2013中考代数培优试题一

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【2013版新教材】七年级数学华师大版上册【能力培优】3.1 列代数式(含答案)

第3章整式的加减3.1 列代数式专题一代数式、列代数式1. 如图是一个长为a ，宽为b 的长方形．两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形．则长方形中未涂阴影部分的面积为( )A ．ab －(a ＋b )cB ．ab －(a －b )cC ．(a －c )(b －c )D ．(a －c )(b ＋c)2. 对下列代数式作出解释，其中不正确的是（）A ．a ﹣b ：今年小明b 岁，小明的爸爸a 岁，小明比他爸爸小（a ﹣b ）岁B ．a ﹣b ：今年小明b 岁，小明的爸爸a 岁，则小明出生时，他爸爸为（a ﹣b ）岁C ．ab ：长方形的长为a cm ，宽为b cm ，长方形的面积为ab cm 2D ．ab ：三角形的一边长为a cm ，这边上的高为b cm ，此三角形的面积为ab cm 23. 如图，啤酒瓶高为h ，瓶内酒面高为a ，若将瓶盖好后倒置，酒面高为a′（a′+b=h ），则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为（）A ．1+a b ' B ．1+b a ' C ．1+a b D ．1+ba 4. 下列是有规律排列的一列数：1，43，32，85，53…，其中从左至右第n 个数是． 5. 如图是与杨辉三角有类似性质的﹣三角形数垒，a 、b 、c 、d 是相邻两行的前四个数（如图所示），那么当a =8时，c = ，d = ．6. 观察下列图形及所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+…+8n（n是正整数）的结果为（）A．（2n+1）2B．1+8n C．1+8（n﹣1）D．4n2+4n状元笔记【知识要点】1．代数式：由数和字母用运算符号连接所成的式子，称为代数式.2. 代数式的书写要求：（1）式子中出现的乘号，通常写作“•”或省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面；（3）除法运算写成分数形式.3. 列代数式：把问题中有关的数量用代数式表示出来，叫列代数式.【温馨提示（针对易错）】1. 单独的一个数或一个字母也是代数式.2. 列实际问题中的代数式，要注意单位，若结果是和或差的形式，则应先把列出的代数式用括号括起来、再加单位.【方法技巧】列代数式的关键是正确分析数量关系，咬文嚼字，抓住“的”字，分清运算顺序.答案 1. C2. D3. C 【解析】设啤酒瓶的底面积为x ，酒瓶的容积为1，则ax =1﹣bx ，解得x=ba +1， ∴酒的体积为b a +1×a =b a a +，∴酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为1︰b a a +=1+ab ．故选C ．4.n n 21+ 【解析】第1个数1=1211⨯+，第2个数43=2212⨯+，第3个数32=3213⨯+，…， ∴第n 个数可表示为nn 21+． 5. 37 【解析】观察发现：第n 行的第一个数和行数相等，第二个数1+1+2+…1=2)1(-n n +1．所以当a =8时，则c =9，d =9×4+1=37．6. A 【解析】图（1）：1+8=9=（2×1+1）2；图（2）：1+8+16=25=（2×2+1）2；图（3）：1+8+16+24=49=（3×2+1）2；…；那么图（n ）：1+8+16+24+…+8n =（2n +1）2．故选A ．。

中考培优专题之二次根式

备战中考之二次根式习题一、单选题（共15题；）1.对于任意的正数m 、n 定义运算※为：m ※n={√m −√n (m ≥n )√m +√n (m <n )),计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A. 2﹣4√6B. 2C. 2√5D. 20 2.要使二次根式√3−2x 有意义，则x 的取值范围是（）A. x ⩾32 B. x ⩽32 C. x ⩾23 D. x ⩽23 3.下列各实数中最大的一个是（） A. 5× √0.039 B.3.141πC.√14+√7D. √0.3 + √0.24.已知x 为实数，化简√−x 3−x√−1x的结果为（）A. (x −1)√−xB. (−1−x )√−xC. (1−x )√−xD. (1+x )√−x 5.若√x −1+√x +y =0 ，则x 2005+y 2005 的值为：（）A. 0B. 1C. -1D. 26.等式√xx−3=√x√x−3成立的条件是（） A. x≠3 B. x≥0 C. x≥0且x≠3 D. x>3 7.下列二次根式中，最简二次根式是( ).A. B.C.D.8.已知是正整数，则实数n 的最大值为（）A. 12B. 11C. 8D. 39.如果最简根式 √3a −8 与√17−2a 是同类二次根式,那么使√4a −2x 有意义的x 的取值范围是（） A. x≤10 B. x≥10 C. x ＜10 D. x ＞10 10.已知 y =√4−x +√x −4+3 ，则 yx 的值为（）A. 43 B. −43 C. 34 D. −34 11.若x +y ＝3+2 √2 ，x ﹣y ＝3﹣2 √2 ，则 √x 2−y 2 的值为（） A. 4 √2 B. 1 C. 6 D. 3﹣2 √2 12.函数 y =1x+1−√2−3x 中，自变量 x 的取值范围是（）A. x ≤23 B. x ≥23 C. x <23 且 x ≠−1 D. x ≤23 且 x ≠−113.利用计算器计算时，依次按键下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A. 2.5B. 2.6C. 2.8D. 2.914.把代数式(a－1) √11−a的a－1移到根号内，那么这个代数式等于（）A. －√1−aB. √a−1C. √1−aD. －√a−115.一个三角形的三边长分别为1，k，4，化简|2k－5|－√k2−12k+36的结果是( )A. 3k－11B. k＋1C. 1D. 11－3k二、填空题（共15题；）16.若|1001−a|+√a−1002=a，则a−10012=________．17.观察下列运算过程：1+√2=√2+1=√2(√2+1)(√2−1)=√2(√2)2−12=√2−1√2+√3=√3+√2=√3√2(√3+√2)(√3−√2)=√3√2(√3)2−(√2)2=√3−√2……请运用上面的运算方法计算：1+√3+√3+√5√5+√7⋯+√2015+√2017√2017+√2019=________．18.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+√a2−4a+4=________19.√12与最简二次根式5 √a+1是同类二次根式，则a=________．20.读取表格中的信息，解决问题．满足n n n√3+√2≥2014×(√3−√2+1)的n可以取得的最小整数是________．21.已知|6﹣3m|+（n﹣5）2=3m﹣6﹣√(m−3)n2，则m﹣n=________22.若m=√2012−1，则m5﹣2m4﹣2011m3的值是________．23.若√20n是整数，则正整数n的最小值为________．24.已知√a（a﹣√3）＜0，若b=2﹣a，则b的取值范围是________．25.如果（x﹣√x2−2008）（y﹣√y2−2008）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=________．26.已知a、b为有理数，m、n分别表示5−√7的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=________.27.若实数x，y，m满足等式√3x+5y−3−m+(2x+3y−m)2=√x+y−2−√2−x−y，则m+4的算术平方根为________．28.若x、y都为实数，且y=2008√x−5+2007√5−x+1，则x2+y=________。

2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题10代数综合问题

；
（2）分式不等式
的解集为
；
（3）解一元二次不等式 2x2﹣ 3x＜ 0．
【答案】解：（ 1） x＞4 或 x＜﹣ 4。（ 2） x＞ 3 或 x＜1。（ 3）∵ 2x 2﹣ 3x=x（ 2x﹣ 3） ∴2x 2﹣ 3x＜0 可化为 x （ 2x﹣ 3）＜ 0 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
1
3
5
xi
0
1
2
...
2
2
2
1
9
25
yi
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...
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1
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yi+1 － yi
...
4
4
4
4
4
4
5 … 2i 1 。
4
4
xi yi yi+1 － yi
故当 x 的取值从 0 开始每增加 1 个单位时， y 的值依次增加 1 、 3 、
2
44
②当 x 的取值从 0 开始每增加 1 个单位时，列表如下： n
专题 10：代数综合问题
1. （ 2012 广东佛山 10 分）规律是数学研究的重要内容之一．
初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号 ( 数 ) 及其运算规律、图形的数
值特征和位置关系特征等方面．
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
(1) 写出奇数 a 用整数 n 表示的式子；
(2) 写出有理数 b 用整数 m和整数 n 表示的式子；
(3) 函数的研究中，应关注 y 随 x 变化而变化的数值规律 ( 课本里研究函数图象的特征实际

2013北京中考一模数学第23题代数综合汇编教师版

2013北京中考一模数学第23题代数综合汇编海淀一模23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-．（1）求B 点坐标；（2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是．23．解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为212mx m-=-=.………………………1分 ∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-， ∴点B 的坐标为 (4,0)．………………………2分（2）∵点B 在直线y =12x +4m +n 上， ∴024m n =++①.∵点A 在二次函数2-2y mx mx n =+的图象上， ∴044m m n =++②. ………………………3分由①、②可得12m =，4n =-. ………………………4分 ∴ 抛物线的解析式为y ＝2142x x --，直线的解析式为y ＝122x -． ……………5分（3）-502d <<． ………………………7分西城一模23．已知关于x 的一元二次方程22(4)0x a x a +++=． (1) 求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2) 抛物线21:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为2a ，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ．求抛物线2C 的解析式；(3) 点A (m ,n )和B (n ,m )都在(2)中抛物线C 2上，且A 、B 两点不重合，求代数式33222m mn n -+的值．23．（1）证明：∵22(4)4216a a a ∆=+-⨯=+， …………………………………1分而20a ≥，∴2160a +>，即0∆>.∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. …………2分（2）解：∵当2ax =时，0y =， ∴22()(4)022a aa a ⨯++⨯+=.∴230a a +=，即(3)0a a +=.∵0a ≠，∴3a =-. ………………………………………………………… 3分∴抛物线1C 的解析式为22125232()48y x x x =+-=+-. ∴抛物线1C 的顶点为125(,)48--. ∴抛物线2C 的顶点为(0,3)-.∴抛物线2C 的解析式为223y x =-. …………………………4分（3）解：∵点A （m ，n ）和B （n ，m ）都在抛物线2C 上，∴223n m =-，且223m n =-. ∴222()n m m n -=-. ∴2()()n m m n m n -=-+. ∴()[2()1]0m n m n -++=. ∵A 、B 两点不重合，即m n ≠， ∴2()10m n ++=. ∴12m n +=-. ……………………………………………………… 5分 ∵223m n =+，223n m =+， ∴33222m mn n -+22222m m mn n n =⋅-+⋅ n m mn m n ⋅++-⋅+=)3(2)3().(3n m += ………………………………………………………………6分32=-. ………………………………………………………………7分东城一模23. 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数． 23．（本小题满分7分）解：(1)证明： Δ=23)4(1)m m +-+（ =26944m m m ++-- =225m m ++ =2(1)4m ++．∵ 2(1)m +≥0， ∴ 2(1)4m ++＞0．∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. …………2分（2）解关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0，得 x =. ………………3分要使原方程的根是整数，必须使得2(1)4m ++是完全平方数. 设22(1)4m a ++=，则(1)(1)4a m a m ++--=. ∵ a +1m +和1a m --的奇偶性相同，可得12,1 2.a m a m ++=⎧⎨--=⎩或12,1 2.a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩解得2,1.a m =⎧⎨=-⎩或2,1.a m =-⎧⎨=-⎩. ………………5分将m =-1代入x =，得122,0x x =-=符合题意.……6分∴ 当m =-1 时，原方程的根是整数. ……………7分石景山一模23. 如图，直线33y x =-+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线1C 交x 轴于另一点M（-3,0）.(1)求抛物线1C 的解析式；(2)直接写出抛物线1C 关于y 轴的对称图形2C 的解析式；(3)如果点'A 是点A 关于原点的对称点，点D 是图形2C 的顶点，那么在x 轴上是否存在点P ，使得△PAD 与△'A BO 是相似三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.23．解：（1）设抛物线的解析式为：2(0)y ax bx c a =++≠ ∵直线33y x =-+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，∴A 点坐标为（1,0）、B 点坐标为（0,3）. ………………1分又∵抛物线经过A 、B 、M 三点， ∴0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩ 解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩. ∴抛物线1C 的解析式为：223y x x =--+．………………2分（2）抛物线1C 关于y 轴的对称图形2C 的解析式为：223y x x =-++. ……3分（3）'A 点的坐标为（-1,0），∵223y x x =-++=2(1)4x --+， ∴该抛物线的顶点为(1,4)D ．………………………………4分若△PAD 与△'A BO 相似， ①当DA AP =3'BO OA =时，43AP =，P 点坐标为1(,0)3-或7(,0)3……………5分②当DA AP =1'3BO OA =时，12AP =，P 点坐标为(11,0)-或(13,0)…………6分 ∴当△PAD 与△'A BO 是相似三角形时，P 点坐标为1(,0)3-或7(,0)3或(11,0)-或(13,0) ………………7分顺义一模23．已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.23．（1）证明：①当0m =时，方程为220x -+=，所以 1x =，方程有实数根.…… 1分 ②当0m ≠时, []2(32)4(22)m m m ∆=-+-+ =22912488m m m m ++-- =244m m ++=2(2)0m +≥ ………………………………2分所以,方程有实数根综①②所述，无论m 取任何实数时，方程恒有实数根 …………3分（2）令0y =，则2(32)220mx m x m -+++=解关于x 的一元二次方程，得11x = ，222x m=+……………………5分二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，所以m 只能取1，2所以抛物线的解析式为254y x x =-+或2286y x x =-+………………7分通州一模23. 已知二次函数()2214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且32-<1x <12-．（1）求k 的取值范围；（2）设二次函数()2214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若OM OB =，求二次函数的表达式；（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F在二次函数()2214y x k x k =-++的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积.23.解：(1)令0y =，则()22140x k x k -++=解方程得：2x k =或2x =， ……………… 1分；由题意得：()20A k ，，()20B ，，∴ 31222-k <<-， ∴3144k -<<-. ……………… 2分；(2)令0x =，则4y k =， ∴()04M k ，， ∵O M O B =，∴ 42k -=， ……………… 3分； ∴ 12k =-， ∴22y x x =--. ……………… 4分；或∵O M O B =，()20B ，， ∴()0M ，-2，把点M 的坐标分别代入()2214y x k x k =-++中，∴42k =-， ……………… 3分； ∴ 12k =-， ∴22y x x =--. ……………… 4分；(3)2，5+，5（每个答案各1分） ……………… 7分．密云一模2323．（1）当2k =-时，(1,2)A -A 在反比例函数图像上∴设反比例函数为ky x =，代入A 点坐标可得2k =-2...........................2y x-∴=分（2）要使得反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，0.....................k ∴<分而对于二次函数2y kx kx k =+-，其对称轴为12x =-，要使二次函数满足上述条件，在0k <的情况下，则x 必须在对称轴的左边，即12x <-时，才能使得y 随着x 的增大而增大………………..4分∴ 综上所述，则0k <，且12x <-（3）由(2)可得15(,)24Q k --ABQ ∆是以AB 为斜边的直角三角形A 点与B 点关于原点对称，所以原点O 平分AB又直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半...........................5OQ OA OB ∴==分作AD OC ⊥，QC OC ⊥O Q k=而OA ==则k =k =分平谷一模23. 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0. （1）判定方程根的情况；（2）设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．23．解：（1）2242(1)8.m m ∆=-⨯⨯-=+ …….…………………………………………….1分 ∵ 20,m ≥∴ 280.m ∆=+>所以无论m 取任何实数，方程221x mx +-=0都有两个不相等的实数根. ………..2分(2)设221y x mx =+-．∵ 2210x mx +-=的两根都在1-和32之间， (图为一种可能的情况)∴ 当1x =-时，0y >，即：210m --> ．当32x =时，0y >，即：931022m +->． ∴ 1213m -<<． ………………………..………..………………………………3分∵ m 为整数， ∴ 210m =--，，． …………………………………………………………….. 4分① 当2m =-时，方程222104812x x --=∆=+=，，此时方程的根为无理数，不合题意．②当0m =时，方程2210x -=，x =③当1m =-时，方程212121012x x x x --==-=，，，符合题意．综合①②③可知，1m =-．………………………………………..………………7分门头沟一模23．已知关于x 的一元二次方程21(2)2602x m x m +-+-=．（1）求证：无论m 取任何实数，方程都有两个实数根；（2）当<3m 时，关于x 的二次函数21(2)262y x m x m =+-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且2AB =3OC ，求m 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作直线l ∥x 轴，将二次函数图象在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答：当直线13y x b =+与图象G 只有一个公共点时，b 的取值范围．23．解：（1）根据题意，得221Δ(2)4(26)(4)2m m m =--⨯⨯-=-．∵无论m 为任何实数时，都有(m －4)2≥0，即Δ≥0，∴方程有两个实数根．…………………………………………………………2分（2）令y =0，则21(2)2602x m x m +-+-=．解得 x 1=6－2m ，x 2=－2．∵ m ＜3，点A 在点B 的左侧， ∴ A （－2，0），B （26m -+，0）．……………………………………………3分∴ OA=2，OB =26m -+．令x =0，得y =2m －6． ∴C （0，2m －6）．∴OC =－(2m －6)=－2m +6． ∵ 2AB =3 OC ，∴ 2(226)3(26)m m -+=-+．解得1m =（3）当1m =时，抛物线的解析式为2142y x x =--，点C 的坐标为（0，－4）．当直线13y x b =+经过C 点时，可得b =－4．当直线13y x b =+（b ＜－4）与函数2142y x x =--（x ＞0）的图象只一个公共点时，得211432x b x x +=--．整理得2386240.x x b ---=由()()2Δ8436240b =--⨯⨯--=，解得449b =-．结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为b >－4或<9b -．………………7分房山一模23.已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. （3）设平行于y 轴的直线x=t 和x=t+2分别交线段AB 于E 、F ，交二次函数于H 、G.①求t 的取值范围②是否存在适当的t 值，使得EFGH 是平行四边形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由. 23.解：（1）根据题意，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交点为（1,0）和（5,0）----1分∴102550b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得65b c =⎧⎨=-⎩.∴抛物线的解析式为265y x x =-+-. --------------------2分（2）∵265y x x =-+-的图象过A （32，m ）和B （4，n ）两点 ∴ m =74，n =3 ， ∴A （32，74）和B （4，3） ------------ 3分∵直线y kx b =+（k ≠0）过A （32，74）和B （4，3）两点∴372443k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. ∴直线的解析式为112y x =+. -------------------4分（3）①根据题意3224t t ⎧⎪⎨⎪+⎩＞＜，解得32≤t ≤2 -------------------5分②根据题意E （t ，1t 12+），F （t +2，1t 22+） H （t ，2t 6t 5-+-），G （t +2，2t 2t 3-++），∴EH =211t t 62-+-，FG =23t t 12-++. 若EFGH 是平行四边形，则EH =FG ，即211t t 62-+-=23t t 12-++解得t =74， - ---------------------6分∵t =74满足32≤t ≤2.∴存在适当的t 值，且t =74使得EFGH 是平行四边形.----------7分23．（7分）（2013•丰台区一模）二次函数y=x 2+bx+c 的图象如图所示，其顶点坐标为M （1，﹣4）．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．（2013朝阳一模23．）二次函数2134y x x n =++-的图象与x 轴只有一个交点；另一个二次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且m 是小于5的整数．求（1）n 的值；（2）二次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交点的坐标．（2013朝阳一模23．）解：(1)∵2134y x x n =++-的图象与x 轴只有一个交点， ∴令10y =，即2304x x n ++-=.……………………………………………1分 ∴131404n ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭. 解得n =1. ………………………………………………………………………2分 (2)由(1)知，()2222146y x m x m m =--+-+.∵()2222146y x m x m m =--+-+的图象与x 轴有两个交点，∴[]2222(1)4(46)m m m ∆=----+820m =-.∵20∆>，∴52m >.……………………………………………………………………………3分又∵5m <且m 是整数，∴m =4或3. …………………………………………………………………………5分当m =4时，2266y x x =-+的图象与x 轴的交点的横坐标不是整数；当m =3时，2243y x x =-+，令20y =，即2430x x -+=，解得11x =，23x =.综上所述，交点坐标为（1，0），（3，0）. ………………………………………7分（2013北京大兴一模23．）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由.（2013北京大兴一模23．）解：（1）由抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，，解得.∴ 抛物线为y=﹣x 2+2x+3 . ………………………………………1分又设直线为y=kx+n 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得,，解得.∴ 直线AC 为y=x+1 . ………………………………………2分（2）作N 点关于直线x=3的对称点N ′，则N ′（6，3），由（1）得D （1，4）， ∴ 直线DN ′的函数关系式为y=﹣x+当M （3，m ）在直线DN ′上时，MN+MD 的值最小则m=﹣×=………………………………………4分（3）由（1）、（2）得D （1，4），B （1，2） ∵点E 在直线AC 上，设E （x ，x+1）① 当点E 在线段AC 上时，点F 在点E 上方，则F （x ，x+3） ∵F 在抛物线上， ∴x+3=﹣x 2+2x+3 解得，x=0或x=1（舍去），∴E （0，1）② 当点E 在线段AC （或CA ）延长线上时，点F 在点E 下方，则F （x ，x ﹣1）由F 在抛物线上，∴x ﹣1=﹣x 2+2x+3解得x=或x=，∴ E （，32）或（，）满足条件的点E 为E （0，1）、（）或（，）. ……………………………………7分（2013北京延庆24.）（本题满分7分）如图，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A(4,0)、B(1,3) . （1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.（2013北京延庆24.）解：（1）将2244b 013c b c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩…………………………1解之得：b=4，c=0 …………………2所以抛物线的解析式为：24y x x =-+……将抛物线的表达式配方得：24y x x =-+=所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4（2）点p （m ，n ）关于直线x=2（4-m,-n ），……………………………………5分则四边形的面积OAPF=4n =20所以n =5，因为点P 为第四象限的点，所以n<0，所以n= -5 ………6分代入抛物线方程得m=5 …………………………………………………7分（2013怀柔区数学初三一模23．）已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ．（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值; （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.23． (1)证明：①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根.…… 1分 ②当k≠0时, ()34132⋅-+=∆k k=k k k 121692-++ =1692+-k k=()0132≥-k ………………………………2分所以,方程有实数根综上所述，无论k 取任何实数时，方程总有实数根（2）令0y =，则03)13(2=+++x k kx 解关于x 的一元二次方程，得x 1=-3 ，x 2=k1-……………………3分 ∵ 二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数， ∴k =1………………４分（3）由（2）得抛物线的解析式为342++=x x y 配方得y=(x ＋2)2－1∴抛物线的顶点M （－2，－1） ∴直线OD 的解析式为y=21x于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h ，21h ）， (5)分∴平移后的抛物线解析式为y=（x －h ）2＋21h ．①当抛物线经过点C 时，∵C（0，9），∴h 2＋21h=9，解得h=41451-±． ∴ 当4145-1-≤h＜41451-+ 时，平移后的抛物线与射线CD 只有一个公共点． ………………………………………………………………6分②当抛物线与直线CD 只有一个公共点时，由方程组y=（x －h ）2＋21h ，y=－2x ＋9．得 x 2＋（－2h ＋2）x ＋h 2＋21h －9=0，∴△=（－2h ＋2）2－4（h 2＋21h －9）=0，解得h=4．此时抛物线y=（x －4）2＋2与射线CD 唯一的公共点为（3，3），符合题意…………………………………………………………………………7分综上：平移后的抛物线与射线CD 只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或4145-1-≤h＜41451-+．（昌平区2013年一模23.）已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点；（2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP =103，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b 的取值范围.23．（1）证明：当y =0时，得220x kx k -+-=.∵22244(2)(2)4b ac k k k -=--=-+. ∵2(2)0k -≥， ∴2(2)40k -+>.∴无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点. …………………… 3分（2）解：如图，过点P 作P A ⊥x 轴于A ,则∠OAP =90°，依题意得：104,sin 35OP POA =∠=.∴8,23AP OA ==.∵n <0,∴8(2,)3P -.∵P 在抛物线上， ∴84223k k -=-+-+.∴23k =-.∴抛物线解析式为22833y x x =--+. ………………………………………5分（3）当y =0时，228033x x +-=. ∴1242,3x x =-=，∴抛物线与x 轴相交于点4(2,0),(,0)3.B C -当直线y = - x + b 经过点C （-2，0）时，b = -2. ………………………………………6分当直线y = - x + b 与抛物线228+-33y x x =相切时，22833x +x-x b =-+，∴△ =2584()093b ++=. ∴ b = 12136-. ……………………………………………………………………7分∴ 当12136-＜b ＜-2时，直线与图形M 有四个交点. ………………………………………8分。

2013年中考数学预测试卷(一)及答案201378

2013年中考数学预测试卷（一）（满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（每小题3分，共24分）1．9的平方根是（）A．3 B．-3 C．±3 D．62．某种微粒子，测得它的质量为0.000 067 46克，这个质量用科学记数法表示（保留三个有效数字）应为（）A．6.75×10-5克B．6.74×10-5克C．6.74×10-6克D．6.75×10-6克3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．某市5月上旬前五天的最高气温如下（单位：°C）：28，29，31，29，33，对这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是30 B．众数是29 C．中位数是31 D．极差是5 5．如图，二次函数2y ax bx c=++的图象经过(-1，1)，(2，-1)两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）A．当x=0时，y的值大于1 B．当x=3时，y的值小于0C．当x=1时，y的值大于1 D．y的最大值小于0(2，-1)(-1，1)yxO水平面主视方向第5题图第6题图6．两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）A．两个外离的圆B．两个相交的圆C．两个外切的圆D．两个内切的圆7．如图，已知直线y 1=x +m 与y 2=kx -1相交于点P (-1，1)，则关于x 的不等式 x +m >kx -1的解集在数轴上表示正确的是（）-100-10-10-1A ． B ． C ． D ．8．如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB =AB ，若点P 是⊙O 上的一个动点，则∠OAP 的最大值是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°y 2y 1PO y xOBPAFE D CBA第7题图第8题图第10题图二、填空题（每小题3分，共21分） 9．化简：128=2-_________． 10．如图，在△ABC 中，∠B =50°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC =_________．11．圆锥的底面圆直径和母线长均为80cm ，则它的侧面展开图的圆心角是_________．12．某市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中“立定跳远”、“1000米跑”、“掷实心球”为必测项目，另一项从“篮球运动”或“一分钟跳绳”中选一项测试．小亮、小明和大刚从“篮球运动”或“一分钟跳绳”中选择同一个测试项目的概率是__________．13．如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y =kx（k ＞0）在第一象限的图象经过A ，C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为______．AOxyCB14．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，点A 、点C 恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF ．若BC =6，则AB 的长为_________．15．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC =12，BD =16，E 为AD 中点，点P 在x 轴上移动．小明同学写出了两个使△POE 为等腰三角形的P 点坐标，即( 5 0 ) -，和( 5 0 )，．请你写出其余所有符合这个条件的P 点坐标__________________．ACBDEFDBCAAO xyBED C第14题图第15题图三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16．（8分）先化简2111122x x x x ⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭，然后从-2≤x ≤2的范围内选择一个合适的整数作为x 的值代入求值．17．（9分）为了更好地宣传吸烟的危害，某中学九年级一班数学兴趣小组设计了如下调查问卷，调查了部分吸烟人群，并将调查结果绘制成统计图．42%调查结果的扇形统计图调查结果的条形统计图人数选项307812612120100806040200AC B DEE DBCA根据以上信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的总人数是人，并把条形统计图补充完整．（2）在扇形统计图中，C 选项的人数百分比是，E 选项所在扇形的圆心角的度数是．（3）若某地区约有烟民14万人，试估计对吸烟有害持“无所谓”态度的约有多少人？吸烟有害——你打算怎样减少吸烟的危害？（单选） A ．无所谓B ．少吸烟，以减轻对身体的危害C ．不在公众场所吸烟，减少他人被动吸烟的危害D ．决定戒烟，远离烟草的危害E ．希望相关部门进一步加大控烟力度18．（9分）已知：如图，四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，BE 平分∠DBC 交DC 于E 点，交DF 于M 点，F 是BC 延长线上一点，且CE =CF ．（1）求证：BM ⊥DF ；（2）若正方形ABCD 的边长为2，求ME ·MB 的值．M AC DEFB19．（9分）甲、乙两地相距300km ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA 表示货车离甲地的距离y （km ）与时间x （h ）之间的函数关系，折线BC -CD -DE 表示轿车离甲地的距离y （km ）与时间x （h ）之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：（1）线段CD 表示轿车在途中停留了_____h ；（2）求线段DE 对应的函数解析式；（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．3008054.52.521Ox /hy /km AED B C20．（9分）如图所示，当小华站立在镜子EF 前的A 处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B 处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30°．求小华的眼睛到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据:3 1.73 ）45°30°A 1B 1FE DB CA21．（10分）某商店为了抓住文化艺术节的商机，决定购进A ，B 两种艺术节纪念品．若购进A 种纪念品8件，B 种纪念品3件，需要950元；若购进A 种纪念品5件，B 种纪念品6件，需要800元．（1）求购进A ，B 两种纪念品每件各需多少元．（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7 500元，但不超过7 650元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A 种纪念品可获利润20元，每件B 种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？22．（10分）在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在线段BC上（不与点B 重合），∠BPE =12∠ACB ，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF ⊥PE ，垂足为F ，交AC 于点G ．（1）当点P 与点C 重合时（如图1），求证：△BOG ≌△POE ；（2）通过观察、测量，猜想：BF PE= ，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB =α，求BFPE的值．（用含α的式子表示） C (P )E AG OF DBAOBD F P GEC BD F G CEPOA图1 图2 图323．（11分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，3)，△AOB 的面积为3．（1）求过点A ，O ，B 的抛物线解析式．（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△AOM 的周长最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点P ，过点P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点E ，线段OE 把△AOB 分成两个三角形，使其中一个三角形的面积与四边形BPOE 的面积之比为2:3？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．yxO B A参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 CABCBDBA二、填空题9．2- 10．65° 11．180° 12．1413．4 14．2315．25(80)(0)8，或，三、解答题 16．原式=4x，当2x =时，原式=2.（或当2x =-时，原式=2-.） 17．（1）300；（2）26％，36°；（3）5600人． 18．（1）证明略；（2）422-．19．（1）0.5；（2）110195y x =-；（3）2.9． 20．1.4 m ．21．（1）A ：100元，B ：50元；（2）4；（3）当购进A 种纪念品50件，B 种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元．22．（1）证明略；（2）12，证明略；（3）1tan 2α． 23．（1）232333y x x =+；（2）存在，3(1)3M -，；（3）存在，13()24--，．。

浙江省各市2013年中考数学分类解析专题2 代数式和因式分解

某某省各市2013年中考数学分类解析专题2 代数式和因式分解一、选择题1.（2013年某某某某3分）下列计算正确的是【】A ．m 3+m 2=m 5B ．m 3m 2=m 6C ．()()21m 1m m 1-+=-D ．()4221m m 1-=--2. （2013年某某某某3分）若a b 3a b 7+=-=，，则ab=【】 A ．－10 B ．－40 C ．10 D ．403. （2013年某某某某3分）如图，设k=（a ＞b ＞0），则有【】A ．k ＞2B ．1＜k ＜2C ．D ．4. （2013年某某某某3分）下列运算正确的是【】A．x2+x3=x5 B．2x2﹣x2=1 C．x2•x3=x6 D．x6÷x3=x3-+的结果是【】5. （2013年某某某某、某某3分）化简2a3aA．－a B．a C．5a D．－5a()-+=-+=．故选B。

2a3a23a a6. （2013年某某某某3分）下列计算正确的是【】A．a2+a2=a4 B．2a﹣a=2 C．（ab）2=a2b2 D．（a2）3=a57. （2013年某某某某3分）计算6x3•x2的结果是【】A．6x B．6x5 C．6x6 D．6x98. （2013年某某某某3分）下列计算正确的是【】A．3a+2b=5ab B．a﹣a4=a4C．a6÷a2=a3D．（﹣a3b）2=a6b29. （2013年某某某某4分）计算3a•（2b）的结果是【】A．3ab B．6a C．6ab D．5ab10. （2013年某某某某某某4分）下列运算正确的是【】A ．x 2+x 3=x 5B ．2x 2﹣x 2=1 C ．x 2•x 3=x 6D ．x 6÷x 3=x 311. （2013年某某某某4分）若分式x 3x 4-+的值为0，则x 的值是【】 A. x 3= B. x 0= C. x 3=- D. x 4=-二、填空题1.（2013年某某某某4分）二次根式x 3-中，x 的取值X 围是 ▲ ．x 30x 3-≥⇒≥。

人教版版中考数学大一轮培优：第1章第2节代数式与整式(含数式规律探索)

式
公因式的确定字母：取各项相同的字母
分
解基本方法
指数：取各项相同字母的最低次数
公式法
平方差公式：a2b2 _(a___b_)(_a__b_)
完全平方公式：a2 2abb2 _(_a___b__)2___
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一 1.如果多项式各项有公因式,应先提公因式（一提）
般 2.如果没有公因式,考虑当多项式为两项时,考虑用平方差公式
个结论：① 2⊗(－2)＝玩6；转② a安⊗b徽＝b1⊗0a年；③中若考a＋真b＝题0,则(a⊗a)＋(b⊗b)＝
2ab；④若a⊗b＝0,则a＝0.其中正确结论的序号是______①__③．(在横线上填上
你认为所有正确结论的序号) 11.(2015安徽14题5分)已知实数a、b、c满足a＋b＝ab＝c,有下列结论： ①若c≠0,则 1 1 1
∵左边＝ 4n2＋ 4n＋ 1－ 4n2＝ 4n＋ 1＝右边,
∴等式成立．
拓展训练
22.观察下列等式：71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,…,那么,71＋
72＋73＋…＋72020的末位数字是( )
D
A. 9
B. 7
C. 6
D. 0
23.有一组单项式：a , a 2 , a 3 , a 4 ,…,观察规律,用你发现的规律写出第10个单项式 a 10 2 5 10 17
(1)写出第6个等式：____________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________________(用含n的等式表示),并加以证明．
(1) 1 2 (1 2 3 4 5 6) 1;
6 61
(2)第n个等式：1 2 (123＋n)1

上海市2013年中考数学试卷(解析版)

2013年上海市中考数学试卷一、选择题（共6小题）1．（2013上海）在下列代数式中，次数为3的单项式是（）　A．xy2B．x3+y3C．．x3y D．．3xy 考点：单项式。

解答：解：根据单项式的次数定义可知：A、xy2的次数为3，符合题意；B、x3+y3不是单项式，不符合题意；C、x3y的次数为4，不符合题意；D、3xy的次数为2，不符合题意．故选A．2．（2013上海）数据5，7，5，8，6，13，5的中位数是（）　A．5B．6C．7D．8考点：中位数。

解答：解：将数据5，7，5，8，6，13，5按从小到大依次排列为：5，5，5，6，7，8，13，位于中间位置的数为6．故中位数为6．故选B．3．（2013上海）不等式组的解集是（）　A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2考点：解一元一次不等式组。

解答：解：，由①得：x＞﹣3，由②得：x＞2，所以不等式组的解集是x＞2．故选C．4．（2013上海）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（）　A．B．C．D．考点：分母有理化。

解答：解：∵×=a﹣b，∴二次根式的有理化因式是：．故选：C．5．（2013上海）在下列图形中，为中心对称图形的是（）　A．等腰梯形B．平行四边形C．正五边形D．等腰三角形考点：中心对称图形。

解答：解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；是中心对称图形的只有B．故选：B．6．（2013上海）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（）　A．外离B．相切C．相交D．内含考点：圆与圆的位置关系。

解答：解：∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，又∵6﹣2=4，4＞3，∴这两个圆的位置关系是内含．故选：D．二、填空题（共12小题）7．（2013上海）计算= ．考点：绝对值；有理数的减法。

解答：解：|﹣1|=1﹣=，故答案为：．8．因式分解：xy﹣x= ．考点：因式分解-提公因式法。

2013年中考题分类二次函数的图象和性质

一、选择题1.已知二次函数y ＝ax2＋bx＋c（a ≠ 0）的图象如图5所示，则下列结论中正确的是（）x＝1 xyO-1图5A．a＞0B．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根C．a＋b＋c＝0D．当x＜1时，y随x的增大而减小2.已知二次函数y=ax2+bx+c（c≠0）的图像如图所示，下列结论①b<0 ；②4a+2b+c<0；③a—b+c>0；④（a+b)²<b²其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．①③④D．①②③④3.抛物线y=2ax+bx+c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式2ax+bx+c＞0的解集是（）A.x＜2B.x＞-3C.-3＜x＜1D.x＜-3或x＞14.下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1C．y＝x2＋2 D．y＝12x－25.二次函数2=++y ax bx c的图象如图所示，对于下列结论：①<0;a②<0;b③0;>c④20;+=b a⑤0++<a b c．其中正确的个数是（）A．１个B．２个C．3个D．4个6.下列命题正确的个数是( )则x的取值范围为x≤1且x≠0.②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学计数法表示为3.03×108元.③若反比例函数myx=(m为常数)，当x＞0时，y随x增大而增大，则一次函数y=-2 x + m的图像一定不经过第一象限.④若函数的图像关于y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y=3，y=2x+1，y=x2中偶函数的个数为2个.A．1 B．2 C．3 D．47.小轩从如图所示的二次函数y = ax2＋bx＋c(a≠0)的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab > 0；②a＋b＋c < 0；③b＋2c＞0；④a-2b＋4c＞0；⑤32a b=。

你认为其中正确信息的个数有( )A．2个B．3个C．4个D．5个8.已知二次函数23y x x m=-+（m为常数）的图A.121,1x x ==- Ｂ．121,2x x == Ｃ．121,0x x == Ｄ．121,3x x == 9.二次函数c bx ax y ++=2（A、B 、c 为常数且A ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：(1)二次函数c bx ax y ++=2有最小值，最小值为-3； (2)当221<<-x 时，y<0; (3)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧。

【中考冲刺】初三数学培优专题 01 二次根式的化简与求值(含答案)(难)

二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】化简（1(ba b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】（1的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：7()3“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)3.+（“希望杯”邀请赛试题）4. 若满足0＜x＜y=x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.2x－3，则x的取值范围是（）A. x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞06）A．1B C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设52x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x=，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的值为1985？B 级1. 已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2. 已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3. 已知42______1x x x ==++2x 那么. （重庆市竞赛试题）4. a =那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）5. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（）A . 2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6．已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（）A . 1B . 2C . 3D . 4（陕西省竞赛试题）9．把(1)a - ）A .B C. D . （武汉市调考题）10、化简：（1 （“希望杯”邀请赛试题）（210099++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4 （太原市竞赛试题）11、设01,x << 1≤<.（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a , b , c为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.二次根式的化简与求值例1 A 提示：由条件得4x 2－4x －2 001＝0．例2 (1)原式＝()aba b a b++()1ba b b a b⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦·a b b -＝2ab (2)原式＝()()()()257357257357+-++++＝26－5．(3)原式＝()()()()633326332+-+++＝316332+++＝62-；（4）原式＝()()()5332233323325231-+-+-++＝332-．例3 x ＋y ＝26，xy ＝1，于是x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝22，x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)＝426，x 6＋y 6＝(x 3＋y 3)2－2x 3y 3＝10582．∵0＜65-＜1，从而0＜()665-＜1，故10 581＜()665+＜10582．例4 x ＋21x +＝211y y ++＝21y +－y …①；同理，y ＋21y +＝211x x ++＝21x +－x …②．由①＋②得2x ＝－2y ，x ＋y ＝0．例5 (1)构造如图所示图形，PA ＝24x +，PB ＝()2129x -+．作A 关于l 的对称点A '，连A 'B 交l 于P ，则A 'B ＝22125+＝13为所求代数式的最小值． (2)设y ＝()2245x -+＋()2223x -+，设A (x ，0)，B (4，5)，C (2，3)．作C 关于x 轴对称点C 1，连结BC 1交x 轴于A 点．A 即为所求，过B 作BD ⊥CC 1于D 点，∴AC ＋AB ＝C 1B ＝2228+＝217．例 6 m ＝()2212111a a -+-•+＋()2212111a a ---•+＝()211a -+＋()211a --．∵1≤a ≤2，∴0≤1a -≤1，∴－1≤1a -－1≤0，∴m ＝2．设S ＝m 10＋m 9＋m 8＋…＋m －47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S ＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S ＝211－2－94＋47＝1 999．A 级 1．1 2．52- 3．0 提示：令1997＝a ，1999＝b ，2001＝c ． 4． (17，833)，(68，612)，( 153，420) 5．B 6．C 7．B 8．A 9．(1)()2x y + (2)原式＝32625++-＝()()22325+-＝325++．(3)116- (4)532--(5)32+ 10．48提示：由已知得x 2 ＋5x ＝2，原式＝(x 2＋ 5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)． 11．由题设知x ＞0，(27913x x ++＋27513x x -+)(27913x x ++－27513x x -+)＝14x ．∴27913x x ++－27513x x -+＝2，∴227913x x ++＝7x ＋2，∴21x 2－8x－48＝0．其正根为x ＝127． 12．n ＝2 提示：xy ＝1，x ＋y ＝4n ＋2． B 级 1． 64 2．1 提示：仿例4，由条件得x ＝y ，∴(x －22008x -)2＝2 008，∴x 2－2008－x 22008x -＝0，∴22008x -(22008x -－x )＝0，解得x 2＝2 008．∴原式＝x 2－2 007＝1． 3．9554．1 提示：∵(32－1)a ＝2－1，即1a＝32－1． 5．B 提示：由条件得a ＋b 3＝3＋3，∴a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4． 6．B 提示：a －b ＝6－1－2＞322+－1－2＝0．同理c －a ＞0 7．B 8．B 9．D 提示：注意隐含条件a －1＜0． 10．(1)1 998 999. 5 提示：设k ＝2 000，原式＝212k k --． (2)910 提示：考虑一般情形()111n n n n +++＝1n －11n + (3)原式＝()()8215253532+-++-＝()()253253532+-++-＝53+．(4)2－53- 11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD ，BCMN ．设MP ＝x ，则CP ＝21x +，AP ＝()211x +-，AC ＝5，AM ＝2，∴AC ≤PC ＋PA ＜AM ＋MC ，，则5≤21x +＋()211x +-＜1＋2 12．设y ＝2841x x -+－2413x x -+＝()2245x -+－()2223x -+，设A (4，5)，B (2，3)，C (x ，0)，易求AB 的解析式为y ＝x ＋1，易证当C 在直线AB 上时，y 有最大值，即当y ＝0，x ＝－1，∴C (－1，0)，∴y ＝22． 13．33a bb c ++＝()()()()3333a bb cb c b c +-+-＝()222333ab bc bac b c -+--为有理数，则b 2 －ac ＝0．又a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ac )＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋b 2)＝()2c b a ++－2b （a ＋b ＋c ）＝（a ＋b＋c ）（a －b ＋c ），∴原式＝a －b ＋c 为整数．。

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2013中考代数培优试题一
一、选择题
1．下列计算正确的是（）

A．330 B．02339 C．331 D．1331
2．下列计算正确的是 ( )
A．x2²x＝x3 B．x＋x＝x2 C．(x2)3＝x5 D．x6÷x3＝x2
3．下列计算，正确的是( )

A.2828 B.94)9()4(

C.32321 D.212214
4．在722，π、9.0、cos30°、3027.0、0.9、2)16(，0.3030030003……中无理数的个
数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．用配方法将二次三项式2a4a5变形，结果是( )
A.1)2(2a B.1)2(2a C.1)2(2a D.1)2(2a
6．．下列语句正确的个数为（）

(1)+4是64的立方根,（2）3x3 = x,（3）64 的立方根是4,,(4) 3(+8)2 = +4
A、 1个 B、 2 个 C、 3 个 D、4 个

7．把分式3xx+y 中的x,y都扩大两倍,那么分式的值( )
(A)扩大两倍 (B) 不变 (C) 缩小 (D) 缩小两倍
8．由四舍五入法得到的近似数8.8³103，下列说法中正确的是（）．
A．精确到十分位，有2个有效数字 B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字 D．精确到千位，有4个有效数字
9.已知a为任何实数,那么下列各式一定有意义的是 ( )

A.12a B. 12a C. 2)1(1a D. 2)1(1a
10、已知| x |＝3，| |＝7，且 x＜0，则 x＋的值等于（）
A、10 B、4 C、±10 D、±4
二、填空题

11、当 x＜0 时，｜x2－x｜等于
12．实数p在数轴上的位置如图所示，化简22)2()1(pp______________；

13．观察下列等式，21 ³2 = 21 +2，32 ³3 = 32 +3，43 ³4 = 43 +4，54 ³5 = 54 +5设n表示

y y y
Í¼1
012
p
正整数，用关于n的等式表示这个规律为_______ ____；
14．若212yxm与nyx2的和是多项式，则nm＝；
15．已知012xx，则2005223xx的值为_____________；

16．给出下列程序：
b
³k
x

O
O
30
频率

输出＋立方输入
且已知当输入的x值为1时，输

出值为1；输入的x值为－1时．输出值为－3.x值为21时，输出值为；

17．⑴ 已知 31xx，则221xx ＝，

18．当x_______时，式子12xx有意义．
19．－23abc2的系数是______，次数是______
20．若。＝，，则babba01222

21．9的平方根是，-︱-2︱的倒数是 .
22．计算：32_______．（结果保留根号）；若|a|＝2 ，则a=
23、若 4x2＋kx＋1 是完全平方式，则 k＝，
若x2 +6xy+k2是一个整式的平方．则k＝__

24.如果分式42322xxx的值为0，那么x= .

25、若＝1－x＋x－1＋2成立，则 x＋y＝
26、若0a且2xa，3ya，则xya的值为，xya的值为：
27、近似数4.8万精确到________位。
三、解答题
1、（山东聊城）某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售
量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝－2x＋100．（利润＝售价－制造
成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获
得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万
元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

y
2、有十张正面分别标有数字－10、－9、－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、－1的不透明卡片，它们除
数字不同外其余全部相同．将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等

式ax＋b＞0中的系数a，如果该不等式有正整数解的概率为 1 2 ，求b的取值范围．

3、（浙江义乌）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，
点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝ k x 在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA＝ 1 2 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、
y
轴正轴交于点H、G，求线段OG的长．

4、（湖南娄底）已知二次函数y＝x 2－( m 2－2)x－2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x
1

＜x2，与y轴交于点C，且满足 1 x1 ＋ 1 x2 ＝ 1 2 ．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y＝x＋3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐
标；如果没有，请说明理由．

G
B
F
C

x
O y A H

D
E

O
x
y
5、湖北随州）在－次数学活动课上，老师出了－道题：
（1）解方程x 2－2x－3＝0．
巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．
接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：
（2）解关于x的方程mx 2＋( m－3)x－3＝0（m为常数，且m≠0）．
老师继续巡视，及时观察、点拨大家．再接着，老师将第二道题变式为第三道题：
（3）已知关于x的函数y＝mx 2＋( m－3)x－3（m为常数）．
①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上
的定点为C）；
②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B，当△ABC为锐角三角形时，求m的取值
范围；当△ABC为钝角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围．
请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.．

x
y

－
3 3 6 －3 －6 3 6 0