第24章 圆(全章热门考点整合应用)

1 全章热门考点整合应用 名师点金：圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点．本章题型广泛，主要考查圆的概念、基本性质以及圆周角定理及其推论，直线与圆的位置关系，切线的性质和判定，正多边形与圆的计算和证明等，通常以这些知识为载体，与函数、方程等知识综合考查．全章热门考点可概括为：一个概念、三个定理、三个关系、两个圆与三角形、三个公式、两个技巧、两种思想．

一个概念——圆的相关概念 1．下列说法正确的是( ) A．直径是弦，弦也是直径 B．半圆是弧，弧是半圆 C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 D．在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍

三个定理 定理1 垂径定理

2．【2015·北京】如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，

交AB于点F，且DA︵＝DC︵，连接AC，AD，延长AD交BM于点E. (1)求证：△ACD是等边三角形； (2)连接OE，若DE＝2，求OE的长．

(第2题)

定理2 圆心角、弦、弧间的关系定理

3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是BC︵的中点，求∠ACD的度数． 2

(第3题) 定理3 圆周角定理

4．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD. (1)弦长AB＝________(结果保留根号)； (2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．

(第4题)

三个关系 关系1 点与圆的位置关系

5．如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O 3

点80 m的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，距拖拉机50 m范围内会受到噪音影响，已知有两台相距30 m的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5 m/s，则这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多长？

(第5题)

关系2 直线与圆的位置关系

6．如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O，已知AB＝10，AD＝m. (1)求点O到CD的距离；(用含m的代数式表示) (2)若m＝6，通过计算判断⊙O与CD的位置关系； (3)若⊙O与线段CD有两个公共点，求m的取值范围．

(第6题) 4

关系3 正多边形和圆的位置关系

7．如图，已知⊙O的内接正十边形ABCD…，AD交OB，OC于M，N.求证： (1)MN∥BC； (2)MN＋BC＝OB.

(第7题)

两个圆与三角形 圆与三角形1 三角形的外接圆

8．【中考·哈尔滨】如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE. (1)求∠ACB的度数； (2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．

(第8题) 5

圆与三角形2 三角形的内切圆

9．如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为( ) A．5 B．10 C．7.5 D．4

(第9题)

(第10题) 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，内切圆⊙O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F.∠BAC＝120°，BF＝23.则内切圆⊙O的半径为( )

A．2 B.3 C．43－6 D.94

三个公式 公式1 弧长公式

11．如图，已知正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( ) A．13π cm B．14π cm C．15π cm D．16π cm

(第11题) (第12题) 12．【2016·昆明】如图，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O 6

于点B，连接AD，OC，BC，∠A＝30°，下列结论不正确的是( ) A．EF∥CD B．△COB是等边三角形 C．CG＝DG

D.BC︵的长为32π

公式2 扇形面积公式

13．设计一个商标图案，如图，在矩形ABCD中，若AB＝2BC，且AB＝8 cm，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交BA的延长线于点F，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ) A．(4π＋8) cm2 B．(4π＋16) cm2 C．(3π＋8) cm2 D．(3π＋16) cm2

(第13题)

(第14题) 14．【2016·重庆】如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝2，则图中阴影部分的面积是( )

A.π4 B.12＋π4 C.π2 D.12＋π2

公式3 圆锥的侧面积和全面积公式

15．在手工课上，王红制成了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆的半径为10 cm，母线长为50 cm，则制作一顶这样的纸帽所需纸板的面积至少为( ) A．250π cm2 B．500π cm2 C．750π cm2 D．1 000π cm2

16．已知圆锥底面圆的半径为2，母线长是4，则它的全面积为( ) A．4π B．8π C．12π D．16π 7

两个技巧 技巧1 作同弧所对的圆周角(特别的：直径所对的圆周角)

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E. (1)求证：BE＝CE；

(2)若∠B＝70°，求DE︵的度数； (3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．

(第17题)

技巧2 作半径(特别的：垂直于弦的半径、过切点的半径)

18．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C. (1)求证：AE平分∠BAC； (2)若EC＝3，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．

(第18题) 8

两种思想 思想1 分类讨论思想

19．已知在半径为1的⊙O中，弦AC＝2，弦AB＝3，则∠CAB＝________． 思想2 方程思想

20．如图，正方形ABCD的边长是4，以BC为直径作圆，从点A引圆的切线，切点为F，AF的延长线交DC于点E.求： (1)△ADE的面积； (2)BF的长．

(第20题) 9

答案 1．D 2．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE.

∵CD∥BE，∴CD⊥AB.∴AD︵＝AC︵. ∵DA︵＝DC︵，∴DA︵＝AC︵＝CD︵. ∴AD＝AC＝CD. ∴△ACD是等边三角形．

(第2题) (2)解：如图，过O作ON⊥AD于N.由(1)知△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°. ∵AD＝AC，CD⊥AB， ∴∠DAB＝30°，

∴BE＝12AE，ON＝12AO.设⊙O的半径为r，∴ON＝12r，∴AN＝DN＝32r， ∴EN＝2＋32r，AE＝2＋3r.∴BE＝12AE＝3r＋22.在Rt△NEO与Rt△BEO中，OE2＝ON2＋NE2＝OB2＋BE2，即r22＋2＋32r2＝r2＋3r＋222，∴r＝23(r＝－233舍去)．∴OE2＝r22＋2＋32r2＝28.又∵OE>0，∴OE＝27.

(第3题) 3．解：∵∠AOC＝40°，

∴∠BOC＝180°－40°＝140°，∠ACO＝12×(180°－40°)＝70°.如图，连接OD.∵D是BC︵

的中点，∴∠COD＝12∠BOC＝70°.∴∠OCD＝180°－70°2＝55°. ∴∠ACD＝∠ACO＋∠OCD＝70°＋55°＝125°. 4．解：(1)23. (2)如图，连接OA. 10

∵OA＝OB，OA＝OD， ∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D. ∴∠BAD＝∠BAO＋∠DAO＝∠B＋∠D. 又∵∠B＝30°，∠D＝20°， ∴∠BAD＝50°. ∴∠BOD＝2∠BAD＝100°. 点拨：圆周角定理、垂径定理在与圆有关的证明、计算题中经常出现，要牢固掌握．

(第4题) (第5题) 5．解：如图， 过点A作AC⊥ON，垂足为C. ∵∠MON＝30°，OA＝80 m， ∴AC＝40 m. 以点A为圆心，50 m为半径作圆，交ON于B，D两点，连接AB，AD. 当第一台拖拉机到B点时对小学产生噪音影响，∵AB＝50 m，∴由勾股定理得BC＝30 m， 第一台拖拉机到D点时对小学产生的噪音消失，易得CD＝30 m. ∵两台拖拉机相距30 m， ∴第一台拖拉机到D点时第二台拖拉机在C点，还需前行30 m后才对小学没有噪音影响． ∴影响时间应是90÷5＝18(s)． 即这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是18 s. 6．解：(1)根据平行线间的距离相等，知点O到CD的距离即为点A到CD的距离．过点A作AE⊥CD于点E.根据∠D＝60°，AD＝m，利用直角三角形中“30°角所对的直角边

等于斜边的一半”及勾股定理，得AE＝32m，即点O到CD的距离是32m. (2)由题可得OA＝5.当m＝6时，32m＝33>5，故⊙O与CD相离． (3)若⊙O与线段CD有两个公共点，则该圆和线段CD相交，当点C在⊙O上时，易得m＝12AB＝5；