第八章数学分析
高数第八章总结
第八章空间解析几何与向量代数
第一节向量及其线性运算
1、右手定则方向角
2、记Prju r或（r）u ：向量r在u轴上的投影
第二节数量积向量积混合积
1、a*b= 大小——a·b·sin
方向——右手定则确定
2、a*b=a=（a1，a2，a3）b=（b1，b2，b3）
3、混合积为（a*b）·c记作[abc]的作用：
①平行六面体的体积
②[abc]=0时说明三向量共面
③满足轮换对称性：[abc]= [bca] = [cab]
第三节曲面及其方程
①椭圆锥面
③单叶双曲面④双叶双曲面
⑤椭圆抛物面⑥双曲抛物面
第四节空间曲线及其方程
1、一般方程： F(x,y,z)=0
G(x,y,z)=0
x=x(t)
2、参数方程： y=y(t)
z=z(t)
第五节平面及其方程
1、点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
[其中法向量n=(A,B,C) M0为(x0,y0,z0)]
2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0（一般需要四个平面上的点求出）第六节空间直线及其方程
1、一般方程： A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
2、点向式：
[其中方向向量为s=(p,m,n) 已知点为M0（x0,y0,z0）]
3、平面束方程的重要应用：P48。
数学分析 不定积分概念与基本积分公式
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C.
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
例 求积分 x2 xdx.
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
数值分析第四版课后答案答案第八章
第八章 常微分方程初值问题数值解法1、解：欧拉法公式为221(,)(100),0,1,2+=+=++=n n n n n n n y y hf x y y h x y n代00y =入上式，计算结果为 123(0.1)0.0,(0.2)0.0010,(0.3)0.00501≈=≈=≈=y y y y y y2、解：改进的欧拉法为1112[(,)(,(,))]n n n n n n n n y y h f x y f x y hf x y ++=+++将2(,)=+-f x y x x y 代入上式，得2111111221n n n n n n h hh x x x x y h y +++)+[(-)(+)+(+)]=(-+ 同理，梯形法公式为211122[(1)(1)]-+++++=++++h h n nn n n n h h y y x x x x 将00,0.1y h ==代入上二式，，计算结果见表9—5表 9—5可见梯形方法比改进的欧拉法精确。
3、证明：梯形公式为111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++代(,)f x y y =-入上式，得11[]2++=+--n n n n hy y y y解得21110222()()()222n n n n h h h y y y y h h h++----===⋯=+++ 因为01y =，故2()2nn h y h-=+ 对0x∀>，以h 为步长经n 步运算可求得()y x 的近似值n y ，故,,xx nh n h==代入上式有2()2x hn hy h-=+22220000222lim lim()lim(1)lim[(1)]222x x h h xx h h h h hn h h h h h h h y e h h h+-+→→→→-==-=-=+++4、解：令2()xt y x e dt =⎰，则有初值问题2',(0)0x y e y ==对上述问题应用欧拉法，取h=0.5,计算公式为210.5,0,1,2,3n x n n y y e n +=+=由0(0)0,y y ==得1234(0.5)0.5,(1.0) 1.142012708(1.5) 2.501153623,(2.0)7.245021541≈=≈=≈=≈=y y y y y y y y5、解： 四阶经典龙格-库塔方法计算公式见式（9.7）。
数学分析ch8-1反常积分的概念和计算
无穷区间上的积分有三种形式： f (x)dx ， a f (x)dx 和 f (x)dx ，
a
由于形式上有
a
xt
a
f (x)dx f (t)dt f (t)dt
a
及
f (x)dx
f (x)dx
a f (x)dx ，
a
因此下面的讨论仅就
a
f
(x)dx
形式来展开。
注意：只有当 f (x)dx 和 a f (x)dx 都收敛时，才认为 f (x)dx 是
arctan x arctan x 0 。
0
如果函数 f (x) 在点 x0 的任何一个去心邻域上是无界的，则称 x0 为 f (x) 的奇点。由积分的区间可加性，我们假定 f (x) 在[a, b]上只有一个 奇点 x b。
定义 8.1.2 设函数 f (x) 在 x b 的左邻域无界，若对于任意
a
收敛的。
定义 8.1.1 设函数 f (x) 在 [a,) 有定义，且在任意有限区间
[a, A] [a,) 上可积，若极限
A
lim f (x)dx
A a
存在，则称反常积分
a
f
(x)dx
收敛（或称
f
(x)
在[a,)
上可积），其
积分值为
f (x)dx lim
A f (x)dx ；
a
A a
否则称反常积分
F (x) b lim F(x) F(a) F(b) F(a) 。 a xb
1
例 8.1.6
讨论反常积分
1
1
ex x2
dx
的敛散性。
解 x 0 是被积函数的唯一奇点，但这一点在积分区间的内部，
高一数学第八章知识点总结
高一数学第八章知识点总结高一数学第八章知识点总结本章主要介绍了函数的定义域、值域、定义域和值域的对应关系、函数的极值、函数的单调性、函数的图像、函数的基本性质以及函数的应用等内容。
下面是本章的知识点总结:1. 函数的定义域和值域的对应关系定义域是指函数的输入范围,值域是指函数的输出范围。
函数的定义域和值域的对应关系为:定义域对应值域,值域对应定义域。
即当函数的定义域越界时,其值域也越界,当函数的定义域不界时,其值域也不界。
2. 函数的极值函数的极值是指函数在某个区间内出现的最大或最小值。
函数的极值可以通过函数的对称轴和导数来求解。
3. 函数的单调性函数的单调性是指函数在自变量不变时,对数函数的值随着自变量的增加而单调增加,指数函数的值随着自变量的增加而单调减少。
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。
4. 函数的图像函数的图像是指函数在某一点取值时的取值范围的图像。
函数的图像可以通过对数函数和指数函数的图像进行描述。
5. 函数的基本性质函数的基本性质是指函数的一些基本特征,包括函数的定义域、值域、定义域和值域的对应关系、函数的极值、函数的单调性、函数的图像等。
6. 函数的应用函数在数学中有着广泛的应用,包括代数、几何、三角函数、指数函数、对数函数、三角函数、概率统计等。
函数的应用可以通过函数的求解、函数的图像、函数的性质来展开。
拓展:除了上述知识点外,函数还有一些重要的性质,包括函数的连续性、函数的可导性、函数的递推性等,这些性质对于理解和应用函数都非常重要。
此外,函数的应用也不仅仅局限于上述内容,函数在物理、工程、经济、生物等领域都有广泛的应用。
第8章级数理论
级数理论引言一、级数理论的主要研究内容级数理论是研究级数----无穷个数的和（数项级数）或无穷个函数的和（函数项级数）的理论，主要建立这样无穷个和在什么条件下有意义----收敛性和相应的判别法则、和具有什么样的性质。
二、级数理论的地位和作用级数理论是数学分析的一个重要的组成部分，他从离散的角度研究函数关系，是分析学的基础知识和研究工具，在其他各分支、特别是在现代数学各领域中有着极为重要的作用，特别是由此发展起来的Fourier级数理论和进一步的小波分析理论在工程技术领域如信号识别、图像处理等领域中是一个有力而又有效的快速计算和数值模拟工具。
三、级数的发展史1、早期的工作数学史上，级数的出现比较早。
微积分产生之前就已经有级数形式了，最早出现的是公比小于1的几何级数。
古希腊时期，Aristotle在计算抛物弓形面积时，实际上计算出了公比为41的无穷级数的和。
14世纪，法国Oresme证明：调和级数∑+∞=11n n发散，初步有了级数的收敛和发散思想，区别收敛和发散的级数。
但是直到微积分发明时代，人们才把级数作为独立的概念，把级数运算作为一种算术运算并正式使用级数的收敛和发散两个术语。
事实上，正是微积分的创立，为级数的运用提供了活动空间，为级数理论的建立提供了基本素材。
如Newton 研究级数是和他的流数法分不开的，和同时代或稍后的大多数数学家一样，他们研究稍微复杂的函数只能把他们展开成级数，再进行微分或积分才能处理他们，因此，在这一时期，Newton, Leibnize等独立得到如sinx ,cosx 、arcsinx等一些特殊函数的级数，其后，Bernoulli , Euler等大量依靠了级数的运用。
这些工作表明。
在17世纪下半叶，数学家们在研究超越函数，用他们的级数来处理方面是富有成效的，在这个时期，级数还被用来计算一些特殊的量如e,π等，除此之外，级数还用在隐函数的计算方面。
2、函数的展开17世纪后期和18世纪，摆在数学家面前的问题之一是函数表的插值。
数值分析第八章
解 : 确 定 有 根 区 间 Q f (1 ) = − 9 < 0 , f ( 2 ) = 8 > 0
∴ [1, 2 ]为有根区间
取x n 做为近似值 , 误差为 1 × 10 − 4 , 2 只需
b−a 2 n +1
为使误差不超过
1 1 < × 10 − 4 2 n +1 2
(n + 1) ln 0.5 < ln0.5 − 4 ln10 n≥ − 4ln10 ≈ 13.3 ln0.5
(3) 对∀x0 ∈[ a, b] , 令 x n = ϕ ( x n−1 ) 要证 xn → x *
xn − x
∗
证明 : 对 ∀ x , y ∈ [a , b ], 由微 分中值定理 ϕ ( x) − ϕ ( y) = ϕ′(ξ )(x − y) ξ ∈( x, y)
= ϕ ( xn−1 ) − ϕ ( x )
二分法的误差 :
第八章
非线性方程及非线性方程组解法
a
a2 a1 x0
x* x1 b2 b b1
第八章习题
P288: 3 , 6, 7, 8, 9, 10(计算一个), 11(写公式计算2,3步) 12, 13, 14, 16(1)(写公式计算2,3步)
[a , b ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a 2 , b2 ] ⊃ L ⊃ [an , bn ] ⊃ L
x 15 − x 14 = 0 . 0036223
x 4 = 1 . 5633947 x 7 = 1 . 6081705 x10 = 1 .5884803 x 13 = 1 . 5972529
x 5 = 1 .6178746 x 8 = 1. 5840930 x 11 = 1 .5991837 x14 = 1 .5925061
高等数学第八章空间解析几何与向量代数
|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若 为常数：
若 、 为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi
数学分析全章复习讲义
数学分析全章复习讲义
在这份文档中，我们将对数学分析的各个章节进行复，并提供一些重点思路和要点。
第一章：实数和数列
- 实数的定义和性质
- 数列的定义和性质
- 有界数列和无界数列
- 收敛数列和发散数列
第二章：极限和连续
- 极限的定义和性质
- 数列极限和函数极限
- 极限的运算法则
- 连续函数的定义和性质
- 连续函数的运算法则
第三章：导数和微分
- 函数的导数定义和性质
- 导数与连续性的关系
- 一阶导数和高阶导数
- 微分的定义和性质
- 微分中值定理和泰勒公式
第四章：积分
- 不定积分和定积分的定义和性质
- 积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念和判定
- 定积分的计算方法
第五章：级数
- 级数的定义和性质
- 收敛级数和发散级数的判定方法
- 常见级数的求和
- 幂级数和泰勒级数
第六章：函数序列和一致连续性
- 函数序列的极限和一致收敛
- 一致连续性的定义和性质
第七章：多元函数的极限和连续
- 多元函数的极限定义和性质
- 多元函数的连续性定义和性质
- 偏导数和全微分的概念
第八章：多元函数的导数和微分
- 多元函数的偏导数和混合偏导数
- 多元函数的全微分和复合函数的导数
- 隐函数的导数和参数方程的导数
以上是数学分析的全章复习内容，希望对你的学习有所帮助！。
第2讲 不定积分的几何意义、基本积分表
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定积分
不定积分的几何意义
基本积分表
4 x 1 2 2 例3 x 1 2 dx x 2 1dx x 1 1 3 x x 2arctan x C . 3
例4 例5
1 2 2
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
原函数
不定积分
不定积分的几何意义
基本积分表
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
y F ( x) C y F ( x)
( x0 , y0 )
x
满足条件 F ( x0 ) y0 的原函数正是在积分曲线中
通过点 ( x0 , y0 )的那一条积分曲线.
2
8. sin xdx cos x C .
2
9. sec xdx tan x C .
12. csc x cot xdx csc x C . dx 13. arcsin x C arccos x C . 2 1 x dx 14. arctan x C arccot x C . 2 1 x
2 tan x d x (sec x 1)dx tan x x C . 2 x x 2 2x 2 x (10 10 ) d x (10 10 2)dx
[(102 ) x (102 ) x 2]dx
1 2x 2 x (10 10 ) 2 x C . 2ln10
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式