第八章-复合材料细观力学基础(改)ppt课件

.
§8-3 有效模量的材料力学半经验解法
一、长纤维复合材料
（一）纵向有效模量 E 1
采用平面假设，在P力作用下，对RVE有：
1 f
m
l l
（下标f、m表示纤维和基体）
.
ij1 vvijdvvvf
1 vf
vf
ijdvvvmv1m
vm ijdv
(f)Vf (m)Vm
所以有 1fVf mVm
而
U1 2v
ij ijdv1 2Ci*jkilj
kvl
.
3）有效模量的严格理论解 只有按上述两种均匀边界条件算得的有效
弹性模量一致，并可由RVE的解向邻近单元连 续拓展到整体时，所得的有效弹性模量才是严 格的理论解。
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹 性模量才能通过体积平均应力、应变进行计算； 或按应变能计算。
12Si
10
20
混合律 H-T方程 夹杂理论 FEM
--
--
85
76
93
80
102
84
--
--
85
76
93
80
102
84
--
--
85
76
102
84
--
--
78
81.4
83
87.7
88
93.9
--
--
78
81.4
83
87.7
88
93.9
--
--
78
81.4
88
93.9
测量
70 78.1~80.2 85.2~89.8 94.2~97.2
①在给定均匀应变边界下，有：
ij
0 ij
②在给定均匀应力边界下，有：
ij
0 ij
证明可见《复合材料力学》（周履等）P223。
.wk.baidu.com
3、有效模量理论
1）给定均匀应变边界条件 ui(s)i0jxj
ij
1 v
vijdvi0j
而
ij
1 v
v
0 ijdv
ij Ci*jkl kl
其中 C * ijkl
1 E 11 , f E f f,m E m m
利用 1 f m
E1EfVf Em Vm
称为纵向有效模量的混合律。
.
（二）纵向泊松比 21
RVE的纵向应变关系式：
2 f2Vf m2Vm
两边同时除以 1 ，可得：
21fVf mVm
（三）纵横（面内）剪切模量 G12
在 剪 应 力 作 用 下 ， RVE 的 剪 应变有如下关系：
12fVf mVm
.
以 12G 1122,f G ff ,mG m m 代入上式，
并假设有 12f m ，可得：
1 Vf Vm （倒数混合律） G12 Gf Gm
（四）横向有效模量 E 2
设 2m2f2
而由平均值关系有：
2fVf mVm .
2 E 22 ,m 2 E m 2m 2 ,f2 E f2f2
b) Transverse section
三维代表性体积单元
所有的计算都是基于上述代表性体积单元。
对随机分布短纤维复合材料的处理方法与前一 致。
.
不同的方法得到的结果不同，见下表。
复合材料 Vf
-Al2O3f/Al- 0 5.5Mg 10
15
20
-Al2O3f/Al- 0
5.5Zn
10
15
20
-Al2O3f/Al- 0
2
仍利用E1
11 11
和
12
22 11
求有效模量，注意此时的模
量为θ角的函数。 .
3、随机分布短纤维复合材料： 对不同的θ角，按前述方法求得其 i*j i*j()
然后对其求对于θ得平均值：
i*j21 02d02i*j()d
在
0 11
作用下可求得
* 11
和
* 22
，进而求得
11 和 22 。最后可得：
C o 即为位向因子，在0.375~0.5之间，材料
为面内各向同性。 2、基于halpin-Tsai的经验公式：
ERandom83EL85ET
.
§8-4 有效模量的其他力学模型解
一、复合圆柱模型
a/bconstVf
a）复合圆柱族模型
b）. 求 E 1 和 21
c）求 K 23
d）求 G 12
.
1、Eshelby等效夹杂理论
* kl
Pij
D-
异质夹杂
同质等效夹杂
* kl
：特征应变
设整个系统在无穷远边界处受均匀应力边
界条件，如没有夹杂，则D内的应力应变为
; C 0 0 0 1 0 k l k l ijk l ij .
而实际的应力应变场还应该加上由夹杂引 起的扰动应力和扰动应变，即：
ij
* ij
在夹杂内部
是均匀的，而在夹杂以外为零，且有：
icjSijk
* lk l
Ci0jk(l k0l kcl k*)l Cijk(l k0l kc)l
其中
S ijkl
为Eshelby张量；
c kl
为因夹杂的出现而
形成的干扰应变；
0 kl
为无. 限远处的均匀应变；
C0 ijkl
为基体材料的弹性张量；
i
j
1 v
v
0 ijdv
则等效体的本构方程（即应力-应变关系）为：
C*
ij
ijkl kl
C* ijkl
定义为复合材料的有效模量（或宏观模量，
总体模量）
.
三、有效模量理论
1、边界条件：（不能随意！）
①均匀应变边界条件： ui(s)i0jxj
②均匀应力边界条件： Ti(s)i0jnj
2、可证明的两个特性：
.
纤维体积分数：
Vf
vf v
v f —纤维总体积； v —复合材料体积
注意：
只有当所讨论问题的最小尺寸远大于代表性体
积单元时，复合材料的应力应变等才有意义。
.
二、复合材料的应力、应变及有效模量
（复合材料）
（均匀等效体）
.
按体积平均，定义复合材料的应力、应变为：
平均应力 平均应变
ij
1 v
v
0 ijdv
破坏应变 f max （对应的应力为 X f ）时，复合
材料达到应力极限值为：
X c m a X x fV f (m )fm( 1 a x V f) （*）
但当纤维破坏后（ f 0 时），基体将承担全 部载荷，此时复合材料的极限应力为：
可在复合圆柱模型上施加不同的均匀应力
边界条件，利用弹性力学方法进行求解而得到 有效模量，结果为：
1、
E1 EfVf
EmVm4VVmfVm(Vvff
vm)2 1
Kf Km Gm
11
2、 21fVf
VfVm(vf
mVm
Vm
vm)(Km
Kf
Vf 1
)
Kf Km Gm
3、 K23Km
Vf 1 Vm
（平面应变体积模量）
Kf Km Km. Gm
4、 G12GmG GffV (1mVG f )m (1G m VVfm )
5、 G 23 可由三相模型求得： 利 用 在 r 处 施加纯剪均匀 应力边界条件 下，两者（a） 和（b）的应变 能相等来确定 G 23 。
具体见《复合材料力学》（周履等）P250-256！ .
二、Eshelby夹杂模型
1 Vf Vm （倒数混合律）
E2 Ef 2 Em
可通过 G12 和 E 2 的计算公式可反算 G f 12 和 E f2 。
（五）Halpin-Tsai方程
单向纤维增强的单层的五个有效模量分 别由下式计算：
E1EfVf EmVm
.
21fVf mVm
M 1Vf Mm 1Vf
（M表示 E2,G12或23） *
为复合材料的有效模量。
其应变能为：
U1
2v
ij
ijdv1 2Ci*j kilj
kvl
.
2）给定均匀应力边界条件 Ti(s)i0jnj
ij
1 v
0vijdvi0j
而
ij
1 v
v
0 ijdv
则由 ij Ci*jkl kl ，只需求得 ij ，即可求得
C* ijkl
此时，复合材料的应变能也为：
计算E1时，取：
E1
2
a b
计算E2时，取： E2 2
.
二、短纤维复合材料
（一）单向短纤维复合材料
只讨论纵向和横向模量（EL, ET ）。 1、修正复合法则（修正混合定律）
E L L E f V f EmVm
L
1
tanh( l ) 2
l
2
其中 L 表示纤维长度有效因子。
.
1
宏观的，平 均意义的量
微观的，涉及 组分属性和微 结构分布
模量、强度
组分的含量、 形状、结合 状态等
细观力学建 立二者之间 的关联
.
§8-2 有效模量理论
一、有效模量理论
1、宏观均匀、代表性体积单元
复合材料中的增强体 的几何分布可以是规 则的（如图），也可 以是不规则的。
.
总体来看，复合材料是宏观均匀的，因此
其中：
M f 1 Mm
M f Mm
：纤维增强效果的一种度量参数，依赖于
相几何和载荷条件。
.
对圆截面纤维，方形排列，中等 V f 值时，
E2 2
G12 1
对矩形（a b）截面纤维，
E2
2a, b
loG g 121.7l3ob ag
另外，*式还可以用于沿直线排列的短纤维增 强单层的纵向和横向有效模量的计算：
Er a n d o m
0 11
11
random1212
注意：上述计算均未计及. 纤维之间的互相作用。
三、数值计算方法（有限元法）
由前面的分析可知
ij
0 11
；而
ij
1 v
v
0 ijdv
该积分的值可由FEM进行数值计算，即有：
ij
1 V
n
(ij)pVp
p1
p为离散的单元号，n为单元总数。
只需求出了 11 和 22 ，即可得：
第八章 复合材料细观力学基础
.
§8-1 引言
复合材料至少由两种材料构成，微观性质是不 均匀的。
宏观性能与微观结构之间的联系？
.
前几章中复合材料“模量”和“强度”的含义是什么？
平均值，等效性质——均匀材料 复合材料细观力学就是在研究如何用一个均匀 材料的响应来代替非均匀复合材料的平均响应。
.
复合材料的结构分析涉及两个尺度：
C ijkl 为夹杂的弹性张量。
联解上式可得到
* ij
。
由此可得：
E1
11 11
0 11
Em
(101f1*1)
(1f
*
11)
若求出 22 ，则：
0 11
12
22 . 11
2、斜向纤维情况：
先在 123坐标系下求得：
1 1
* ij
（方法同前）
然后利用坐标变换求得
2
3 3
* ij
（为θ角的函数）
.
E1
0 11
11
12
22 11
对复合材料有效性能的计算均需要建立一定的
体积代表性单元，如：
c
c
c
c
a) aligned fiber model
b) tilted fiber model
单向短纤维复合材料的理想化模型
.
y
Fiber
y Interface
c S
o
z
c
Matrix
l
x d
L
S
a) Longitudinal section
2
2G m
E
f
r
2 f
ln(
R rf
)
其中 G m 为基体剪切模量，r f 为纤维半经，R为
纤维间距，l为纤维长度，R与纤维的排列方式和 V f 有关。
ET（短） ET(长)
.
2、Halpin-Tsai方程
E E
L m
1
2
l d
LV
f
1 LV f
E
T
1 2 T V f
E m 1 T V f
研究其某些性能时，只须取其一代表性体积单 元（representative volume element）来研究即 可代表总体，见图。 RVE的要求：
1、RVE的尺寸<<整体 尺寸，则宏观可看成一 点； 2 、 RVE 的 尺 寸 > 纤 维 直径；
3、RVE的纤维体积分数=复合材料的纤维体积
分数。
设沿1方向作用均匀应力
0 11
求 E 1 和 12
1
因为材料内部有：
3
ij
0 11
2a 2b
表示平均值。
2
11101 只需求得材料内的平均应变 ij
即可求得该材料的有效模量。
.
由Eshelby夹杂理论可得：
iji0jfi*j
其中f为纤维体积分数；
* ij
即特征应变。
对椭圆形夹杂，Eshelby已经证明
70 78.9 87.4~89.2 94.8~95.6 70 73.6~75.0 80.6
.
§8-5 复合材料强度的细观力学分析
§8-5-1 长纤维复合材料的强度材料力学分析
一 、纵向拉伸强度X
.
由图a所示模型的平衡，复合材料的应力 c 与 纤维和基体应力的关系为：
cfVf mVm
当复合材料的破坏由纤维控制，即纤维达到其
Ef 1
Ef 1
L
Em Ef 2
l
;
T
Em Ef 2
Em d
Em
此时，对L取：
2l d
对T取： 2
上式表明
ET
与纤维长比
l d
无关，可见单向
短纤维复合材料的横向模量与连续纤维复合
材料的相同。
.
（二）随机分布短纤维复合材料
1、修正混合律：
E Ra nC d oo L E m fV f E m ( 1 V f)
果夹杂物的形状为椭球，则夹杂内的应变和应
力场是均匀的。关键在于如何求得特征应变的 值。利用等效夹杂理论有：
C iIj( kk 0 l l k )l C i0 j( kk 0 l l k l k *)l
将（*）代入该式则可求得特征应变，进 而求得夹杂内外的弹性场. 。
2、单向短纤维复合材料的弹性性能预测
ij
则夹杂中的应力场可表示为
I ij
i0j
ij
CiIjk(lk0lk l)
Ci0jk(lk0lk lk*l)
其中，
* ij
称为等效特征应变。
.
由Eshelby的研究得出扰动应变和特征应变
的关系为：
ij
Sijkl
* ij
（*）
其中四阶张量Sijkl称为Eshelby张量，仅与基 体的材料性能和夹杂物的形状和尺寸有关。如