三角形全章热门考点整合应用

全章热门考点整合应用名师点金：本章学习的主要知识有三角形和多边形，其中三角形中主要学习了与三角形有关的线段和三角形内角、外角相关的知识，多边形中主要学习了多边形的内角和与外角和，一般考查的题型包括三角形的计数，三角形的三边关系，三角形的中线、高、角平分线，三角形内角和及外角性质，多边形的内角和与外角和等．两个概念概念1：与三角形有关的概念(第1题)1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD边上一点．(1)以AC为边的三角形共有____个，它们是____________________________；(2)∠1是△________和△________的内角；(3)在△ACE中，∠CAE的对边是________．概念2：与多边形有关的概念2．下列说法正确的是()A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线三种线段线段1：三角形的高3．如图，D为△ABC中AC边上一点，AD＝1，DC＝2，AB＝4，E是AB上一点，且△DEC的面积等于△ABC面积的一半，求EB的长．(第3题)线段2：三角形的中线(第4题)4．如图，在△ABC 中，E 是边BC 上一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点．连接AE ，BD 交于点F.已知S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝()A ．1B ．2C ．3D ．4线段3：三角形的角平分线5．如图，在△ABC 中，AF 是中线，AE 是角平分线，AD 是高，∠BAC ＝90°，FC ＝6，则根据图形填空：(1)BF ＝________，BC ＝________；(2)∠BAE ＝________°，∠CAE ＝________°；(3)∠ADB ＝________°，∠ADC ＝________°.(第5题)(第6题)三个关系关系1：三角形的三边关系6．已知：如图，四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交于点O.试说明：AC ＋BD ＞12(AB ＋BC ＋CD ＋DA)．解：在△OAB 中有OA ＋OB ＞AB ，在△OAD 中有____________，在△ODC 中有____________，在△________中有____________，∴OA ＋OB ＋OA ＋OD ＋OD ＋OC ＋OC ＋OB ＞AB ＋BC ＋CD ＋DA ，即________________________．∴AC ＋BD ＞12(AB ＋BC ＋CD ＋DA)．关系2：三角形内角、外角的关系7．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B ，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线．(1)若∠B ＝30°，∠C ＝50°，求∠DAE 的度数；(2)∠DAE 与∠C －∠B 有何关系？(第7题)(第8题)关系3：多边形内角、外角的关系8．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE 的四个外角．若∠A ＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________．两种计算计算1：三角形中的边角计算9．【2015·资阳)等腰三角形的两边长a ，b 满足|a －4|＋(b －9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．计算2：多边形中的边角计算10．已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63.求(n－m)t的值．两个技巧技巧1：巧用面积法解决问题11．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，且AB＝3，BC＝6，则CE与AD有怎样的数量关系？(第11题)(第12题)技巧2：巧用整体法解决问题12．如图，∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠MGN＋∠H＋∠K＝________．四种思想思想1：转化思想13．如图所示的模板按规定AB，CD的延长线相交成80°的角，因交点不在板上，不便测量，但工人师傅测得∠BAE＝122°，∠DCF＝155°，此时，AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？(第13题)思想2：分类讨论思想14．阅读两名同学对下题的解答过程．一个等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为8cm，则这个三角形另外两边的长分别是多少？李明说应这样解：设腰长为x cm，则2x＋8＝28，解得x＝10，所以这个三角形的另外两边的长均为10cm.张钢说应这样解：设底边长为x cm，则2×8＋x＝28，解得x＝12，所以这个三角形的另外两边的长分别为8cm，12cm.试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程．思想3：方程思想15．在△ABC中，∠B＝20°＋∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数．思想4：从特殊到一般的思想16．三角形没有对角线，四边形ABCD有2条对角线AC和BD(如图①)，五边形ABCDE 有5条对角线AC，AD，BE，BD，CE(如图②)．想一想：六边形(如图③)有几条对角线？n 边形有几条对角线？(第16题)答案1．(1)3；△ACE ，△ACD ，△ACB (2)BCE ；CDE(3)CE 2．C3．解：如图，过点E 作EF ⊥AC 于点F ，则S △DEC S △AEC ＝12DC·EF12AC·EF ＝DC AC ＝23.过点C 作CG ⊥AB 于点G ，则S △AEC S △ABC ＝12AE·CG12AB·CG ＝AE AB ＝AE4.∴S △DEC S △AEC ·S △AEC S △ABC ＝23×AE 4，即S △DEC S △ABC ＝AE 6.又∵S △DEC S △ABC ＝12，∴AE 6＝12，∴AE ＝3，∴BE ＝AB －AE ＝1，即BE 的长为 1.(第3题)点拨：同(等)高的两个三角形的面积比等于底边长的比．4．B点拨：连接CF.设S △BEF ＝x ，因为EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，所以S △ADF＝S △CDF ，S △ABD ＝S △BCD ＝12S △ABC ＝6，S △CEF ＝2S △BEF ＝2x ，所以S △ABF ＝S △BCF ＝3x.S △ADF＝S △CDF ＝6－3x.由图形，得S △AEC ＝2S △ABE ，即2x ＋(6－3x)＋(6－3x)＝2(x ＋3x)，解得x ＝1，所以6－3x ＝6－3×1＝3，所以S △ADF －S △BEF ＝2.故选B .5．(1)6；12(2)45；45(3)90；906．OA ＋OD ＞AD ；OD ＋OC ＞CD ；OBC ；OB ＋OC ＞BC ；2(AC ＋BD)＞AB ＋BC ＋CD ＋DA 7．解：(1)∵∠B ＋∠C ＋∠BAC ＝180°，∠B ＝30°，∠C ＝50°，∴∠BAC ＝180°－30°－50°＝100°.又∵AE 是△ABC 的角平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝50°.∵∠AEC 为△ABE 的外角，∴∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ＝30°＋50°＝80°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADE ＝90°.∴∠DAE ＝90°－∠AEC ＝90°－80°＝10°.(2)由(1)知，∠DAE ＝90°－∠AEC ＝90°B ＋12∠又∵∠BAC ＝180°－∠B －∠C.∴∠DAE ＝90°－∠B －12(180°－∠B －∠C)＝12(∠C －∠B)．8．300°9．解：∵|a －4|＋(b －9)2＝0，∴|a －4|＝0，(b －9)2＝0.∴a ＝4，b ＝9.若腰长为4，则4＋4＜9，不能构成三角形．若腰长为9，则9＋4＞9，能构成三角形，∴这个等腰三角形的周长为9＋9＋4＝22.10．解：由题意知n ＝4＋3＝7，m ＝6＋2＝8，t ＝63÷7＝9，所以(n －m)t ＝(7－8)9＝(－1)9＝－1.11．解：根据△ABC 的面积＝12AB·CE ＝12BC·AD ，得12×3·CE ＝12×6·AD ，所以CE ＝2AD.12．540°点拨：连接AG ，GD.在△MAG 与△MHK 中，∵∠MAG ＋∠MGA ＋∠AMG ＝180°，∠H ＋∠K ＋∠HMK ＝180°，∠AMG ＝∠HMK ，∴∠MAG ＋∠MGA ＝∠H ＋∠K.同理，∠NGD ＋∠NDG ＝∠E ＋∠F.∴∠BAK ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＋∠MGN ＋∠E ＋∠F ＋∠H ＋∠K ＝∠BAK ＋∠MAG ＋∠MGA ＋∠MGN ＋∠NGD ＋∠NDG ＋∠CDE ＋∠C ＋∠B ＝∠BAG ＋∠AGD ＋∠GDC ＋∠C ＋∠B ＝540°.13．解：不符合规定，理由如下：延长AB ，CD 相交于G ，∵多边形AEFCG 为五边形，∴∠G ＝540°－90°－90°－122°－155°＝83°≠80°，∴不符合规定．(第13题)14．解：李明、张钢两人的解法均不全面.正确的解答过程如下：当该等腰三角形的底边长为8cm 时，腰长为(28－8)×12＝10(cm )．当该等腰三角形的腰长为8cm 时，底边长为28－2×8＝12(cm )．根据三角形三边关系可验证这两种情况均成立．所以这个三角形的另外两边的长是10cm ，10cm 或8cm ，12cm .点拨：本题中没有明确8cm 是等腰三角形的底边长还是腰长，需对其进行分情况讨论，并用三角形的三边关系进行验证．15．解：∠C ＝∠B －10°＝20°＋∠A －10°＝10°＋∠A ，所以∠A ＋∠B ＋∠C ＝∠A ＋20°＋∠A ＋10°＋∠A ＝3∠A ＋30°＝180°，所以∠A ＝50°.16．解：六边形有9条对角线，由四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，推断n 边形有n （n －3）2条对角线．。