河北省建设公司综合学校高中分校 高中数学人教版选修2-1导学案 2.1.1曲线与方程(1)41
2018版高中数学人教B版选修2-1学案：2-1-1 曲线与方程的概念 精品
2.1.1曲线与方程的概念学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点一曲线与方程的概念思考1设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？(1){P|P A＝PB}(A，B是两个定点)；(2){P|PO＝3 cm}(O为定点)．思考2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？梳理一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的____________．一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：①________________________都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在________C上．那么，方程F(x，y)＝0叫做______________；曲线C叫做______________．知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考1曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．思考2方程x－y＝0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y＝0呢？梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了______________关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1曲线与方程的判定例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是()A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是()A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0命题角度2 曲线与方程的概念应用例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是xy ＝±k .反思与感悟 解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪训练2 写出方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线．类型二 曲线与方程关系的应用 例3 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝⎛⎭⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．1．曲线f (x ，y )＝0关于直线x －y －3＝0对称的曲线方程为( ) A ．f (x －3，y )＝0 B ．f (y ＋3，x )＝0 C ．f (y －3，x ＋3)＝0D ．f (y ＋3，x －3)＝02．方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线x －y ＝0对称3．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________．4．若曲线ax 2＋by 2＝4过点A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________.5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．提醒：完成作业第二章 2.1.1答案精析问题导学知识点一思考1(1)线段AB的垂直平分线；(2)以O为圆心，3 cm为半径的圆．思考2y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理轨迹方程①曲线C上点的坐标②曲线曲线的方程方程的曲线知识点二思考1不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.思考2方程x－y＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线．因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程x－y＝0的解．例如，点A(－2，－2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点．方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线．梳理(2)一一对应题型探究例1 B跟踪训练1 D例2证明①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．跟踪训练2 解 由方程(x ＋y －1)·x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0.即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)． 例3 解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上．(2)∵M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴⎝⎛⎭⎫m22＋(－m －1)2＝10.解得m ＝2或m ＝－185.跟踪训练3 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a ＋122＋12. ∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 当堂训练1．D 2.C 3.两条相交直线 4．4 1 5.4个点。
河北省建设公司综合学校高中分校 高中数学人教版选修2-1导学案 1.1.1命题34
§1.1.1命题【学习目标】：1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假；2.会将一个命题改写成“若p，则q”的形式。
【学习重点】：判断命题及命题真假。
【学习难点】：判断命题及命题真假。
【教学过程】：一：回顾预习案1、命题：叫做命题。
叫做真命题；叫做假命题。
2、判断一个语句是不是命题的条件有和这两个条件。
3、命题都具有的形式，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的，q叫做命题的。
二: 讨论展示案合作探究，展示点评例1、（1）下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是不是平面图形呢？（2）有下列命题：①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有( )A．0个B．1个 C．2个D．3个（3）下列语句中，不能成为命题的是( )A．5>12 B．x>0 C．若a⊥b，则a·b＝0 D．三角形的三条中线交于一点（4）给出下列命题①若ac＝bc，则a＝b；②方程x2－x＋1＝0有两个实根；③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；④若p>0，则p2>p；⑤正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．例2、（1）下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．（2）命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p是____________________，结论q是_ _______________________________________________________________________．(3)下列语句是命题的是________．①求证3是无理数；②x2＋4x＋4≥0；③你是高一的学生吗？④一个正数不是素数就是合数；⑤若x∈R，则x2＋4x＋7>0.例3、指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．（1）若整数a能被2整除，则a是偶数．（2）若a＞0，b＞0，则a+b＞0．（3）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．例4、把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断各命题的真假．（1）垂直于同一条直线的两条直线平行。
2020-2021学年人教A版数学选修2-1配套学案：2.1.1 曲线与方程 2.1.2求曲线的方程
2．1曲线与方程2.1.1曲线与方程2．1.2求曲线的方程内容标准学科素养1.理解曲线的方程与方程曲线的概念，会求一些简单的曲线方程．2.理解曲线上点的坐标与方程的解的一一对应关系.应用数学抽象发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第20页[基础认识]知识点一曲线的方程与方程的曲线预习教材P34－35，思考并完成以下问题前面我们学习了直线与圆及其方程，并且体会到用方程研究曲线的几何性质非常简便，也就是用代数方法研究曲线(包括直线)的几何性质，那么曲线与方程有什么关系呢？(1)在直角坐标系中，第一、三象限角平分线l与方程x－y＝0有什么关系？提示：设M(x0，y0)是第一、三象限角平分线上的任意一点，它到两坐标轴的距离相等，即x0＝y0，那么点(x0，y0)是方程x－y＝0的解．反过来，如果M(x0，y0)是方程x－y＝0的解，即x0＝y0，那么点M到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线l上．(2)以(a，b)为圆心，r为半径的圆和方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2有什么关系？提示：设点M(x0，y0)是圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上任一点，那么它到圆心(a，b)的距离等于半径r.即(x－a)2＋(y－b)2＝r即(x－a)2＋(y－b)2＝r2，这说明点M(x0，y0)是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解；反之，如果(x0，y0)是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解，则(x0，y0)到(a，b)的距离等于半径，它一定在圆上．知识梳理 曲线的方程与方程的曲线的定义一般地，在直角坐标系中，如果曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．知识点二 求曲线方程的步骤知识梳理 求曲线方程的一般步骤求曲线的方程，一般有如下步骤：(1)建立适当的平面直角坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标；(2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}；(3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0；(4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．[自我检测]1．方程y ＝|x |所表示的曲线为( )A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线答案：D2．到两坐标轴的距离之差等于3的点的轨迹为( )A ．|x |－|y |＝3B ．|y |－|x |＝3C ．|x |－|y |＝±3D ．x －y ＝±3 答案：C3．如果曲线C 的方程x 2－1y＝1，点M (a ，b )，那么点M 在曲线C 上的充要条件是________． 答案：a 2－1b ＝1授课提示：对应学生用书第21页探究一 对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解[阅读教材P 35例1]证明与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是xy ＝±k .题型：曲线的方程与方程的曲线的判断．方法步骤：(1)证明轨迹上任一点M (x 0，y 0)都是方程xy ＝±k 的解．(2)再证明以方程xy ＝±k 的解为坐标的点到两坐标轴的距离之积为k .[例1] 判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)过点A (3,0)且垂直于x 轴的直线的方程为x ＝3；(2)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 中点，则中线AD 的方程为x ＝0.[解析] (1)正确．满足曲线方程的定义，故结论正确．(2)错误．因为中线AD 是一条线段，而不是直线，所以其方程应为x ＝0(－3≤y ≤0)，故结论错误．方法技巧 判断曲线与方程的关系，严格按定义，两个条件缺一不可．(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性．(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪探究 1.分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线与方程|x |＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系；(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系．解析：(1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解，但以方程|x |＝2的解为坐标的点不都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上．因此，|x |＝2不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.探究二 曲线与方程的应用[教材P 37习题2.1A 组1题]点A (1，－2)，B (2，－3)，C (3,10)是否在方程x 2－xy ＋2y ＋1＝0上表示的曲线上？为什么？解析：A (1，－2)在曲线上，因为12－1×(－2)＋2×(－2)＋1＝0，所以点A 在曲线上． B (2，－3)不在曲线上．因为22－2×(－3)＋2×(－3)＋1＝5≠0，所以点B 不在曲线上．C (3,10)在曲线上．因为32－3×10＋2×10＋1＝0，所以点C 在曲线上．[例2] 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在上述方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在上述方程表示的曲线上，求m 的值．[解析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴⎝⎛⎭⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185. 方法技巧 判断某个点是否是曲线上的点，就是检验这个点的坐标是否是该曲线的方程的解，若适合方程，就说明这个点在该曲线上；若不适合，就说明点不在该曲线上．延伸探究 本例中曲线方程不变，若点N (a,2)在圆外，求实数a 的取值范围．解析：结合点与圆的位置关系，得a 2＋(2－1)2>10，即a 2>9，解得a <－3或a >3，故所求实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．跟踪探究 2.已知方程x 2＋4x －1＝y .(1)判断点P (－1，－4)，Q (－3,2)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫m 2，m －1在此方程表示的曲线上，求实数m 的值；(3)求该方程表示的曲线与曲线y ＝2x ＋7的交点的坐标．解析：(1)因为(－1)2＋4×(－1)－1＝－4，(－3)2＋4×(－3)－1≠2，所以点P 坐标适合方程，点Q 坐标不适合方程，即点P 在曲线上，点Q 不在曲线上．(2)因为点M ⎝⎛⎭⎫m 2，m －1在此方程表示的曲线上，所以⎝⎛⎭⎫m 22＋4×m 2－1＝m －1，即m 2＋4m ＝0，解得m ＝0或m ＝－4.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x －1＝y ，y ＝2x ＋7，消去y ，得x 2＋4x －1＝2x ＋7，即x 2＋2x －8＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4，于是y 1＝11，y 2＝－1，故两曲线的交点坐标为(2,11)和(－4，－1)．探究三 求曲线的方程[阅读教材P 35例2]设A 、B 两点的坐标分别是(－1，－1)，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．题型：求曲线的方程．方法步骤：(1)建立适当的直角坐标系，设出所求轨迹上任一点M (x ，y )．(2)确定M 的几何性质：|MA |＝|MB |.(3)将M 的几何性质坐标化得出方程，并检验方程的解都在AB 的垂直平分线上．[例3] (1)一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程．[解析] 设P (x ，y )，则|8－x |＝2|P A |，则|8－x |＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48.(2)动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．[解析] 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，所以⎩⎨⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ， 又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1，所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以点P 的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.方法技巧 1.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系．由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系．2．求曲线方程的常用方法：直接法与代入法(1)直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M |p (M )}直接翻译成x ，y 的形式F (x ，y )＝0，然后进行等价变换，化简为f (x ，y )＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．(2)代入法求轨迹方程就是利用所求动点P (x ，y )与相关动点Q (x 0，y 0)坐标间的关系式，且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P 的坐标(x ，y )表示相关动点Q 的坐标(x 0，y 0)，即利用x ，y 表示x 0，y 0，然后把x 0，y 0代入已知曲线方程即可求得动点P 的轨迹方程．跟踪探究 3.已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点M 的轨迹方程是( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1D ．2y ＝8x 2＋1解析：设M (x ，y )，则P (2x,2y ＋1)．∵P 在曲线2x 2－y ＝0上，∴2·(2x )2－(2y ＋1)＝0，即8x 2－2y －1＝0，即2y ＝8x 2－1，故选C.答案：C4．已知点M 到x 轴的距离和点M 与点F (0,4)的距离相等，求点M 的轨迹方程．解析：设动点M 的坐标为(x ，y )，且点M 到x 轴的距离为d ，则d ＝|y |.由距离公式得|y |＝(x －0)2＋(y －4)2，整理得x 2－8y ＋16＝0，即y ＝18x 2＋2.故所求点M 的轨迹方程是y ＝18x 2＋2.授课提示：对应学生用书第22页[课后小结](1)曲线与方程的定义的实质是平面曲线的点集{M |p (M )}和方程f (x ，y )＝0的解集{(x ，y )|f (x ，y )＝0}之间的一一对应关系．由曲线与方程的这一对应关系，既可以求出曲线的方程，又可以通过方程研究曲线的性质．(2)求曲线方程的一般步骤为：①建系设点，②写集合(找条件)，③列方程，④化简，⑤证明(查缺补漏)．(3)求曲线的方程与求轨迹是有区别的．若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等．[素养培优]1．忽略隐含条件而导致的错误方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0所表示的曲线的轨迹是( )易错分析 由方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0，得x ＋y －1＝0或x 2＋y 2＝4，其中x ＋y －1＝0受条件x 2＋y 2≥4的限制，这一点很容易忽略，导致选出错误的选项A.考查直观想象、逻辑推理及数学运算的学科素养．自我纠正 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4或x 2＋y 2＝4.其中当x ＋y －1＝0时，需x 2＋y 2－4有意义，等式才成立，即x 2＋y 2≥4，此时它表示直线x ＋y －1＝0上不在圆x 2＋y 2＝4内的部分；当x 2＋y 2＝4时方程表示整个圆，所以方程对应的曲线是D.答案：D2．求动点轨迹方程时，对动点满足的条件考虑不全致误在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，c ，b 成等差数列，a >c >b ，|AB |＝2，试求顶点C 的轨迹方程．易错分析 求解本题容易出错的原因：一是忽视限制条件a >b ，二是忽视隐含条件A ，B ，C 三点不共线，而产生不合题意的点．考查逻辑推理、数学运算的学科素养．自我纠正 以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点，建立直角坐标系(如图)， 则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )．因为a ，c ，b 成等差数列，所以a ＋b ＝2c ，即|AC |＋|BC |＝2|AB |，故(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝4，化简整理得，3x 2＋4y 2＝12.由于a >b ，即(x －1)2＋y 2>(x ＋1)2＋y 2，解得x <0.又点C 不能在x 轴上，所以x ≠－2，所以所求的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝12(x <0且x ≠－2)．。
【数学】2.1.1《曲线与方程》课件(新人教A版选修2-1)
例子：(2)画出函数 y
y 8
= 2x
2
(-1≤x≤2) 的图象C.
y
y = 2x 2
y = 2x 2
(-1≤x≤2)
8
-1
O
2
x
-1
O
2
x
符合条件①不符合条件②
符合条件②不符合条件 ①
例子：(2)画出函数 的图象C.
y 8
y = 2x
2
(-1≤x≤2)
y = 2x 2
(-1≤x≤2)
-1
O
2
x
y 1 -1 0 x 1 y 1 -2 -1 0 1 2 x y 1 -2 -1 0 1 2 x
图3
例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2 +y2 = 25,并判断点M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在这个圆 上.
证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点 的距离等于5，所以 x 0 2 + y 0 2 = 5 , 也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解.
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够 一一对应
集合的 观点
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点 P( x0 , y0 ) 在曲线C上的充要条件 是 f ( x0 , y0 ) = 0
学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 例2证明：圆心为坐标原点，半径为5的圆的方程是 y x2 + y2 = 25 5 M 1 (3,−4)、M（ − 2 5， 是否在圆上 2） 并判断 2 变式训练： 变式训练：写出下列半圆的方程
人教版高中数学选修2-1导学案：第二章第一节曲线与方程第一课时
第二章第一节曲线与方程第一课时设计者：李晓帆 审核者： 执教： 使用时间：学习目标1. 了解曲线与方程的对应关系;2. 建立“数”与“形”的桥梁，感受数形结合的基本思想.________________________________________________________________________自学探究问题1. 画出22x y =)21(≤≤-x 的图像问题2.画出两坐标轴所成的角在第一，三象限的平分线，并写出其方程问题4. “方程(,)0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0F x y =的曲线”这句话的含义是什么？【试试】1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ．2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．【技能提炼】1．证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．【变式】到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？2.设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．【变式】已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？教师问题创生学生问题发现变式反馈1. 如果命题“坐标满足方程f (x, y)＝0的点都在曲线c 上”是不正确的，那么下列命题正确的是（ ）。
A.坐标满足方程f (x, y)＝0的点都不在曲线c 上B.坐标满足方程f (x, y)＝0的点有些在曲线c 上，有些不在曲线c 上C.曲线c 上的点不都满足方程f (x, y)＝0D.一定有不在曲线c 上的点，其坐标满足方程f (x, y)＝02. 与两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）。
A ．y=｜x ｜ B.y=x C.y=－x D.022=-y x 3. 下面各对方程中表示的曲线相同的一对是（ ）。
河北省中国第二十冶金建设公司综合学校高中分校高中数学人教版必修一导学案：2.1 指数函数图像及性质16
2.1-2指数函数的图像及性质（1）【学法指导】：认真听讲，积极思考，勤于动手，愉快收获。
●为必须记忆的内容【学习目标】：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。
通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。
领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。
【学习重点】：指数函数的概念、图象和性质。
【学习难点】：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。
【教学过程】：一，引入新课：问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”请你写出截取x 次后，木棰剩余量y 关于x 的函数关系式？观察两个函数式的共同特点？二，新课学习●一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做________函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .活动一：练习1，下列函数哪些是指数函数？（1）x y 3= （2）xy 12= （3）x y )2(-= (4)13+=x y （5）x y 23= （6）x y π= （7）24x y = （8）xy 32⨯=练习2：已知指数函数,0()(>=a a x f x 且)1≠a 的图像经过吧点（3，π） ，求 )3(),1(),0(f f f 的值。
确定一个指数函数需要几个条件？活动二：【讨论】你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？（1）研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．（2）研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值，奇偶性等等． 画出下列函数图象：xy 2=x y )21(=【讨论】●填空；一般地，指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且的图像和性质如下表所示。
河北省中国第二十冶金建设公司综合学校高中分校人教A高中数学选修22导学案：2.1合情推理与演绎推理1 Word缺
§2.1 合情推理与演绎推理 §2.1.1 合情推理(一)第一课时学习目标：理解合情推理的概念，掌握归纳推理与类比推理的的方法 自主学习： 1.归纳推理 . 特点 步骤 2.类比推理 特点：⑴⑵ ⑶ 步骤：⑴⑵ ⑶例1.已知数列}{n a 的第1项11=a ，且nnn a a a +=+11（n=1,2,3，……），试归纳出这个数列的通项公式练习1. 在数列{n a }中，11a =，1111(2)2n n n a a n a --⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，试猜想这个数列的通项公式。
例2.类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质例3.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想A B Cab cPEF S 1S 2 S 3课外作业：1．在数列{n a }中，11a =，()122nn na a n N a *+=∈+，试猜想这个数列的通项公式。
2. 观察下面的“三角阵”：1 1 1 12 1 13 3 11 4 6 4 11 10 45 45 10 1试找出相邻两行数之间的关系。
3.在等差数列{}n a 中，若,010=a 则有n a a a +⋅⋅⋅++21=1a +n a a -+⋅⋅⋅+192),19(*N n n ∈<且。
类比上述性质，在等比数{}n b 列中，若,19=b 则存在怎样的等式？4．观察：25124,-=27148-=2111120-=2131168-=， 所得的结果都是24的倍数，继续试验，你能得到什么猜想？§2.1.1 合情推理（二）学习目标：了解合情推理的含义，能利用归纳、类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用自主学习：3.合情推理特点：⑴⑵典例分析例4.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针例5.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，321-=a 且)2(21≥=++n a S S n n n ，计算1S ，2S 3S ，4S ，并猜想n S 的表达式练习1.顺次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前4项的值，由此猜测：123)1()1(321+++⋅⋅⋅+-++-+⋅⋅⋅+++=n n n a n 的结果。
高中数学人教A版选修2-1课件： 2.1.1 曲线与方程 课件1
—— 2.1.1曲线与方程
• 主要内容：
• 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基 本问题
• 重点和难点：
• 曲线和方程的概念
？
曲线和方程之间有 什么对应关系呢？
分析特例归纳定义
（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的 坐标满足的关系
l 第一、三象限角平分线
点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或x-y=0）
结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
y
A
0
2x
分析特例归纳定义
定义 曲线的方程，方程的曲线
• 给定曲线C与二元方程f（x，y）=0， 若满足
• （1）曲线上的点坐标都是这个方程 的解
• （2）以这个方程的解为坐标的点都
是曲线上的点
y
• 那么这个方程f（x，y）=0叫做这条 f(x,y)=0
= =
������ + 3, 4������2-1.(*)
又∵该方程表示一个圆,∴4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0.
得-17<t<1,∴270<x<4.
将(*)中
t
消去,得
y=4(x-3)2-1
20 7
<
������
<
4
,
即所求圆心的轨迹方程为 y=4(x-3)2-1
20 7
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
高中数学 2.1.1曲线与方程学案 新人教B版选修2—1
例1.已知两定点A，B的距离为6，动点M满足条件 求点M的轨迹方程
变式：已知点Ｍ与X轴的距离和它到点Ｆ（０,４）的距离相等，求点Ｍ的轨迹方程，并研究曲线的对称性。
例２：证明与两条坐标轴的距离的积是常数K（k＞0）的点的轨迹方程是xy=±k
当堂检测
1、“曲线C上点的坐标都是f (x, y)＝0的解”是“曲线C的方程是f (x, y)＝0”的( )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2、设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2，1)，那么( )
A．点P在直线l上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线l上
山东省文登第一中学高中数学2.1.1曲线与方程学案新人教B版选修2—1
授课类型：新授课
学习目标
1．通过自学课本，知道曲线的方程与方程的曲线的概念．
2．通过自学课本，知道曲线交点和方程组解的关系．
3.能够根据已知条件求曲线方程，并由方程来研究曲线。
课堂内容展示
自学指导
自学课本33至34页。解决以下问题：
A.曲线C的方程是F(x,y)=0; B.方程F(x,y)=0的曲线是C;
C.坐标满足方程F(x,y)=0的点在曲线C上;
D.坐标不满足方程F（x,y)=0的点不在曲线C上.
2.已知直线l：x+y－3=0及曲线C：(x－3)2+ (y－2)2=2则点M(2，1)（）
A在直线l上，但不在曲线C上；B在直线l上，也在曲线C上；
本节反思
反思一下本节课，你收获到了什么？
(1)过点A(3，0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3;
人教版 高中数学【选修 2-1】2.1曲线与方程课后习题
人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2.1曲线与方程（1）
【学习目标】: 1、根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤；
2、会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程；
3、会判断曲线和方程的关系。
【学习重点】：求曲线方程的步骤。
【学习难点】：依据题目特点，恰当选择坐标系求简单曲线的方程。
【教学过程】：一：回顾预习案
1、画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程。
2、曲线与方程
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二
元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
（1） ；
（2） 。
那么，这个方程叫做 ；这条曲线叫做 。
3、如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标是(x0，y0)，则①点P在曲线C上⇔
____________；②点P不在曲线C上⇔____________.
4、求曲线方程的步骤：
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝__________；
(3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
二：讨论展示案 合作探究，展示点评
例1、（1）曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是( )
A．(0，0) B.），（5151 C．(1，5) D．(4，4)
(2)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确
的是( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
温度 -5
杯数 15
6 0
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线
C
上
（3）已知直线l：x＋y－5＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2，3)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上 B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上 D．不在直线l上，但在曲线C上
（4）方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是( )
例3、设,AB两点的坐标分别是(1,1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程。
例4、求到原点距离等于2的点P的轨迹方程。
例5、若定点(1,2)A与动点(,)Pxy满足4OPOA,则点P的轨迹方程。
三、总结提高案
课本第37页练习1、2、3第37页A第1、4题。