第八章 假设检验
教育与心理统计学第八章：假设检验
临界值
H0值
样本统计量
左侧检验示意图
（显著性水平与拒绝域 ）
抽样分布
置信水平
拒绝域
1- 接受域
临界值
H0值
样本统计量
观察到的样本统计量
右侧检验示意图 （显著性水平与拒绝域 ）
抽样分布
置信水平
1- 接受域
拒绝域
H0值 观察到的样本统计量
临界值
样本统计量
双侧检验原假设与备择假设的确定
▪ 双侧检验属于决策中的假设检验。即不论是拒绝H0还 是接受H0，都必需采取相应的行动措施。
1、原假设真实， 并接受原假设，判断正确； 2、原假设不真实，且拒绝原假设，判断正确； 3、原假设真实， 但拒绝原假设，判断错误； 4、原假设不真实，却接受原假设，判断错误。
假设检验是依据样本提供的信息进行判断，有犯错误 的可能。所犯错误有两种类型：
第一类错误是原假设H0为真时，检验结果把它当成不 真而拒绝了。犯这种错误的概率用α表示，也称作α错 误(αerror)或弃真错误。
型错误
β错误（取伪错误） 1-β（正确决策）
要使犯这两类错误的概率α 和β都尽可能小， α也不能定
的过低 。
在一般研究中，我们总是控制犯型错误
为什么？？？
假设检验中人们普遍执行同一准则：首先控制弃真错误（α错 误）。假设检验的基本法则以α为显著性水平就体现了这一原
则。
两个理由: 统计推断中大家都遵循统一的准则，讨论问题会比较方便。
0.076mm。试问新机床加工零件 的椭圆度均值与以前有无显著差
异？（＝0.05）
属于决策中 的假设！
解：已知：X0=0.081mm， =.25，n=200，
x 0.076
第八章 假设检验
规定显著性水平
(significant level) ❖ 什么是显著性水平？ ❖ 1. 是一个概率值
❖ 2. 原假设为真时，拒绝原假设的概率
被称为抽样分布的拒绝域
❖ 3. 表示为 (alpha)
常用的 值有0.01, 0.05, 0.10
❖ 4. 由研究者事先确定
作出统计决策
3. 最初被假设是成立的，之后根据样本数据确定是否 有足够的证据拒绝它
4. 总是有符号 , 或
H0 ： = 某一数值 H0 ： 某一数值 H0 ： 某一数值
例如, H0 ： 10cm
备择假设
(alternative hypothesis)
1. 也称“研究假设”,研究者想收集证据予以支持的 假设(期望出现的结论作为备选假设)，用H1或Ha表 示
学习目标
假设检验的基本思想和原理 假设检验的步骤 一个总体参数的检验 两个总体参数的检验 P值的计算与应用 用Excel进行检验
正常人的平均体温是37oC吗？
37.1 36.9 36.9 37.1 36.4
➢ 当问起健康的 成年人体温是
36.9
36.6
36.2
36.7
36.9
多 少 时 ， 多 数 37.6 36.7 37.3 36.9 36.4
的饮料容量是否符合标准要求？
双侧检验
总体均值的检验( 2 已知)
(例题分析－大样本)
❖ H0 ： = 255 ❖ H1 ： 255 ❖ = 0.05
❖ n = 40 ❖ 临界值(c):
拒绝 H0
0.025
拒绝 H0
0.025
-1.96 0 1.96 z
检验统计量:
zx0 25.852551.01 n 5 40
第八章 假设检验
(一)问题的提出
例1.1 体重指数BMI是目前国际上常用的衡量人体胖 瘦程度以及是否健康的一个标准. 专家指出, 健康 成年人的BMI 取值应在 18.55- 24.99 之间.某种 减肥药广告宣称, 连续使用该种减肥药一个星期便 可达到减肥的效果.为了检验其说法是否可靠,随机 抽取9位试验者(要求BMI 指数超过25,年龄在20-25 岁女生),
x 0.522 0.465, 依然拒绝H0;
那么，拒绝H0的最小的值 是多少？最小的显 著水平又是多少？
(一)问题的提出
先让每位女生记录没有服用减肥药前的体重, 然后 让每位女生服用该减肥药, 服药期间, 要求每位女 生保持正常的饮食习惯, 连续服用该减肥药1周后, 再次记录各自的体重.测得服减肥药前后的体重差 值X(服药前体重-服药后体重) (单位: kg): 1.5，0.6，-0.3，1.1，-0.8，0，2.2，-1.0，1.4 设X~N(μ,0.36), μ未知，根据目前的样本资料能否 认为该减肥药广告中的宣称是可靠的？
n i1
Xi
~
N(,
1 ), n
H0 : 0, H1 : 1( 0 ), 拒绝域：X c.
P1 (X c)
P0 (X c)
0
c
1
犯两类错误的 概率相互制约
11
例1.1中，犯第I类错误的概率
(c) P{拒绝H0|H0是真的} P{X c| 0}
P{ X c | 0} / n / n
例1.2 一种饼干的包装盒上标注净重200g，假 设包装盒的重量为定值，且设饼干净重服从N (μ,σ2), μ, σ2均未知.现从货架上取来3盒，称 得毛重(单位：g)为 233，215，221，根据这 些数据是否可以认为这种包装饼干的标准差超 过6g？
第八章 假设检验
SE
X X
s
n 1
s n n 1
• 3、计算临界比率
t CR X SE
X 0
• 4、根据t值表由α查t值 • 5、做出决策，拒绝还是接受H0
Z检验又叫大样本检验，t检验又叫小样本检 验。
• 三、总体非正态分布 应该进行非参数检验或对原始数据进行对数转换或其它转 换，使非正态数据转化为正态形式，然后再作Z检验或t检 验。但如果样本容量较大，也可以近似的应用Z检验。
第八章 假设检验
假设检验在统计方法中的地位
统计方法
描述统计 推断统计
参数估计
假设检验
第一节 假设检验的原理
• 什么是假设 • 统计学中的假设专
指用统计学术语对总体 参数的具体数值所做的 假定性说明（陈述）。
抛锚式教学方法要比传统 教学法效果好！
什么是假设检验?
1. 先对总体的参数 ( 或分布形式 ) 提出某种假设， 然后利用样本信息判断假设是否成立的过程。 2. 分为参数检验和非参数检验 3. 逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理
D X X ( ) t X 1 X 2 t SED SE SE
X DX 1 2 1 2 DX DX
X
两个总体方差一致或相等
独立 样本 两个总体方差不齐性
SE
DX
S
2 n1
1
1
n
S
2 n2
1
2
n
（一）独立样本的平均数差异检验
• 1、两个总体方差一致或相等 12 22 02
• 一、总体正态分布、总体方差未知（t检验） 总体方差未知，要用其无偏估计量 sn 1 来代替σ0。
• • • • • •
教育与心理统计第八章假设检验
教育与心理统计第八章假设检验在统计中，通过样本统计量得出的差异作出一般性结论，判断总体检验参数之间是否存在差异，这种推论过程称为假设检验。
它的基本任务就是事先对总体参数或总体分布形态做出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，从而决定是否接受原假设。
假设检验包括参数检验和非参数检验。
若进行假设检验时总体的分布形式已知，需要对总体的未知参数进行假设检验，称其为参数假设检验；若对总体分布形式所知甚少，需要对未知分布函数的形式及其它特征进行检验，称之为非参数假设检验。
假设检验的原理第二节平均数的显著性检验第三节平均数差异的显著性检验第四节方差的差异检验SPSS假设检验的原理一、假设与假设检验假设一般专指用统计学术语对总体参数所做的假定性说明。
在进行任何一项研究时，都需要根据已有的理论和经验事先对研究结果作出一种预想的希望证实的假设。
这种假设叫科学假设，用统计术语表示时叫研究假设，记作H1。
假H0 H0为真，则H1为假设H1 H0为假，则H1为真在统计学中不能对H1的真实性直接经验，需建立与之对立的假设，称作虚无假设，或无差假设、零假设、原假设，记为H0。
在假设检验中H0总是作为直接被检验的假设，而H1与H0对立，二者择一，因而H1有时又叫做对立假设或备择假设，它的意思是一旦有充分理由否定虚无假设H0,则H1 这个假设备你选择。
运用统计方法若证明H0为真，则H1为假；反之H0为假，则H1为真。
虚无假设与备择假设互相排斥并且只有一个正确。
[例8―1]某班级进行比奈智力测验，结果X =110,已知比奈测验的常模μ0=100,σ0=16,问该班智力水平(不是这一次测验结果)是否确实与常模水平有差异。
虚无假设H0:μ1=μ0 备择假设H1:μ1 0 μ[心理实例1]已知研究者对安徽省安庆市、江苏省南京市、甘肃省天水市和河北省石家庄市四地的初三年级初中生进行了主观幸福感的测量，结果男生主观幸福感总得分的平均数为X ,女生主观幸福感总得分的平均数为X ,请问我国初三男女生主观幸福感是否存在差异？请指出虚无假设和备择假设。
【精品】概率论与数理统计PPT课件第八章 假设检验
16
假设检验的两类错误
所作判断 真实情况 H0 为真 H0 为假
接受 H0
拒绝 H0
正确
第一类错误
(弃真)
第二类错误
(取伪)
正确
犯第一类错误的概率通常记为
犯第二类错误的概率通常记为
17
如在例2中, 如果第一起交通事故发生后, 就 断定隧道南更容易发生交通事故, 犯第一类错 误的概率是0.35. 当第二起交通事故发生后, 断 定隧道南更容易发生交通事故, 犯第一类错误 的概率是0.352=0.1225. 如果第四起交通事故又 发生在隧道南, 否定p=0.35时犯第一类错误的概 率是0.354=0.015.
24
假设检验步骤(三部曲) 根据实际问题所关心的内容,建立H0与H1。
在H0为真时,选择合适的统计量T, 并确定
拒绝域。 根据样本值计算,并作出相应的判断.
25
提出 假设
总 结
抽取 样本
P(T W)=
-----犯第一 类错误的概率， W为拒绝域
根据统计调查的目的, 提出 原假设H0 和备择假设H1
P= 0.353 ≈ 0.043.
这是一个很小的概率, 一般不容易发生.
7
所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交 通事故的概率比隧道北大.
做出以上结论也有可能犯错误。这是因为 当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯 错误。这一概率正是P=0.043.
4
这是 小概率事件, 一般在一次试验中是不会发 生的, 现一次试验竟然发生, 故可认为原假设不 成立, 即该批产品次品率p>0.04 , 则该批产品不 能出厂.
第八章 假设检验
第八章 假设检验参数估计和假设检验是统计推断中的两类重要问题。
在前一章中我们讨论了用样本统计量来推断总体未知参数的方法—参数的点估计与区间估计，本章我们将讨论正态总体分布中的未知参数的假设检验以及总体分布函数的假设检验。
§8.1 假设检验的基本概念§8.1.1 问题的提出在实际工作中，我们经常要面对这样的问题：总体的分布函数的类型或分布函数中的一些参数是未知的，需要对总体分布函数的类型或分布函数中的未知参数提出某种"假设"，然后通过已经获得的一个样本对提出的“假设”作出成立还是不成立的判断（或决策）。
为了介绍假设检验的基本思想，我们先来看一个例子：例8.1 某食品厂生产的罐头规定每听的标准重量为500克，这些罐头由一条生产线自动包装，在正常的情况下，由经验知道生产出的罐头重量（单位：克）服从正态分布N （500，22）。
质量管理中规定每隔一定时间要抽测5听罐头。
若某次抽测的5听罐头的重量为501，507，498，502，504（克），假定方差不变，这时我们是否可以得出生生产线运转正常（即这段时间生产的罐头的平均重量为500克）的判断呢？由题意知，罐头重量),2N(μ~X 2，记μ0=500，则要回答的问题是：μ=μ0吗？ 我们可以先假定μ=μ0，并称之为待检假设或原假设，记为H 0：μ=μ0这个原假设可能成立也可能不成立。
当原假设不成立时，称μ的取值为备选假设，这里取“μ≠μ0”为备选假设，记为H 1：μ≠μ0所谓假设检验问题就是要利用样本提供给我们的信息，在原假设H 0与备选假设H 1之间作出拒绝哪一个、接受哪一个的判断，简称为H 0对H 1的检验问题。
在例8.1中，我们把问题归结成统计假设：H 0：μ=500，对H 1：μ≠500。
那么，如何来解决H 0对H 1的检验问题呢？由参数估计知，x 是μ的一个"好"估计量。
如果原假设H 0成立，即μ=500，那么，x 通常应很接近500，即|x -500|通常应很小；否则，就认为原假设H 0不成立，也即μ≠500。
第八章 假设检验
第八章 假设检验第一节 假设检验的原理 一、假设与假设检验（一）备择假设就是实验人员希望证实的假设，也称研究假设。
从内容上看，备择假设是假设两个样本统计（或两个总体参数）之间，又或者是样本统计量与总体参数之间存在真实的差异，是一种有差假设。
表达方式有二，即μ≠X 或0≠-μX ； 21μμ≠或021≠-μμ。
（二）虚无假设是研究人员为了证实研究假设是真的而利用概率论的反证法所进行的假设，即从研究假设的反面进行假设，用符号0H 表示。
建立起虚无假设目的是希望通过检验说明虚无假设是假的，以此来证明研究假设是真的。
因此，假设检验都是从虚无假设开始的。
从内容上看，虚无假设是假设两个总体参数之间或样本统计量与总体参数之间不存在真正的差异，其现存的表面差异是由抽样所造成的误差，是一种无差假设，又称零假设或原假设。
表达方式有二，即μ=X 或0=-μX 表示； 21μμ=或021=-μμ。
二、显著性水平（一）显著性水平的意义显著性水平指拒绝虚无假设的小概率值。
从理论上说，显著性水平的理论依据来自小概率事件。
统计中一般认为概率小于或等于0.05的随机事件属小概率事件。
若随机样本统计量的数值在抽样分布上出现的概率等于或小于这些小概率值，就以小概率事件拒绝虚无假设。
从直观上看，当两个总体均数相等时，1μ和2μ会落在Z 轴的同一点上，即0=Z 处，当1μ和2μ有差异时，则会产生差距，其差距在Z 轴上达到或超出±1.96σ时，就被认为出现显著差异，因此±1.96σ之内称接受虚无假设的概率区，其包含的面积达95%。
只要两均数差异检验的Z 值落入该区域，就认为差异不显著，这时应接受虚无假设而拒绝研究假设。
而±1.96σ之外称则拒绝虚无假设的小概率区，其包含面积为5%，称小概率值，即05.0=α。
只要两均数差异检验的Z 值落入这一区域，就认为存在显著差异。
这时应拒绝虚无假设而接受研究假设。
（二）差异显著性的判断规则表8-1 Z 值、p 值与差异显著性的关系Z p 值显著性 符号表示＜1.96 ＞0.05 不显著≥1.96 ≤0.05 显 著 * ≥2.58≤0.01极显著**值得注意的是，显著性水平的取值实际上是因事物的性质、统计的要求及研究者的需求不同确定的。
第八章 假设检验 - 副本解析
z n(x 0 ) 100(960 1000) 2 1.645
200
于是拒绝H0 ，认为这批灯泡的使用寿命低于
1000小时，批发商不应购买。
注：P值=P（Z≤z）,若 P 值 < ,则拒绝 H0
第二节 一个总体参数的检验
• 总体均值的检验 （1）样本量大 a) 方差已知:(例8.2） 检验统计量为 Z n(X 0) ～N（0，1）
（2）确定检验统计量：t
n(X 0)
S
～t(n-1)
（3）求出拒绝域：
P(| t |
n(X 0)
S
t (n 1)) 2
（4）取样，根据样本观察值作出决策：
x 5.3, n 10, s 0.3, t0.05 (10 1) t0.025 (9) 2.2622 2
t n(x 0 ) 10(5.3 5) 3.16 2.2622
s
0.3
于是拒绝H0 ，认为该机器的性能不好。
0.01155
例8.8 一项统计结果声称，某市老年人口（年 龄在65岁以上） 所占的比例为14.7%，该 市老年人口研究会为了检验该项统计是否 可靠，随机抽取了400名居民，发现其中有 57 人年龄在65岁以上。调查结果是否支持 该市老年人口比例为14.7%的看法 （ 0.05） ？
解：:(1)提出假设：
H0 : 14.7%支持
H1 : 14.7%不支持
• 总体比例的检验
二项分布当n很大时，与正态分布近似，
检验统计量 Z pˆ 0 ～ N(0,1), 0 (1 0 ) n
式中 pˆ 为样本比例； 0 为总体比例 的假设
值。
（2）确定检验统计量：Z
pˆ 0 0 (1 0 )
n(x 0 ) 200(0.076 0.081) 2.83 1.96
第8章 假设检验
例 孟德尔遗传理论断言，当两个品种的豆杂交时，圆的 和黄的、起皱的和黄的、圆的和绿的、起皱的和绿的豆的 频数将以比例9：3：3：1发生。在检验这个理论时，孟德 尔分别得到频数315、101、108、32、这些数据提供充分 证据拒绝该理论吗？
P PH0 | Z || z0 | 2PH0 Z | z0 | 2(1 (| z0 |))
(即z0代替了拒绝域式中的z 2 )
判断：当P小于显著水平时，拒绝原假设，
否则，接受: 0, H1 : 0 ， 其中0是已知的常数
以X 作为的参考, 若H0为真，X比0大些，但
这个批次清漆的干燥时间构成的总体方差可设 2 0.36 而其均值是要求我们检验的！
经计算，现抽取的9个数据的平均值x 6.4小时,
现在的问题是，我们能否认为 "6.4 6.0 0" ？
即，接受以下哪个假设？
原假设 H0 : 0 6.0， 备择假设 H1 : 0 6.0
4
原假设 H0 : 0 6.0， 备择假设 H1 : 0 6.0
16
*另外方法：若给定显著性水平, 当原假设成立时
( 0)，总体X ~ N (0, 2 )，因此，X ~ N (0, 2 n )
P0 ( X 0
k)
P 0
(
X
0
n
k
设
)
n
k
n z /2
k z/2 n
1
一般，H
的拒绝域写为：
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1 第八章 假设检验 本章主要介绍统计假设检验的基本思想和概念以及参数的假设检验方法。 8.1 假设检验的基本思想和概念 （一）统计假设的概念 为了引入统计假设的概念，先请看例8-1。
例8-1 味精厂用一台包装机自动包装味精，已知袋装味精的重量，机器正常时，其均值=0.5（0.5，0.015的单位都是公斤）。某日开工后随机抽取9袋袋装味精，其净重（公斤）为： 0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512 问这台包装机是否正常？ 此例随机抽样取得的9袋味精的重量都不正好是0.5公斤，这种实际重量和标准重量不完全一致的现象，在实际中是经常出现的。造成这种差异不外乎有两种原因：一是偶然因素的影响，二是条件因素的影响。由于偶然因素而发生的（例如电网电压的波动、金属部件的不时伸缩、衡量仪器的误差而引起的）差异称为随机误差；由于条件因素（生产设备的缺陷、机械部件的过度损耗）而产生的差异称为条件误差。若只存在随机误差，我们就没有理由怀疑标准重量不是0.5公斤；如果我们有十足的理由断定标准重量已不是0.5公斤，那么造成这种现象的主要原因是条件误差，即包装机工作不正常，那么，怎样判断包装机工作是否正常呢？ 我们通过解例8-1 来找出解假设检验问题的思想方法。
解 已知袋装味精重，假设现在包装机工作正常，即提出如下假设： ， 这是两个对立的假设，我们的任务就是要依据样本对这样的假设之一作出是否拒绝的判断。
由于样本均值是的一个很好的估计，故当为真时，应很小。当过分大时，我们就应当怀疑不正确而拒绝。怎样给出的具体界限值呢？
当为真时，由于，对于给定的很小的数0， 其中是标准正态分布上侧分位数，而事件
（8.1.1） 是一个小概率事件，小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。
我们查附表1得,又n=9,=0.015，由样本算得，又由（8.1.1）得： 2
小概率事件居然发生了，这与实际推断原理相矛盾，于是拒绝，而认为这台包装机工作不正常。 从上面的例8-1中，我们看出为了对总体的某一参数进行检验，通常提出两个对立假设。然后引入一个与被检参数有关的服从某种分布的统计量，根据事先给出的一概率标准α（叫显著水平）用反
证法进行判断，由于小概率事件一般是不会发生的，如果引进的样本是一个小概率事件，因为它的确出现了，则可认为假设不能接受，否则便接受。 （二）假设检验的程序 根据以上的讨论与分析，可将假设检验的基本步骤概括如下： （1）根据实际问题提出原假设及备择假设。这里要求与有且仅有一个为真。 （2）选取合适的统计量，即要求所选的统计量与假设无关且服从某种分布，常见的有标准正态分布t
（n-1）分布，（n-1）分布及F（m,n）公布。 （3）规定小概率标准α的大小，也叫显著水平，通常可取 α=0.01，α=0.05或α=0.1。 （4）在显著水平α下，根据统计量的分布将样本空间划分为两部分，其一是接受的叫接受域，另一个是拒绝的叫拒绝域，记为W。 （5）根据样本值计算统计量的大小。 （6）作出判断：若统计量的观测值落在拒绝域W内。则知小概率事件发生了，拒绝，接受。若统计量的观测值落在接受域则认为小概率事件没有发生，可以接受拒绝。
8.2 总体均值的假设检验 本节讨论的总体均值的假设检验，多数是在正态总体下进行的。 8.2.1 u检验 1.方差已知时，单个正态总体均值检验 设x1,…,xn是从正态总体中抽取的一个样本,是已知常数,欲检验假设： ， 其中为已知数，它的程序： （1）提出假设
（2）引入统计量 （3）规定显著水平α，查标准正态分布表求的上侧分位数为临界值，写出相应的拒绝域
其中常用的有α=0.1时， α=0.05时， α=0.01时， （4）根据样本值x1，x2，…，xn计算统计量u。 3
（5）判断：若u落入拒绝域W内时，则拒绝接受， 若u落入接受域内时，则接受，拒绝。
例8-2 某产品的重量X～N（12，1）（单位：克），更新设备后，从新生产的产品中抽样100件，测试样本均值（克），如果产品的方差没有改变，请问更新设备后，产品的平均重量是否有明显变化？（α=0.01）
解 （1）设
（2）引入 （3）根据α=0.01，查标准正态分布函数表，得的上侧分位数 ∴拒绝域为（-∞，-2.58）,（2.58，+∞）
（4）计算 （5）∵u落入拒绝域W中，故拒绝，即有明显差别。 2.方差已知时，两个正态总体值差的检验 设，其中为已知常数。x1，…，xm和y1，…，yn分别是取自X和Y的样本且相互独立。欲检验假设：
检验假设，等价于检验假设。而是的一个好估计量，且当为真时，有
（8.2.1） 于是对给定的水平α，查附表1，可得临界值，使 ， （8.2.2） 从而得拒绝域
， 若u∈W，则拒绝；否则接受。
由上述讨论可知，由服从标准正态分布的检验统计量作检验的方法称为u检验法。 例8-3 设从中各抽样25件 4
测得=90，=89。设X，Y独立，请问是否可以认与基本相同？（α=0.05） 解（1）
（2）引进统计量 （3）根据α=0.05，查标准正态分布函数表将
∴拒绝域W为（-∞，-1.96），（1.96,+ ∞） （4）计算 （5）∵u在接受域内，∴接受，即与差别不大。
8.2.2 t检验 1.方差未知时，单个正态总体均值检验 设x1，…，xm是从正态总体中抽取的一个样本，其中未知，欲检验 （1），其中为已知数。
（2）构造统计量 （3）给定显著水平α，查t（n-1）表求分位数 则拒绝域 （4）根据样本x1，x2，…，xn计算
（5）若t落在拒绝域W内，则拒绝，接受。 若t未落在拒绝域内，则接受，拒绝。
例8-4 车辆厂生产的螺杆直径X服从正态分布，现从中抽取5枝，测得直径（单位：毫米）为22.3，21.5，22.0，21.8，21.4。如果未知，试问直径均值=21是否成立？（α=0.05） 5
解 检验假设 （1）， 由样本观测值算得 （2），
（3）计算 （4）根据α=0.05，查t（n-1）分布表
临界值。 ∴拒绝域为 （5）∵t=4.87在拒绝域内 ∴否定，接受。 即认为直径均值不是21。
2.方差未知时，两个正态总体均值检验 设和分别是取自X和Y的样本且相互独立。 （1）（未知）。欲检验假设
（2）构造统计量
。 t即为我们构造的检验统计量。这时，对给定的水平α，查附表3可得临界值，使 ， 即得拒绝域
。 例8-5 在漂白工艺中考察温度对针织品断裂强度的影响，现在70℃与80℃下分别作8次和6次试验，测得各自的断裂度X和Y的观测值。经计算得，。根据以往的经验，可认为X和Y均服从正态分布，且方差相等，在给定α=0.10时，问70℃与80℃对断裂强度的无显著差异？
解 由题设，可假定，于是若作统计假设为两个温度下的断裂强度无显著性差异，即相当于作假设 （1）。
（2）构造统计量 （3）α=0.10，查得t（m+n-2）=t（12）表，得临界值。 6
∴拒绝域W为（-∞，-1.782）∪（1.782，+∞） （4）计算 （5）因为t落在拒绝域W内，所以拒绝，接受。 即认为断裂强度有明显差别。
8.3 正态总体方差的假设检验 在实际问题中，有关方差的检验问题也是常遇到的，如上节介绍的u检验和t检验中均与方差有密切的联系。因此，讨论方差的检验问题尤为重要。
8.3.1 检验 设总体未知，x1，…，nx为取自X的样本，欲检验假设
其中为已知数。 自然想到，看的无偏估计s2有多大，当H0为真时，s2应在周围波动，如果很大或很小，则应否定H0，因此构造检验统计量。 对于给定的显著水平α，可查（n-1）表可得分位数
∴拒绝域W为。 若统计量落在拒绝域W内，则拒绝，接受。
若统计量落在接受域内，则接受，拒绝。 例8-6 设某厂生产铜线的折断力，现从一批产品中抽查10根测其折断力后经计算得样本均值=575.2，样本方差s2=68.16。试问能否认为这批铜线折断力的方差仍为82（公斤）（取α=0.05）？ 解 按题意，欲检验假设
（1），
（2）引进统计量 7
（3）根据α=0.05，查（n-1）=（9）表得临界值 于是得拒绝域 （4）。
（5）计算 由于不在拒绝域W内，故不拒绝，即可认为该批铜线折断力的方差与82（公斤）无显著差异。
8.3.2 F检验 前面介绍的用t检验法检验两个独立正态总体的均值是否相等时，曾假定它们的方差是相等的。一般说来，两个正态总体方差是未知的，那么，如何来检验两独立正态总体方差是否相等呢？为此介绍F检验法。
设有两正态总体和分别是取自X和Y的样本且相
互独立。欲检验统计假设。
由于是的无偏估计，是的无偏估计，当为真时，自然想到和应该差不多，其比值不会太大或大小，现在关键在于统计量服从什么分布。由§6.3节定理6-4推论我们知道，当为真时，这样，取F为检验统计量，对给定的水平α，查附表5，确定临界值使
。 即得拒绝域 。 若由样本观测值算得F值，当F∈W时，拒绝，即认为两总体方差有显著差异。否则认为与相容，即两总体方差无显著差异。 例8-7 设甲、乙两台机床加工同一种轴，从这两台机床加工的轴中分别抽取若干根，测得直径数据如下
假定各台机床加工轴的直径X，Y分别服从正态分布，试比较甲、乙两台机床加工轴的精度有无显著差异（取α=0.05）。
解 按题意，本题是要检验两正态总体的方差是否相等，即要检验统计假设
（1）