个原函数为x x 2e

--，则=')(x f 1+2e -2x 。 3．若

⎰+=c x x x f x e d )(，则=)(x f e x +xe x 。 4．若

⎰+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f 2cosx 。 5．若

c x x x x f +=⎰ln

d )(，则=')(x f 1/x 。 6．若⎰+=c x x x f 2cos d )(，则=')(x f

-4cos2x 。 7．=⎰-x x d e d 2 e -x ²dx

。 8．='⎰x x d )(sin

sinx+c 。 9．若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x f d )32(

1/2F(2x-3)+c 。 10．若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x xf d )1(2 -1/2F(1-x ²）+c

。 二、单项选择题（每小题2分，共16分）

1．下列等式成立的是（ A ）。

A ．)(d )(d d x f x x f x

=⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰ C ．)(d )(d x f x x f =⎰ D ．)()(d x f x f =⎰

2．若c x x x f x +=⎰22e

d )(，则=)(x f （ A ）。 A ．)1(

e 22x x x + B ．x x 22e 2

C ．x x 2e 2

D ．x x 2e

3．若)0()(>+

=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ A ）。 A. c x x ++ B. c x x ++2

C. c x x ++23223

D. c x x ++23

23221 4．以下计算正确的是（ A ）。

A ．3ln 3d d 3x x

x = B ．)1(d 1d 22x x x +=+ C ．x x

x d d = D ．)1d(d ln x x x = 5．=''⎰x x f x d )(（ A ）。

A ．c x f x f x +-')()(

B ．c x f x +')(

C ．c x f x +')(2

12 D ．c x f x +'+)()1( 6．⎰-x a

x d d 2=（ C ）。 A ．x a 2- B ．x a a x

d ln 22-- C ．x a x d 2- D ．c x a x +-d 2 7．如果等式

⎰+-=--C x x f x x 1

1e d e )(，则=)(x f （ B ） A ．x 1- B ．21x - C ．x 1 D ．21x

三、计算题（每小题7分，共35分）

1．⎰+-x x

x x x d sin 33 解：⎰+-x x x x x d sin 33⎰⎰⎰+-=xdx dx x dx x

sin 13 c x x x +--=cos 3

2ln 323

2．x x d )12(10⎰-

解：x x d )12(10⎰-c x x d x +-+⋅=--=

+⎰11010)12(110121)12()12(21 c x +-=11)12(22

1

3．x x x d 1sin

2

⎰ 解：x x x d 1sin 2⎰c x

x d x +=-=⎰1cos )1(1sin

4．⎰

x x x d 2sin 解：⎰x x x d 2sin ⎰⎰--=-

=)2cos 2cos (2

12cos 21xdx x x x xd c x x x ++-=2sin 412cos 21

5．⎰

-x xe x d 解：⎰

-x xe x d c e xe dx e xe xde x x x x x +--=--=-=-----⎰⎰)(

四、极值应用题（每小题12分，共24分）

1．设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。

解：设矩形的一边长为x 厘米，则另一边长为x -60厘米，以x -60厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积V 为：

)60(2x x V -=π，即：3260x x V ππ-=

23120x x dx dV ππ-=，令0=dx

dV ，得： 0=x （不合题意，舍去）

，40=x ，这时2060=-x 由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时，才能使圆柱体的体积最大。

2．欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：设矩形的长为x 米，则矩形的宽为

x

216米，从而所用建筑材料为： x x L 21632⋅+=，即：x

x L 6482+= 26482x

dx dL -=，令0=dx dL 得：18=x （取正值），这时12216=x 由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用建筑材料最省

五、证明题（本题5分）

函数x

e x x

f -=)(在（)0,∞-是单调增加的。