高一数学必修一复习测试卷
高一必修一数学综合测试卷
高一必修一数学综合测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 设集合A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B =（）A. {1, 2}B. {3}C. {1, 2, 3, 4, 5}D. ∅答案：B。
解析：两个集合的交集是它们共有的元素组成的集合，A和B共有的元素只有3，所以A ∩ B = {3}。
2. 函数y = log₂x的定义域是（）A. (0，+∞)B. [0，+∞)C. (-∞，0)D. (-∞，0]答案：A。
解析：对数函数的真数必须大于0，所以x>0，定义域为(0，+∞)。
3. 已知函数y = x²+2x - 3，当x = 1时，y的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A。
解析：把x = 1代入函数y = x²+2x - 3，得y = 1²+2×1 - 3 = 0。
4. 若sinα=1/2，且α是锐角，则α等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：A。
解析：因为sin30° = 1/2，且α是锐角，所以α = 30°。
5. 直线y = 2x+1的斜率是（）A. 1B. 2C. - 1D. - 2答案：B。
解析：对于直线y = kx + b，k就是斜率，所以直线y = 2x+1的斜率是2。
6. 等差数列{an}中，a₁ = 1，d = 2，那么a₃等于（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C。
解析：根据等差数列通项公式an=a₁+(n - 1)d，a₃ = 1+(3 - 1)×2 = 5。
7. 在△ABC中，已知∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C等于（）A. 75°B. 65°C. 55°D. 45°答案：A。
解析：三角形内角和为180°，所以∠C = 180°-60° - 45° = 75°。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷(16)
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷3（共30题）一、选择题（共10题）1.已知集合P={x∣ −1<x<4}，Q={x∣ x<2}，那么P∩(∁RQ)等于( )A．[2,4)B．(−1,+∞)C．[2,+∞)D．(−1,2]2.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则B∩∁U A=( )A．{1,6}B．{1,7}C．{6,7}D．{1,6,7}3.设集合A={1,3,5,7}，B={x∣ 2≤x≤5}，则A∩B=( )A．{1,3}B．{3,5}C．{5,7}D．{1,7}4.已知集合A={x∈N∗∣ x−3<0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为( )A．2B．3C．4D．85.设集合M={4,5,6,8}，集合N={3,5,7,8}，那么M∪N等于( )A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8}C．{3,5,7,8}D．{4,5,6,8}6.下列函数是幂函数的是( )A．y=2x B．y=2x−1C．y=(x+1)2D．y=√x237.Z(M)表示集合M中整数元素的个数，设集合A={x∣ −1<x<8}，B={x∣ 5<2x<17}，则Z(A∩B)=( )A．3B．4C．5D．68.设a>0，b>1，若a+b=2，则4a +1b−1的最小值为( )A．7B．8C．9D．109.已知集合A={0,1,2}，集合B={0,2,4}，则A∩B=( )A．{0,1,2}B．{0,2}C．{0,4}D．{0,2,4}10.已知命题p:∀n∈N∗，n2>12n−1，则命题p的否定¬p为( )A ． ∀n ∈N ∗，n 2≤12n −1 B ． ∀n ∈N ∗，n 2<12n −1 C ． ∃n ∈N ∗，n 2≤12n −1D ． ∃n ∈N ∗，n 2<12n −1二、填空题（共10题）11. 已知 cosα=15，且 α 是第四象限角，则 cos (α+π2)= ．12. 设集合 P ={1,2,3,m }，Q ={3,m 2}，且 P ∪Q =P ，则实数 m 的值组成的集合为 ．13. 关于函数 y =tan x 2 的说法正确的是 ．（填所有正确答案的序号）①在 (0,π2) 上单调递增； ②为奇函数；③以 π 为最小正周期； ④定义域为 {x∣ x ≠π4+kπ2,k ∈Z}．14. 已知 U ={1,2,3,4,5}，A ={1,3,5}，则 ∁U A = ．15. 已知集合 A ={1,2,3,4}，B ={0,2,4,6,8}，则 A ∩B = ．16. 函数 f (x )=cos (2x +π4) 的最小正周期是 ．17. （1）“x >9”是“x >3”的 条件；（2）“√x >√y ”是“x >y ”的 条件．18. 函数 y =tan (π2x +π6) 的最小正周期为 ．19. 设 S ={x∣ 2x +1>0}，T ={x∣ 3x −5<0}，则 S ∩T = ．20. tan (2π+α)tan (π+α)tan (−π+α)tan (π−α)tan (−α−π)= ．三、解答题（共10题）21.已知集合A={−3,a+1,a2}，B={a−3,2a−1,a2+1}，A∩B={−3}．(1) 求实数a的值；(2) 写出集合A的所有非空真子集．22.已知A={x∣ x2+x−6≤0}，B={x∣ 3−m≤x≤m+5}．(1) 若A∩B=A，求m的取值范围；(2) 若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围．23.举出几个现实生活中与不等式有关的例子．24.判断下列函数的奇偶性：+x2，x∈(−1,0)∪(0,1]；(1) f(x)=1x2．(2) f(x)=√1−x2∣x+2∣−225.已知集合A={x∣2−a≤x≤2+a}，B={x∣∣x≤1或x≥4}．(1) 当a=3时，求A∩B；(2) 若A∩B=∅，求实数a的取值范围．26.求解一元二次不等式的应用题应注意什么？27.这些函数对x是否有一定的限制？28.真子集对于两个集合A，B，如果，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B 的真子集，记为或，读作“ ”或“ ”．问题：真子集与子集有什么区别？29.回答下面问题．(1) 如何理解利用对应给出的函数定义？怎样的对应才是函数？(2) 如何理解符号y=f(x)？30.设集合A={x∣ −7≤2x−1≤7}，B={x∣ m−1≤x≤3m−2}．(1) 当m=3时，求A∩B；(2) 若A∩B=B，求实数m的取值范围．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】C【解析】由题意知∁U A={1,6,7}，又B={2,3,6,7}，所以B∩(∁U A)={6,7}，故选C．【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】B【解析】集合A={1,3,5,7}，B={x∣ 2≤x≤5}，则A∩B={3,5}．【知识点】交、并、补集运算4. 【答案】C【解析】由x−3<0，解得x<3，又x∈N∗，所以x=1,2，故A={1,2}，因为B⊆A，所以B是A的子集，故B可以是∅，{1}，{2}，{1,2}，故选C．【知识点】n元集合的子集个数5. 【答案】A【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】D【解析】由幂函数的概念可知D正确．【知识点】幂函数及其性质7. 【答案】C【解析】因为A=(−1,8)，B=(52,172)，所以A∩B=(52,8)，所以Z(A∩B)=5．故选：C．【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】C【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】B【解析】两集合的交集为两集合相同的元素构成的元素，所以 A ∩B ={0,2}． 【知识点】交、并、补集运算10. 【答案】C【解析】由全称命题的否定为特称命题可得． 命题 p:∀n ∈N ∗，n 2>12n −1，则命题 p 的否定 ¬p 为 ∃n ∈N ∗，n 2≤12n −1．【知识点】全（特）称命题的否定二、填空题（共10题） 11. 【答案】2√65【解析】由诱导公式得 cos (α+π2)=−sinα．又因为 cosα=15，且 α 为第四象限角，所以 sinα=−√1−cos 2α=−√1−(15)2=−2√65．所以 cos (α+π2)=−sinα=2√65． 【知识点】诱导公式12. 【答案】 {−1,0,−√2,√2}【知识点】交、并、补集运算13. 【答案】①②【解析】令 x ∈(0,π2)，则 x2∈(0,π4)，所以 y =tan x2 在 (0,π2) 上单调递增，①正确； tan (−x2)=−tan x2，故 y =tan x2 为奇函数，②正确；T =πω=2π，③不正确；由 x 2≠π2+kπ，k ∈Z ，得 x ≠π+2kπ，k ∈Z ，④不正确． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】 {2,4}【知识点】交、并、补集运算15. 【答案】 {2,4}【知识点】交、并、补集运算16. 【答案】 π【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质17. 【答案】充分非必要；充分非必要【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】 2【解析】因为 y =tan (π2x +π6)， 所以 T =πW=ππ2=2．即最小正周期为 2．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】 {x ∣∣ −12<x <53} 【解析】因为 S ={x∣ 2x +1>0}={x ∣∣ x >−12}，T ={x∣ 3x −5<0}={x ∣∣ x <53}， 所以 S ∩T ={x ∣∣ −12<x <53}．【知识点】交、并、补集运算20. 【答案】 1tanα【解析】原式=tanα⋅tanα[−tan (π−α)](−tanα)[−tan (π+α)]=tanα⋅tanαtanα(−tanα)(−tanα)=1tanα.【知识点】诱导公式三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 因为 A ∩B ={−3}， 所以 −3∈B ．所以 a −3=−3 或 2a −1=−3 或 a 2+1=−3（无解），解得 a =0 或 a =−1． 当 a =0 时，A ={−3,1,0}，B ={−3,−1,1}， A ∩B ={−3,1}，不合题意，舍去；当 a =−1 时，A ={−3,0,1}，B ={−4,−3,2}，A ∩B ={−3}，符合题意．综上，实数 a 的值为 −1．(2) 由（1）知集合 A ={−3,0,1}，故集合 A 的所有非空真子集有：{−3}，{1}，{0}，{−3,1}，{−3,0}，{1,0}．【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算22. 【答案】(1) A ={x∣ x 2+x −6≤0}={x∣ −3≤x ≤2}，B ={x∣ 3−m ≤x ≤m +5}， 因为 A ∩B =A ，所以 {3−m ≤−3,m +5≥2.解得 m ≥6，则 m 的取值范围为 [6,+∞)．(2) 因为 x ∈B 是 x ∈A 的充分不必要条件，所以 B ⫋A . 当 B =∅ 时，则 3−m >m +5，解得 m <−1； 当 B ≠∅ 时，{m ≥−1,3−m ≥−3,m +5≤2, 此时无解，综上，实数 m 的取值范围是 (−∞,−1)．【知识点】交、并、补集运算、充分条件与必要条件23. 【答案】略．【知识点】不等式的性质24. 【答案】(1) 因为函数 f (x ) 的定义域为 (−1,0)∪(0,1]，不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数．(2) 由 1−x 2≥0 得，−1≤x ≤1， 又 ∣x +2∣−2≠0， 所以 x ≠0，所以 −1≤x ≤1 且 x ≠0，所以定义域关于原点对称，且 x +2>0， 所以 f (x )=√1−x 2x+2−2=√1−x 2x，因为 f (−x )=√1−x 2−x =−√1−x 2x=−f (x )，所以 f (x ) 为奇函数．【知识点】函数的奇偶性25. 【答案】(1) 当a=3时，A={x∣−1≤x≤5}，B={x∣∣x≤1或x≥4}，所以A∩B={x∣∣−1≤x≤1或4≤x≤5}．(2) ①若A=∅，则2−a>2+a，解得a<0，满足A∩B=∅；②若A≠∅，则2−a≤x≤2+a，所以a≥0．因为A∩B=∅，所以{2−a>1,2+a<4,解得0≤a<1．综上，实数a的取值范围是(−∞,1)．【知识点】交、并、补集运算26. 【答案】求解时特别注意实际问题的实际限制，如取值范围必须为正整数等，避免求出增根．【知识点】二次不等式的解法27. 【答案】有些有，有些没有，如反比例函数的分母不能为0．【知识点】函数的相关概念28. 【答案】A⊆B；A⫋B；B⫌A；A真包含于B；B真包含A在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x满足x∈B，但x∉A，也就是说集合B至少要比集合A多一个元素．【知识点】包含关系、子集与真子集29. 【答案】(1) 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(2) y=f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．【知识点】函数的相关概念30. 【答案】(1) {x∣ 2≤x≤4}．(2) m≤2．【知识点】交、并、补集运算。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(71)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷5（共30题）一、选择题（共10题）1. 如果函数 f (x )=12(m −2)x 2+(n −8)x +1(m ≥0,n ≥0) 在区间 [12,2] 上单调递减，那么 mn 的最大值为 ( ) A ．16 B ．18 C ．25D ．8122. 证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A 连续 4 个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌 10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨 10%）( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 63. 函数 y =log 12(x 2−3x +2) 的单调递增区间是 ( )A ． (−∞,1)B ． (2,+∞)C ． (−∞,32)D ． (32,+∞)4. 已知偶函数 f (x ) 在区间 [0,+∞) 上单调递增，则满足条件 f (2x +1)<f (5) 的 x 的取值范围是 ( ) A ． (−3,2) B ． (−2,3) C ． (−2,2) D ． [−3,2]5. 设 b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中不一定成立的是 ( ) A ． a 12<b 12 B ． 1a −c >1b −c C ．a+2b+2>abD ． ac 2<bc 26. 已知 α 为第二象限角，且 sin (π+α)=−45，则 tan2α= ( ) A ． 45B ．247C ． −247D ． −837. 已知函数 f (x )={2x ,x ≥2(x −1)2,x <2，若关于 x 的方程 f (x )=k 有三个不同的实根，则数 k 的取值范围是 ( )A ． (0,1)B ． (1,2)C ． (0,2)D ． (1,3)8. 下列关于函数 y =cos (x +π2)+sin (π3−x) 的说法正确的是 ( ) A ．最大值为 1，图象关于点 (π6,0) 对称 B ．最大值为 √3，图象关于点 (π6,0) 对称 C ．最大值为 1，图象关于直线 x =π6 对称D ．最大值为 √3，图象关于直线 x =π6 对称9. 已知 x ∈R ，则“∣∣x −13∣∣<23”是“x <1”的 ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10. 设 f (x )，g (x ) 是定义在 R 上的两个周期函数，f (x ) 的周期为 4，g (x ) 的周期为 2，且 f (x )是奇函数．当 x ∈(0,2] 时，f (x )=√1−(x −1)2，g (x )={k (x +2),0<x ≤1−12,1<x ≤2，其中 k >0．若在区间 (0,9] 上，函数 ℎ(x )=f (x )−g (x ) 有 8 个不同的零点，则 k 的取值范围是 ( ) A ． (13,√24)B ． [13,√24)C ． (0,13]D ． (0,13)二、填空题（共10题）11. 关于 x 的方程 2mx 2−2x −3m −2=0 的两个实根一个小于 1，另一个大于 1，则实数 m 的取值范围是 ．12. 条件 A ，B ，若 A ⇒B ，则 B 的 条件是 A （选填“充分”、“必要”或“充要”）．13. 若直线 ax −by +2=0(a >0,b >0) 被圆 x 2+y 2+2x −4y +1=0 截得的弦长为 4，则 1a+1b的最小值为 ．14. 设集合 A ={x∣ y =lg (x 2−4x +5)} , 则 A = ．15.若函数f(x)=x a的反函数的图象经过点(12,14)，则a=．16.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“关联函数”．若f(x)=13x3+m与g(x)=12x2+2x在[0,3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围是．17.集合A={(x,y)∣ y=a∣ x∣ ,x∈R}，B={(x,y)∣ y=x+a,x∈R}，已知集合A∩B中有且仅有一个元素，则常数a的取值范围是．18.函数f(x)=log12cos(−13x+π4)的单调递增区间为．19.若关于x的方程2∣x−k∣=x有两个正实数根，则实数k的取值范围为．20.设二次函数f(x)=(2m+1)x2+nx−m−2（m,n∈R且m≠−12）在[2,3]上至少有一个零点，则m2+n2的最小值为．三、解答题（共10题）21.已知f(x)=x∣x−a∣+b，x∈R．(1) 当a=1，b=1时，若f(x)=54，求x的值；(2) 若b<0，且对任何x∈(0,1]，不等式f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．22.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左，右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)．(1) 求S关于x的函数关系式；(2) 求S的最大值．=2，求下列各式的值：23.已知tanαtanα−1．(1) 2sinα−3cosα4sinα−9cosα(2) 2sin2α−3cos2α．4sin2α−9cos2α(3) 4sin2α−3sinαcosα−5cos2α．24.已知函数f(x)=x∣x−2∣．(1) 画出该函数的图象；(2) 设a>2，求f(x)在[0,a]上的最大值．25.已知函数f(x)满足：对任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)⋅f(y)−f(x)−f(y)+2成立，且x>0时，f(x)>2．(1) 求f(0)的值，并证明：当x<0时，1<f(x)<2；(2) 猜测f(x)的单调性并加以证明．(3) 若函数g(x)=∣f(x)−k∣在(−∞,0)上递减，求实数k的取值范围．26.子集（1）对于两个集合A和B，如果集合A中都属于集合B（若a∈A，则a∈B），那么集合A叫做集合B的子集，记作或，读作“ ”或“ ”．可用文氏图表示为（2）子集的性质：①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集；②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．问题：集合A是集合B的子集的含义是什么？27. 设全集 U =R ，A ={x∣ 1≤x ≤3}，B ={x∣ 2a <x <a +3}．(1) 当 a =1 时，求 (∁U A )∩B ；(2) 若 (∁U A )∩B =B ，求实数 a 的取值范围．28. 已知函数 f (x )=cos (2x −π3)+2sin (x −π4)sin (x +π4)．(1) 求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程； (2) 求函数 f (x ) 在区间 [−π12,π2] 上的值域．29. 已知集合 A ={x∣ −4<x <6}，B ={x∣ x 2−4ax +3a 2=0}．(1) 若 A ∩B =∅，求实数 a 的取值范围； (2) 若 A ∪B =A ，求实数 a 的取值范围．30. 已知 f (x )=sin 2x2+√3sin x2cos (π+x2)．(1) 求 f (x ) 的单增区间和对称轴方程．(2) 若 0<x <π2，f (x )=−110，求 sin (2x +π3)．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】当m=2时，f(x)=(n−8)x+1，要使其在区间[12,2]上单调递减，则n−8<0⇒n<8，于是mn<16，则mn无最大值．当m∈[0,2)时，f(x)的图象开口向下，要使f(x)在区间[12,2]上单调递减，需−n−8m−2≤12，即2n+m≤18，又n≥0，则mn≤m(9−m2)=−12m2+9m．而g(m)=−12m2+9m在[0,2)上为增函数，所以m∈[0,2)时，g(m)<g(2)=16，故m∈[0,2)时，mn无最大值．当m>2时，f(x)的图象开口向上，要使f(x)在区间[12,2]上单调递减，需−n−8m−2≥2，即2m+n≤12，而2m+n≥2√2m⋅n，所以mn≤18，当且仅当{2m+n=12,2m=n.即{m=3,n=6.时，取“=”，此时满足m>2．故(mn)max=18．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的单调性2. 【答案】C【解析】设小强买的股票A时买入价格为a，连续4个跌停后价格为a(1−10%)4=0.6561a，设至少需要x个涨停，才能不亏损，则0.6561a(1+10%)x≥a，整理得1.1x≥1.5242，因为1.15=1.6105，1.14=1.4641．所以至少需要5个涨停，才能不亏损．【知识点】函数模型的综合应用3. 【答案】A【解析】由题可得x2−3x+2>0，解得x<1或x>2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得：函数y=log12(x2−3x+2)的单调递增区间为：(−∞,1)．【知识点】函数的单调性、对数函数及其性质4. 【答案】A【解析】根据题意，函数f(x)为偶函数且在区间[0,+∞)上单调递增，f (2x +1)<f (5)⇒∣2x +1∣<5，即 −5<2x +1<5， 解可得：−3<x <2，即 x 的取值范围为 (−3,2)． 【知识点】函数的单调性5. 【答案】D【解析】因为 y =x 12在 (0,+∞) 上是增函数， 所以 a 12<b 12；因为 y =1x −c 在 (0,+∞) 上是减函数，所以 1a−c >1b−c ；因为 a+2b+2−a b =2(b−a )(b+2)b >0， 所以 a+2b+2>ab ；当 c =0 时，ac 2=bc 2， 所以D 不成立．故选D ． 【知识点】不等式的性质6. 【答案】B【解析】由 sin (π+α)=−45，得 sinα=45，又 α 为第二象限角，所以 cosα=−35，则 tanα=−43，所以 tan2α=2tanα1−tan 2α=247．故选B ．【知识点】二倍角公式7. 【答案】A【解析】作出函数 f (x ) 的图象和直线 y =k ，如图所示，当 k ∈(0,1)，函数 f (x ) 的图象和直线 y =k 有三个交点，所以 k ∈(0,1)．【知识点】函数的零点分布8. 【答案】B【解析】y =−sinx +√32cosx −12sinx=−√3(√32⋅sinx −12cosx)=−√3sin (x −π6).所以函数的最大值为 √3．令 x −π6=kπ，k ∈Z ，得 x =π6+kπ，k ∈Z ，取 k =0，得函数图象关于点 (π6,0) 对称．令 x −π6=π2+kπ，k ∈Z ，得 x =2π3+kπ，k ∈Z ，故函数图象不关于直线 x =π6对称．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】A【解析】 ∣∣x −13∣∣<23⇒−23<x −13<23⇒−13<x <1 能推出 x <1，反之，不能推出，故“∣∣x −13∣∣<23”是“x <1”的充分非必要条件． 故选A ．【知识点】充分条件与必要条件10. 【答案】B【解析】作出两函数的图象，如图所示：由图可知，函数 y =f (x ) 和 y =g (x )=−12 在 (0,9] 上的图象有 2 个不同的交点，故函数 y =f (x ) 和 y =g (x )=k (x +2) 在 x ∈(0,1] 上的图象有 2个不同的交点，才可以满足题意．所以，圆心 (1,0) 到直线 kx −y +2k =0 的距离为 d =√k 2+1<1，解得 0<k <√24，因为两点 (−2,0)，(1,1) 连线斜率为 13，所以，13≤k <√24．【知识点】函数的零点分布二、填空题（共10题）11. 【答案】 m >0 或 m <−4【解析】设 f (x )=2mx 2−2x −3m −2，方程 2mx 2−2x −3m −2=0 的两个实根，一个小于 1，另一个大于 1 的充要条件是 {m >0,f (1)<0 或 {m <0,f (1)>0,解得 m >0 或 m <−4． 【知识点】函数的零点分布12. 【答案】充分【知识点】充分条件与必要条件13. 【答案】 √2+32【知识点】均值不等式的应用、直线被圆截得的弦长14. 【答案】 R 或 (−∞,+∞)【知识点】对数函数及其性质15. 【答案】 12【解析】函数 f (x )=x a 的反函数为 f (x )=x 1a，f (x )=x 1a经过点 (12,14)，得 (12)1a=14，解得 a =12．【知识点】幂函数及其性质16. 【答案】 [32,103)【解析】因为 f (x )=13x 3+m 与 g (x )=12x 2+2x 在 [0,3] 上是“关联函数”， 由定义可得，可把问题转化为 m =−13x 3+12x 2+2 有两个零点； 即 y =m 与 k (x )=−13x 3+12x 2+2 在 [0,3] 上有两个交点； 因为 kʹ(x )=−x 2+x +2=−(x +1)(x −2)； 所以 k (x ) 在 [0,2] 上递增，在 [2,3] 上递减； 且 k (0)=0，k (2)=103，k (3)=32； 故实数 m 的取值范围是：[32,103)．【知识点】函数的零点分布17. 【答案】 [−1,1]【解析】因为集合 A ={(x,y )∣ y =a∣ x∣ ,x ∈R }，B ={(x,y )∣ y =x +a,x ∈R }，集合 A ∩B 中有且仅有一个元素，所以 a ∣x ∣=x +a 有 1 个解， 若 x ≥0，ax =x +a ，x =aa−1， 若 x <0，−ax =x +a ，x =−a a+1，由已知得 {aa−1≥0,−aa+1≥0 或 {aa−1<0,−aa+1<0 或 {a =1,−a a+1<0 或 {a a−1≥0,a =−1,解得 −1≤a ≤1． 所以实数 a 的取值范围是 [−1,1]． 【知识点】交、并、补集运算18. 【答案】 (6kπ+3π4,6kπ+9π4)，k ∈Z【解析】因为对数的真数大于零，所以 cos (−13x +π4)>0⇒2kπ−π2<−13x +π4<2kπ+π2，k ∈Z ，解之得函数的定义域为：(6kπ−3π4,6kπ+9π4)，k ∈Z ，令 t =cos (−13x +π4)=cos (13x −π4)， 因为 0<12<1，所以 t 关于 x 的单调减区间是函数 f (x )=log 12cos (−13x +π4) 的单调递增区间，由 2kπ<13x −π4<2kπ+π，k ∈Z ，得 x ∈(6kπ+3π4,6kπ+15π4)，k ∈Z ，再结合函数的定义域，得 x ∈(6kπ+3π4,6kπ+9π4)，是原函数的增区间．【知识点】对数函数及其性质、余弦函数的性质19. 【答案】 k >0【知识点】函数的零点分布20. 【答案】453【解析】①一个零点，此时需满足 f (2)f (3)≤0，即 (7m +2n +2)(17m +3n +7)≤0，在平面中表示的区域如图所示，此时 (m 2+n 2)min =d O→7m+2n+2=02=(√72+22)2=453； ②两个零点，若开口向下，2m +1<0，即 m 2>14，此时 m 2+n 2>14>453，不是最小值；若开口向上，2m +1>0，需满足 Δ>0 且 f (2)≥0 且 f (3)≥0 且 2<−n2(2m+1)<3，即至少要满足 {7m +2n +2≥0,−6(2m +1)<n <−4(2m +1),画图可知这两部分没有交集，该情况不存在．【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 1+√22或12．(2) 当b<−1时，a的取值范围是(1+b,1−b)；当−1≤b<2√2−3时，a的取值范围是(1+b,2√−b)．【知识点】函数的相关概念、恒成立问题22. 【答案】(1) 由题设，得S=(x−8)(900x −2)=−2x−7200x+916,x∈(8450)．(2) 因为8<x<450，所以2x+7200x ≥2√2x×7200x=240，当且仅当x=60时等号成立，从而S≤676，所以：当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m2．【知识点】函数的最大（小）值、均值不等式的应用、建立函数表达式模型23. 【答案】(1) 由tanαtanα−1=2，得tanα=2．注意到分式的分子和分母均是关于sinα，cosα的一次式，可将分子、分母同时除以cosα（因为cosα≠0），然后代入tanα=2．2sinα−3cosα4sinα−9cosα=2tanα−34tanα−9=2×2−34×2−9=−1．(2) 注意到分式的分子和分母均是关于sinα，cosα的二次式，将分子、分母同时除以cos2α（因为cos2α≠0），然后代入tanα=2．2sin 2α−3cos 2α4sin 2α−9cos 2α=2tan 2α−34tan 2α−9=2×4−34×4−9=57．(3) 先将原式看成分母为 1 的分式，再进行变形，然后代入 tanα=2．4sin 2α−3sinαcosα−5cos 2α=4sin 2α−3sinαcosα−5cos 2αsin 2α+cos 2α=4tan 2α−3tanα−5tan 2α+1=4×4−3×2−54+1= 1.【知识点】同角三角函数的基本关系24. 【答案】(1) 因为 f (x )=x∣x −2∣={x 2−2x,x ≥22x −x 2,x <2结合二次函数的图象可作出该函数的图象如图：(2) 当 a >2 时，因为 x ∈[0,2] 的最大值为 f (1)=2−1=1，x ∈[2,a ] 时，f (x ) 单调递增，最大值为 f (a )． 令 f (a )−f (1)=0，则 a =1+√2．所以当 2<a ≤1+√2 时，f (a )≤f (1)，此时 f (x ) 在 [0,a ] 上，f (x )max =f (1)=1． 当 a >1+√2 时，f (a )>f (1)，此时 f (x ) 在 [0,a ] 上，f (x )max =f (a )=a 2−2a ． 【知识点】函数的最大（小）值、函数图象25. 【答案】(1) 因为 f (0)=f (0)⋅f (0)−f (0)−f (0)+2， 所以 f 2(0)−3f (0)+2=0，f (0)=2 或 f (0)=1． 若 f (0)=1，则f (1)=f (1+0)=f (1)⋅f (0)−f (1)−f (0)+2= 1.与已知条件 x >0 时，f (x )>2 相矛盾， 所以 f (0)=2．设 x <0，则 −x >0，那么 f (−x )>2．又 2=f (0)=f (x −x )=f (x )⋅f (−x )−f (x )−f (−x )+2. 所以 f (x )=f (−x )f (−x )−1=1+1f (−x )−1．因为 f (−x )>2，所以 0<1f (−x )−1<1，从而 1<f (x )<2．(2) 函数 f (x ) 在 R 上是增函数．设 x 1<x 2，则 x 2−x 1>0，所以 f (x 2−x 1)>2，f (x 2)=f (x 2−x 1+x 1)=f (x 2−x 1)⋅f (x 1)−f (x 2−x 1)−f (x 1)+2=f (x 2−x 1)[f (x 1)−1]−f (x 1)+2. 因为由（1）可知对任意 x ∈R ，f (x )>1．所以 f (x 1)−1>0，又 f (x 2−x 1)>2，所以 f (x 2−x 1)⋅[f (x 1)−1]>2f (x 1)−2，f (x 2−x 1)⋅[f (x 1)−1]−f (x 1)+2>f (x 1)，即 f (x 2)>f (x 1)．所以函数 f (x ) 在 R 上是增函数．(3) 因为由（2）知函数 f (x ) 在 R 上是增函数，所以函数 f (x )y =f (x )−k 在 R 上也是增函数，若函数 g (x )=∣f (x )−k ∣ 在 (−∞,0) 上递减，则 x ∈(−∞,0) 时，g (x )=∣f (x )−k ∣=k −f (x )，即 x ∈(−∞,0) 时，f (x )−k <0． 因为 x ∈(−∞,0) 时，f (x )<f (0)=2，所以 k ≥2． 【知识点】函数的单调性、抽象函数26. 【答案】（1）任何一个元素；A ⊆B ；B ⊇A ；A 包含于 B ；B 包含 A（2）集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 x ∈A 能推出 x ∈B ．例如 {0,1}⊆{−1,0,1}，则由 0∈{0,1} 能推出 0∈{−1,0,1}． 【知识点】包含关系、子集与真子集27. 【答案】(1) 当 a =1 时，B ={x∣ 2<x <4}，∁U A ={x∣ x <1或x >3}， 故 (∁U A )∩B ={x∣ 3<x <4}． (2) 因为 (∁U A )∩B =B ， 所以 B ⊆∁U A ．当 B =∅ 时，则 2a ≥a +3，解得 a ≥3，B ⊆∁U A ，符合题意； 当 B ≠∅ 时，则 {2a <a +3,a +3≤1 或 {2a <a +3,2a ≥3,解得 a ≤−2 或 32≤a <3．综上，实数 a 的取值范围是 {a∣ a ≤−2或a ≥32}． 【知识点】交、并、补集运算28. 【答案】(1)因为f (x )=cos (2x −π3)+2sin (x −π4)sin (x +π4)=12cos2x +√32sin2x +(sinx −cosx )⋅(sinx +cosx )=12cos2x +√32sin2x +sin 2x −cos 2x =12cos2x +√32sin2x −cos2x=sin (2x −π6).所以函数 f (x ) 的最小正周期为 T =2π2=π，对称轴方程为 x =π3+k2π，k ∈Z ． (2) 因为 x ∈[−π12,π2]， 所以 2x −π6∈[−π3,5π6]．所以 f (x )=sin (2x −π6) 在区间 [−π12,π3] 上单调递增，在区间 [π3,π2] 上单调递减， 所以当 x =π3 时，f (x ) 取最大值 1． 又因为 f (−π12)=−√32<f (π2)=12，所以当 x =−π12 时，f (x ) 取最小值 −√32． 所以函数 f (x ) 在区间 [−π12,π2] 上的值域为 [−√32,1]． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质29. 【答案】(1) a ≤−4 或 a ≥6．(2) −43<a <2．【知识点】交、并、补集运算30. 【答案】(1)f (x )=sin 2x2+√3sin x2cos (π+x2)=sin 2x2−√3sin x2cos x 2=1−cosx 2−√3sinx 2=12−sin (x +π6),若f(x)单增，则sin(x+π6)单减，所以令2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，得到π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ，所以单增区间[π3+2kπ,4π3+2kπ]，k∈Z．令x+π6=kπ+π2，k∈Z，对称轴方程x=π3+kπ，k∈Z．(2) 因为f(x)=−110⇒12−sin(x+π6)=−110，所以sin(x+π6)=35，所以cos(x+π6)=±45，又0<x<π2，所以π6<x+π6<2π3，因为35<√32，所以π6<x+π6<π2，所以cos(x+π6)=45，所以sin(2x+π3)=2sin(x+π6)cos(x+π6)=2425．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质。
高一数学期末复习卷(必修1)(含参考答案)
高一数学期末复习卷（必修1）班别： 姓名：一、选择题1. 若{|0{|12}A x x B x x =<<=≤<，则AB =（ ）A. {|x x <B. {|1}x x ≥C. {|1x x ≤<D. {|02}x x << 2．下列函数与y=x 表示同一函数的是（ ）A.2y =B.y =C. )10(log ≠>=a a ay xa 且 D.2x y x=3．设函数32)2(+=+x x g ，则()g x 等于（ ）A ．21x +B ．21x -C ．23x -D ．27x + 4. 下列函数中，在区间(0，+∞)上是增函数的是（ ）A . y = -x 2B . y =1x C . x y )21(= D . y =log 2x 5. 已知10<<a ，0log log <<n m aa ，则（ ） A. m n <<1 B. n m<<1 C. 1<<n m D. 1<<m n 6．设()833-+=x x f x，用二分法求方程()33801,3xx x +-=∈在内近似解的过程 中取区间中点02x =，那么下一个有根区间为 ( )A ．（1,2）B ．（2,3）C ．（1,2）或（2,3）D ．不能确定7．函数2(232)xy aaa =-+是指数函数，则a 的值是 （ ）A ．0,1a a >≠B ．1=aC ．21=a D ．211==a a 或 8．函数l o g (2)1ay x =++的图象过定点 （ ） A.（1，2）B.（2，1）C.（-2，1）D.（-1，1）9. 已知偶函数()f x 在区间[]0,5上是增函数，那么下列不等式中成立的是（ ） A ．()()()43f f f π>-> B ．()()()43f f f π>>C ．()()()43f f fπ>> D ．()()()34f f f π->->-10．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是117)x ax bx =-，且(5)f -(5)f 的值为 ( )B. 13 D. -12．若)1(f >，则x 的取值范围是（ ）1) B. (0，+∞) D. (0，1)(10，+∞)13)(x f 2，32）的解析式为 。
高一数学必修一综合测试题附答案
高一数学必修一综合测试题附答案高中数学必修1检测题【附答案】本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试时间90分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\}$，$A=\{2,4,6\}$，$B=\{1,3,5,7\}$，则 $A\cap(C\cup B)$ 等于A。
$\{2,4,6\}$ B。
$\{1,3,5\}$ C。
$\{2,4,5\}$ D。
$\{2,5\}$2.已知集合 $A=\{x|x^2-1=0\}$，则下列式子表示正确的有（）① $1\in A$② $\{-1\}\in A$③ XXX④ $\{1,-1\}\subseteq A$A。
1个 B。
2个 C。
3个 D。
4个3.若 $f:A\to B$ 能构成映射，下列说法正确的有（）1）$A$ 中的任一元素在 $B$ 中必须有像且唯一；2）$A$ 中的多个元素可以在 $B$ 中有相同的像；3）$B$ 中的多个元素可以在 $A$ 中有相同的原像；4）像的集合就是集合 $B$。
A。
1个 B。
2个 C。
3个 D。
4个4.如果函数 $f(x)=x^2+2(a-1)x+2$ 在区间 $(-\infty,4]$ 上单调递减，那么实数 $a$ 的取值范围是（）A。
$a\leq-3$ B。
$a\geq-3$ C。
$a\leq5$ D。
$a\geq5$5.下列各组函数是同一函数的是（）① $f(x)=-2x^3$ 与 $g(x)=x-2x$；② $f(x)=x$ 与 $g(x)=x^2$；③ $f(x)=x$ 与 $g(x)=\dfrac{x-2}{x-1}$；④ $f(x)=x-2x-1$ 与 $g(t)=t-2t-1$。
A。
①② B。
①③ C。
③④ D。
①④6.根据表格中的数据，可以断定方程 $e^x-x-2=0$ 的一个根所在的区间是（）begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}XXXx$ & $-1$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ \\XXXe^x$ & $0.371$ & $2.718$ & $7.389$ & $20.086$ & $54.598$ & $148.413$ \\XXXx+1$ & $0$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\XXXend{tabular}A。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(18)
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷5（共30题）一、选择题（共10题）1.如果函数f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[12,2]上单调递减，那么mn的最大值为( )A．16B．18C．25D．8122.已知函数f(x)=∣lgx∣，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则a+2b的取值范围是( )A．(2√2,+∞)B．[2√2,+∞)C．(3,+∞)D．[3,+∞)3.若不等式x2+mx+1>0的解集为R，则m的取值范围是()A．R B．(−2，2)C．(−∞，−2)∪(2，+∞)D．[−2，2]4.函数f(x)=x2−bx+c满足f(x+1)=f(1−x)，且f(0)=3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是( )A．与x有关，不确定B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．f(b x)≤f(c x)5.已知集合M={0,1,2}，N={x∣−1≤x≤1,x∈Z}，则( )A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N={0,1}D．M∪N=N6.已知幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于( )A．1B．0，2C．−1，1，3D．0，1，27.定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x2−x，则当x∈[−2,−1]时，f(x)的最小值为( )A．−116B．−18C．−14D．08.设函数f(x)的定义域为R，且满足f(1+x)=f(1−x)，当x≥1时，f(x)=2x，则下列结论正确的是( )A ． f (13)<f (2)<f (12)B ． f (12)<f (2)<f (13)C ． f (12)<f (13)<f (2)D ． f (2)<f (13)<f (12)9. 若定义在 R 的奇函数f(x)在 (−∞,0) 单调递减，且 f (2)=0，则满足 xf (x −1)≥0 的 x 的取值范围是 ( ) A ． [−1,1]∪[3,+∞) B ． [−3,−1]∪[0,1] C ． [−1,0]∪[1,+∞)D ． [−1,0]∪[1,3]10. 函数 f (x )=3x +x 2−2 的零点个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3二、填空题（共10题）11. 已知函数 f (x )=2sinx +sin2x ，则 f (x ) 的最小值是 ．12. 已知函数 y =f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,∣φ∣<π2) 在一个周期内的简图如图所示，则函数 f (x ) 的解析式为 ，方程 f (x )−lgx =0 的实根个数为 ．13. 设 a >0，且 a ≠1，则方程 a x +1=−x 2+2x +2a 的解的个数为 ．14. 已知函数 f (x )=∣∣x −1∣−∣x −3∣−1∣，若 f (4a 2+6a )=f (4a )，则实数 a 的取值范围为 ．15. 设 x >0，则 x 2+x+3x+1的最小值为 ．16. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a的取值范围为 ．17. 设集合 A ={x∣ x >1}，B ={x ∣∣ xx−3<0}，则 A ∩B = ．18. 一条河两岸平行，河宽 2 km ，一快艇从河一岸的岸边某处驶向对岸．若船速为 26 km/h ，水流速度为 10 km/h ，则该快艇到达对岸的最快时间为 分钟．19. 如图 1，长为 3 米的细木棍 AB 靠墙竖立，现以 3 米/秒的速度水平向右拖动点 A ，于是点 B沿墙滑下，如图 2．那么 13 秒时点 B 的瞬时速度的大小为 米/秒．20. 化简 sinα⋅sin (60∘+α)⋅sin (60∘−α)= ．三、解答题（共10题）21. 试用子集与推出关系来说明 α 是 β 的什么条件：(1) α:2≤x <4，β:x >1；(2) α：正整数 x 是 4 的倍数，β：正整数 x 是偶数； (3) α:x 2−5x +6≠0，β:x ≠2．22. 已知 α1=−570∘，α2=750∘，β1=35π，β2=−73π．(1) 将 α1，α2 用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；(2) 将 β1，β2 用角度制表示出来，并在 −720∘∼0∘ 范围内找出与 β1，β2 有相同终边的角．23. 判断函数 f (x )={x 2+2x +3,x <02,x =0−x 2+2x −3,x >0 的奇偶性．24. 设函数 y =f (x )（x ∈R 且 x ≠0）对任意非零实数 x 1，x 2 恒有 f (x 1x 2)=f (x 1)+f (x 2)，且对任意 x >1，f (x )<0． (1) 求 f (−1) 及 f (1) 的值． (2) 判断函数 f (x ) 的奇偶性．(3) 求不等式 f (x )+f (x −32)≤0 的解集．25. 对于函数 f (x )，若存在 x 0∈R ，是 f (x 0)=x 0 成立，则称 x 0 为 f (x ) 的一个不动点，设函数f(x)=ax2+bx+1(a>0)．(1) 当a=2，b=−2时，求f(x)的不动点．(2) 若f(x)有两个相异的不动点x1，x2：①当x1<1<x2时，设f(x)的对称轴为直线x=m，求证：m>12．②若∣x1∣<2，且∣x1−x2∣=2，求实数b的取值范围．26.已知0<α<π2<β<π，且sin(α+β)=513，tanα2=12．(1) 求cosα的值；(2) 证明：sinβ>513．27.化简cos(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin(α−π)⋅cos(2π−α)．28.已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)上的奇函数，且f(12)=25．(1) 确定函数f(x)的解析式；(2) 用定义证明f(x)在(−1,1)上是增函数；(3) 解不等式：f(t−1)+f(t)<0．29.某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金融x的函数关系为y1=18−180x+10，B产品的利润y2与投资金融x的函数关系为y2=x5．（注：利润与投资金额单位：万元）(1) 该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；(2) 在（1）的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？30.定义区间(c,d)，[c,d)，(c,d]，[c,d]的长度均为d−c，其中d>c．(1) 若函数y=∣2x−1∣的定义域均为[a,b]，值域为[0,12]，写出区间长度[a,b]的最大值；(2) 若关于x的不等式组{7x+1>1,log2x+log2(tx+3t)<2的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围；(3) 已知m,n∈R，求证：关于x的不等式2x−m +2x−n>3的解集构成的各区间的长度和为定值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】当m=2时，f(x)=(n−8)x+1，要使其在区间[12,2]上单调递减，则n−8<0⇒n<8，于是mn<16，则mn无最大值．当m∈[0,2)时，f(x)的图象开口向下，要使f(x)在区间[12,2]上单调递减，需−n−8m−2≤12，即2n+m≤18，又n≥0，则mn≤m(9−m2)=−12m2+9m．而g(m)=−12m2+9m在[0,2)上为增函数，所以m∈[0,2)时，g(m)<g(2)=16，故m∈[0,2)时，mn无最大值．当m>2时，f(x)的图象开口向上，要使f(x)在区间[12,2]上单调递减，需−n−8m−2≥2，即2m+n≤12，而2m+n≥2√2m⋅n，所以mn≤18，当且仅当{2m+n=12,2m=n.即{m=3,n=6.时，取“=”，此时满足m>2．故(mn)max=18．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的单调性2. 【答案】C【解析】因为f(a)=f(b)，所以∣lga∣=∣lgb∣，所以a=b（舍去），或b=1a，所以a+2b=a+2a，又0<a<b，所以0<a<1<b，令f(a)=a+2a，由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3，即a+2b的取值范围是(3,+∞)．【知识点】对勾函数、对数函数及其性质3. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x2+mx+1>0的解集为R，∴△=m2−4<0，解得−2<m<2．∴m的取值范围是(−2，2)．故选：B．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．4. 【答案】D【解析】根据题意，函数 f (x )=x 2−bx +c 满足 f (x +1)=f (1−x )，则有 b2=1，即 b =2， 又由 f (0)=3，则 c =3， b x =2x ，c x =3x ，若 x <0，则有 c x <b x <1，而 f (x ) 在 (−∞,1) 上为减函数，此时有 f (b x )<f (c x )， 若 x =0，则有 c x =b x =1，此时有 f (b x )=f (c x )，若 x >0，则有 1<b x <c x ，而 f (x ) 在 (1,+∞) 上为增函数，此时有 f (b x )<f (c x )， 综合可得 f (b x )≤f (c x )． 【知识点】函数的单调性5. 【答案】C【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】C【知识点】幂函数及其性质7. 【答案】A【解析】当 x ∈[−2,−1] 时，x +2∈[0,1]，则 f (x +2)=(x +2)2−(x +2)=x 2+3x +2， 又 f (x +2)=f [(x +1)+1]=2f (x +1)=4f (x )，所以当 x ∈[−2,−1] 时，f (x )=14(x 2+3x +2)=14(x +32)2−116，所以当 x =−32时，f (x ) 取得最小值，且最小值为 −116．【知识点】函数的最大（小）值、二次函数的性质与图像8. 【答案】C【解析】由 f (1+x )=f (1−x ) 知 f (13)=f (53)，f (12)=f (32)． 又当 x ≥1 时，f (x )=2x 是增函数， 所以 f (32)<f (53)<f (2)， 即 f (12)<f (13)<f (2)． 【知识点】指数函数及其性质9. 【答案】D【解析】因为定义在 R 上的奇函数 f (x ) 在 (−∞,0) 上单调递减，且 f (2)=0， 所以 f (x ) 在 (0,+∞) 上也是单调递减，且 f (−2)=0，f (0)=0， 所以当 x ∈(−∞,−2)∪(0,2) 时，f (x )>0；当 x ∈(−2,0)∪(2,+∞) 时，f (x )<0，所以由 xf (x −1)≥0 可得： {x <0,−2≤x −1≤0 或 x −1≥2 或 {x >0,0≤x −1≤2 或 x −1≤−2 或 x =0 解得 −1≤x ≤0 或 1≤x ≤3，所以满足 xf (x −1)≥0 的 x 的取值范围是 [−1,0]∪[1,3]． 【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性10. 【答案】C【解析】函数 f (x )=3x +x 2−2 的零点，就是方程 3x +x 2−2=0 的根，即方程 3x =−x 2+2 的根，也就是 y =3x 与 y =−x 2+2 的图象的交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中作出 y =3x 与 y =−x 2+2 的图象，如图所示，由图可知，它们有两个交点，所以函数 f (x ) 有 2 个零点．【知识点】函数的零点分布二、填空题（共10题） 11. 【答案】 −3√32【解析】 fʹ(x )=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12),所以当 cosx <12 时函数单调递减，当 cosx >12 时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为 [2kπ−5π3,2kπ−π3](k ∈Z )，函数的递增区间为 [2kπ−π3,2kπ+π3](k ∈Z )，所以当 x =2kπ−π3，k ∈Z 时，函数 f (x ) 取得最小值，此时 sinx =−√32，sin2x =−√32， 所以 f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】 f(x)=2sin(2x +π6) ； 63【解析】显然 A =2，由图象过点 (0,1)，得 f (0)=1， 即 sinφ=12，又 ∣φ∣<π2， 所以 φ=π6，又 (11π12,0) 是图象上的点，所以 f (11π12)=0，即 2sin (11π12ω+π6)=0 .由题图可知，(11π12,0) 是图象在 y 轴右侧部分与 x 轴的第二个交点， 所以11π12ω+π6=2π，解得 ω=2，所以函数 f (x ) 的解析式为 f (x )=2sin (2x +π6) .在同一平面直角坐标系内作出函数 y =f (x )=2sin (2x +π6) 和函数 y =lgx 的简图， 如图所示．因为 f (x ) 的最大值为 2， 所以令 lgx =2，得 x =100． 由图象易知，这两个函数图象在 [11π12,17π12] 内有两个交点，又17π12+30π<100．且11π12+31π>100，所以这两个图象在 [11π12,100] 内有 62 个交点，另外在 (0,11π12) 内还有 1 个交点．所以方程 f (x )−lgx =0 共有 63 个实根．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】 2【解析】原方程等价于 a x =−(x −1)2+2a ．在同一平面直角坐标系中，作出函数 y =a x 和 y =−(x −1)2+2a 的大致图象． 当 a >1 时，如图 1 所示，观察图象，可知此时两函数图象交点的个数是 2； 当 0<a <1 时，如图 2 所示，观察图象，可知此时两函数图象交点的个数是 2．对底数 a 按照 a >1 和 0<a <1 分类讨论，应用了分类讨论思想． 综上可得，方程 a x +1=−x 2+2x +2a 的解的个数为 2．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】 [−3−√134,−3+√134]∪{12}∪[34,+∞)【解析】因为 f (x )=∣∣x −1∣−∣x −3∣−1∣={∣1−x +x −3−1∣,x <1∣x −1+x −3−1∣,1≤x <3∣x −1−x +3−1∣,x ≥3，即 f (x )={3,x ≤1∣2x −5∣,1<x <31,x ≥3，画出函数图象如图所示： 可以看到 f (2)=f (3)=1，要使 f (4a 2+6a )=f (4a )，则有以下几种情况： ①{4a 2+6a ≤1,4a ≤1,解得−3−√134≤x ≤−3+√134；②{1<4a 2+6a ≤2.5,1<4a ≤2.5,4a 2+6a =4a, 无解；③{2.5<4a 2+6a ≤3.2.5<4a ≤3.4a 2+6a =4a, 无解．④{1<4a 2+6a ≤3,1<4a ≤3,4a 2+6a +4a =5,无解；⑤{4a 2+6a ≥3,4a ≥3,解得 a ≥34，⑥{4a 2+6a =2,4a ≥3,无解；⑦{4a 2+6a ≥3,4a =2,解得 a =12；所以 a 的取值范围为 [−3−√134,−3+√134]∪{12}∪[34,+∞)．【知识点】分段函数15. 【答案】 2√3−1【解析】由 x >0，可得 x +1>1， 令 t =x +1(t >1)，即 x =t −1，则x 2+x+3x+1=(t−1)2+(t−1)+3t=t +3t−1≥2√t ⋅3t−1=2√3−1，当且仅当 t =√3，即 x =√3−1 时等号成立． 【知识点】均值不等式的应用16. 【答案】(1,2)【解析】考查函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象的交点的情况，根据图象，得 a >0． 当 a =2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 3 个交点； 当 y =a ∣x ∣(x ≤0) 图象与 y =∣x 2+5x +4∣ 图象相切时，在整个定义域内，函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象有 5 个交点， 此时，由 {y =−ax,y =−x 2−5x −4, 得 x 2+(5−a )x +4=0． 由 Δ=0，解得 a =1 或 a =9（舍去）．故当 1<a <2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 4 个交点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数图象17. 【答案】(1,3)【解析】B={x∣ 0<x<3}，所以A∩B={x∣ 1<x<3}=(1,3)．【知识点】交、并、补集运算18. 【答案】5【解析】易得当船速v1与水流速度v2的和速度v垂直于岸边时最快到达，此时∣v∣∣=√v12−v22=√262−102=24km/h．故最快时间为224×60=5min．【知识点】函数模型的综合应用19. 【答案】3√24【解析】由物理学知识可知在此模型下，沿杆方向速度相等，将其转化为第13秒，则得下图，延长BA，并建立如图坐标系，取延长线上两点C，D，则在0∽13秒期间，A一共水平移动1米，所以∣OA∣=1．所以cos∠BAO=13．所以v在AC方向上的分解速度为3⋅13=1（米/秒）．所以B在杆方向上速度为1米/秒．又因为cos∠OBA=√32−13=2√23，所以在B点的瞬时速度v2有v2⋅cos∠OBA=1．所以v2=3√24（米/秒）．所以在13秒时，点B的瞬时速度为3√24（米/秒）．【知识点】函数模型的综合应用20. 【答案】14sin3α【解析】原式=sinα⋅12[−cos(60∘+α+60∘−α)+cos(60∘+α−60∘+α)]=sinα⋅12(12+cos2α)=14sinα+12sinαcos2α=14sinα+12⋅12[sin3α+sin(−α)]=14sin3α.【知识点】积化和差与和差化积公式三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 设A={x∣ 2≤x<4}，B={x∣ x>1}，显然A⫋B，故α是β的充分非必要条件．(2) 设A={x∣ x=4k,k∈N∗}，B={x∣ x=2n,n∈N∗}，因为B={x∣ x=4k或x=4k+2,k∈N∗}，所以A⫋B，故α是β的充分非必要条件．(3) 由于α，β都是用否定形式表达的命题，故我们可以考虑它们的逆否命题，即说明“β:x=2”是“α:x2−5x+6=0”的什么条件．设A={x∣ x=2}，B={x∣ x2−5x+6=0}，化简得A={2}，B={2,3}，所以A⫋B，故β是α的充分非必要条件，即α是β的充分非必要条件．【知识点】充分条件与必要条件22. 【答案】(1) 因为−570∘=−570180π=−196π=−4π+56π，所以−570∘与56π终边相同，56π在第二象限，所以α1在第二象限．因为750∘=750180π=256π=4π+π6，所以750∘与π6终边相同，π6在第一象限，所以α2在第一象限．(2) 因为β1=35π=(35×180)∘=108∘，与其终边相同的角为108∘+k⋅360∘，k∈Z，所以在−720∘∼0∘范围内与β1有相同终边的角是−612∘和−252∘．同理，β2=−420∘，且在−720∘∼0∘范围内与β2有相同终边的角是−60∘．【知识点】弧度制23. 【答案】函数f(x)的定义域为(−∞,+∞)，当x>0时，−x<0，f(−x)=(−x)2+2(−x)+3=x2−2x+3=−(−x2+2x−3)=−f(x)，当x<0时，−x>0，f(−x)=−(−x)2+2(−x)−3=−x2−2x−3=−(x2+2x+3)=−f(x)，由于当x=0时，f(0)=2≠−f(0)，因此尽管x≠0时f(−x)=−f(x)成立，但是不符合函数奇偶性的定义．所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．【知识点】函数的奇偶性24. 【答案】(1) 对任意非零实数x1，x2恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，所以令x1=x2=1，代入f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，可得f(1)=0，又令x1=x2=−1，代入f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，f(−1)=f(−1)+f(−1)，可得f(−1)=0．(2) 取x1=−1，x2=x，代入f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，得f(−x)=f(x)，又函数的定义域为(−∞,0)∪(0,∞)，所以函数f(x)是偶函数．(3) 函数f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数，证明如下：任取x1,x2∈(0,∞)，且x1<x2，则x2x1>1，由题设有f(x2x1)<0，所以f(x2)−f(x1)=f(x2x1⋅x1)−f(x1)=f(x2x1⋅x1)+f(x1)−f(x1)=f(x2x1)<0,所以f(x2)<f(x1)，即函数f(x)在(0,∞)上为单调递减函数，由（2）函数f(x)是偶函数，所以f(x)+f(x−32)≤0⇔f[x(x−32)]≤f(1)⇔∣∣x(x−32)∣∣≥1,解得：x≤−12或x≥2，所以解集为(−∞,−12]∪[2,+∞)．【知识点】函数的单调性、抽象函数、函数不等式的解法、函数的奇偶性25. 【答案】(1) 依题意：f(x)=2x2−2x+1=x，即2x2−3x+1=0，解得x=12或1．所以f(x)的不动点为12和1．(2) ①由f(x)=ax2+bx+1得对称轴x=m=−b2a．设g(x)=f(x)−x=ax2+(b−1)x+1(a>0)，由x1，x2是方程f(x)=x得两个相异的根，且x1<1<x2，所以g(1)<0即a+b<0．所以−ba>1．所以m=−b2a >12得证．② Δ=(b−1)2−4a>0⇒(b−1)2>4a．因为x1+x2=1−ba ，x1x2=1a，所以 ∣x 1−x 2∣2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(1−b a)2−4a =22．所以 (1−b )2=4a 2+4a. ⋯⋯①因为 ∣x 1−x 2∣=2，所以 x 1，x 2 到 g (x ) 的对称轴 x =1−b 2a的距离都为 1．又因为 ∣x 1∣<2，即 −2<x 1<2， 所以 x =1−b 2a∈(−3,3)．所以 ∣∣1−b 2a ∣∣<3．所以 a >16∣1−b∣．代入①式得 (1−b )2>4×[16(1−b )]2+46∣1−b∣， 43(1−b )2>∣1−b∣，169(1−b )4>(1−b )2，(1−b )2>916． 解得 b <14或 b >74．所以 b 的取值范围是 (−∞,14)∪(74,+∞)． 【知识点】二次函数的性质与图像、函数的零点分布26. 【答案】(1) 因为 tan α2=12，所以 tanα=2tanα21−tan 2α2=2×121−(12)2=43．所以 {sinαcosα=43,sin 2α+cos 2α=1.又 α∈(0,π2)，解得 cosα=35．(2) 由已知得 π2<α+β<3π2．因为 sin (α+β)=513，所以 cos (α+β)=−1213． 由（1）可得 sinα=45，所以 sinβ=sin [(α+β)−α]=513×35−(−1213)×45=6365>513． 【知识点】二倍角公式、两角和与差的正弦27. 【答案】cos(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin (α−π)⋅cos (2π−α)=sinαcosα⋅(−sinα)⋅cosα=−sin 2α.【知识点】诱导公式28. 【答案】(1) 由题意，得 {f (0)=0,f (12)=25,所以 {a =1,b =0,故 f (x )=x1+x 2．(2) 任取 −1<x 1<x 2<1，则 f (x 1)−f (x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，因为 −1<x 1<x 2<1，所以 x 1−x 2<0，1+x 12>0，1+x 22>0，又 −1<x 1x 2<1， 所以 1−x 1x 2>0，所以 f (x 1)−f (x 2)<0，所以 f (x ) 在 (−1,1) 上是增函数． (3) f (t −1)<−f (t )=f (−t )， 因为 f (x ) 在 (−1,1) 上是增函数， 所以 −1<t −1<−t <1， 所以 0<t <12，所以不等式的解集为 {t∣ 0<t <12}． 【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性29. 【答案】(1) 其中 x 万元资金投入A 产品，则剩余的 100−x （万元）资金投入B 产品，利润总和 f (x )=18−180x+10+100−x 5=38−x5−180x+10(x ∈[0,100])．(2) 因为 f (x )=40−(x+105+180x+10)，x ∈[0,100]，所以由基本不等式得：f (x )≤40−2√36=28，当且仅当x+105=180x+10，即 x =20 时取等号．答：分别用 20 万元和 80 万元资金投资A ，B 两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为 28 万元．【知识点】均值不等式的实际应用问题、建立函数表达式模型30. 【答案】(1) 令 y =∣2x −1∣=0，解得 x =0，此时 y =0 为函数的最小值． 令 y =∣2x −1∣=12，解得 x 1=−1，x 2=log 232． 故定义域区间长度最大时 a =−1，b =log 232， 故区间 [a,b ] 的长度为 b −a =log 232+1=log 23． (2) 由 7x+1>1 得−x+6x+1>0，解得 −1<x <6，记 A =(−1,6)．设不等式 log 2x +log 2(tx +3t )<2 的解集为 B ，不等式组 {7x+1>1,log 2x +log 2(tx +3t )<2的解集为A ∩B ．设不等式 log 2x +log 2(tx +3t )<2 等价于 {x >0,t (x +3)>0,t 2+3tx −4<0,所以 B ⊆(0,+∞)，A ∩B ⊆(0,6)， 由于不等式组的解集的个区间长度和为 6，所以不等式组 {t (x +3)>0,t 2+3tx −4<0, 当 x ∈(0,6) 是恒成立．当 x ∈(0,6) 时，不等式 t (x +3)>0 恒成立，得 t >0． 当 x ∈(0,6) 时，不等式 t 2+3tx −4<0 恒成立，分离常数得 t <4x 2+3x恒成立，当 x ∈(0,6) 时，y =x 2+3x 为单调递增函数， 所以 y =x 2+3x ∈(0,54)， 所以 4x 2+3x >427， 所以实数 t ≤227．(3) 原不等式 2x−m +2x−n >3 可化为3x 2−(3m+3n+4)x+(2m+2n+3mn )(x−m )(x−n )<0, ⋯⋯①令 g (x )=3x 2−(3m +3n +4)x +(2m +2n +3mn )，其判别式 Δ=(3m +3n +4)2−12(2m+2n+3mn)=9(m−n)2+16>0，所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1，x2，设x1<x2，则g(x)=3(x−x1)(x−x2)，根据求根公式可求得x2−x1=√163=43，而g(m)=2(n−m)，g(n)=2(m−n)．（∪）当m=n时，不等式①等价于3(x−x1)(x−x2)<0，解得x1<x<x2，即不等式①的解集为(x1,x2)，区间长度为x2−x1=43．（∪）当m≠n时，不妨设m<n，则g(m)=2(n−m)>0，g(n)=2(m−n)<0，所以m<x1<n<x2，此时不等式①即3(x−x1)(x−x2)(x−m)(x−n)<0，解得m<x<x1或n<x<x2，即不等式①的解集为(m,x1)∪(n,x2)，区间的长度为x1−m+x2−n=x1+x2−(m+n)=3m+3n+43−(m+n)=43．综上所述，关于x的不等式2x−m +2x−n>3的解集构成的各区间的长度和为定值43．【知识点】简单的对数方程与不等式（沪教版）、分式不等式的解法、指数函数及其性质。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(33)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷4（共30题）一、选择题（共10题）1. 使 y =3−cos x2 取最小值的 x 的集合是 ( )A ． {x∣ x =4kπ,k ∈Z }B ． {x∣ x =2kπ,k ∈Z }C ． {x∣ x =kπ,k ∈Z }D ． {x∣ x =32kπ,k ∈Z}2. 设函数 y =x 3 与 y =(12)x−2的图象的交点为 (x 0,y 0)，则 x 0 所在的区间为 ( )A ． (0,1)B ． (1,2)C ． (2,3)D ． (3,4)3. 已知集合 M ={x∣ −2≤x ≤2}，N ={x∣ x >1}，那么 M ∩∁R N ( ) A ． {x∣ −2≤x <1} B ． {x∣ −2≤x ≤1} C ． {x∣ x <−2} D ． {x∣ 1<x ≤2}4. 函数 f (x )=(a −b )x a3+b −3 是幂函数，则下列结论正确的是 ( ) A ． f (a )>f (b ) B ． f (a )<f (b ) C ． f (a )=f (b )D ．以上都不对5. 设集合 A =[0,12)，B =[12,1]，函数 f (x )={x +12,x ∈A2(1−x ),x ∈B，若 x 0∈A ，且 f(f (x 0))∈A ，则 x 0 的取值范围是 ( )A ． (0,14]B ． (14,12]C ． (14,12)D ． [0,38]6. 不等式 x (2−x )>3 的解集是 ( ) A ． {x∣ −1<x <3} B ． {x∣ −3<x <1} C ． {x∣ x <−3或>−1}D ． ∅7. 已知全集 U =R ，集合 A ={x∣ x +1<0}，B ={x∣ x −3<0}，那么 (∁R A )∩B = ( )A ． {x∣ −1≤x <3}B ． {x∣ −1<x <3}C ． {x∣ x <−1}D ． {x∣ x >3}8. 函数 f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0) 相邻两个对称中心的距离为 π2，以下哪个区间是函数 f (x ) 的单调减区间 ( ) A ． [−π3,0]B ． [0,π3]C ． [π12,π2]D ． [π2,5π6]9. 已知 x ∈R ，则“∣∣x −13∣∣<23”是“x <1”的 ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10. 设全集 U ={x∣ x ∈N ∗,x <6}，集合 A ={1,3}，B ={3,5}，则 ∁U (A ∪B ) 等于 ( ) A ． {1,4} B ． {1,5} C ． {2,5} D ． {2,4}二、填空题（共10题）11. 已知函数 y =f (x ) 的定义域为 [−1,5]，在同一直角坐标系下，函数 y =f (x ) 的图象与直线x =1 的交点个数为 ．12. 若方程 sinx −√3cosx =c 有实数解，则 c 的取值范围是 ．13. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）至少有一个三角形的内角和为 π 是全称命题．( ) （2）“全等三角形的面积相等”是特称命题．( )（3）写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( )14. 集合 A 和 B 中各有 6 个元素，A ∩B 中有 5 个元素，则 A ∪B 中共有 个元素．15. 函数 y =−x 2+2∣x∣ 的最大值是 ，此时 x = ．16. 函数 y =x +1x−1(x >1) 的最小值是 ．17. 某航空公司规定，乘客所携带行李的重量（kg ）与其运费（元）由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为 （kg ）．18.若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式① ab≤1；② √a+√b≤√2；③ a2+b2≥2；④ 1a +1b≥2，对满足条件的a，b恒成立的是．（填序号）19.−135∘化为弧度为，11π3化为角度为．20.方程1+log2x=log2(x2−3)的解为．三、解答题（共10题）21.已知定义在R上的奇函数f(x)的图象经过点(2,2)，且当x∈(0,+∞)时，f(x)=log a(x+2)．(1) 求a的值；(2) 求函数f(x)的解析式．22.已知集合A={x∣ 1<log2x<3,x∈N+},B={4,5,6,7,8}.(1) 从A∪B中取出3个不同元素组成三位数，求不同三位数的个数；(2) 从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数？23.这些函数对x是否有一定的限制？24.1．解析法表示函数解析法是将定义域与值域之间的对应法则用解析式表示．它的优点是简明、概括．2．列表法表示函数列表法是将定义域和值域中所有变量的对应法则用表格形式一一列出．这种表示法较适用于离散型，且定义域是有限集的函数，特别是变量之间的对应法则难以用解析式统一刻画的函数．3．图象法表示函数图象法是借助于二维的坐标系刻画两个变量之间的对应法则．它的优点是能直观形象地显示出变量间的变化关系．4．分段函数如果自变量在不同的范围内取值时，函数的对应法则需用不同的解析式表示（如出租车的计价问题），那么我们可将该函数分段表示成若干个解析式，该函数的定义域是自变量在各取值范围内的并集．问题：分段函数是一个函数还是几个函数？25. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，当 x ≥0 时，f (x )=x 2−2x −1．(1) 求 f (x ) 的函数解析式，并用分段函数的形式给出； (2) 作出函数 f (x ) 的简图；(3) 写出函数 f (x ) 的单调区间及最值．26. 已知“▫x ∈{x∣ −1<x <1}，使等式 x 2−x −m =0 成立”是真命题．(1) 求实数 m 的取值集合 M ；(2) 设不等式 (x −a )(x +a −2)<0 的解集为 N ，若 x ∈N 是 x ∈M 的必要条件，求实数 a的取值范围．27. 已知 α∈(π2,π)，且 sinα=35．(1) 求 tan (α−π4) 的值； (2) 求 sin (α2+2019π) 的值．28. 已知 p 是 q 的充要条件，s 是 t 的充分条件，q 是 t 的必要不充分条件，s 是 q 的必要不充分条件，那么 s 是 p 的什么条件？29. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=2x −1．(1) 求 f (3)+f (−1)； (2) 求 f (x ) 的解析式．30. 已知函数 f (x ) 是 R 上的奇函数，且当 x >0 时，f (x )=(12)x．(1) 求函数 f (x ) 的解析式；(2) 画出函数的图象，根据图象写出函数 f (x ) 的单调区间和值域．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系内分别作出两个函数的图象如图所示，由图象得 1<x 0<2．【知识点】函数的零点分布3. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算4. 【答案】A【解析】因为 f (x ) 为幂函数，所以 {b −3=0,a −b =1, 所以 {a =4,b =3,所以 f (x )=x 43，所以 f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增，且 a >b >0， 所以 f (a )>f (b )． 【知识点】幂函数及其性质5. 【答案】C【解析】因为 x 0∈A ， 所以 f (x 0)=x 0+12∈B ，所以 f(f (x 0))=f (x 0+12)=2(1−x 0−12)=1−2x 0∈A ，所以 0≤1−2x 0<12， 即 14<x 0≤12． 又 x 0∈A ， 所以 14<x 0<12．【知识点】分段函数6. 【答案】D【知识点】二次不等式的解法7. 【答案】A【解析】因为 A ={x∣ x +1<0}={x∣ x <−1}， 所以 ∁R A ={x∣ x ≥−1}，又 B ={x∣ x −3<0}={x∣ x <3}， 所以 (∁R A )∩B ={x∣ −1≤x <3}． 【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】A【解析】 ∣∣x −13∣∣<23⇒−23<x −13<23⇒−13<x <1 能推出 x <1，反之，不能推出，故“∣∣x −13∣∣<23”是“x <1”的充分非必要条件． 故选A ．【知识点】充分条件与必要条件10. 【答案】D【解析】由题意得 A ∪B ={1,3}∪{3,5}={1,3,5}．又 U ={1,2,3,4,5}，所以 ∁U (A ∪B )={2,4}． 【知识点】交、并、补集运算二、填空题（共10题） 11. 【答案】 1 个【知识点】函数的相关概念12. 【答案】 [−2,2]【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】 × ； × ； √【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断14. 【答案】 7【知识点】交、并、补集运算15. 【答案】 1 ； ±1【知识点】函数的最大（小）值16. 【答案】 3【解析】 x +1x−1=(x −1)+1x−1+1≥2√(x −1)1x−1+1=3，当且仅当 x =2 时取等号．【知识点】均值不等式的应用17. 【答案】 19【解析】设一次函数解析式为 y =ax +b (a ≠0)， 代入点 (30,330) 与点 (40,630) 得 {30a +b =330,40a +b =630,解得 {a =30,b =−570.即 y =30x −570． 若要免费，则 y ≤0， 所以 0≤x ≤19．【知识点】函数的模型及其实际应用18. 【答案】①③④【解析】因为 ab ≤(a+b 2)2=1，当且仅当 a =b =1 时，等号成立，所以①正确；因为 (√a +√b)2=a +b +2√ab =2+2√ab ≤2+a +b =4，故②不正确； 所以 √a +√b ≤2，当且仅当 a =b =1 时，等号成立， a 2+b 2≥(a+b )22=2，当且仅当 a =b =1 时，等号成立，所以③正确；1a +1b =a+b ab=2ab ≥2，当且仅当 a =b =1 时，等号成立，所以④正确．【知识点】均值不等式的应用19. 【答案】 −3π4； 660∘【知识点】弧度制20. 【答案】 x =3【知识点】对数的概念与运算三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) a =2．(2) f (x )={log 2(x +2),x >00,x =0log 212−x ,x <0． 【知识点】函数的奇偶性22. 【答案】(1) 由 1<log 2x <3，得 2<x <8，又 x ∈N + ,则 A ={3,4,5,6,7}．A ∪B ={3,4,5,6,7,8}，从 A ∪B 中取出 3 个不同元素，可以组成 A 63=120（个）不同的三位数． (2) 比 4000 大的四位数，从集合 A 中取 1 个元素，若取数字 3，则有 C 31⋅C 53A 33=180（个）;若不取数字 3，则有 A 54=120（个）， 所以满足条件的不同自然数共有 180+120=300（个）． 【知识点】元素和集合的关系、排列与组合23. 【答案】有些有，有些没有，如反比例函数的分母不能为 0．【知识点】函数的相关概念24. 【答案】分段函数是一个函数，虽然它由多个解析式构成，但这些解析式共同构成一个整体，所以是一个函数．【知识点】函数的表示方法25. 【答案】(1) 当 x <0 时，−x >0，f (−x )=(−x )2−2(−x )−1=x 2+2x −1， 因为 f (x ) 是偶函数，所以 f (x )=f (−x )=x 2+2x −1， 所以 f (x )={x 2−2x −1,x ≥0x 2+2x −1,x <0．(2) 函数 f (x ) 的简图：(3) 单调增区间为 [−1,0] 和 [1,+∞)， 单调减区间为 (−∞,−1] 和 [0,1]，当 x =1或−1 时，f (x ) 有最小值 −2．【知识点】函数图象、函数的最大（小）值、函数的奇偶性、函数的单调性26. 【答案】(1) 由题意，知 m =x 2−x =(x −12)2−14．由 −1<x <1，得 −14≤m <2， 故 M ={m∣ −14≤m <2}．(2) 由 x ∈N 是 x ∈M 的必要条件，知 M▫N ．①当 a >2−a ，即 a >1 时，N ={x∣ 2−a <x <a }， 则 {a >1,2−a <−14,a ≥2,解得 a >94．②当 a <2−a ，即 a <1 时，N ={x∣ a <x <2−a }， 则 {a <1,a <−14,2−a ≥2,解得 a <−14．③当 a =2−a ，即 a =1 时，N =∅，不满足 M▫N ． 综上可得，实数 a 的取值范围为 {a∣ a <−14或a >94}．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断、充分条件与必要条件27. 【答案】(1) 因为 α∈(π2,π)，且 sinα=35， 所以 tanα=−34，所以 tan (α−π4)=tanα−11+tanα=−34−11−34=−7．(2) 因为 α∈(π2,π)，sinα=35， 所以 α2∈(π4,π2)，cosα=−45，又 cosα=1−2sin 2α2=−45，解得 sin α2=3√1010， 所以 sin (α2+2019π)=−sin α2=−3√1010． 【知识点】二倍角公式、两角和与差的正切28. 【答案】因为 p 是 q 的充要条件，s 是 t 的充分条件，q 是 t 的必要不充分条件，s 是 q的必要不充分条件，所以 p ⇔q ，s ⇒t ，t 推不出 s ，q ⇐t ，q 推不出 t ， 所以 s ⇒p ，p 推不出 s ． 所以 s 是 p 的充分不必要条件．11 【知识点】充分条件与必要条件29. 【答案】(1) 因为 f (x ) 是奇函数，所以 f (3)+f (−1)=f (3)−f (1)=23−1−2+1=6．(2) 设 x <0，则 −x >0，所以 f (−x )=2−x −1，因为 f (x ) 为奇函数，所以 f (x )=−f (−x )=−2−x +1，所以 f (x )={2x −1,x ≥0−2−x +1,x <0． 【知识点】函数的奇偶性30. 【答案】(1) f (x )={(12)x ,x >00,x =0−2x ,x <0．(2) 函数图象如图所示．函数 f (x ) 的单调递减区间是 (−∞,0) 和 (0,+∞)，值域是 (−1,0)∪(0,1)．【知识点】函数的单调性、函数的值域的概念与求法、函数的奇偶性、函数的解析式的概念与求法。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷(64)
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷7（共30题）一、选择题（共10题）1.已知函数f(x)=2x+x，g(x)=log2x+x，ℎ(x)=x3+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为( )A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c2.已知θ∈(0,π)，sin2θ=−2425，则sinθ−cosθ=( )A．75B．−75C．±75D．153.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P(2,−1)在角α的终边上，则tanα=( )A．2B．12C．−12D．−24.“θ是第二象限角”是“tanθ2>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,6}，则A∪B=( )A．{1,2,3}B．{1,2,3,5}C．{2,3}D．{1,2,3,6} 6.若集合M={x∣ −2≤x<2}，N={0,1,2}，则M∩N=( )A．{0}B．{1}C．{0,1,2}D．{0,1} 7.已知角α的终边经过点(5,−12)，则cosα=( )A．513B．−1213C．−512D．12138.已知全集U={2,1,0}，集合A={1,0}，则∁U A=( )A．{2,1}B．{2}C．{2,0}D．{1,0}9.若集合M={x∣ x<2}，N={x∣ 0≤x≤1}，则M∩N=( )A．[0,1]B．[0,2]C．[1,2)D．(−∞,2]10.已知a>b，ac<bc，则有( )A．c>0B．c<0C．c=0D．以上均有可能二、填空题（共10题）11.已知集合A⊆{0,5,7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A的个数共有个．12.元素与集合的概念（1）集合的意义：把能够组成的整体叫做集合，简称集．集合常用大写字母A，B，C，⋯表示．（2）集合的元素：集合中的叫做这个集合的元素，集合中的元素用小写字母a，b，c，⋯表示．对于一个给定的集合，集合中的元素是的、的．13.若x,y,z∈R+，且3x=4y=12z，x+yz∈(n,n+1)，n∈N，则n的值是．14.设实数a，b满足a>1，b>1，则1+ab a+b．（填“>”“<”或“=”）15.函数y=2sin(2x−π4)的最小正周期是．16.函数f(x)=√x(2x−1)的定义域是M，则∁RM=．17.若a>b>c，则1a−b +1b−c3a−c（填“>”“=”或“<”）．18.已知函数f(x)=x2−4x+∣x−1∣+∣x−4∣，则f(x)的最小值是．19.若集合A={1,3}，B={1,2,a}，若A⊆B，则a=．20.若在[1,+∞)上函数y=(a−1)x2+1与y=ax都单调递减，则实数a的取值范围是．三、解答题（共10题）21.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后用符号表示，并判断其真假：(1) 存在一条直线，其斜率不存在；(2) 对所有的实数a，b，方程ax+b=0都有唯一解．22.已知集合A={x∣x2+px+1=0}，B={x∣x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，(∁U A)∩B={−2}，求实数p，q，r的值．23.已知实数a，b，c满足a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值．24.如何判断一个不等式是一元二次不等式？25.解关于x的不等式：ax2+(1−a)x−1>0(a<0)．26.已知tanα=2，求sinα+cosαsinα−cosα的值．27.函数的表示方法主要有哪几种？28.2019年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元．每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)={10x2+100x,0<x<40501x+10000x−4500,x≥40．由市场调研知，每辆车售价5万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1) 求出2019年的利润L(x)（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式．（利润=销售额−成本）(2) 2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．29.已知角α是第三象限角，试判断：(1) π−α是第几象限角？(2) α2是第几象限角？(3) 2α是第几象限角？30.已知集合S={x∣ x=2n+1,n∈Z}，T={x∣ x=4k±1,k∈Z}．试判断集合S，T之间的关系，并说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】函数的零点分布2. 【答案】A【解析】因为 sin2θ=2sinθcosθ=−2425，θ∈(0,π)， 所以 sinθ>0，cosθ<0，(sinθ−cosθ)2=sin 2θ−2sinθcosθ+cos 2θ=1−sin2θ=1−(−2425)=4925， 所以 sinθ−cosθ=75． 【知识点】二倍角公式3. 【答案】C【知识点】任意角的三角函数定义4. 【答案】A【解析】因为 θ 是第二象限角， 所以 2kπ+π2<θ<2kπ+π(k ∈Z )， 所以 kπ+π4<θ2<kπ+π2(k ∈Z )， 所以 θ2 是第一或第三象限角， 所以 tan θ2>0．反之，当 tan θ2>0 时，kπ<θ2<kπ+π2，k ∈Z ， 所以 2kπ<θ<2kπ+π，k ∈Z ，所以 θ 是第一象限角或第二象限角或终边在 y 轴正半轴上． 故选A ．【知识点】任意角的三角函数定义、充分条件与必要条件5. 【答案】D【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】D【解析】因为M={x∣ −2≤x<2}，N={0,1,2}，所以M∩N={0,1}．【知识点】交、并、补集运算7. 【答案】A【解析】x=5，y=−12，r=√52+(−12)2=13，由任意角的三角函数的定义可得cosα=xr =513．【知识点】任意角的三角函数定义8. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算9. 【答案】A【解析】因为M={x∣ x<2}，N={x∣ 0≤x≤1}，所以M∩N={x∣ 0≤x≤1}．故选：A．【知识点】交、并、补集运算10. 【答案】B【知识点】不等式的性质二、填空题（共10题）11. 【答案】6【知识点】包含关系、子集与真子集12. 【答案】确切指定的一些对象；各个对象；确定；各不相同【知识点】集合的概念13. 【答案】4【解析】设3x=4y=12z=t(t>1)，则x=log3t，y=log4t，z=log12t，所以x+y z =log3t+log4tlog12t=log3tlog12t+log4tlog12t=log312+log412 =2+log34+log43.因为1<log34<2，0<log43<1，所以1<log34+log43<3．又log34+log43>2√log34⋅log43=2，所以4<2+log34+log43<5，即x+yz∈(4,5)．所以n=4．【知识点】对数的概念与运算14. 【答案】>【知识点】不等式的性质15. 【答案】π【解析】函数y=2sin(2x−π4)的最小正周期T=2π∣ω∣=2π2=π．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】(0,12)【解析】因为函数f(x)=√x(2x−1)的定义域是M，所以M={x∣ x(2x−1)≥0,x∈R}；所以∁RM={x∣ x(2x−1)<0,x∈R}={x∣ 0<x<12,x∈R}=(0,12)．【知识点】函数的定义域的概念与求法、交、并、补集运算17. 【答案】>【解析】因为a>b>c，所以a−b>0，b−c>0，a−c>0，所以1 a−b +1b−c−3a−c=(a−b+b−c)(a−c)−3(a−b)(b−c)(a−b)(b−c)(a−c)=[(a−b)+(b−c)]2−3(a−b)(b−c)(a−b)(b−c)(a−c)=[(a−b)−(b−c)]2+(a−b)(b−c)(a−b)(b−c)(a−c)>0.所以1a−b +1b−c>3a−c．【知识点】不等式的性质18. 【答案】−1【知识点】函数的最大（小）值、分段函数19. 【答案】 3【知识点】包含关系、子集与真子集20. 【答案】 0<a <1【解析】因为两个函数在 [1,+∞) 上单调递减应满足 {a −1<0,a >0,所以 0<a <1． 【知识点】函数的单调性三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 是存在量词命题，用符号表示为“∃ 直线 l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(2) 是全称量词命题，用符号表示为“∀a,b ∈R ，方程 ax +b =0 都有唯一解”，是假命题．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断22. 【答案】集合 A ={x ∣x 2+px +1=0}，B ={x ∣x 2+qx +r =0}，且 A ∩B ={1}，所以 1+p +1=0，解得 p =−2． 又 1+q +r =0, ⋯⋯ ① (∁U A )∩B ={−2}，所以 4−2q +r =0, ⋯⋯ ②由①②组成方程组解得 q =1，r =−2， 所以实数 p =−2，q =1，r =−2．【知识点】交、并、补集运算23. 【答案】由 (a 2+b 2+c 2)(12+12+12)≥(a +b +c )2=1，当且仅当 a =b =c =13 时等号成立．因此，当 a =b =c =13 时，a 2+b 2+c 2 的最小值为 13．【知识点】均值不等式的应用24. 【答案】注意两点，首先是否只有一个未知数 x ，其次，注意分析二次项系数是否为 0（特别二次项系数含参数时）．【知识点】二次不等式的解法25. 【答案】当 a <−1 时，不等式的解集为 {x∣ −1a<x <1}；当 −1<a <0 时，不等式的解集为 {x∣ 1<x <−1a }； 当 a =−1 时，不等式的解集为 ∅． 【知识点】二次不等式的解法26. 【答案】 3．【知识点】同角三角函数的基本关系27. 【答案】（1）解析法：解析法是将定义域与值域之间的对应法则用解析式表示．（2）列表法：是将定义域和值域中所有变量的对应法则用表格形式一一列出． （3）图象法：图象法是借助于二维的坐标系刻画两个变量之间的对应法则．【知识点】函数的表示方法28. 【答案】(1) 当 0<x <40 时，L (x )=5×100x −10x 2−100x −2500=−10x 2+400x −2500； 当 x ≥40 时，L (x )=5×100x −501x −10000x+4500−2500=2000−(x +10000x)，所以 L (x )={−10x 2+400x −2500,0<x <402000−(x +10000x ),x ≥40． (2) 当 0<x <40 时，L (x )=−10(x −20)2+1500，当 x =20 时，L (x )max =1500， 当 x ≥40 时，L (x )=2000−(x +10000x )≤2000−2√x ⋅10000x=2000−200=1800,当且仅当 x =10000x，即 x =100 时，“=”成立，因为 1800>1500，所以 2019 年产量为 100 百辆时利润最大，最大利润为 1800 万元． 【知识点】建立函数表达式模型、均值不等式的实际应用问题29. 【答案】(1) 因为 α 是第三象限角，所以2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z．所以−2kπ−π2<π−α<−2kπ，k∈Z．所以π−α是第四象限角．(2) 因为kπ+π2<α2<kπ+3π4，k∈Z，所以α2是第二或第四象限角．(3) 因为4kπ+2π<2α<4kπ+3π，k∈Z，所以2α是第一或第二象限角或y轴非负半轴上的角．【知识点】任意角的概念30. 【答案】结论：S=T．设x∈S，则x=2n+1，n∈Z．当n=2k，k∈Z时，x=4k+1∈T；当n=2k−1，k∈Z时，x=4k−1∈T．所以S⊆T．设x∈T，则x=4k±1，k∈Z．当x=4k+1，k∈Z时，x=4k+1=2(2k)+1∈S；当x=4k−1，k∈Z时，x=4k−1=2(2k−1)+1∈S．所以T⊆S．综上所述，S=T．【知识点】包含关系、子集与真子集。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(72)
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷4（共30题）一、选择题（共10题）1.已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，则∁U A=( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5}D．{1,2,3,4,5}2.函数y=f(x)的图象如图所示，在区间[a,b]上可找到n（n≥2且n∈N）个不同的数x1，x2，…，x n，使得f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n，则n的取值范围是( )A．{3,4}B．{2,3,4}C．{3,4,5}D．{2,3}3.若α是第四象限角，tanα=−512，则sinα等于( )A．15B．−14C．513D．−5134.已知集合A={x∣ x>0}，B={x∣ −1≤x≤2}，则A∪B=( )A．{x∣ x≥−1}B．{x∣ x≤2}C．{x∣ 0<x≤2}D．{x∣ −1≤x≤2}5.已知集合A={x∣ x2>1}，集合B={x∣ x(x−2)<0}，则A∩B=( )A．{x∣ 1<x<2}B．{x∣ x>2}C．{x∣ 0<x<2}D．{x∣ x≤1,或x≥2}6.设α为锐角，sinα=35，则cosα=( )A．45B．−45C．1625D．−16257.已知集合A={x∣ x2+2x−3≤0}，B={x∣ y=ln(−x)}，则A∩B=( )A．[−3,0]B．[−3,1]C．[−3,0)D．[−1,0)8. 设函数 f (x )={21−x ,x ≤11−log 2x,x >1，则满足 f (x )≤2 的 x 的取值范围是 ( )A ． [−1,2]B ． [0,2]C ． [1,+∞)D ． [0,+∞)9. 若正数 m ，n 满足 2m +n =1，则 1m +1n 的最小值为 ( ) A ． 3+2√2B ． 3+√2C ． 2+2√2D ． 310. 若 x 1，x 2 是方程 x 2−2x −4=0 的两个不相等的实数根，则代数式 2x 12−2x 1+x 22+3 的值是 ( ) A ． 19B ． 15C ． 11D ． 3二、填空题（共10题）11. 通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：a 2+3ab +2b 2= ．12. 下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是 ．（填写上所有符合条件的图号）13. 函数 y =sin (2x −π3) 最小正周期 ．14. 已知点 (−2,y ) 在角 α 终边上，且 tan (π−α)=2√2，则 sinα= ．15. 设 x >0，则x 2+x+3x+1的最小值为 ．16. 已知圆心角为 60∘ 的扇形，其半径为 3，则该扇形的面积为 ．17. cos (−2π3)= ．18. 已知 a >b >c ，则 √(a −b )(b −c ) 与 a−c 2的大小关系是 ．19. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时，f (x )=x 2+1，则 f (−2)+f (0)= ．20. 已知扇形的圆心角为 π6，面积为 π3，则扇形的半径是 ．三、解答题（共10题）21. 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由．(1) 与定点 A ，B 等距离的点； (2) 高中学生中的游泳能手．22. 写出下列命题的否定：(1) ∀x ∈R ，x 2−2x +1≥0． (2) ∃x ∈R ，x 2+1<0．23. 秸秆还田是当今世界上普遍重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花 137600 元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入 60000 元（已减去所用柴油费）．该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，每年用于维修保养的费用 y （元）与使用年数 n 的关系式为 y =kn +b （n ≥2，且 n ∈N ∗），已知第二年付费 1800 元，第五年付费 6000 元．(1) 试求出该农机户每年用于维修保养的费用 y （元）与使用年数 n (n ∈N ∗) 的函数关系式； (2) 这台收割机使用多少年可使年平均收益最大？（收益 = 收入 − 维修保养费用 − 购买机械费用）24. 已知 a >b ，且 ab =1，求证：a 2+b 2a−b≥2√2．25. 已知由实数构成的集合 A 满足：若 x ∈A ，且 x ≠±1,0，则 1+x1−x ∈A ．(1) 求证：当 2∈A 时，A 中还有 3 个元素；(2) 设 ±1,0 均不属于 A ，问：非空集合 A 中至少有几个元素？26. 全集中的元素有何特征？如何理解补集的定义？27. 已知集合 M ={−2,3x 2+3x −4,x 2+x −4}，若 2∈M ，求 x 的值． 28.(1) 计算 (0.25)12−[−2×(37)0]2×[(−2)3]43+(√2−1)−1−212(2) 解方程：lg (x +1)+lg (x −2)=lg4．29. 已知 cos (α+π4)=√210，α∈(0,π2)．(1) 求 sinα 的值；(2) 若 cosβ=13，β∈(0,π)，求 cos (α−2β) 的值．30. 函数 f (x )=sin (ωx +φ)，其中 ω>0，∣φ∣<π2．(1) 若 cos π4cosφ−sin3π4sinφ=0，求 φ 的值；(2) 在（1）的条件下，若函数 f (x ) 图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 π3，求函数 f (x ) 的解析式；并求最小正实数 m ，使得函数 f (x ) 图象向左平移 m 个单位得到的函数是奇函数．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】因为U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，所以∁U A={2,4,5}．故选C．【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】B【解析】设f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n=k，则y=f(x)的图象与直线y=kx的交点的坐标满足题中等式．由题图易知交点可以有0个，1个，2个，3个或4个，又n≥2且n∈N，故n 的取值可以是2，3，4．【知识点】函数零点的概念与意义3. 【答案】D【知识点】同角三角函数的基本关系4. 【答案】A【解析】如图，借助数轴可知A∪B={x∣ x≥−1}．【知识点】交、并、补集运算5. 【答案】A【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】A【解析】因为α为锐角，所以cosα=√1−sin2α=45．【知识点】同角三角函数的基本关系7. 【答案】C【解析】由x2+2x−3≤0有(x−1)(x+3)≤0，即−3≤x≤1，又ln(−x)中−x>0，即x<0，故A∩B=[−3,0)．【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】D【解析】当x≤1时，21−x≤2的可变形为1−x≤1，x≥0，所以0≤x≤1．当x>1时，1−log2x≤2的可变形为x≥12，所以x≥1，故答案为[0,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质9. 【答案】A【解析】因为2m+n=1，则1 m +1n=(1m+1n)⋅(2m+n)=3+nm+2mn≥3+2√nm⋅2mn=3+2√2,当且仅当n=√2m，即m=2−√22，n=√2−1时等号成立，所以1m +1n的最小值为3+2√2．【知识点】均值不等式的应用10. 【答案】A【解析】因为x1，x2是方程x2−2x−4=0的两个不相等的实数根，所以x12−2x1=4，x1x2=−4，x1+x2=2，所以2x12−2x1+x22+3=x12−2x1+x12+x22+3=x12−2x1+(x1+x2)2−2x1x2+3=4+4+8+3=19.【知识点】函数的零点分布二、填空题（共10题）11. 【答案】(a+2b)(a+b)【解析】由面积可得a2+3ab+2b2=(a+2b)⋅(a+b)．【知识点】二次不等式的解法12. 【答案】①，③【知识点】二分法求近似零点13. 【答案】π【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】2√23【知识点】诱导公式15. 【答案】 2√3−1【解析】由 x >0，可得 x +1>1， 令 t =x +1(t >1)，即 x =t −1，则x 2+x+3x+1=(t−1)2+(t−1)+3t=t +3t−1≥2√t ⋅3t−1=2√3−1，当且仅当 t =√3，即 x =√3−1 时等号成立． 【知识点】均值不等式的应用16. 【答案】3π2【解析】 60∘ 转化为弧度制是 π3，故扇形的面积为 12αr 2=12×π3×32=3π2．【知识点】弧度制17. 【答案】 −12【知识点】诱导公式18. 【答案】 √(a −b)(b −c)≤a−c 2【知识点】均值不等式的应用19. 【答案】 −5【解析】由题意知，f (−2)=−f (2)=−(22+1)=−5， 又 f (0)=0，所以 f (−2)+f (0)=−5． 【知识点】函数的奇偶性20. 【答案】 2【解析】设扇形的半径是 R ， 因为扇形的圆心角为 π6，面积为 π3，所以由扇形面积公式得：π6⋅πR 22π=π3，解得 R =2，所以扇形的半径是 2． 【知识点】弧度制三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 是，即线段 AB 的垂直平分线．(2) 不是，因为游泳能手与不是能手没有具体的划分标准．【知识点】集合的概念22. 【答案】(1) ∃x ∈R ，x 2−2x +1<0．(2) ∀x ∈R ，x 2+1≥0．【知识点】全（特）称命题的否定23. 【答案】(1) 依题意知，当 n =2 时，y =1800； 当 n =5 时，y =6000，则 {1800=2k +b,6000=5k +b, 解得 {k =1400,b =−1000,所以 y ={0,n =11400n −1000,n ≥2且n ∈N ∗．(2) 记使用 n 年，年平均收益为 W 元， 则当 n ≥2 时，W=60000−1n [137600+1400(2+3+⋯+n )−1000(n −1)]=60000−1n [137600+1400×(n−1)(n+2)2−1000(n −1)]=60000−1n (137200+700n 2−300n )=60300−(700n +137200n )≤60300−2√700n ⋅137200n=40700,当且仅当 700n =137200n，即 n =14 时取等号，所以这台收割机使用 14 年可使年平均收益最大．【知识点】均值不等式的实际应用问题、建立函数表达式模型24. 【答案】证明：因为 a >b ，且 ab =1，则a 2+b 2a−b=(a−b )2+2aba−b=(a−b )2+2a−b=a −b +2a−b ≥2√2，当且仅当a−b=√2时，等号成立·．所以a 2+b2a−b≥2√2．【知识点】均值不等式的应用25. 【答案】(1) 略(2) 有4n个（其中n∈N∗）．【知识点】元素和集合的关系26. 【答案】若x∈U，则x∈A或x∈∁U A，二者必居其一．∁U A包含三层意思：① A⊆U；②∁U A是一个集合，且∁U A⊆U；③ ∁U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合．【知识点】交、并、补集运算27. 【答案】当3x2+3x−4=2时，即x2+x−2=0，则x=−2或x=1．经检验，x=−2，x=1均不合题意，当x2+x−4=2时，即x2+x−6=0，则x=−3或2．经检验，x=−3或x=2均合题意．综上，x=−3或x=2．【知识点】元素和集合的关系28. 【答案】(1)(0.25)12−[−2×(37)]2×[(−2)3]43+(√2−1)−1−212=√14−[−2×1]2×(−2)4+√2−1−√2=12−4×16+√2+1−√2=−1252.(2) 原方程可化为lg[(x+1)(x−2)]=lg4，即(x+1)(x−2)=4，解得x=−2或3，经检验，方程的根为3．【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算29. 【答案】(1) 因为α∈(0,2π)，所以α+π4∈(π4,3π4)，又因为cos(α+π4)=√210，所以 sin (α+π4)=7√210， 所以sinα=sin [(α+π4)−π4]=√22[sin (α+π4)−cos (α+π4)]=35.(2) 因为 a ∈(0,π2)，sinα=35， 所以 cosα=45，因为 cosβ=13，β∈(0,π)，所以 sinβ=2√23， 所以 sin2β=4√29，cos2β=−79，所以cos (α−2β)=cosα⋅cos2β+sinα⋅sin2β=45×(−79)+35×4√29=12√2−2845.【知识点】两角和与差的正弦、两角和与差的余弦、二倍角公式30. 【答案】(1) π4(2) f (x )=sin (3x +π4)；π12【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换。
高一数学 必修一复习题
高一数学必修一复习题一．选择题（共12小题）1．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢函数的图象的特征，如函数的图象大致是（）A．B．C．D．2．已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝（）A．﹣4B．﹣C．D．﹣83．集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A∩B＝（）A．[0，2]B．（1，2]C．[1，2]D．（1，+∞）4．“x≤3”是“x2﹣7x+12≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y＝x B．y＝﹣x2C．y＝|x|D．6．已知函数f（x）是定义在[1﹣2m，m]上的偶函数，∀x1，x2∈[0，m]，当x1≠x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0，则不等式f（x﹣1）≤f（2x）的解集是（）A．[﹣1，]B．[﹣，]C．[0，]D．[0，]7．命题“∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2≤0”的否定为（）A．∃x0∈[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞0B．∀x∉[﹣1，3]，x2﹣3x+2＞0C．∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2＞0D．∃x0∉[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞08．已知R是实数集，集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{{x|0＜x＜}，则阴影部分表示的集合是（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（0，1）9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为增函数，且f（3）＝0那么不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，0）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）10．已知集合A＝{x|≤2}，B＝{x|a﹣2＜x＜2a+1}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．（）B．（]C．[]D．[，1）11．已知，则f（x）的解析式为（）A．，且x≠1）B．，且x≠1）C．，且x≠1）D．，且x≠1）12．若集合A＝{x|（k+2）x2+2kx+1＝0}有且仅有1个真子集，则实数k的值是（）A．﹣2B．﹣1或2C．﹣1或±2D．﹣1或﹣2二．多选题（共4小题）13．“关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．0＜a D．a≥014．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a﹣b、ab、∈P （除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是（）A．数域必含有0，1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D．数域必为无限集15．函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，以下选项正确的有（）A．f（x）＝2x+1关于中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，﹣2）中心对称C．函数y＝f（x）的图象关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数16．对任意两个实数a，b，定义，若f（x）＝2﹣x2，g（x）＝x2﹣2，下列关于函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的说法正确的是（）A．函数F（x）是奇函数B．方程F（x）＝0有两个解C．函数F（x）有4个单调区间D．函数F（x）有最大值为0，无最小值三．填空题（共4小题）17．若∀x∈R，mx2+mx+1＞0，则实数m的取值范围为．18．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为．19．若集合A＝{x|x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，x∈Z}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是．20．设集合I＝{1，2，3，4，5}，若非空集合A满足：①A⊆I；②|A|≤min（A）（其中|A|表示集合A中元素的个数，min（A）表示集合A中的最小元素），则称A为I的一个好子集，I的所有好子集的个数为四．解答题（共5小题）21．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣4或x＞1}，B＝{x|﹣3≤x﹣1≤2}．（1）求A∩B，（∁U A）∪（∁U B）；（2）若集合M＝{x|k﹣1≤x≤2k﹣1}且M∩A＝M，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）．（1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式f（x）＞0．23．（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，比较与的大小；（2）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，求的取值范围；24．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示：（1）求函数f（x）（x∈R）的解析式，并在图中补充完整函数f（x）（x∈R）的图象；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）＝﹣f（x）﹣2ax+2，当x∈[1，2]时，求函数g（x）的最小值．25．已知函数f（x）＝．（1）证明：函数f（x）在[1，+∞）上单调递减；（2）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0；（3）求函数f（x）的值域．高一数学必修一复习题参考答案一．选择题（共12小题）CDBAC，CABCB，CC二．多选题（共4小题）13. BD．14. AD．15.BC 16.BCD三．填空题（共4小题）17. [0，4）．18.{0，，2}．19.（，] 20. 12．二．解答题（共5小题）21．解：（1）因为全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣4，或x＞1}，B＝{x|﹣3≤x ﹣1≤2}＝{x|﹣2≤x≤3}，所以A∩B＝{x|1＜x≤3}；（∁U A）∪（∁U B）＝∁U（A∩B）＝{x|x≤1，或x＞3}；（2）由M∩A＝M，得M⊆A，①当M＝∅时，k﹣1＞2k﹣1，k＜0．②当M≠∅时，有k﹣1≤2k﹣1，即k≥0，此时只需2k﹣1＜﹣4或k﹣1＞1，解得k＞2．综上：k＜0或k＞2．22．解：（1）函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R），不等式f（x）≥b化为ax2﹣（4a+1）x+4﹣b≥0，由该不等式的解集为{x|1≤x≤2}，所以a＜0，且1和2是方程ax2﹣（4a+1）x+4﹣b＝0的两根，所以，解得a＝﹣1，b＝6；（2）不等式f（x）＞0，即（ax﹣1）（x﹣4）＞0．①当a＝0时，不等式为﹣x+4＞0，解得x＜4；②当a＜0时，不等式为（x﹣）（x﹣4）＜0，此时＜4，解得＜x＜4；③当a＞0时，不等式为（x﹣）（x﹣4）＞0，若0＜a＜，则＞4，解得x＜4或x＞；若a＝，则＝4，不等式为（x﹣4）2＞0，解得x≠4；若a＞，则＜4，解得x＜或x＞4；综上知，a＝0时，不等式的解集为{x|x＜4}；a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜4}；0＜a＜时，不等式的解集为{x|x＜4或x＞}；a＝时，不等式的解集为{x|x≠4}；a＞时，不等式的解集为{x|x＜或x＞4}．23.解：（1）﹣＝＝e•，∵a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，∴a﹣c＞0，b﹣d＞0，b﹣a＜0，c﹣d＜0，又e＜0，∴﹣＞0，∴＞．（2）∵2x+y＝1，x＞0，y＞0，∴+＝（+）（2x+y）＝3++≥3+2，当且仅当＝，即x＝1﹣，y＝﹣1时等号成立，故的取值范围是[3+2，+∞）．24．解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，∴f（﹣x）＝（﹣x）2+2×（﹣x）＝x2﹣2x（x＞0），即﹣f（x）＝x2﹣2x，得f（x）＝﹣x2+2x．∴．图象如图：；（2）要使函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，由函数图象可知，解得1＜a≤3．故实数的取值范围是（1，3]；（3）g（x）＝﹣f（x）﹣2ax+2＝x2﹣2x﹣2ax+2，对称轴方程为x＝a+1，当a+1≤1，即a≤0时，g（1）＝1﹣2a为最小值；当1＜a+1≤2，即0＜a≤1时，g（a+1）＝﹣a2﹣2a+1为最小值；当a+1＞2，即a＞1时，g（2）＝2﹣4a为最小值．综上，．25.解：（1）解法一：∵函数f（x）＝，∴f′（x）＝，故在[1，+∞）上，∴f′（x）＝≤0，当且仅当x＝1时，f′（x）＝0，故函数f（x）在[1，+∞）上单调递减．解法二：设x2＞x1≥1，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝，由题设可得，x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在[1，+∞）上单调递减．（2）由于f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数，不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0，即不等式f（1+2x2）＞﹣f（﹣x2+2x ﹣4）＝f（x2﹣2x+4）．∵1+2x2≥1，x2﹣2x+4＞1，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，∴1+2x2 ＜x2﹣2x+4，求得﹣3＜x＜1，故原不等式的解集为（﹣3，1）．（3）当x＝0时，f（x）＝0；当x＞0时，f（x）＝≤，即f（x）∈（0，]．根据f（x）为奇函数，可得当x＜0时，f（x）∈[﹣，0）．综上可得，f（x）的值域为[﹣，]．。
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高一数学必修一复习测试卷（一）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)。
1、设集合A={xQ|x>-1}，则（ ）
A、A B、2A C、2A D、2 A
2、设A={a，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B=（ ）
A、{1，2} B、{1，5} C、{2，5} D、{1，2，5}
3、函数21)(xxxf的定义域为（ ）
A、[1，2)∪(2，+∞） B、(1，+∞） C、[1，2) D、[1，+∞) 4、设集合M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是（ ） 5、三个数70。3，0。37，，㏑0.3，的大小顺序是（ ） A、 70。3，0.37，，㏑0.3, B、70。3，，㏑0.3, 0.37 C、 0.37, , 70。3，，㏑0.3, D、㏑0.3, 70。3，0.37， 6、若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.438)=0.165 f(1.4065)=-0.052 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5 7、函数2,02,0xxxyx 的图像为（ ） 8、设()logafxx（a>0，a≠1），对于任意的正实数x，y，都有（ ） A、f(xy)=f(x)f(y) B、f(xy)=f(x)+f(y) C、f(x+y)=f(x)f(y) D、f(x+y)=f(x)+f(y) 9、函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内 （ ） A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
10、已知)6()2()6(5)(xxfxxxf，则f(3)为 （ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
11、若函数)127()2()1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12、若f(x)是偶函数，它在0,上是减函数,且f（lgx）>f(1),则x的取值范围是（ ）
A. (110，1) B. (0，110)(1，) C. (110，10) D. (0，1)(10，)
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：(共4小题，每题5分，共20分,把答案填在题中横线上)
13. 当x[-1,1]时，函数f(x)=3x-2的值域为
14.已知函数),3)(1(),3(2)(xxfxxfx则)3(log2f_________.
15.已知)2(logaxya在]1,0[上是减函数，则a的取值范围是_________
16．若定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞）上是增函数，且f（21）＝0，则不等式
f（log4x
）＞0的解集是______________．
三、解答题：(本大题共70分，17题每题10分，18--22题12分,解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤）
17、（10分） 已知集合}31{xxA，},{2AxyxyB，},2{AxaxyyC，若满足BC，求
实数a的取值范围．
18、（12分） 已知函数()log(1)(0,1)afxxaa在区间[1，7]上的最大值比最小值大12，求a的值。
19、（12分）已知函数xy2
（1）作出其图象；（2）由图象指出单调区间；
（3）由图象指出当x取何值时函数有最小值，最小值为多少？
20、（12）分已知函数1(),3,5,2xfxxx
⑴ 判断函数()fx的单调性，并证明；
⑵ 求函数()fx的最大值和最小值．
21、（12分） 已知f(x)=log a11xx (a>0, 且a≠1）
（1）求f(x)的定义域
（2）求使 f(x)>0的x的取值范围.
22、（12分）已知2,1,4329)(xxfxx
（1）设2,1,3xtx，求t的最大值与最小值；
（2）求)(xf的最大值与最小值；