线面垂直
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：βββ////ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：babaaa////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==NnmMbaambn2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：dldl////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
线面垂直的判定定理
线线垂直
线面垂直
例题示范,巩固新知
跟踪训练：
巩固运用．
跟踪 训练
2.如图, 在三棱锥V ABC中,VA VC, AB BC
V
求证VB AC
D
A B
C
引入新课
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
AB所在直线⊥地面内过点B的任意一条直线
我们 就说直线AB与地面垂直 A
B
直线与平面垂直 定义
如果直线l 与平面 内的过点P任意一条直线都垂 直，我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
平面 的垂线 垂足
l
P
直线l 的垂面
A
ΔACD ΔACD
ACE ACE
α
C m
E
B
l
D n
ACE ACE
A'
ACE ACE
AA BE
即证得直线AB垂直于平面内过点B的任意一条直线， 根据定义，可得直线AB垂直于平面α
直线与平面垂直的判定定理
内的两条相交直线 如果直线l和平面 m,n都垂直，那么直线 l垂直平面
l
b
P
符号语言
α
l , b , 则l b
性质：直线 l 垂直于平面α ， 则直线 l 垂直于平面α中的任意一 条直线
线线垂直
线面垂直
结合定义思考下列问题：
1、一条直线垂直于平面内的一条直线，这条直线一定
垂直于这个平面吗？？
2、一条直线垂直于平面内的两条平行直线，这条直线
一定垂直于这个平面吗？？
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
线面垂直
A
B
D1
C1
A1
B1
探究线面垂直的 判定
请准备一块三角形的纸片， 过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）， 如何翻折才能保证折痕AD与桌面垂直？
直线和平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
思维拓展
AH BE,交BE于H.求证：AH 平面BCD.
如图所示，已知三棱锥A-BCD中，CA=CB,DA=DB,BE CD,
PB AQ PA 巩固练习: 已知 l ， 于A ， 于B ， l 于点Q ，求证： l ． BQ
练习：已知ABCD是矩形,PA ⊥平面AC,连PB,PC,PD, 图中直角三角形的个数有 ( 4 )个
线 线 线 面
二. 数学思想方法: 转化的思想
思考题
• 室内有一根直尺，无论怎样放置，在地 面上总有这样的直线，它与直尺所在的 直线（） A.异面 B.相交 C.平行 D.垂直
作业：P41 5 7题
思维拓展
AH BE,交BE于H.求证：AH 平面BCD.
如图所示，已知三棱锥A-BCD中，CA=CB,DA=DB,BE CD,
× 3 过平面外一点可作无数条直线和这个平面垂直.
ABC, PAC, PAB, PBC _______________________________
P
2.如图,PA 平面ABC , BC AC , 写出图中所有的直角三角形
B A
C
例2：如图, M是菱形ABCD
P
A
B
D
C
面面垂直→线面垂直几个条件
面面垂直→线面垂直几个条件
线面垂直是一种很常见的几何概念，它们构成了许多日常用品，如
陶瓷盘子或家具去磨光而不破坏平面等等。
要使线面垂直有几个关键
条件：
一、垂直线必须完全垂直
要使一条直线与一个平面完全垂直，它必须与该平面的法线完全垂直。
此外，曲线和近似垂直的直线也不能算做垂直，因为它们还是与法线
有一些角度的，例如，95度而不是90度。
二、射线与平面相交
当射线与平面相交时，这条射线的方向与平面的法向量是垂直的。
例如，如果有一条射线正在垂直地穿过一个平面，那么该射线将与该平
面的法线完全垂直。
三、平行线段与平面
当平行线段被投射到一个平面上时，它们将与平面的法线完全垂直。
比如，如果一个平行线段被投影到一个平面上，那么该射线也是垂直的。
四、曲线与平面
当一个曲线与一个平面相交时，曲线的某些点也将与该平面的法线完全垂直。
比如，在一个圆的锥面上，沿锥面的曲线上的每个点都与该平面完全垂直。
以上就是使线面垂直的几个关键条件。
此外，无论是使用射线、平行线段还是曲线，都可以确保线面永远垂直。
因此，使用射线、平行线段和曲线都可以是最好的方法，以确保满足垂直的要求。
线面垂直性质定理
线面垂直性质定理
线面垂直性质定理(The Line-Plane Perpendicularity Theorem)是关于平面与直线的关系的定理，它指出，如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面的交点将与平面垂直。
这个定理可以用数学证明，根据叉乘法则，假设平面n=(a,b,c)T，直线l=p+tv，其中p=(x0,y0,z0)T，
v=(u,v,w)T，t∈R。
那么，在平面上的点P=(x,y,z)T可以写成：
P = p + tv = (x0 + tu, y0 + tv, z0 + tw)T
同时，将P代入平面n的方程得到：
ax + by + cz = d
根据叉乘的定义，有：
|n × v| = |(a,b,c) × (u,v,w)| = |au - bv + cw|
将P代入n × v，可以得到：
|n × v| = |(a,b,c) × (u,v,w)| = |au - bv + cw| = |a(x0 + tu) - b(y0 + tv) + c(z0 + tw)| =
|atx0 - bty0 + ctz0 + t(au - bv + cw)|
易知，当t=0 时，|n×v| = |a(x0 + tu) - b(y0 + tv) + c(z0 + tw)| = 0，即当点P位于平面n上时，直线
l 与n 垂直；而当t≠0时，|n × v|≠0，即当点P不位于平面n上时，直线l 与 n 依然垂直。
因此，可以得出结论：当一条直线与一个平面相交时，这条直线与平面的交点将与平面垂直。
面面垂直线面垂直的判定定理
面面垂直线面垂直的判定定理一、引言在几何学中，面面垂直是一个基本的概念。
当两个平面垂直时，我们称它们是面面垂直的。
本文将介绍面面垂直线面垂直的判定定理。
二、定义1. 面：在三维空间中，由无数条线段组成的平坦曲面。
2. 平行：两条线或两个平面在同一平面内，且不相交。
3. 垂直：两条线或两个平面相交于一个角度为90度的交点。
4. 面面垂直：当两个平面相互垂直时，它们被称为“面面垂直”。
三、定理如果一条直线同时与两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面的交线是另一个平面上的一条直线，则这两个平面是“面面垂直”的。
四、证明假设有两个不同的平面A和B，并且这两个平面相互垂直。
我们需要证明如果一条直线同时与这两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面A的交线是另一个平面B上的一条直线，则这两个平面是“ 面面垂直”的。
首先，我们需要证明这条直线存在。
假设这两个平面A和B相交于一条直线L。
因为这两个平面相互垂直，所以它们的交角为90度，因此直线L与平面A和平面B的交线都是垂直的。
接下来，我们需要证明这条直线与平面A和平面B的交线是垂直的。
假设这条直线与平面A的交点为P，与平面B的交点为Q，并且PQ 在平面B上。
我们需要证明AP和BQ是垂直的。
由于PQ在平面B上，所以PQ与平面A的交线PA也在平面B上。
因此，我们可以得到三角形APQ和三角形BPQ共享一个角度PQB，并且它们有一个共同边界PQ。
根据余弦定理：cos(APQ) = (AQ² + PQ² - AP²) / (2 * AQ * PQ)cos(BPQ) = (BQ² + PQ² - BP²) / (2 * BQ * PQ)由于AP = BQ（因为它们都等于L），所以AP² = BQ²。
将其代入上式中可得：cos(APQ) = cos(BPQ)因此，APQ = BPQ因此，AP和BP是垂直的。
线面垂直例题
由一个垂直关系联想下一个垂直关系，这样一环紧扣一环，
一系列的垂直关系便相继产生，达到线线垂直与线面垂直的
相互转化，这些垂直关系转化便是证明的全过程.
例5:如图,在Rt⊿ABC中，∠C=90°, ∠ABC=30°,BC=24，BC在平面α内，且 AC边和平面α成45°角，求AB与平面α 所成的角.
的联想，即可使结论得证.
证明：∵SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD， ∴SA⊥BC， 又BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB， 又AE平面SAB，
∴BC⊥AE， 又SC⊥平面AEFG，AE平面AEFG， ∴SC⊥AE， ∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SB. 同理可证：AG⊥SD.
点评：本例首先通过线面垂直(SA⊥面ABCD)，利用定义得到线线垂直 (SA⊥BC)，再利用判定定理得到线面垂直(BC⊥面SAB)，又利用定义得到线 线垂直(BC⊥AE)，同时从另一角度可推得SC⊥AE，再利用定理得到线面垂直 (AE⊥面AEFG)，再次利用定义得到线线垂直(AE⊥SB)，体现了“线线”与“线
面”垂直的循环互动转化.
例3如图，在空间四面体S-ABC中，
已知∠ABC=90，SA⊥平面ABC，
AN⊥SB，AM⊥SC，
证明：SC⊥平面AMN.
S
M
N
A
C B
分析：由结论联想判定定理，要证明SC⊥平面AMN，
需证明SC垂直于平面AMN中的两条相交直线.
已知AM⊥SC，尚缺条件SC⊥AN.于是考虑
线面垂直典型例题
例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E、F、G分别是棱AB、BC、BB1上
的点，且BE＝BF＝BG，
求证：BD1⊥平面EFG.
高中数学立体几何之线线垂直、线面垂直、面面垂直(公开课)(共16张PPT)
∵ OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,∴ OM=
2 ∴ 由余弦定理可得：cos∠OEM= 4
1 AC=1， 2
【例2】四面体ABCD中,点O,E分别是BD,BC的中
A
点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 .
(3)求点E到平面ACD的距离.
（3）设点E到平面ACD的距离为h.∵ VE-ACD=VA-CDE
D1
A1
1 1
B1
C1
D
2
C
E B
A
例题讲解
实战演练
作业布置
【例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,
点E是AB的中点. (1)求三棱锥D1-DCE的体积. 1 解：V= 3 · h·S△ECD
D1
A1
1
B1 D
2
C1
1 1 = 3· D1D · 2 S△ECD
∴ AE⊥A1D,
又∵ AD1∩AE=A,
D1 A1 D A
B1
C1
∴ A1D⊥平面AD1E,
D1E⊂平面AD1E,
C
E
B
∴ D1E⊥A1D.
例题讲解
实战演练
作业布置
【例2】如图,四面体ABCD中,点O,E分别
是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,
AB=AD= 2 (1)求证:AO⊥平面BCD. (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. (3)求点E到平面ACD的距离.
A M O
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. 解： (2)取AC的中点M，连接OM，ME，OE，
∵点O，E分别是BD，BC的中点
∴ OE
D E
线面垂直与平行关系的判定和计算方法
线面垂直与平行关系的判定和计算方法线面垂直与平行关系是几何学中的基本概念之一，它在建筑、机械、工程等领域具有重要的应用价值。
本文将介绍线面垂直与平行关系的判定和计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、线面垂直关系的判定和计算方法线面垂直关系是指一条直线与一平面相互垂直的情况。
在判定线面垂直关系时，可以采用以下几种方法：1. 以直线的斜率判断：若直线的斜率存在且为零，则该直线与水平面垂直；当直线的斜率为正无穷或负无穷时，则该直线与竖直面垂直。
2. 以直线的方向向量判断：若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直。
3. 以直线上两点确定的向量判断：设直线上两点为A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，平面的法向量为n(a, b, c)，则向量AB与平面的法向量垂直的条件是AB·n=0（其中·代表向量的点乘运算）。
二、线面平行关系的判定和计算方法线面平行关系是指一条直线与一平面相互平行的情况。
在判定线面平行关系时，可以采用以下几种方法：1. 以直线斜率的倒数判断：若直线的斜率存在且与平面的法向量的斜率的倒数相等，则该直线与平面平行。
2. 以直线的方向向量判断：若直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面平行。
3. 以直线上一点与平面的垂直距离判断：设直线上一点为A(x₀,y₀, z₀)，平面的法向量为n(a, b, c)，平面上一点为P(x, y, z)，则垂直距离d=|AP·n|/|n|（其中·代表向量的点乘运算，|n|表示向量n的模），若垂直距离d=0，则直线与平面平行。
三、线面垂直与平行关系的应用线面垂直与平行关系的应用广泛，以下列举几个常见的应用场景：1. 建筑设计中的水平线和垂直线的确定：在建筑设计中，水平线和垂直线的确定是非常重要的，它们决定了建筑物的稳定性和美观性。
通过线面垂直关系的计算方法，可以准确地确定建筑物中各个部分的水平线和垂直线。