1期末宁波市统考试卷理科

宁波市2014学年第一学期期末考试高三数学（理科）试卷说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：柱体的体积公式：V =Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：V =31Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.台体的体积公式：)2211(31S S S S h V++=，其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高.球的表面积公式：S =4πR 2 ，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：V =34πR 3 ，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,1,3A =-，{}21,2B a a =-，⊆B A ，则实数a 的不同取值个数为（ ▲ ）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 （D ）5 2．在ABC ∆中，“6A π>”是“sin 12A >”的 ( ▲ ) （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件3．若过点)0,3(A 的直线l 与圆1)1(22=+-y x 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ▲ ）（A ）[ （B ）( （C ）[ （D ）(,)33-4．下列命题中，错误．．的是 ( ▲ ) （A ）平行于同一平面的两个不同平面平行．（B ）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交．（C ）如果两个平面不垂直，那么其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直． （D ）若直线不平行于平面，则此直线与这个平面内的直线都不平行． 5．函数)6sin()(πω+=x A x f ()0>ω的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的 等差数列，若要得到函数x A x g ωsin )(=的图象，只要．．将)(x f 的图象 （ ▲ ）个单位 （A ）向左平移6π （B ）向右平移6π （C ）向左平移12π （D ）向右平移12π6．若函数(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足()()x f x g x e -=，其中 2.718e ≈，则有（ ▲ ） （A ）)0()1()2(f g g <-<- （B ）)1()0()2(-<<-g f g （C ）)2()1()0(-<-<g g f （D ）)2()0()1(-<<-g f g 7．已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，F 为其焦点，当点P 在抛物线C 上运动时，||||PO PF 的最大值为（ ▲ ）（A （B ）43 （C （D ）548．如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中，1面AA ABCD ⊥，四边形ABCD 为梯形， //AD BC ，且3AD BC =.过1,,A C D 三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q .则以下四个结论：①1//QC A D ；②12B Q QB =；③直线1A B 与直线CD 相交；④四棱柱被平面α分成的上下两部分的体积相等． 其中正确的个数为 （ ▲ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题: 本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．9．已知32log ,0()2,0x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩ ，(1)f = ▲ ，((3))f f = ▲ ．10．若正项等比数列{n a }满足342=+a a ,153=a a ，则公比q = ▲ ，n a = ▲ ．11．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体侧视图的面积为 ▲ 2cm ，此几何体的 体积为 ▲ 3cm .12．若实数,x y 满足约束条件,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩已知点(,)x y 所表示的平面区域为三角形，则实数k 的取值范围为 ▲ ，又2z x y =+有最大值8，则实数k = ▲ ．13．过双曲线2213y x -=上任一点P 向两渐近线作垂线，垂足分别为,A B ，则||AB 的最小值为 ▲ ．14．已知函数()2sin()f x x ω=(其中常数0ω>)，若存在122[,0)(]34,,0ππ∈∈-x x ，使得12()()f x f x =，则ω的取值范围为 ▲ ．15．已知,a b 满足||5,||1a b =≤，且|4|21a b -≤，则a b ⋅的最小值为 __▲__．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分15分）已知在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且满足24cos cos 24cos cos 2CC C C += ． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若1||22CA CB -=，求ABC ∆面积的最大值．17．（本题满分15分）如图，已知AB ⊥平面,//,BEC AB CD ，4,AB BC ==2CD =，BEC ∆为等边三角形.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面ADE ； （Ⅱ）求二面角A DE B --的平面角的余弦值.18．（本题满分15分）如图，设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，过2F 作直线l 交椭圆于,P Q 两点. 若圆:O 222x y b +=过21,F F ，且21F PF ∆的周长为222+.（Ⅰ）求椭圆C 和圆O 的方程；（Ⅱ）若M 为圆O 上任意一点，设直线l 的方 程为：4340x y --=，求MPQ ∆面积MPQ S ∆ 的最大值．19．（本题满分15分）如果数列{}n a 同时满足以下两个条件：（1）各项均不为0；（2）存在常数k , 对任意*212,n n n n a a a k ++∈=+N 都成立. 则称这样的数列{}n a 为“类等比数列”.（Ⅰ）若数列{}n a 满足31=+n a n ，证明数列{}n a 为“类等比数列”，并求出相应的k ； （Ⅱ）若数列{}n a 为“类等比数列”，且满足121,2,==a a 3=k ，问是否存在常数λ， 使得21n n n a a a λ+++=对任意*n ∈N 都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例．20．（本题满分14分）已知k 为实数，对于实数a 和b ,定义运算“*”：22,,,.a kab a b a b b kab a b ⎧-≤⎪*=⎨⎪->⎩设()(21)(1)f x x x =-*-.（Ⅰ）若()f x 在11[,]22-上为增函数，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）已知12k >，且当0>x 时，(())0≥f f x 恒成立，求k 的取值范围.宁波市2014学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． （1） B （2） A （3） C （4） D （5） D （6） C （7） A （8） B 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．（9）0，3 （10）2q =, 222nn a -= （ 1(2n n a -= 同样给分）（11）， （12）2k <，4- （13）32 （14）32ω> （15）254-三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）由24cos cos 24cos cos2CC C C += 得24cos 2cos 12cos 1cos )（+-=+C C C C …………3分解得1cos 2C =，由0π<<C ，所以3π=C ． …………6分 （Ⅱ）取BC 中点D ，则1||2||2CA CB DA -==，在ADC ∆中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅，（注：也可将1||2||2CA CB DA -==两边平方） 即224()22a ab b =+-，……………………9分22ab ab≥=，所以8≤ab ，当且仅当4,2==a b 时取等号．…………12分此时1sin 24∆==ABC S ab C，其最大值为…………15分 17．（本题满分15分）(Ⅰ)证：取BE 的中点F 、AE 的中点G ，连结FG GD CF 、、1,//.2GF AB GF AB ∴=1,//2D C A B C D A B =//CD GF ∴CFGD ∴是平行四边形 …………3分 //CF GD ∴,AB BEC AB CF ⊥∴⊥平面 ,CF BE AB BE B ⊥=CF ∴⊥平面ABE //CF DGDG ∴⊥平面ABE DG ⊂平面ADE∴平面ABE ⊥平面ADE ………6分（另证：可证得BGD ∠是二面角B AE D --的平面角 …………………3分在BGD ∆中，计算可得：BG DG BD ===222BD BG DG =+，故，2BGD π∠=，∴平面ABE ⊥平面ADE . ……………6分 ）（Ⅱ）方法1：过G 作GH FD ⊥于H ，过H 作HM DE ⊥于M 由,BE GF BE FC ⊥⊥，可得BE GFCD ⊥平面，GFCD ⊥平面BED 平面 从而 GH ⊥平面BED , 由此可得DE GHM ⊥平面， 即GMH ∠就是二面角A DE B --的平面角 ………………10分因为GH =GM =，MH =………………13分 故cos MH GMH MG ∠==,即二面角A DE B --的平面角的余弦值为 ……15分BCE D（另解：过AE 中点G 作GM DE ⊥于M ，联结BM ，可证得GMB ∠就是二面角A DEB --的平面角 ………………10分在GMB ∆中，计算可得：55BG GM BM ===，………………13分故cos 4MH GMH MG ∠==,即二面角A DE B --的平面角的余弦值为415分 ） 方法2：作EO BC ⊥ 于O , ,AB BEC ⊥平面AB EO ⊥AB BC B =，平面EO ABCD ⊥以OE 、BC 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为坐标原点建立坐标系.则(0,2,4),(0,2,0),(0,2,2),A B D E --,………………9分 于是(23,2,2),(23,2,4)ED EA=-=--，(2,0)EB =-- 设平面EAD 的法向量为1111(,,)n x y z=,则111111200y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，取12,z =则1(3,1,2)n =设平面BDE 的法向量为2222(,,)n x y z=则2222200y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩取21,x =则 2(1,3,2n =-………………13分123cos n n -<>==, 即二面角A DE B --的平面角的余弦值为 15分AB18．（本题满分15分）解：（Ⅰ）由已知得222222,,.a c c b a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩………………3分解得1,b c a ===………………5分故椭圆:C 2212xy +=，圆:O 221x y += ………………6分 （Ⅱ）设点()11,P x y ，点()22,Q x y ．将直线l 方程代入椭圆方程得得 24124160y y +-=，故122441y y +=-，121641y y =-，………………8分所以12PQ y y =-=10分为使MPQ S ∆最大，则使点M 到直线l 的距离最大． 最大距离等于圆心到直线l 的距离与圆半径之和，即49155h =+=…………13分所以1()2MPQ S PQ h =⋅=△最大值．………………15分19. （本题满分15分）(Ⅰ) 证明：显然0n a >，……………………2分又2212(34)(31)(34)9++-=+-++=n n n a a a n n n 为定值， 所以数列{}n a 为“k 类等比数列”， 此时 9=k . ……………………6分(Ⅱ) 因为,221k a a a n n n +=++所以211,2,*n n n a a a k n n -+=+≥∈N所以,112221+-++-=-n n n n n n a a a a a a 即.221121n n n n n n a a a a a a +=+++-+…………8分 由于0,n a ≠此等式两边同除以,1+n n a a 得nn n n n n a a a a a a 1112+-+++=+ …………10分 所以,2311112a a a a a a a a a nn n n n n +==+=++-++即当*n ∈N 都有12312+++=+n n n a a a a a a …………………12分因为121,2,==a a 22133=+a a a ，所以31=a ， ……………13分 所以1321+=a a a ，存在常数=,λ1使12++=+n n n a a a λ …………………15分 （注：只给出结论给2分）20．（本题满分14分）解：22(42)(34)1,0()(12)(32)1,0k x k x k x f x k x k x k x ⎧-+-+-≤=⎨-+-+->⎩………1分 （Ⅰ）()f x 在1[,0]2-上为增函数，则4203412(24)2k k k ->⎧⎪-⎨≤-⎪-⎩或4203402(24)k k k -<⎧⎪-⎨≥⎪-⎩或420340k k -=⎧⎨->⎩,解得85k ≥.……………………3分 若()f x 在1[0,]2上为增函数，则1203212(21)2k k k -<⎧⎪-⎨≥⎪-⎩或1203202(21)k k k ->⎧⎪-⎨≤⎪-⎩或120320k k -=⎧⎨->⎩，解得1k ≥ …………5分 综上所述，k 的取值范围为85k ≥．……………………………6分 （Ⅱ）令2()(12)(32)1g x k x k x k =-+-+-,2()(42)(34)1h x k x k x k =-+-+-则(),0()(),0h x x f x g x x ≤⎧=⎨>⎩,当0>x 时，令()()==t f x g x ．12>k 时，设()0=g x 的根为1211,121-==<-k x x k …………………8分 ① 首先，考虑当1≥x 时，此时，(0](,)∈=-∞t g x ．所以()0≥h t 对0≤t 恒成立，只须22()441(231)0=-+--+≥h t t t k t t 对0≤t 成立，所以22441211223111-+-≤==+-+--t t t k t t t t 对0≤t 恒成立, 所以1≤k …………10分此时，20x ≤所以当01x ≤≤ 时，()0g x ≥恒成立． ② 其次，考虑01x <<时， 当3202(21)-≤-k k 时，即1223<≤k 时，((1),(0))(0,1()(0),1]t g x g g k ∈=-⊆=从而必有 (())()()0f f x f t g t ==≥，符合题意． 当32012(21)k k -<<-时，结合已知条件12k >,得23k >时，（1）2322(21((1),()](0,](0,(1]4(21)))k k k g g k x g t =∈⊆--=-所以214(21)k k ≤-，即2840k k -+≤，解得44k -≤≤+2）由（1）、（2）得 243k <≤+…………………13分 综合①、② 所述，所求k 的取值范围为112k <≤． …………………14分。