复杂问题简单化抽象问题具体化
小学奥数-数形结合
专题二 数形结合【方法简介】数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。
我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性 【典型应用1】简易问题应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？ [略解]解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票.2083=+x x ,2084=x ,52=x .答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数. 【题2】一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开0.3小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？ [略解]解：设轿车开出小x 时后追上客车.x x 108903.090=+⨯，x 1827=，5.1=x答：轿车开出1.5小时后追上客车.【技巧贴士】 这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系. 【题3】小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？ [略解]解：设x 分钟后两人还相距324米.150********=++x x ，8=x答：设8分钟后两人还相距324米.【技巧贴士】本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为32415007572-=+x x .【巩固练习】第一期第一部分基础达标1.商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵9.6元，是平装集邮册价格的1.6倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？2.一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？3.上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A休息了0.6小时，结果巴士车B1.85小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小时行驶92千米，A车平均每小时行多少千米？第二部分强化训练4.动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只？5.一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？6.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？7.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院？8.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？【典型应用2】几何应用应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。
人教版小学数学六年级上册《数与形》教学反思
《数与形》教学反思数学是研究数量关系、空间形式及其关系的学科，通过数形结合的方法研究问题，可以让数量关系与图形的性质问题很好地转化，通过几何直观可以帮助学生建立数的概念，可以帮助学生理解数运算的意义，可以使解题思路与过程具体化。
数形结合思想可以说涉及数学学科的各个领域，本课内容主要是通过发现规律解决问题帮学生建立数形结合的数学思想，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
我教学的内容是教材第107、108的内容。
一接到这个任务，我就懵了。
因为这个教学内容是新出现的，以前并没有。
我接连看了几次教材，也不知所以然。
后来经过两个晚上翻了大量的资料，才知道通过这节课的学习，主要是向学生传递一种数形结合的思想。
因为巧妙地运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，可起到事半功倍的效果，在解决问题的过程中更显优越，所以在本节课上帮学生建立数形结合的思想启蒙，进而在今后的学习中进行其他数学思想方法的教学。
在这节课的教学中，我认为比较满意的是以下几处：一、给学生提供学具，引导学生产生自主应用学具解决问题的意识。
这节课我主要是给每一组学生准备小正方形，让学生利用手中的小正方形发现其中的规律，并发现与数的联系。
这一块我主要是培养学生当面对比较复杂的问题时，能够自觉利用手中的直观学具摆一摆、画一画的意识和能力。
通过具体形象的学具的支撑帮助学生发现规律。
二、利用小组合作学习，在合作交流中通过摆一摆、议一议，借助直观学具发现并理解规律。
这一块让学生明白，在面对问题或疑惑时，仅依靠自己的力量无法解决，可么自主寻求小组同学的帮助。
然后把自己的想法和困惑在小组内交流，共享思维，互相启发，直至发现规律进而解决问题。
三、不流于形式。
在教学过程中，当学生出现了错误，能够一次又一次地通过小组讨论发现问题并解决。
第12单元 第3课时 抽象问题具体化的思想
第3课时 抽象问题具体化的思想
步步高
第十二单元 生物学科思想案例解读
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名师点评
1．概念模型构建的一般方法 ⑴由图示、文字、符号混合组成的概念模型。①熟悉所构建 对象的显著特征、过程要点、变化规律；②勾勒草图，形象、 清楚地用图示突出构建对象的显著特征，可忽略次要或无关的 细节；③在图示上或图示之间用必要的文字注释、符号连接来 辅助说明，使图示表达清晰；要注意图示位置的布局，力求图 示、文字、符号组合的合理、协调、美观；④对照、修饰、完 善之后，正式绘制，并配以准确的图注。常见的有细胞有丝分 裂示意图等。 ⑵由文字、符号组成的概念模型。①熟悉所构建对象的规律、 原理及其内在联系；②选择好最能反映规律、原理、环节的关 键词或核心词，并确定它们之间的连接方式；③在草稿上
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⑶寒冷环境中的即时反应之一是起鸡皮疙瘩，请根据反射 弧的知识写出此过程的简图。 冷刺激→皮肤中冷觉感受器→相关传入神经→下丘脑体温调节 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 中枢→相关传出神经→立毛肌收缩 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ⑷图示表明内环境稳态的维持是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 神经系统、内分泌系统、 免疫系统 ＿＿＿＿共同作用的结果。 ⑸初生牛犊自身免疫力低，必须到4周龄以后，才开始具 备自身特异性免疫力。然而初生牛犊能够通过初乳从母体获得 这种免疫。所谓初乳，即母牛分娩后5～7天内产生的乳，与常 乳比较其特点主要是：①免疫球蛋白比常乳高20～25倍；②初 乳中含有四种蛋白酶抑制素，可保护免疫球蛋白不被消化而直 接吸收。试回答下列问题：
第3课时 抽象问题具体化的思想
步步高
第十二单元 生物学科思想案例解读
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迁移应用
2．如图表示绿色植物细胞部分结构中的某些代谢过程， 图中①～⑦代表各种物质。有关叙述与事实不符的是 ( ) A．在有光的条件下，图 中物质⑥可由⑤分解而来 B．图中④代表的是细胞 生命活动可直接利用的一种 能源物质 C．若该绿色植物长时间 处于黑暗状态，则图中①→ ②→①的循环不能进行 D．进入相应结构的物质⑦中可能包含有图中的物质⑥
数形结合思想在函数中的应用1
数形结合思想在函数中的应用
昔阳县示范中学李红萍
所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化．本文以一次函数为例，说明它的几个应用．
一、“形”到“数”的思想应用
二、“数”到“形”的思想应用
抛物线的一部分如图1所示，该抛物
线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是（）
A．（ ，0）B．（1，0）
C．（2，0）D．的一元二次方程a
的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
三、数形结合思想应用
[高考生物]人教版一轮复习选修1第十一单元素养2理性思维培优——抽象问题具体化教案.doc
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同种物质在细胞不同时期的两种形态； 真核细胞的分裂方式包括有丝分裂、 无丝分裂和减数 分裂三种；遗传信息储存在 DNA 的碱基排列顺序中。
二、物理模型 【 知识整合 】 含义： 就是根据相似原理，把真实事物按比例放大或缩小制成的模型，其状态变化和原事物基本 相同，可以模拟客观事物的某些功能和性质。如生物体结构的模式标本、细胞结构模式图 、减数分裂图解、 DNA 分子双螺旋结构、生物膜流动镶嵌模型、食物链和食物网等。物理 模型的特点是：实物或图画的形态结构与真实事物的特征、本质非常相像，大小一般是按 比例放大或缩小的。 在复习备考时应该注意以下几点： (1)要明确教材中各种物理模型中的结构分别是什么 ，其名称术语如何规范书写。 (2) 要把各种物理模型与相关的理论知识结合在一起，既要熟 练掌握重要物理模型，又要注意细枝末节。除了清楚各物理模型在知识点中说明了什么问 题、如何读懂它外，还要进行知识的迁移和延伸，并要通过一些变式训练加深对知识的理 解，从而提高解题的判断和推理能力。只有这样，才能在学习中将相关知识串联起来。 【 即时突破 】
解析： 选 D。用计算机软件制作出的真核细胞的三维模型不是实物模型
，A 错误。公式
(4)图解
法：是一种把事物所包含的内容或知识点，用图解的方法表示其动态变化的过程、阶段
(或
时期 )的特点的思维方法。起到化繁为简、重点突出、加深记忆的作用。例如，碳循环过程
图解如下：
生物学中概念复习的方法多种多样，学生根据教材内容，选择科学的学习方法，区分 开概念的内涵和外延，揭示概念反映的客观事物的本质，只有这样才能达到事半功倍的学 习效果。
【 即时突破 】
1.(2015 高·考天津卷 ，
利用数形结合法巧解疑难问题
利用数形结合法巧解疑难问题数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”的形式把抽象思维和形象思维进行结合，达到复杂问题简单化、抽象问题具体化目的从而优化解题途径。
现就利用表达式的几何意义，使用数形结合方法解决一些不容易入手的或计算量大的问题进行总结，望对学生掌握数学学科的解题技巧有帮助。
例题1：函数)11ln()(22+--++=x x x x x f 的值域是，)0,(:-∞A )0,1(:-B )1,0(:C ),0(:∞D这是一道2007年高考摸拟考试选择题的压轴题，不易入手，学生往往想到用求导的方法去求函数的值域，但求导过程很复杂；若利用几何性质，使用数形结合方法分析，则解题思路清晰，可以化繁为简。
利用函数的几何意义:22222222)230()21()230()21(43)21(43)21(11-+---++=+--++=+--++x x x x x x x x1122+--++∴x x x x 可看为X 轴上上的一个动点)0,(x P 到定点)23,21(-M 和)23,21(N 的距离之差，即PN PM x x x x -=+--++1122而1=<-MN PN PM ，同时考虑函数的定义域，因此得：111022<+--++<x x x x所以函数)11ln()(22+--++=x x x x x f 的值域是)0,(-∞ 例题2：定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)(x f '为函数的导函数，已知函数)(x f y '=的图像如图所示，两个 正数b a 、满足1)2(<+b a f ，则22++a b 的 取值范围是：)21,31(:A ),3()21,(:+∞-∞ B )3,21(:C )3,(:--∞D 这是一道西安市八校联考试题，学生摸不着头脑，不知道题设与结论之间有什么联系，但用22++a b 的几何意义，则不难理清解题思路。
分段计费 教学反思
《出租车中的数学问题——分段计费》教学反思这个学期初，我的师傅---皮老师建议我把这一节内容作为一堂组内常规教研课上，前期稍微备了下课。
后来恰闻学校要在12月份进行“师徒结对课堂展示活动”，我们特意把此课留下。
在多次试教，多次修改后，感觉效果总不是很好，我们彷徨过、质疑过，这节内容作为竞赛课上到底合适不？多次想改上课的内容，甚至有想过打退堂鼓。
我的师傅鼓励我，我们是抱着教研的心态去，不是抱着拿奖的心态去，我的心态慢慢平静下来，就当作一堂普通常规课上就ok。
在组内老师的一次次听课建议下，在皮老师和周主任的一个细节一个细节的精心指导下，最终形成了本堂课。
在课前，课中，课后，我有一些自己的反思。
一、课前调研很有必要作为新教材的一个新内容，而且是学生不熟悉的分段计费，一定要做好课前调研。
在三班（35人）进行的中，学生画图解决问题的意识比较淡漠，即使有3个人想到了画图解决问题，可是也没有画对。
说明遇到问题学生不愿意画图，也想不到画图，更不会画图。
也说明长期以来学生根本体会不到解决较难问题时，画图的优势。
二、我的思考：基于前测、平时的教学我的一些思考：1、明确什么是“画图策略”“画图策略”是指通过用画图的方法把抽象问题具体化、直观化，从而帮助学生理清思路，找到解题途径的一种策略。
2、为什么要培养学生的画图意识？“画图策略”的优势是什么？图形不仅直观、简洁、利于思考，而且其信息量大，概括性强，同时图还有助于记忆。
因此，图形是帮助人类思考的一种极好工具。
斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题。
”确实,“画图策略”在理解概念、解决问题以及空间与图形等各个领域都有很大的优势。
所以让学生掌握这个画图的策略对学生的今后进一步的学习来讲就显得非常重要。
3、学生“画图”的基础有多少？遇到问题学生不愿意画图，也想不到画图，更不会画图。
有时别人画出图来学生看不懂，不会根据图分析题意，更体会不到解决问题时，画图的优势。
化学计算的解题策略及思路
化学计算的解题策略和思路化学计算从定量的角度反映化学物质之间的数量关系。
通过化学计算强化理解和应用基础知识，进一步掌握物质的性质及其变化规律，发展思维能力，从而提高分析问题和解决问题的水平。
它是化学学习的重要组成部分。
解题原则1．简单化原则：把复杂的形式转化为简单的形式；把复杂的问题转化为简单的问题。
从而使问题得到解决。
2．具体化原则：把问题中的抽象概念以及概念之间的关系物化，在具体事物中得以解决。
3．和谐化原则：图解分析、数形结合。
利用数与形内部固有的和谐统一的特点，建立数学思维与化学思维的巧妙结合，促使问题的转化和解决。
4．熟悉化原则：把陌生的、要解决的问题，转化为与之有关的熟悉问题。
用熟悉的知识予以解决。
各种解题原则相辅相成。
其中熟悉化原则是最根本的策略原则。
解题策略1．大题小解：运用简单化原则，将综合性的问题分解为若干个简单问题逐一解决。
2．退中求进：运用熟悉化原则，将问题由一般向特殊“后退”；运用具体化原则，将问题由抽象向具体“后退”；运用简单化原则，将问题由较强命题向较弱的命题“后退”。
在“退”中分析归纳，寻找解题思路，使问题得以解决。
3．化生为熟：运用熟悉化原则，对要解决的问题从多角度、多侧面去联想，在有关的熟悉的问题、知识和技能中比较、分析、推理逐渐发现并促成要解决的问题转化成熟悉的问题予以解决。
4．数形结合：运用和谐化原则，将化学数据图解分析促成化学思维与数学思维的巧妙结合，使问题得以解决。
解题思路解化学计算题就象人走路一样。
要形成一条思维的通路，就要按照科学的思维方法，将化学思维与数学思维结合起来。
本文将分六个专题介绍六种基本解题思路，帮助同学们，在化学计算中，建立形成科学的思维方法。
专题1. 公式法[专题讲解]公式是将基本概念或基本理论用符号来表示的数学表达式。
它是对基本概念或基本理论的高度概括。
它将化学思维和数学思维巧妙地融合在一起。
理解概念，并运用它的数学表达式熟练地解答化学问题，定能使思维深化，提高能力。
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复杂问题简单化抽象问题具体化
《活法》是3A环保漆企业文化的一种体现方式，在这篇书中有这
样一篇文章--《抓住本质，复杂问题简单化》，它通过从京瓷员工的
争执中探讨问题的解决方法，阐述了“复杂问题简单化”的这一观点。
其中有一段话让我记忆犹新：越是看似错综复杂的问题，越是要赶快
回归原点，一句单纯的原理原则作出判断。哪些棘手的、貌似无法解
决的难题，只要正面面对，以真诚的目光，根据单纯明快的原理，从
是非、善恶的角度判断就能解决。
生活中永远有两种人，一种人总希望把复杂问题简单化，一种人
则总喜欢把简单问题复杂化。
把复杂问题简单化的人一般是做事的人。因为要干活的人没谁愿
意把简单的问题去复杂化，相反，总是想着把复杂的问题抽丝剥茧，
提纲挈领才能事半功倍。
而把简单问题复杂化的人往往适合琢磨事情。苹果掉到地上，多
简单的一点事儿，这种人却能从简单中琢磨出万有引力来。这种能力
往往是前一种人所不具备的。
不过，把复杂问题简单化的人是相对乐观的人。而喜欢把简单问
题复杂化的人往往是焦虑的。
前一种人，多复杂的事情，在他们眼里，往往最后都抽象成一二
三，一团乱蔴也能理的顺顺当当。但这还在其次，关键是在社会上，
在人与人的关系上，这种人也是能简单就简单。你对他笑一笑，他就
认为是友善，绝不会去想，那笑容后面是否还藏着刀。因此，在他们
眼里，世界是透亮的，因此心也就相对透明。
而后一种人，不会轻易相信任何一个人、一件事，总是多一个心
眼，去挖空心思地揣摩简单的人和事背后的东西。比如同样面对一个
不经意的笑容，这类人会分析产生笑容的原因，甚至会分析笑容的程
度，去辨别对方的笑容是苦笑，还是不怀好意的皮笑肉不笑。于是，
世界在这些人眼里，永远是一潭深水，深不可测。因此，他们的心也
就很难达到“一片冰心在玉壶”的清澈境界。
《史记》有云：“大乐必易，大礼必简。”意思是说．“大”的
音乐一定是平易近人的；“大”的礼仪则一定是简朴的。世界的表现
虽然复杂，但方法的本质却是简单。面对纷繁复杂的万事万物，迎接
不断出现的新情况新问题，说难也难，说易也易，关键看你能否把握
方法的本质；是否善于用简单的理念去处理、去破解。
“复杂事情简单化”同样发生在伟大的发明家爱迪生身上。一次，
爱迪生让助手帮助自己测量一个梨形灯泡的容积。事情看上去很简单，
但由于灯泡不是规范的圆形，而是梨形，因此计算起来就不那么容易
了。助手接过后，立即开始了工作，他一会儿拿标尺测量，一会儿又
运用一些复杂的数学公式计算。可几个小时过去了，他忙得满头大汗
还是没有计算出来。当爱迪生看到助手面前的一摞稿纸和工具书时，
立即明白了是怎么回事。于是，爱迪生拿起灯泡，朝里面倒满水，递
给助手说：“你去把灯泡里的水倒入量杯，就会得出我们所需要的答
案。”助手这才恍然大悟。
作为3A的一员，从文章天下本无事，但不是庸人自扰，自扰的恰
恰是习惯把简单问题复杂化的聪明人。其实多数时候，你简单地面对
世界，世界也会简单地对你。你给别人半斤，即便别人不还你八两，
还你四两还是可能的。如果大家都把心情放轻松，我们的心灵自然也
就不会那么沉重。