考研线性代数知识点全面总结
线性变换考研知识点总结
线性变换考研知识点总结一、线性变换的基本概念1.1 线性空间线性空间是指一个集合V，其上有两种运算：向量的加法和数乘，满足一定的性质，即：（1）对于任意u，v∈V，有u+v∈V；（2）对于任意k∈F（其中F是一个字段），有ku∈V；（3）满足加法交换律、结合律、分配律和单位元存在。
1.2 线性变换的定义设V和W是两个线性空间，若存在一个映射T: V→W，满足以下条件：（1）对于任意u，v∈V，有T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）对于任意k∈F和任意u∈V，有T(ku) = kT(u)。
则称T为从V到W的线性变换。
1.3 线性变换的矩阵表示设V是n维线性空间，B = {v1, v2, ..., vn}是V的一组基，W是m维线性空间，C = {w1, w2, ..., wm}是W的一组基。
若T: V→W是一个线性变换，则存在一个m×n的矩阵A，使得对于任意u∈V，都有T(u)在基C下的坐标向量等于A乘以u在基B下的坐标向量。
1.4 线性变换的性质（1）零变换：对于任意线性空间V，零变换T：V→V定义为T(u) = 0，对于任意u∈V都有T(u) = 0。
（2）恒等变换：对于任意线性空间V和其基B，存在一个单位矩阵I使得对于任意u∈V 都有I(u) = u。
二、线性变换的基本定理2.1 线性变换的核与值域（1）核：对于线性变换T: V→W，其核Ker(T)定义为Ker(T) = {u∈V | T(u) = 0}，即T的所有零空间。
（2）值域：对于线性变换T: V→W，其值域Im(T)定义为Im(T) = {T(u) | u∈V}，即T所有可能的输出向量。
2.2 线性变换的满射与单射（1）满射：若线性变换T: V→W的值域等于W，即Im(T) = W，则称T是满射的。
（2）单射：若对于任意非零向量u，若T(u)≠0，则称T是单射的。
2.3 线性变换的秩和零度若线性变换T: V→W，则其秩rank(T)等于T的值域Im(T)的维数；零度nullity(T)等于T 的核Ker(T)的维数。
[全]线性代数之化二次型为标准形的方法总结[下载全]
![[全]线性代数之化二次型为标准形的方法总结[下载全]](https://img.taocdn.com/s3/m/5d63934c770bf78a652954fa.png)
线性代数之化二次型为标准形的方法总结
线性代数考研中的两道大题是线性方程组，二次型和相似轮流来的。
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。
二次型的标准型：
二次型的标准型
化二次型为标准型：
化二次型为标准型
用正交变换化二次型为标准型的解题步骤为：（1）把二次型表示成矩阵形式；
（2）求矩阵A的特征值及对应的特征向量；（3）对重根对应的特征向量作施密特正交化；（4）全体特征向量单位化；
（5）将正交单位特征向量合并成正交矩阵；（6）令x=Qy。
题型一：化二次型为标准型
例1：用正交变换把如下二次型化为标准型：
解题思路：按照上面用正交变换化二次型为标准型的方法来求解。
解：
总结：用正交变换把二次型化为标准型的题型是考研必考的大题，所以同学们一定要熟练掌握。
考研数学详细笔记
α
m
= =
0 0
；即
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
α1T
α
T 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
α1
α2
+ kmαmTαm = 0
⎜⎜⎝
α
T m
⎟⎟⎠
⎛ k1 ⎞
αm
⎜
)
⎜ ⎜
k2
⎟ ⎟ ⎟
=
0
⎜⎟ ⎝ km ⎠
令 A = (α1 α2
⎛ k1 ⎞
αm )
，即
AT
⎜
A
⎜ ⎜
k2
⎟ ⎟ ⎟
=
0
，因为
α1,α2 ,
⎜⎟ ⎝ km ⎠
,αm 线 性 无 关 ，
三、线性代数复习重点
大家知道，线性代数前后知识的联系非常紧密，所 以我们在这一部分复习的时候，一定 要抓住我们线性代数的前后联系的这样一些关键点， 把知识连贯起来，我们就会发现，掌 握起来是比较容易的。整个线性代数，我个人认为， 可以分成三大块内容。第一部分，行 列式和矩阵，是我们线性代数的基础部分，基础部分 一般来讲不考大题。以这个为基础，
方程组中解的判定、解的性质、解的结构这三部分要搞清楚 重要题型 1 判定向量组线性相关性； 2 向量组的线性表示 3 求向量组的秩与极大无关组 4 方程组（齐次，非齐次）解的判定与求解 5 方程组的公共解与同解。
例 5 设 向 量 组 α1,α2 ,α3 线 性 无 关 , 向 量 β1 能 由 α1,α2 ,α3 线 性 表 出 , 向 量 β2 不 能 由
⎧a11x1 + a12 x2 + ⎪⎪⎨a21x1 + a22 x2 + ⎪ ⎪⎩am1x1 + am2 x2 +
2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳
2024年考研数学一专题线性代数历年题目归纳线性代数是考研数学一科目中的重要内容之一，涉及到矩阵、向量、线性方程组等多个概念和方法。
了解历年考研数学一专题线性代数的题目，可以帮助考生更好地掌握该专题的重点和难点，提高解题能力。
本文将对2024年考研数学一专题线性代数历年题目进行归纳，以供考生参考。
1. 矩阵运算题矩阵的加法、减法、乘法是线性代数的基本内容，考研中常涉及到矩阵的运算性质和运算规律。
如下是一道历年考研数学一专题线性代数中的矩阵运算题目：【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，矩阵C=（c_{ij}）_{p×k}，试证明：(A×B)×C=A×(B×C)。
解析：首先我们需要明确矩阵的乘法运算满足结合律。
对于(A×B)×C，先计算矩阵A和矩阵B的乘积，得到(m×p)的矩阵D。
然后将矩阵D与矩阵C相乘，得到(m×k)的矩阵E，即(A×B)×C=E。
同样地，对于A×(B×C)，先计算矩阵B和矩阵C的乘积，得到(n×k)的矩阵F。
然后将矩阵A与矩阵F相乘，得到(m×k)的矩阵G，即A×(B×C)=G。
因此，(A×B)×C=E=A×(B×C)=G，即(A×B)×C=A×(B×C)。
2. 矩阵的秩题矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组中所含向量的个数。
在考研数学一专题线性代数中，关于矩阵的秩有很多题目，如下所示：【例题】已知矩阵A=（a_{ij}）_{m×n}，矩阵B=（b_{ij}）_{n×p}，且秩(A)=r，秩(B)=s。
试证明：1) 秩(AB)≤min{r,s}；2) 如果r=s，且r=min{m,n,p}，则秩(AB)=r。
2024考研数学一线性代数历年真题全面解析
2024考研数学一线性代数历年真题全面解析一、前言在2024年的考研数学一科目中，线性代数占据着重要的位置。
掌握线性代数的核心概念和解题技巧对于考生来说至关重要。
为了帮助广大考生更好地备考，本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年真题进行全面解析，并分享一些解题技巧和注意事项。
二、基础知识回顾在开始解析之前，先回顾一下线性代数的基础知识是非常必要的。
包括向量、矩阵、行列式、线性空间、线性变换等概念都是线性代数的基本内容。
理解这些基础知识对于解答试题非常有帮助。
三、真题解析接下来，我们将对几道历年真题进行解析，以帮助考生更好地理解线性代数的应用。
1. 2018年真题题目描述：已知矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=-3，对应的特征向量分别为X1=(1,2)T，X2=(1,-1)T。
求矩阵A的逆矩阵。
解析：根据线性代数的知识，当一个矩阵存在特征值时，可以通过特征向量组成的矩阵P和特征值组成的对角矩阵D，利用相似矩阵的性质求得矩阵A的逆矩阵。
首先，我们将特征向量X1和X2组成的矩阵P为：2 -1]然后，根据特征值组成的对角矩阵D为：D = [2 00 -3]利用相似矩阵的性质，可以得到：A = PDP^(-1)由此可得：P^(-1) = [1/3 1/32/3 -1/3]最后，计算得到矩阵A的逆矩阵为：A^(-1) = P^(-1)DP2. 2019年真题题目描述：已知矩阵A是n阶方阵，且满足A^2 = -I，其中I为n 阶单位矩阵。
证明A的特征值一定满足λ^2+1=0。
解析：根据已知条件A^2 = -I，可得到：λI^2 = -I再根据特征值的性质，可以得到：进一步推导，可得：(λ^2+1)I = 0因为矩阵A是n阶方阵，所以λ^2+1=0。
证毕。
四、解题技巧和注意事项1. 理清概念：线性代数是一门较为抽象的学科，需要理清概念和定义。
对于一些概念的记忆和理解，可以通过做例题巩固。
2. 多做习题：做大量的习题是掌握线性代数的关键。
《线性代数》考研辅导讲义4
《线性代数》考研辅导讲义4 第四部分 线性方程组一.线性方程组的四种表示形式1.非齐次线性方程组(1)一般形式:11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(2)矩阵形式:令1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则11m n n m A x b ⨯⨯⨯=,而11121121222212(|)_n nm m mnm a a a b a a a b B A b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭增广矩阵(3)向量形式:令12(,,,)n A ααα= ,得向量形式1122n n x x x bααα+++= .其中()12,,,,1,2,,Tj j j mj a a a j n α== 为A 的列向量组.(4)内积形式:令12T T T m A ααα⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,则内积形式1122T T T mm x b x b x b ααα⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ .其中12(,,,),1,2,,T i i i in a a a i m α== 为A 的行向量组.2.齐次线性方程组(1)一般形式:111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(2)矩阵形式:110m n n m A x ⨯⨯⨯=(3)向量形式:11220n n x x x ααα+++=(4)内积形式:12000T TT mx x x ααα⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 二.线性方程组解的性质 1.110m n n m A x ⨯⨯⨯=解的性质(1)若12,ξξ为0Ax =的解,则12ξξ+也为0Ax =的解.(2)若ξ为0Ax =的解,则k ξ也为0Ax =的解.故{|0}S x Ax ==是n R 的一个子空间,其基础解系构成子空间的一个基.2.11m n n m A x b ⨯⨯⨯=解的性质(1)设12,ηη为Ax b =的解,则12ηη-为其导出组0Ax =的解.(2)设η为Ax b =的解,ξ为0Ax =的解,则ξη+为Ax b =的解.【注意】若12,ηη为Ax b =的解,则121,(1)k k ηηη+≠都不是Ax b =的解,故{|}S x Ax b ==不是nR 的一个子空间. 三.线性方程组解的理论及解的结构 1.110m n n m A x ⨯⨯⨯=解的理论及解的结构定理1110m n n m A x ⨯⨯⨯=至少有一个零解.(1)110m n n m A x ⨯⨯⨯=只有零解()R A n ⇔=(未知量的个数).不存在基础解系;(2)110m n n m A x ⨯⨯⨯=有非零解()R A r n ⇔=<.其基础解系含n r -个线性无关的解向量,设为12,,,n r ξξξ- ,则110m n n m A x ⨯⨯⨯=的通解为1122n r n r x k k k ξξξ--=+++其中12,,,n r k k k - 为任意常数; (3)(Crammer 定理)110n n n n A x ⨯⨯⨯= 只有零解0A ⇔≠.2.11m n n m A x b ⨯⨯⨯=解的理论及解的结构定理2 11m n n m A x b ⨯⨯⨯=可能有解.(1)11m n n m A x b ⨯⨯⨯=有解()()R A R B ⇔=;(2)有唯一解()()R A R B n ⇔==;(3)有无穷多解()()R A R B r n⇔==<.设其导出组的基础解系为12,,,n r ξξξ- ,η为11m n n m A x b ⨯⨯⨯=的一个特解,则11m n n m A x b ⨯⨯⨯=的通解为1122n r n r x k k k ξξξη--=++++其中12,,,n r k k k - 为任意常数; (4) (Crammer 定理)11n n n n A x b ⨯⨯⨯=有唯一解0A ⇔≠.四.两个线性方程组解之间的关系设方程组(1)的解集合为M ,方程组(2)的解集合为N ,则 1. M N =⇔方程组(1)与方程组(2)同解; 2. M N ⇔ 方程组(1)与方程组(2)的公共解; 3.M N ⊂⇔方程组(1)的解是方程组(2)的解.五.一个非常有用的结论 1. ()()m s s n m n A B O R A R B s ⨯⨯⨯=⇒+≤;2.m s s n m n A B O B ⨯⨯⨯=⇔的列向量是110m s s m A x ⨯⨯⨯=的解向量.典型例题一.解的概念、性质、理论、结构的基本题例1 设1231233,2,223A p b Ax b t ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无解,则t 与p 满足 .解 由12311231(|)233201302230021B A b p p t t p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==+→--⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ,得202t p t p -=⇒=.例2 设三平面0(1,2,3)i i i i a x b y c z d i +++==重合,则齐次线性方程组0(1,2,3)i i i a x b y c z i ++==的解空间的维数等于 2 .解111222333a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩等于1. 例3 设A 为n 阶实矩阵,则以下命题成立的是( C ).(A)若0Ax =有解时0T A Ax =也有解,则A 必可逆;(B)若0T A Ax =有解时0Ax =也有解, 则A 必可逆;(C) 0T A Ax =的解必是0Ax =的解; (D)0T A Ax =的解与0Ax =的解无任何关系.解0Ax =与0T A Ax =同解.例4 设541234(,,,)A αααα⨯=,已知12(1,1,1,1),(0,1,0,1)T T ηη==是0Ax =的基础解系,则( D ). (A) 13,αα线性无关; (B) 24,αα线性无关; (C)1α不能被34,αα线性表示;(D)4α能被23,αα线性表示.解 由1η知: 12340αααα+++=;由2η知: 240αα+=,则4α能被2α线性表示,所以4α能被23,αα线性表示.例5 设12,ββ是0Ax b =≠的两个不同的解, 12,αα是0Ax =的基础解系, 12,k k R ∈,则Ax b =的通解必是( B )(A) 1211212()2k k ββααα-+++; (B) 1211212()2k k ββααα++-+; (C) 1211212()2k k ββαββ-+++;(D)1211212()2k k ββαββ++++.例6 设123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax b=的三个解向量,且()3R A =,123(1,2,3,4),(0,1,2,3)T T ααα=+=,则Ax b =的通解是( C ).(A)11213141c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (B) 10213243c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (C) 12233445c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D) 13243546c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二.含参数的线性方程组解的讨论例7 当λ为何值时,方程组12312312321,2,4551x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩无解,有唯一解,无穷多解?并在有无穷多解时求方程组的通解.解 方法一:一般情形.13211121(|)11211245515541c c B A b λλλλ↔--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭121012300549rλλλλ-⎛⎫ ⎪−−→-+ ⎪ ⎪+⎝⎭(1)方程组有唯一解104()()3,15405R A R B λλλλ-≠⎧⇔==⇔⇒≠-≠⎨+≠⎩;(2)当45λ=-时,()2()3R A R B =≠=,方程组无解;(3)当1λ=时,1121(|)00110000rB A b ---⎛⎫⎪=−−→ ⎪ ⎪⎝⎭,方程组的解13211x x x =⎧⎨=+⎩,令2x k =,则方程组的通解(0,1,1)(1,0,1),TT x k k =+为任意常数.方法二:特殊情形. (54)(1)A λλ=+-.(1)当4,15λλ≠-≠时,方程组有唯一解;(2)当45λ=-时,()2()3R A R B =≠=,方程组无解;(3)当1λ=时,1001(|)01110000rB A b ⎛⎫ ⎪=→-- ⎪ ⎪⎝⎭,()()23R A R B ==<,方程组有无穷多解,且通解为(0,1,1)(1,1,0),TT x k k =+-为任意常数.三.与解的结构相关问题 例8 若n 阶矩阵11(,,,)n n A ααα-= 的前1n -个列向量线性相关,后1n -个列向量线性无关,12n βααα=+++ .证明:(1)Ax β=必有无穷多解;(2)若12(,,,)Tn k k k 是Ax β=的任一解,则1nk =.证 (1)2,,n αα 线性无关,则21,,n αα- 线性无关,又121,,,n ααα- 线性相关,所以1α可由21,,n αα- 线性表示,则()1R A n =-.因为12n βααα=+++ ,则()()1R B R A n n ==-<,所以Ax β=必有无穷多解.(2)121,,,n ααα- 线性相关,存在一组不全为零的数121,,,n λλλ- ,使得1122110n n λαλαλα--+++= ,即11221100n n n λαλαλαα--++++⋅= ,又()1R A n =-,则121(,,,,0)Tn λλλ- 为0Ax =的基础解系.因为12n βααα=+++ ,则(1,1,,1)T 是Ax β=的一个特解,故Ax β=的通解为111,101n x c c R λλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 若12(,,,)Tn k k k 是Ax β=的解,则1nk =.例9 设A 为(1)m m -⨯矩阵, j D 是去掉A 的第j 列所得1m -阶矩阵的行列式,证明:(1)向量112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的解向量;(2)当12,,,m D D D 不全为零时,112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的一个基础解系.证 令1211121(1)1(1)2(1)mT m m m m m m b b b a a a b B A a a a ---⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭,则(1,2,,)j D j m = 分别为B中第一行元素的余子式,而112,,,(1)m m D D D +-- 分别为B中第一行元素的代数余子式,由行列式按行(或列)展开定理,有11122()(1)0,1,2,,m i i im m a D a D a D i m ++-++-== ,则112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的解向量.(2) 当12,,,m D D D 不全为零时,则A 至少有一个1m -子式不为零,所以()1R A m =-,从而Ax =的基础解系含一个解向量,又112(,,,(1))0m T m D D D +--≠ ,故112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的一个基础解系.例10 设非齐次线性方程组Ax b =,其中A 为m n ⨯矩阵, ()(|)R A R A b r ==,求由Ax b=的所有解向量组成的向量组的一个极大无关组及该向量组的秩.解 要点:设0Ax=的一个基础解系为12,,,n r ξξξ- ,Ax b =的一个特解为η,则Ax b =的所有解向量组成的向量组的一个极大无关组为12,,,,,n r ηηξηξηξ-+++ 该向量组的秩为1n r -+. 例11 设A 为m n ⨯矩阵,证明:Ax B =有解的充分必要条件是对0T A y =的任一解0y 都有00T B y =.证 必要性:设0Ax B =,则000000()()00T T T T TB y Ax y x A y x ====;充分性: 对T A y =的任一解y 都有00T B y =,则0T A y =与0,0TT A y B y ⎧=⎪⎨=⎪⎩同解,所以()()(|)T TT A R A R R A R A B B ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭,即Ax B =有解.四.两个线性方程组的公共解的问题例11 (1.求公共解的方法之一:已知线性方程组,Ax Bx αβ==,则它们的全部公共解即为线性方程组,Ax Bx αβ=⎧⎨=⎩的解.)设两个四元齐次线性方程组:12240,()0x x x x +=⎧I ⎨-=⎩与1232340,()0x x x x x x -+=⎧II ⎨-+=⎩问方程组()I 与()II 是否有非零的公共解?若有,求出所有公共的非零解;若没有,说明理由.解 讨论方程组12241232340,0,0,0x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩是否有非零解.1100100101010101111000120111000r A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,因为()34R A =<,所以方程组有非零解,即方程组()I 与()II 有公共的非零解,且11,021x k k -⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭为所有公共的非零解.(2. 求公共解的方法之二:已知线性方程组Ax α=的通解1122x k k ξξη=++和线性方程组Bx β=,则它们的全部公共解即为线性方程组1122,x k k Bx ξξηβ=++⎧⎨=⎩的解.其求法是:解含12,k k 是未知变量的线性方程组1122()B k k ξξηβ++=,得12,k k ,则所求的全部公共解为1122x k k ξξη=++.3. 求公共解的方法之三: 已知线性方程组Ax α=的通解11221x k k ξξη=++和线性方程组Bx β=的通解11222x l l γγη=++,则它们的全部公共解即为线性方程组1122111222,x k k x l l ξξηγγη=++⎧⎨=++⎩的解. 其求法是:解含12,k k 及12,l l 是未知变量的线性方程组1122111222k k l l ξξηγγη++=++得12,k k (或12,l l ),则所求的全部公共解为11221x k k ξξη=++(或11222x l l γγη=++).)五.线性方程组解的应用 例12 已知三平面123:,:,:x y z y z x z x y πγβπαγπβα=+=+=+,证明:它们至少相交于一直线22221αβγαβγ⇔+++=.证 显然123,,πππ过坐标原点, 它们至少相交于一直线⇔齐次线性方程组0,0,0x y z x y z x y z γβγαβα-++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩有非零解,则1101γβγαβα--=-,即22221αβγαβγ+++=. 例13 证明:如果非齐次线性方程组11112211211222221122,,n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 有解,则向量12(,,,)T n b b b β= 与齐次线性方程组1112121121222211220,0,0m m m mn n nm m a y a y a y a y a y a y a y a y a y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的解空间正交. 证 令12(,,,),(1,2,,)T j j j mj a a a j n α== ,非齐次线性方程组1122n n x x x αααβ+++=有解,则β可由12,,,n ααα 线性表示.令12(,,,)T m y y y y = ,则齐次线性方程组可表示为120,0,0,T TT ny y y ααα⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 即12,,,n ααα 与齐次线性方程组的解正交,从而11221[,]()()0nTT n n i i i y x x x y x y βαααα==+++==∑ ,即β与齐次线性方程组的任一解正交,则β与齐次线性方程组的解空间正交.。
考研数学二知识点总结
考研数学二知识点总结考研数学二在考研数学中占据着重要的地位，对于很多考生来说，掌握好数学二的知识点是取得理想成绩的关键。
以下是对考研数学二主要知识点的详细总结。
一、高等数学1、函数、极限、连续函数的概念及性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
极限的定义、性质及计算方法，如四则运算、洛必达法则、两个重要极限等。
连续的概念及连续函数的性质，包括零点定理、介值定理等。
2、一元函数微分学导数的定义、几何意义及基本公式。
求导法则，如四则运算、复合函数求导、反函数求导等。
微分的定义及应用。
函数的单调性、极值、凹凸性的判定及应用。
3、一元函数积分学不定积分的概念、性质及基本积分公式。
不定积分的换元法、分部积分法。
定积分的定义、性质及计算，包括牛顿莱布尼茨公式。
定积分的应用，如求平面图形的面积、旋转体的体积、弧长等。
4、常微分方程常微分方程的基本概念、类型及解法。
一阶线性微分方程、可分离变量的微分方程、齐次方程等的解法。
二阶常系数线性微分方程的解法。
5、多元函数微分学多元函数的概念、极限、连续。
偏导数的定义、计算及几何意义。
全微分的概念及计算。
多元函数的极值、条件极值的求解。
6、二重积分二重积分的概念、性质及计算方法，包括直角坐标下和极坐标下的计算。
二、线性代数1、行列式行列式的定义、性质及计算。
行列式按行（列）展开定理。
2、矩阵矩阵的概念、运算，包括加法、乘法、数乘等。
矩阵的逆、伴随矩阵。
矩阵的秩的概念及求法。
3、向量向量的概念、线性表示、线性相关与线性无关。
向量组的秩。
4、线性方程组线性方程组的解的判定、求解。
齐次线性方程组的基础解系。
非齐次线性方程组解的结构。
5、矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量的概念及计算。
相似矩阵的概念及性质。
矩阵可对角化的条件及对角化的方法。
6、二次型二次型的概念、标准形、规范形。
合同矩阵的概念及性质。
正定二次型的判定。
对于考研数学二的复习，不仅要理解和掌握这些知识点，还要通过大量的练习来提高解题能力。
考研高等代数知识点串讲
考研高等代数知识点串讲高等代数是考研数学中的重要部分，它涵盖了许多关键的知识点和概念。
本文将以串讲的形式介绍高等代数的主要知识点，帮助考生加深对这一领域的理解。
一、群论群论是高等代数中最基础的知识之一。
一个群是一个由一组元素以及定义在这些元素上的运算构成的代数结构。
在群论中，我们关注的是这个代数结构的性质和性质之间的关系。
群论的主要内容包括群的定义、子群、群同态、群作用等。
在考研中，对群的掌握是十分重要的。
考生需要了解群的基本定义，掌握常见的群结构，如循环群、对称群等，并能够解决与群相关的问题。
二、域与向量空间域是一个满足一定条件的代数结构。
在域中，可以进行加、减、乘、除等运算，并且满足一些性质，如结合律、交换律等。
向量空间是在域的基础上扩展而成的代数结构，它由一组向量以及定义在这些向量上的运算构成。
掌握域论和向量空间的知识对于考生来说也是必不可少的。
需要了解域的定义和性质，例如有理数域、实数域和复数域等；同时，还需要熟悉向量空间的性质和运算规则，了解线性相关性、线性无关性等概念。
三、线性代数线性代数是高等代数的核心内容之一。
它主要研究向量空间及线性变换的性质和性质间的关系。
线性代数的主要内容包括向量、矩阵、线性方程组、线性变换和特征值等。
在考研中，线性代数的知识点通常都会涉及到，并且常常会有大量的计算题目。
考生需要熟练掌握向量的基本运算、矩阵的性质及其运算、线性方程组的求解方法等。
此外，对于线性变换和特征值的理解也是非常重要的。
四、模论模论是高等代数的一个重要分支领域，它研究同余关系及其上的代数运算。
模论的主要内容包括模的基本概念和性质、同余方程、欧拉函数、费马小定理等。
模论在考研中常常会出现在数论和代数题目中。
考生需要掌握模的基本概念和性质，并且了解如何运用模来解决同余方程以及其它相关问题。
五、域扩张域扩张是研究域的扩展问题，它是高等代数中的一个重要内容。
域扩张的主要内容包括代数元素、域扩张的定义和性质、域的判别准则等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《线性代数》复习提纲第一章、行列式1．行列式的定义：用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；◊行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。
奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。
n 阶行列式也可定义：n q q q na a a ⋯=∑21t211-D ）（，t 为n q q q ⋯21的逆序数4.行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等。
2、互换行列式两行或两列，行列式变号。
若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。
3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。
行列式某行（列）的公因子可提到外面。
4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。
5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。
6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。
（按行、列展开法则）7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解DD D Dx D D n =⋯==n 2211x ,x ，，。
：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式D=0. ：若齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则其没有非零解。
：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0。
6.112nr r r nr r r r ==∏，()11(1)221nr n n r r nr r r r-==-∏()n ababad bc c dcd=-,1232222123111111231111()n n i j n i j n n n n nx x x x x x x x x x x x x x ≥>≥----=-∏，（两式要会计算） 题型：Page21（例13） 第二章、矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB ＝BA ，称A 、B 是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A 、B 为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=n k *|A|。
只有方阵才有幂运算。
（3）转置：（kA ）T=kAT ， ()ＴＴA B AB T=（4）方阵的行列式：A A T =，A k kA n =，B A AB =（5）伴随矩阵：E A A A AA **==，－１）Ａ（E A A *=，*A 的行元素是A 的列元素的代数余子式 （6）共轭矩阵：）＝（Ａij a ，A+B=A+B ，A k kA =，B A AB =（7）矩阵分块法：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=+sr sr s s r r B A BA B A B A11111111B A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T sr r11s T11TA A A A AT T 3．对称阵：方阵A A T =。
对称阵特点：元素以对角线为对称轴对应相等。
3．矩阵的秩（1）定义：非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法：一般不用定义求，而用下面结论：范德蒙德行列矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
（3）0≤R(n m A ⨯)≤min{m,n} ； ()()A R A R T = ；若B ~A ，则R(A)=R(B) ；若P 、Q 可逆，则R(PAQ)=R(A) ; max{R(A),R(B)} ≤R(A,B) ≤R(A)+R(B) ； 若AB=C ，R(C)≤min{R(A),R(B)} 4．逆矩阵（1）定义：A 、B 为n 阶方阵，若AB ＝BA ＝I ，称A 可逆，B 是A 的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：()111---=A B AB ， ()()' A A'1-1-=；(A B 的逆矩阵，你懂的)（注意顺序） （3）可逆的条件：① |A|≠0； ②r(A)=n; ③A->I;（4）逆的求解：○1伴随矩阵法A*1-A A =；②初等变换法（A:I ）->(施行初等变换)（I:1-A ）（5）方阵A 可逆的充要条件有：○1存在有限个初等矩阵1P ，…，l P ，使l P P P A 21= ○2E A ~ 第三章、初等变换与线性方程组1、 初等变换：○1()()Ｂ Ａｊｉ−−→−↔，○2()()ＢＡｋｉ−→−⨯，○3()()ＢＡｊｉ＋ｋ−−→−⨯ 性质：初等变换可逆。
等价：若A 经初等变换成B ，则Ａ与Ｂ等价，记作B ~A ，等价关系具有反身性、对称性、传递性。
初等矩阵：由单位阵E 经过一次初等变换得到的矩阵。
定理：对n m A ⨯施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘相应的m 阶初等矩阵；对n m A ⨯施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘相应的n 阶初等矩阵。
等价的充要条件：○1 R(A)=R(B)=R(A,B)○2n m ⨯的矩阵Ａ、Ｂ等价⇔存在m 阶可逆矩阵P 、n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ=B 。
线性方程组解的判定定理：(1) r(A,b)≠r(A) 无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n 有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0，(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)<n 有非零解； 再特别，若为方阵，(1)|A|≠0 只有零解；(2)|A|=0 有非零解 2．齐次线性方程组（1）解的情况：r(A)=n ⇔只有零解 ； r(A)<n ⇔有无穷多组非零解。
（2）解的结构：r n r n a c a c a c X--++= 2211。
（3）求解的方法和步骤：①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；②写出对应同解方程组； ③移项，利用自由未知数表示所有未知数；④表示出基础解系；⑤写出通解。
（4）性质：○1若1ξ=x 和2ξ=x 是向量方程A*x=0的解，则21ξξ+=x 、1ξk x =也是该方程的解。
○2齐次线性方程组的解集的最大无关组是该齐次线性方程组的基础解系。
○3若r A n m =⨯)(R ，则n 元齐次线性方程组A*x=0的解集S 的秩r -=n R S 。
3．非齐次线性方程组（1）解的情况：○1有解⇔ R(A)=R(A,b)。
○2唯一解⇔ R(A)=R(A,b)=n 。
○3无限解⇔ R(A)=R(A,b)＜n 。
（2）解的结构： X=u+r n r n a c a c a c --++ 2211。
（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。
（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。
（5）○1若1η=x 、2η=x 都是方程b Ax =的解，则21ηη-=x 是对应齐次方程0=Ax 的解 ○2η=x 是方程b Ax =的解，ξ=x 是0=Ax 的解，则ηξ+=x 也是b Ax =的解。
第四章、向量组的线性相关性1．N 维向量的定义(注：向量实际上就是特殊的矩阵——行矩阵和列矩阵；默认向量a 为列向量)。
2．向量的运算：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（2）向量内积 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn ； （3）向量长 22221a n a a a a a +++='=（4）向量单位化 (1/|α|)α；3．线性组合（1）定义：若m m a a a λλλ+++= 2211b ，则称b 是向量组1a ，2a ，…，n a 的一个线性组合，或称b 可以用向量组1a ，2a ，…，n a 的线性表示。
（2）判别方法：将向量组合成矩阵，记 A ＝(1a ，2a ，…，n a )○1 B=(1a ，2a ，…，n a ，β)，则：r (A)=r (B) ⇔b 可以用向量组1a ，2a ，…，n a 线性表示。
○2B=(1b ，2b ，…，m b )，则： B 能由A 线性表示⇔R(A)=R(A,B) ⇔AX=B 有解⇒R(B)≤R(A).（3）求线性表示表达式的方法：矩阵B 施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。
注：求线性表示的系数既是求解Ax=b 4．向量组的线性相关性（1）线性相关与线性无关的定义 设02211=+++n n a k a k a k ，若k1,k2,…,kn 不全为0，称线性相关；若全为0，称线性无关。
（2）判别方法：① r(α1，α 2，…，αn)<n ，线性相关； r(α1，α 2，…，αn)=n ，线性无关。
②若有n 个n 维向量，可用行列式判别： n 阶行列式|{ij a }|＝0，线性相关（≠0无关）○3A:1a ，2a ，…，n a ， B:1a ，2a ，…，n a ，1+n a ，若A 相关则B 一定相关，若B 相关A 不一定相关； 若A 无关，B 相关，则向量1+n a 必能由A 线性表示，且表示式唯一。
注：含零向量的向量组必定相关。
5．极大无关组与向量组的秩（1）定义：最大无关组所含向量个数称为向量组的秩（2）求法：设A ＝(1a ，2a ，…，n a )，将A 化为阶梯阵，则A 的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。
（3）矩阵的秩等于它的行向量组的秩也等于它的列向量组的秩。
注：如何证明()()A R A A R T =，101P . 第五章、相似矩阵及二次型 1、向量内积：[]y x y x T =,。
内积性质：[][]x y y x ,,=，[][]x y y x ,,λλ=，[][][]x z x y y z x ,,,+=+;：当x=0时，[]0,=x x ，当x ≠0时，[]0,>x x 2、向量长度：[]22221,n x x x x x x +⋯++==性质：非负性0≥x 、齐次性x x λλ=、三角不等式y x y x +≤+ 3、正交：[]0,=y x 称x 与y 正交。