1.2.2组合(导学案)

§1.2.2. 组合（1）(导学案)

1.正确理解组合与组合数的概念；

2. 弄清组合与排列之间的关系；

.

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复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是 和 .

复习2：排列数的定义：

从 个不同元素中，任取 个元素的 排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号 表示

复习3：排列数公式：m n A = = （,,m n N m n *

∈≤）

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：组合的概念

问题：从甲，乙，丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

新知：一般地，从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.

试试：试写出集合{}a,b,c,d,e 的所有含有2个元素的子集.

反思：组合与元素的顺序 关，两个相同的组合需要 个条件，是 ；排列与组合有何

关系？

探究任务二．组合数的概念：

从n 个 元素中取出m ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示． 探究任务三 组合数公式

m n C ＝ ＝ 我们规定：=0

n C

※ 典型例题

例1 甲、乙、丙、丁4个人，

（1）从中选3个人组成一组，有多少种不同的方法？列出所有可能情况； （2）从中选3个人排成一排，有多少种不同的方法？

变式： 甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛： （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况.

小结：排列不仅与元素有关，而且与元素的排列顺序有关，组合只与元素有关，与顺序无关，要正确区分排列与组合.

例2 计算：（1）4

7C ； （2）710C

变式：求证：1

1+⋅-+=m n m

n C m

n m C

※ 动手试试 练1.计算：

⑴ 26C ； ⑵ 3

8C ；

⑶ 26

37

C C -； ⑷ 25

38

23C C -.

练2. 已知平面内A ，B ，C ，D 这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3点为顶点的所有三角形.

练3. 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种选法？

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 正确理解组合和组合数的概念

2.组合数公式：

(1)(2)(1)

!

m m n n

m m A n n n n m C A m ---+==

L 或者：

)!

(!!

m n m n C m n -=

),,(n m N m n ≤∈*且

※ 知识拓展

. 1772年，旺德蒙德以[n]p 表示由n 个不同的元素中每次取p 个的排列数。而欧拉则於1771年以 及於1778年以表示由n 个不同元素中每次取出p 个元素的组合数。至1872年，埃汀肖森引入了 以表相同之意，这组合符号（Signs of Combinations ）一直 沿用至今.

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．

2. 设集合{}A a,b,c,d,e ,B A =⊂，已知a B ∈，且B 中含有3个元素，则集合B 有 个.

3. 计算：3

10C = .

4. 从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ：n = .

5. 写出从a,b,c,d,e 中每次取3个元素且包含字母a ，不包含字母b 的所有组合

1.计算：

⑴ 215C ； ⑵ 2

836C C ÷；

2. 圆上有10个点：

⑴ 过每2个点画一条弦，一共可以画多少条弦？

⑵ 过每3点画一个圆内接三角形，一共有多少个圆内接三角形？

§1.2.2 组合（2）（导学案）

1. 掌握组合数的两个性质；

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复习1：从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示. 复习2： 组合数公式：

m n C ＝ ＝

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：组合数的性质

问题1：高二（6）班有42个同学

⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法？ ⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法？ ⑶ 上面两个问题有何关系？

新知1：组合数的性质1：m

n n m n C C -=．

一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．

，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=

试试：计算：18

20C

反思：⑴若y x =，一定有y

n x n C C =？

⑵若y

n x n C C =，一定有y x =吗？

问题2 从121,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类是不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这 个元素中取出 个元素与1a 组成的，共有 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这 个元素中取出 个元素组成的，共有 个．从中你能得到什么结论？

新知2 组合数性质2 m n C 1+＝m

n C +1

-m n C

※ 典型例题

例1（1）计算：6

9584737C C C C +++；

变式1：计算2222

345100C C C C ++++L

例2 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2

-n m C

变式2：证明：11

1m m m n n n C C C ++++=

小结：组合数的两个性质对化简和计算组合数中用用处广泛，但在使用时要看清公式的形式.

例3解不等式()32

1010n n-C n -<∈+C N .

练3 ：解不等式：46n n

C C <