2014年人教A版选修4-2课件 2.二阶行列式与矩阵
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2014年人教A版选修4-2课件 选修4-2复习与小结
对应的矩阵为
cosa sina . sina cosa
3. 几种特殊变换 (3) 反射变换:
把平面上的任一点 பைடு நூலகம் 对应到它关于直线 l 的对称点 P, 关于 x 轴的反射变换公式为 xx, y y.
对应的矩阵为
1 0
0 . 1
3. 几种特殊变换 (4) 伸缩变换:
将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍, 纵 坐标变为原来的 k2 倍, 其变换公式为 x k1 x, y k y. 2 对应的矩阵为 k1 0 . 0 k2
3. 几种特殊变换
(1) 恒等变换: 点 P(x, y) 经变换后所得的像 P(x, y) 与点 P 相同, 记为 I, 其变换公式为
x x, y y. 对应的矩阵为 1 0 . 0 1
3. 几种特殊变换 (2) 旋转变换:
将点 P(x, y) 绕原点 O 按逆时针方向旋转 a 角得点 P(x, y), 记为 Ra , 其坐标变换公 式是 x x cosa y sina , y x sina y cosa .
3. 几种特殊变换 (5) 投影变换:
将平面上每一点 P 对应到它在已知直线 l 上的投影 P, 关于 x 轴的投影变换公式为
x x, y 0.
对应的矩阵为 1 0 . 0 0
3. 几种特殊变换 (6) 切变变换: 将每一点 P(x, y) 沿着与 x 轴平行的方向 平移 ky 个单位, 或沿着与 y 轴平行的方向平 移 kx 个单位变成点 P(x, y), 坐标变换公式 分别为 xxky, xx, yy. yykx. 对应的矩阵为 1 0 1 k . . k 1 0 1
知识要点 例题选讲 补充练习 自我检测
2014年人教A版选修4-2课件 2. 特征向量的应用
n n n (s ( ( s s ) )) x 1 = A x1 =l1 x1 =1 x1, n n n (s ( ( s s ) )) x 2 = A x 2 =l2 x2 =(-1) x2. n n
由此类推到一般:
设 A 是一个二阶矩阵, a 是它的属于特征值 l 的任意一个特征向量, 则 Ana=lna (nN*). (请证明)
第 1、2 题.
6 8 -5 , 向量 a = , 求 A5a, A100a. 7 6 -3 解: 求得 A 的特征值与特征向量为 5 1 l1=2, x1= , l2=3, x2= . 6 1 6 5 1 = t1 + t2 , 设 a=t1x1+t2x2, 即 7 6 1 解得 t1=1, t2=1. 403 5 1 5 5 5 5 5 = . ∴A a = t1l1 x1+t2l2 x2 =2 +3 435 6 1 1. 设矩阵 A = ∴A100a = t1l1100x1+t2l2100x2 =2100 5 1 100 +3 6 1 52100+3100 = . 100 100 6 2 + 3
那么 Ana=An(t1x1+t2x2) = t1Anx1+t2Anx2 =t1l1nx1+t2l2nx2. (由 Ana=lna 得)
性质 1: 设 l1, l2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值, x1, x2 是矩阵 A 的分别属于特征值 l1, l2 的特征向量, 对于任意的非零平面向量 a, 设 a=t1x1+t2x2 (其中 t1, t2 为实数), 则对任意正整数 n, 有 Ana = t1l1nx1 + t2l2nx2. 也可用数学归纳法证明: (1) 当 n=1 时, Aa=A(t1x1+t2x2) = t1Ax1+t2Ax2 = t1l11x1+t2l21x2, 即 n=1 时, 性质 1 成立. (2) 假设 n=k 时, Aka = t1l1kx1 + t2l2kx2 成立,
由此类推到一般:
设 A 是一个二阶矩阵, a 是它的属于特征值 l 的任意一个特征向量, 则 Ana=lna (nN*). (请证明)
第 1、2 题.
6 8 -5 , 向量 a = , 求 A5a, A100a. 7 6 -3 解: 求得 A 的特征值与特征向量为 5 1 l1=2, x1= , l2=3, x2= . 6 1 6 5 1 = t1 + t2 , 设 a=t1x1+t2x2, 即 7 6 1 解得 t1=1, t2=1. 403 5 1 5 5 5 5 5 = . ∴A a = t1l1 x1+t2l2 x2 =2 +3 435 6 1 1. 设矩阵 A = ∴A100a = t1l1100x1+t2l2100x2 =2100 5 1 100 +3 6 1 52100+3100 = . 100 100 6 2 + 3
那么 Ana=An(t1x1+t2x2) = t1Anx1+t2Anx2 =t1l1nx1+t2l2nx2. (由 Ana=lna 得)
性质 1: 设 l1, l2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值, x1, x2 是矩阵 A 的分别属于特征值 l1, l2 的特征向量, 对于任意的非零平面向量 a, 设 a=t1x1+t2x2 (其中 t1, t2 为实数), 则对任意正整数 n, 有 Ana = t1l1nx1 + t2l2nx2. 也可用数学归纳法证明: (1) 当 n=1 时, Aa=A(t1x1+t2x2) = t1Ax1+t2Ax2 = t1l11x1+t2l21x2, 即 n=1 时, 性质 1 成立. (2) 假设 n=k 时, Aka = t1l1kx1 + t2l2kx2 成立,
推荐-高中数学人教A版选修4-2课件1.1.1 几类特殊线性变换及其二阶矩阵
������'
=
-1
×
cos
2π 3
-3
×
sin
2π 3
=
1-3 2
3,
������'
=
-1
×
sin
2π 3
+
3
×
cos
2π 3
=
-
3+3 2
.
答案:
1-3 2
3 ,-
3+3 2
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z Z 知识梳理 HISHI SHULI
重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
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Z Z 知识梳理 HISHI SHULI
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12345678
1.线性变换
在平面直角坐标系 xOy 内,很多几何变换都具有下列形式
:
������’ = ������������ + ������������, ������’ = ������������ + ������������,
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Z Z 知识梳理 HISHI SHULI
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12345678
名师点拨 1.关于 x 轴的(正)投影变换的坐标变换公式为
������' = ������, ������' = 0,
高中数学第4课时二阶行列式与逆矩阵课时逆矩阵与二元一次方程组教案新人教A版选修4-2
第四讲 二阶行列式与逆矩阵·逆矩阵与二元一次方程组一.二阶行列式与逆矩阵 【概念】 如果矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭是可逆的，则ad bc -≠0. 其中ab cd -称为二阶行列式，记作a b c d，即a b c d＝ad bc -，ad bc -也称为行列式a b c d的展开式。
符号记为：detA 或|A|【可逆矩阵的充要条件】 定理：二阶矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭可逆，当且仅当detA=ad bc -≠0.此时 1det det det det db A A Ac a A A --⎛⎫ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭（请同学一起证明此定理）【应用】1.计算二阶行列式： ①3142②2213λλ--2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。
①A ＝0110⎛⎫⎪-⎝⎭②B ＝1100⎛⎫⎪⎝⎭【练习：P55】二、二元一次方程组的矩阵形式1.二元一次方程组的矩阵形式一般的，方程组ax by ecx dy f+=⎧⎨+=⎩可写成矩阵形式为：2.二元一次方程组的线性变换意义设变换ρ：a bc d⎛⎫⎪⎝⎭，向量xy⎛⎫⎪⎝⎭、ef⎛⎫⎪⎝⎭，则方程组ax by ecx dy f+=⎧⎨+=⎩，意即：ρxy⎛⎫⎪⎝⎭＝ef⎛⎫⎪⎝⎭三、逆矩阵与二元一次方程组1.研究方程组：13221122x yx y-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩的矩阵形式与逆矩阵的关系。
【定理】如果关于x,y的二元一次方程组ax by ecx dy f+=⎧⎨+=⎩的系数矩阵A＝a bc d⎛⎫⎪⎝⎭是可逆的，则该方程组有唯一解：x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1a b c d -⎛⎫ ⎪⎝⎭e f ⎛⎫⎪⎝⎭【推论】关于x,y 的二元一次方程组0ax by cx dy +=⎧⎨+=⎩（a,b,c,d,均不为0），有非零解⇔a b c d ＝0【应用】1.用逆矩阵解二元一次方程组32420x y x y +=⎧⎨+=⎩【思考】课本60页思考ax by e cx dy f +=⎧⎨+=⎩的系数矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭不可逆，方程组的解如何？【练习：P61】【应用】1.λ为何值时，二元一次方程组a bc d⎛⎫⎪⎝⎭xy⎛⎫⎪⎝⎭＝λxy⎛⎫⎪⎝⎭有非零解？三、三阶矩阵与三阶行列式1.三阶矩阵的形式2.三阶行列式的运算【第四讲.作业】 1.矩阵A ＝3142⎛⎫⎪⎝⎭，则|A|= 2.矩阵A ＝21510x ⎛⎫⎪⎝⎭，若A 是不可逆的，则x=3. 1234⎛⎫⎪-⎝⎭的逆矩阵为4. A ＝1031⎛⎫ ⎪-⎝⎭，B ＝1201-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1()AB -＝5. A ＝312x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，31α⎛⎫= ⎪-⎝⎭u r ，若A 不可逆，则A αu r ＝6.若关于x,y 的二元一次方程组304110x my x y +=⎧⎨-=⎩有非零解，则m ＝7.设二元一次方程组224m ⎛⎫⎪-⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝x y ⎛⎫⎪⎝⎭没有非零解，则m 所有值的集合为8.向量αu r 在旋转变换60o R 的作用下变为13-⎛⎫⎪⎝⎭，则向量αu r ＝9. 若1301⎛⎫⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12⎛⎫⎪⎝⎭，则x+y ＝10. A＝3110-⎛⎫⎪⎝⎭，B＝3201-⎛⎫⎪⎝⎭，向量αu r满足1()ABα-u r＝31⎛⎫⎪⎝⎭，则向量αu r＝11.用逆矩阵的方法解方程组：①7113x yx y-=⎧⎨+=⎩②301240x yx y-=⎧⎨-=⎩12.求下列未知的二阶矩阵X：①12323111X-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭②12323111X-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭13.当λ为何值时，二元一次方程组2213⎛⎫⎪⎝⎭xy⎛⎫⎪⎝⎭＝λxy⎛⎫⎪⎝⎭有非零解？14.设A＝1211⎛⎫⎪-⎝⎭，矩阵B满足1ABA-＝3012⎛⎫⎪⎝⎭，求矩阵B.答案：1.22. 3.2155311010⎛⎫-⎪⎪⎪⎪⎝⎭4.7231-⎛⎫⎪-⎝⎭5.155⎛⎫⎪⎝⎭6.-33/47.32m≠-8. ⎪⎪⎪⎝⎭9.－310.3⎛⎫⎪⎝⎭11.11,66x y==-x=k,y=3k 12.147710577⎛⎫⎪⎪⎪--⎪⎝⎭、38774177⎛⎫- ⎪⎪⎪--⎪⎝⎭13.1或4 14.523321033⎛⎫-⎪⎪⎪⎪⎝⎭。
人教A版高中数学选修4-2 第二讲 二 矩阵乘法的性质 课件(共24张PPT)最新课件PPT
过程与方法
➢通过探究、验证、总结,掌握并 理解矩阵乘法的性质
情感态度与价值观
➢培养学生自我探究能力,总结 归纳能力
学习重难点
矩阵的乘法的性 质及理解.
探究1
设矩阵A = 1 －2 31
,B = 2 1 01
－1 3 ,C = 2 1
(AB)C =
=
1 －2 2 1 3 1 01
2 －1 －1 3 64 21
知识回顾
实数的乘法运算满足那些运算律? 结合律 (ab)c=a(bc) 交换律 ab=ba 消去律 设a≠0,若ab=ac,则b=c;若 ba=ca,则b=c.
思考
类比实数乘法的运算律,二阶 矩阵的乘法满足这些运算律吗?
教学目标
知识与能力
➢掌握矩阵乘法的性质 ➢会灵活运用矩阵乘法的性质进 行矩阵乘法的运算
1 0
0 1
2
x y
x′ 1 0 x y′= 0 0 y
则复合变换σ·I 对单位பைடு நூலகம்方形的作用,如 图:
y
y
y
1 j
10 01
1 j
10 00
1 j
O
i1
x
O
i1
x
O
i1
x
则复合变换σ·ρ对单位正方形的作用,如 图:
y
y
y
10
1 j
1 0
2
1 j
10 00
1 j
O
i1
x
O
i1
x
O
i1
x
0 －1 2
10
10
BA = 0 －1 10
1
2 0
0 1
=
0 －1 1
推荐-高中数学人教A版选修4-2课件2.2 矩阵乘法的性质(1)
二 矩阵乘法的性质
-1-
M Z 目标导航 UBIAODAOHANG
重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
1.掌握矩阵乘法的性质,会验证二阶矩阵乘法满足结合律,通过具 体的几何图形变换,体会矩阵乘法不满足消去律和交换律.
2.会利用矩阵乘法的性质解决计算、判断等简单问题.
重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
12 解:AB=
题型四
-1 0
-1 2
=
,
01
01
01
-1 2 ∴(AB)C=
01
10
-1 1
0
1=
2
0
1.
2
-1 0 又 BC=
01
-1 0
10
0
1=
2
,
0
1 2
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重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
12
∴A(BC)=
01 ∴(AB)C=A(BC).
-1 0
-1 1
0
1=
2
0
1.
2
反思矩阵的乘法满足结合律,与实数的乘法结合律相似.
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重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
题型三 矩阵的乘法不满足交换律
12
10
-2 0
【例 3】已知 A=
,B=
0
1 ,C=
2
, 求ABC
01
13
-1-
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D典例透析 IANLI TOUXI
1.掌握矩阵乘法的性质,会验证二阶矩阵乘法满足结合律,通过具 体的几何图形变换,体会矩阵乘法不满足消去律和交换律.
2.会利用矩阵乘法的性质解决计算、判断等简单问题.
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D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
12 解:AB=
题型四
-1 0
-1 2
=
,
01
01
01
-1 2 ∴(AB)C=
01
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-1 1
0
1=
2
0
1.
2
-1 0 又 BC=
01
-1 0
10
0
1=
2
,
0
1 2
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D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
12
∴A(BC)=
01 ∴(AB)C=A(BC).
-1 0
-1 1
0
1=
2
0
1.
2
反思矩阵的乘法满足结合律,与实数的乘法结合律相似.
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题型三 矩阵的乘法不满足交换律
12
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-2 0
【例 3】已知 A=
,B=
0
1 ,C=
2
, 求ABC
01
13
推荐-高中数学人教A版选修4-2课件3.2 二阶行列式与逆矩阵(1)
∴当 ad-bc≠0,即
������ ������
������ ������
≠0
时,A
存在逆矩阵
A-1=
det������ -������
det������
-������
det������ .
������ det������
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例,则此行列式的值为零.
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D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
逆矩阵
【例 2】 判断下列矩阵是否有逆矩阵,若有,求出逆矩阵.
21
a3
(1)A=
; (2)B=
.
43
11
分析:判断一个矩阵是否有逆矩阵,应判断矩阵的行列式是否为
题型一 题型二 题型三 题型四
32
x1
7x 3 + 2x
解:∵AB=
=
,
1 1 2x x
3x 1 + x
∴|AB|=
7������ 3������
3 + 2������ 1 + ������
= 7������·(1+x)-3x·(3+2x)=x2-2x.又|A|=
3 1
2 1
= 3 × 1 − 1 × 2 = 1,
ab
1.二阶矩阵
与二阶行列式
������ ������
������ ������
的主要区别是什么?
cd 剖析:二阶矩阵对应的是变换,是 4 个数构成的数的方阵,而行列
高中数学第三讲逆变换与逆矩阵3.2二阶行列式与逆矩阵课件新人教A版选修4_220
∴y= ∴x= ∴v=
-������ ������������-������������ ������ ������������-������������ ������ ������������-������������
= det������ ; = det������ ; =
������ ; det������ ������
������ ������
.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一Leabharlann 行列式的计算【例 1】 计算下列行列式:(1)
3 -1 5
2
;
(2) 7 -9 . 8 4 分析:根据行列式的定义,把对角线上的数相乘再相减即可. 3 2 解:(1) = 3 × 5 − (−1) × 2 = 17. -1 5 (2) 7 -9 = 7 × 4 − (−9) × 8 = 100. 8 4
1
2
名师点拨 1.ad-bc 也称为二阶行列式 两条对角线上元素的乘积之差.
������ ������ 的展开式,它是位于 ������ ������ ������ ������ ≠0,即 ������ ������
2.可以利用行列式来判断矩阵 A 是否可逆,当 ad-bc≠0 时,A 可逆;当 不同于绝对值.
������ ������ = 0, 即ad-bc=0 时,A 不可逆. ������ ������ 3.行列式是一个实数,可以为正数,也可以为负数,还可以为 0,它
1
2
【做一做 1】 行列式 1 2 A.-2 解析: 1 2 答案:B -1 0 B.2
-1 0 C.0
的值为(
) D.-1
= 1 × 0 − (−1) × 2 = 2.
最新人教版高中数学选修4-2二阶行列式与逆矩阵
2 3 5 3
-
1 3 1 3
. -������������������θ =cos2θ+sin2θ=1, ������������������θ
(2)∵ ������������������θ ������������������θ ∴ B-1=
������������������θ ������������������θ . -������������������θ ������������������θ
a b a b a b a b ,即 =ad-bc, 也称为二阶矩阵 A= 的 c d c d c d c d
行列式,记作 detA 或|A|. 2.定理 二阶矩阵 A= a b 可逆,当且仅当 detA=ad-bc≠0,当矩阵 c d
d ������������������A -c ������������������A -b ������������������A a ������������������A
图 1 行列式:缺乏绿化空间
图 2 社区:提供真正绿化空间
(图 1 与图 2 面积相等)
章末整合提升
激趣诱思 新知预习 知识结构
知识网络构建 预习导引
YUXI DAOYIN
专题归纳整合 互动课堂
HUDONG KETANG
1.二阶行列式 如果矩阵 A= 行列式,记作 a b 是可逆的,则 ad-bc≠0.表达式 ad-bc 称为二阶 c d
1.对二阶行列式的理解. (1)二阶行列式 a b =ad-bc,ad-bc 亦称二阶行列式的展开式. c d
(2)二阶行列式的运算结果是一数值或多项式. 2.求矩阵的逆矩阵. |A|=ad-bc 是否为 0 是判断矩阵是否可逆的有效方法,当|A|≠0
-
1 3 1 3
. -������������������θ =cos2θ+sin2θ=1, ������������������θ
(2)∵ ������������������θ ������������������θ ∴ B-1=
������������������θ ������������������θ . -������������������θ ������������������θ
a b a b a b a b ,即 =ad-bc, 也称为二阶矩阵 A= 的 c d c d c d c d
行列式,记作 detA 或|A|. 2.定理 二阶矩阵 A= a b 可逆,当且仅当 detA=ad-bc≠0,当矩阵 c d
d ������������������A -c ������������������A -b ������������������A a ������������������A
图 1 行列式:缺乏绿化空间
图 2 社区:提供真正绿化空间
(图 1 与图 2 面积相等)
章末整合提升
激趣诱思 新知预习 知识结构
知识网络构建 预习导引
YUXI DAOYIN
专题归纳整合 互动课堂
HUDONG KETANG
1.二阶行列式 如果矩阵 A= 行列式,记作 a b 是可逆的,则 ad-bc≠0.表达式 ad-bc 称为二阶 c d
1.对二阶行列式的理解. (1)二阶行列式 a b =ad-bc,ad-bc 亦称二阶行列式的展开式. c d
(2)二阶行列式的运算结果是一数值或多项式. 2.求矩阵的逆矩阵. |A|=ad-bc 是否为 0 是判断矩阵是否可逆的有效方法,当|A|≠0
高二数学：新人教a版选修4《矩阵与变换》课件
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2
0
0
1
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0
0
1
17
逆变换与逆矩阵
反射变换之逆为反射变换
-1
0
-1
0
0
1
0
1
压伸变换之逆为压伸变换 旋转变换之逆为旋转变换 切边变换之逆为切变变换
18
两矩阵之积之逆的几何意义
0 1
–1
1
0
0
0 1/2
0
–1
1 0
1 0
0 2
19
线性方程组与变换
0 1
10
旋转变换
0 1 -1 0
0
-1
1
0
返回
11
投影变换
1 0 0 0
0 1 返回
0 1
12
矩阵变换是线性变换 1) A( ) A 也就是 2) A( ) A A
A( ) A A
13
矩阵表示的变换，把直线或者 变成直线，或者变成一个点
0 1 2
1
的特征向量为
0
和
0
1
和
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
21
特征值与特征向量的意义
矩阵
1 0
0
–1
的特征向量为
1 0
和
0 1
1 0
0 -1
x y
= x·
1 0
+(–y) ·
0 1
22
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
矩阵的特征向量是在变换下 “基本”不变的量
2
0
0
1
1/2
0
0
1
17
逆变换与逆矩阵
反射变换之逆为反射变换
-1
0
-1
0
0
1
0
1
压伸变换之逆为压伸变换 旋转变换之逆为旋转变换 切边变换之逆为切变变换
18
两矩阵之积之逆的几何意义
0 1
–1
1
0
0
0 1/2
0
–1
1 0
1 0
0 2
19
线性方程组与变换
0 1
10
旋转变换
0 1 -1 0
0
-1
1
0
返回
11
投影变换
1 0 0 0
0 1 返回
0 1
12
矩阵变换是线性变换 1) A( ) A 也就是 2) A( ) A A
A( ) A A
13
矩阵表示的变换，把直线或者 变成直线，或者变成一个点
0 1 2
1
的特征向量为
0
和
0
1
和
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
21
特征值与特征向量的意义
矩阵
1 0
0
–1
的特征向量为
1 0
和
0 1
1 0
0 -1
x y
= x·
1 0
+(–y) ·
0 1
22
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
矩阵的特征向量是在变换下 “基本”不变的量
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一 二 三
逆变换与逆矩阵 二阶行列式与逆矩阵 逆矩阵与二元一次方程组
1. 怎样判断一个矩阵是否可逆? 2. 什么叫行列式? 它的形式是怎样 表示的?
问题1. 给定一个二阶矩阵, 你能判断它是否可逆 吗? 如下面两个二阶矩阵, 是否可逆? 如果可逆, 逆 矩阵是什么? 1 1 3 1 2 1 2 . (1) A = (2) B = ; . M = 4 2 4 2 2 3 2 (1) 如果 A 可逆, 设逆矩阵为 x y 3x+u=1, x=1, M= , u v 3y+v=0, y=1, 2 则 AM=MA=E2, 4x+2u=0, u=2, 4y+2v=1, 即 3 1 x y 1 0 = ,① v = 3. 2 4 2 u v 0 1 解方程组得 x y 3 1 1 0 ② 代入②检验, ②成立. = . u v 4 2 0 1 则 A 可逆, 逆矩阵为 由①得方程组
问题1. 给定一个二阶矩阵, 你能判断它是否可逆 吗? 如下面两个二阶矩阵, 是否可逆? 如果可逆, 逆 矩阵是什么? 3 1 2 1 (1) A = (2) B = ; . 4 2 4 2 (2) 如果 B 可逆, 设逆矩阵为 x y 2x+u=1, N= , u v 2y+v=0, 则 AN=NA=E2, 4x+2u=0, 4y+2v=1, 即 2 1 x y 1 0 = ,① 4 2 u v 0 1 此方程组无解. x y 2 1 1 0 ② 所以 B 不可逆. = . u v 4 2 0 1 由①得方程组
a b , c d
若方程组有解, 则 ③⑥ ④⑤ 得
猜想: 一般二阶矩阵 A =
a b, 如果 则 A 可逆; 否则, A 不可逆. c d 即 ad≠bc, A 可逆; ad=bc, A不可逆. x y 设 A 可逆, 其逆矩阵为 M = . u v 则由 = MA =E (ax+AM bu)( cy +dv ) ay+bv)(cx+du)=1, 2(得 由①得方程组 展开整理得 a b x y 1 0 ① = , adxv bcxv=1, ax+bu=1, ③ c d +bcyu u v adyu 0 1 ay+bv=0, ④ 左边分解因式得 x y a b 1 0 cx+du=0, ⑤ ② = . ( ad u v bc c)(xv d yu 0)=1. 1 cy+dv=1. ⑥ 则需 adbc≠0. 若方程组有解, 则 ③⑥ ④⑤ 得
问题1. 给定一个二阶矩阵, 你能判断它是否可逆 吗? 如下面两个二阶矩阵, 是否可逆? 如果可逆, 逆 矩阵是什么? 3 1 2 1 (1) A = (2) B = ; . 4 2 4 2 问题2. 问题 1 中的矩阵 A 可逆, 矩阵 B 不可逆, 你能从两矩阵的数字结构上归纳出判断是否可逆的方 法吗? 3x+u=1, 3x+4y=1, 2x+u=1, 2x+4y=1, 3y+v=0, x+2y=0, 2y+v=0, x+2y=0, 4x+2u=0, 3u+4v=0, 4x+2u=0, 2u+4v=0, 4y+2v=1, u+2v=1, 4y+2v=1, u+2v=1,
3 1 解: (1) = 3214 =2. 4 2 l2 2 = (l2)(l3)21 (2) 1 l3 = l25l+4.
例4. 判断下列二阶矩阵是否可逆. 若可逆, 求 出逆矩阵. 0 1 1 1 (1) A= ; (2) B= . 0 0 1 0 0 1 解: (1) ∵det A= =0(1) =1≠0, 1 0 ∴矩阵 A 可逆. b d det A det A 0 1 1 = . A = a 1 0 c det A det
结论:
定理:
a b 二阶矩阵 A = 可逆, 当且仅当 c d detA = adbc≠0, b d det A det A 1 A = . a c det A det
例3. 计算下列二阶行列式: 3 1 l2 2 (1) ; (2) . 4 2 1 l3
a b , c d
练习(补充). 当 adbc≠0 时, 求 A= 解: 设 A 的逆矩阵为 M = x u 则由 AM=MA=E2 得 x y a b 1 0 = , ① u v c d 0 1 由①得方程组 ax+cy=1, ③ bx+dy=0, ④ au+cv=0, ⑤ bu+dv=1. ⑥ 由③④解得 d b x= , y= , ad bc ad bc y . v
同色方程系数不成比例; 猜想:
同色方程系数成比例.
猜 可逆; 否则, A 不可逆. c d 即 ad≠bc, A 可逆; ad=bc, A 不可逆. x y 设 A 可逆, 其逆矩阵为 M = . u v 则由 AM=MA=E2 得 由①得方程组 a b x y 1 0 = , ① ax+bu=1, ③ c d u v 0 1 ay+bv=0, ④ x y a b 1 0 cx+du=0, ⑤ = . ② u v c d 0 1 cy+dv=1. ⑥
a b 的逆矩阵. c d
a b x y 1 0 = . ② c d u v 0 1
由⑤⑥解得 a c . u= , v= ad bc ad bc
将此组解代入②检验,
②式成立.
a b 如果矩阵 A = 是可逆的, 则 adbc≠0, 其 c d 逆矩阵是 d b ad bc ad bc . c a ad bc ad bc 定义: a b 表达式 adbc 称为二阶行列式, 记作 . 即 c d a b =adbc. c d a b a b 也称为二阶矩阵 A = 的行列式, 记为 c d c d det A 或 |A|.
逆变换与逆矩阵 二阶行列式与逆矩阵 逆矩阵与二元一次方程组
1. 怎样判断一个矩阵是否可逆? 2. 什么叫行列式? 它的形式是怎样 表示的?
问题1. 给定一个二阶矩阵, 你能判断它是否可逆 吗? 如下面两个二阶矩阵, 是否可逆? 如果可逆, 逆 矩阵是什么? 1 1 3 1 2 1 2 . (1) A = (2) B = ; . M = 4 2 4 2 2 3 2 (1) 如果 A 可逆, 设逆矩阵为 x y 3x+u=1, x=1, M= , u v 3y+v=0, y=1, 2 则 AM=MA=E2, 4x+2u=0, u=2, 4y+2v=1, 即 3 1 x y 1 0 = ,① v = 3. 2 4 2 u v 0 1 解方程组得 x y 3 1 1 0 ② 代入②检验, ②成立. = . u v 4 2 0 1 则 A 可逆, 逆矩阵为 由①得方程组
问题1. 给定一个二阶矩阵, 你能判断它是否可逆 吗? 如下面两个二阶矩阵, 是否可逆? 如果可逆, 逆 矩阵是什么? 3 1 2 1 (1) A = (2) B = ; . 4 2 4 2 (2) 如果 B 可逆, 设逆矩阵为 x y 2x+u=1, N= , u v 2y+v=0, 则 AN=NA=E2, 4x+2u=0, 4y+2v=1, 即 2 1 x y 1 0 = ,① 4 2 u v 0 1 此方程组无解. x y 2 1 1 0 ② 所以 B 不可逆. = . u v 4 2 0 1 由①得方程组
a b , c d
若方程组有解, 则 ③⑥ ④⑤ 得
猜想: 一般二阶矩阵 A =
a b, 如果 则 A 可逆; 否则, A 不可逆. c d 即 ad≠bc, A 可逆; ad=bc, A不可逆. x y 设 A 可逆, 其逆矩阵为 M = . u v 则由 = MA =E (ax+AM bu)( cy +dv ) ay+bv)(cx+du)=1, 2(得 由①得方程组 展开整理得 a b x y 1 0 ① = , adxv bcxv=1, ax+bu=1, ③ c d +bcyu u v adyu 0 1 ay+bv=0, ④ 左边分解因式得 x y a b 1 0 cx+du=0, ⑤ ② = . ( ad u v bc c)(xv d yu 0)=1. 1 cy+dv=1. ⑥ 则需 adbc≠0. 若方程组有解, 则 ③⑥ ④⑤ 得
问题1. 给定一个二阶矩阵, 你能判断它是否可逆 吗? 如下面两个二阶矩阵, 是否可逆? 如果可逆, 逆 矩阵是什么? 3 1 2 1 (1) A = (2) B = ; . 4 2 4 2 问题2. 问题 1 中的矩阵 A 可逆, 矩阵 B 不可逆, 你能从两矩阵的数字结构上归纳出判断是否可逆的方 法吗? 3x+u=1, 3x+4y=1, 2x+u=1, 2x+4y=1, 3y+v=0, x+2y=0, 2y+v=0, x+2y=0, 4x+2u=0, 3u+4v=0, 4x+2u=0, 2u+4v=0, 4y+2v=1, u+2v=1, 4y+2v=1, u+2v=1,
3 1 解: (1) = 3214 =2. 4 2 l2 2 = (l2)(l3)21 (2) 1 l3 = l25l+4.
例4. 判断下列二阶矩阵是否可逆. 若可逆, 求 出逆矩阵. 0 1 1 1 (1) A= ; (2) B= . 0 0 1 0 0 1 解: (1) ∵det A= =0(1) =1≠0, 1 0 ∴矩阵 A 可逆. b d det A det A 0 1 1 = . A = a 1 0 c det A det
结论:
定理:
a b 二阶矩阵 A = 可逆, 当且仅当 c d detA = adbc≠0, b d det A det A 1 A = . a c det A det
例3. 计算下列二阶行列式: 3 1 l2 2 (1) ; (2) . 4 2 1 l3
a b , c d
练习(补充). 当 adbc≠0 时, 求 A= 解: 设 A 的逆矩阵为 M = x u 则由 AM=MA=E2 得 x y a b 1 0 = , ① u v c d 0 1 由①得方程组 ax+cy=1, ③ bx+dy=0, ④ au+cv=0, ⑤ bu+dv=1. ⑥ 由③④解得 d b x= , y= , ad bc ad bc y . v
同色方程系数不成比例; 猜想:
同色方程系数成比例.
猜 可逆; 否则, A 不可逆. c d 即 ad≠bc, A 可逆; ad=bc, A 不可逆. x y 设 A 可逆, 其逆矩阵为 M = . u v 则由 AM=MA=E2 得 由①得方程组 a b x y 1 0 = , ① ax+bu=1, ③ c d u v 0 1 ay+bv=0, ④ x y a b 1 0 cx+du=0, ⑤ = . ② u v c d 0 1 cy+dv=1. ⑥
a b 的逆矩阵. c d
a b x y 1 0 = . ② c d u v 0 1
由⑤⑥解得 a c . u= , v= ad bc ad bc
将此组解代入②检验,
②式成立.
a b 如果矩阵 A = 是可逆的, 则 adbc≠0, 其 c d 逆矩阵是 d b ad bc ad bc . c a ad bc ad bc 定义: a b 表达式 adbc 称为二阶行列式, 记作 . 即 c d a b =adbc. c d a b a b 也称为二阶矩阵 A = 的行列式, 记为 c d c d det A 或 |A|.