向量的应用
向量的外积及其应用
向量的外积及其应用向量在几何学和物理学中起着重要作用，它们可以表示位移、速度和加速度等。
在向量中，有一种称为外积的运算。
这种运算有着广泛的应用，如力矩的计算、平面和空间中的面积和体积计算、电磁学中的场强计算等。
本文将介绍向量的外积的定义及其应用。
一、向量的外积向量的外积，又称向量积、叉积，是二维向量和三维向量中的一种运算。
它的值是一个矢量，其大小等于两个矢量所围成平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形所在的平面，满足右手定则。
设有两个向量$ \boldsymbol{a} = (a_{1},a_{2},a_{3}) $和$ \boldsymbol{b} = (b_{1},b_{2},b_{3})$，则它们的向量积为：$$\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\\a_{1} & a_{2} & a_{3} \\b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{vmatrix} = (a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\boldsymbol{i} +(a_{3}b_{1} - a_{1}b_{3})\boldsymbol{j} + (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\boldsymbol{k}\quad\quad $$其中$\boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$ 和$\boldsymbol{k}$分别是$xyz$坐标系中的单位矢量。
式子中的每个分量都可以看作是两个矢量在该坐标轴上的代数积，然后乘上$ \boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$ 和$\boldsymbol{k}$即可。
二、应用1.力矩的计算：在力学中，我们经常会需要计算物体所受力的力矩。
向量叉乘的应用
向量叉乘的应用向量叉乘的应用1. 三维图形的法向量计算在三维几何中，一个平面可以由两个非平行的向量确定。
这个平面的法向量就可以通过这两个向量的叉乘来计算得到。
法向量在计算机图形学中有广泛的应用，常用于光照计算、碰撞检测等场景。
2. 磁场模拟向量叉乘也常用于磁场模拟中。
在物理学中，磁场可以用磁感应强度的矢量表示。
当一个带电粒子在磁场中运动时，它所受到的洛伦兹力可以通过带电粒子的速度向量与磁感应强度的向量进行叉乘来计算。
3. 电动力学中的安培环路定理安培环路定理是电动力学中的一条重要定理，用于计算电流所产生的磁场。
根据定理，沿着闭合曲线的磁场积分等于通过该曲线所限定的面积内的电流总和。
而在计算安培环路积分时，需要用到向量叉乘来计算磁感应强度的方向。
4. 机器人运动规划在机器人运动规划中，向量叉乘有时用于计算机器人末端执行器的方向。
通过计算机器人前进方向与当前末端执行器方向的叉乘，可以得到一个旋转轴，从而实现精确控制机器人的末端位置和姿态。
5. 计算三角形的面积和法向量在计算机图形学中，要绘制一个三角形面片，我们往往需要计算它的面积和法向量。
向量叉乘可以很方便地用来计算三角形的法向量，并进一步用法向量计算三角形的面积。
这在计算机图形学中是非常常见的操作。
6. 机械学中的扭矩计算在机械学中，扭矩是描述物体受到的转动力矩的物理量。
当一个力矩作用在一个向量上时，我们可以通过向量叉乘来计算得到该力矩。
扭矩的正负方向与力矩向量的方向有关，而力矩向量的方向则可以通过两个向量的叉乘来计算得到。
这些只是向量叉乘在实际应用中的一些例子，它还有很多其他应用，比如计算平行四边形的面积、计算电荷在磁场中受到的洛伦兹力等等。
向量叉乘是线性代数中重要的运算，对于很多科学领域和工程应用都有着重要意义。
7. 图像处理中的边缘检测在图像处理中，边缘检测是一项重要的任务。
边缘可以被认为是图像中像素值变化剧烈的地方，可以帮助我们分割图像和提取图像的特征。
向量在物理中的应用举例 课件
提示：夹角越大越费力.
思考1:若两只手臂的拉力为
物体的重力为
那么
三个力之间具有什么关系？
提示:
思考2:假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ， 那么| |，| |，θ之间的关系如何？ 提示:
则AC a b, DB a b.
A
B
2
AC AC AC (a b) (a b)
aaabbabb
2
2
a 2a b b (1)
同理
2
DB
a
2
2a b
2
b
(2)
注意这种求 模的方法
平行四边形两条对角线长的平方和等于两 条邻边长的平方和的两倍.
如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
用向量解力学问题 对物体进行受力分析 画出受力分析图 转化为向量问题
【方法规律】 1.问题的转化,即把物理问题转化为数学问题. 2.模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型. 3.参数的获得,即求出数学模型的有关解----理论 参数值. 4.问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的 物理现象.
例2.如图，□ABCD中，点E，F分别是AD，DC边
的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能 发现AR，RT，TC之间的关系吗？
猜想：AR=RT=TC
D
F
C
T
E
R
A
B
【解析】设AB a, AD b, AR r, 设AC a b.
由于 AR与 共AC线，故设 r n(a b), n R，
平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例
向量的投影及其应用
向量的投影及其应用向量是数学中非常基础的概念，它可以应用于多个领域，如物理、计算机科学、金融等。
其中，向量的投影是一个比较重要的概念，在计算机科学和金融中有着广泛的应用。
本文将详细介绍向量的投影及其应用。
一、向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影。
我们可以通过向量的内积进行计算。
具体来说，如果向量a在向量b上的投影为v，那么可以用以下公式进行计算：v = (a·b) / |b|其中，a·b代表向量a和向量b的内积，|b|代表向量b的模长。
这个公式的含义是，我们可以将向量a拆分为两个部分，一个在向量b上的投影v，另一个在向量b的垂直方向上的剩余部分。
如果我们知道向量a和向量b的内积以及向量b的模长，就可以计算出向量a在向量b上的投影。
一个典型的应用场景是，我们有一个平面上的向量a，我们需要将其投影到一个已知的另一个向量b上。
在物理学中，我们可以将力向量进行分解，计算出在某一方向上施加的力的大小。
二、向量的应用在计算机科学中，向量的投影也有着广泛的应用。
例如，我们可能需要计算两个向量之间的夹角，这时可以通过向量的内积公式求解。
具体地，如果我们有两个向量a和b，那么它们的夹角可以用以下公式计算：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)其中，θ表示向量a和向量b之间的夹角，|a|和|b|表示它们的模长。
根据三角函数的定义，我们可以求出θ的具体数值。
在金融中，向量的应用也非常广泛。
例如，在投资组合中，我们可能需要计算不同资产之间的相关性或协方差，这时可以使用向量运算。
通过向量的内积和模长，我们可以计算出两个资产之间的协方差。
同时，如果我们有多个资产，我们也可以将它们组成一个向量，计算出整个投资组合的协方差和标准差等指标。
总之，向量的投影及其应用非常广泛，不仅仅应用于数学和物理等学科，还有着广泛的应用场景。
通过对向量的投影和计算，我们可以更好地理解和分析不同的问题，为实际应用提供支持。
向量在几何中的应用
向量在几何中的应用几何是研究空间中点、线、面等几何图形的科学。
在几何学中，向量是一种重要的概念，它能够精确地描述几何图形之间的关系和运动。
通过向量的使用，我们可以更加深入地理解几何图形的性质和变换。
本文将探讨向量在几何中的应用，介绍几个常见的向量应用例子。
1. 向量表示线段和平移在几何中，线段是两点之间的部分。
我们可以使用向量来表示线段，并通过向量的运算得到线段的长度、方向和位置关系。
例如，设点A和点B是平面内的两点，则向量AB可以表示线段AB，其长度为|AB|，方向为从A指向B。
如果我们需要将线段AB平移，可以通过向量的平移运算来实现，即将线段的每个点都沿着相同的向量平移。
2. 向量表示几何图形的方向和面积在几何中，向量也被用来表示几何图形的方向。
例如，一条直线的方向可以用与其平行的向量表示，一个三角形的方向可以用两个不共线的向量表示。
通过向量的运算，我们可以判断两个向量之间的夹角，从而确定几何图形的方向关系。
此外，向量还可以用来计算几何图形的面积。
例如，设有一个三角形ABC，可以使用向量AB和向量AC来表示这个三角形，那么这个三角形的面积可以通过向量的叉积来计算，即S = 1/2 |AB x AC|。
3. 向量表示坐标和平面方程在平面几何中，向量可以表示点的坐标。
设点A的坐标为(a, b)，可以将其表示为向量OA = [a, b]，其中O为坐标系的原点。
通过向量的加法和数乘运算，我们可以计算出两个点之间的位置关系和距离。
除此之外，向量还可以用来表示平面方程。
在平面几何中，平面可以用一般方程的形式表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为一个常数。
通过向量的点乘运算，我们可以计算出平面上任意一点的坐标和法向量之间的关系，从而确定平面的方程。
4. 向量表示旋转和投影向量在几何中还有其他应用，例如表示旋转和投影。
在平面几何中，可以通过向量的旋转运算来实现图形的旋转，将图形的每个点都按照同一个角度和方向进行旋转。
向量在力学中的应用
向量在力学中的应用力学是物理学中研究物体力受力和物体运动规律的学科。
在力学中，向量是一个非常重要的概念，它可以用来描述物体受力、运动的方向和大小，提供了求解力学问题的重要工具。
本文将重点探讨向量在力学中的应用。
首先，向量在力学中常被用来描述力的性质。
力是引起物体产生变化或变形的原因，它具有大小和方向。
向量可以用来表示力的大小和方向，这样我们可以通过向量的加减运算、数量积和矢量积等操作来求解更复杂的力学问题。
例如，当我们需要计算多个力合成后的结果时，可以将每个力表示为一个向量，然后利用向量的加法运算得到合力。
由于向量有方向，因此可以清楚地表示力的作用方向，帮助我们更好地理解力的效果。
其次，向量在力学中被用来描述物体的运动。
运动是物体位置随时间的变化，而向量可以用来表示物体的位置、速度和加速度等。
当我们需要描述一个点在空间中的位置时，可以利用向量的起点和终点来表示点的坐标，例如平面直角坐标系中的位置向量。
速度是物体单位时间内位移的大小和方向，可以用速度向量来表示。
加速度是物体单位时间内改变速度的大小和方向，也可以用加速度向量来表示。
向量的方向和大小能够直观地表示物体的运动状态，帮助我们研究物体的运动规律。
此外，向量在力学中还被用来描述力的作用点。
力的作用点是力所施加的物体上的固定点，它可以用向量来表示。
通过向量的叠加运算，我们可以求解由多个力作用于不同点产生的矩，从而得到力对于物体的转矩和力矩。
向量的叉乘运算可以帮助我们计算这些力矩，进而研究物体的平衡和旋转问题。
向量还可以用于解决力学中的相关问题。
例如，当我们需要求解物体的静力平衡时，可以利用向量的平衡条件来解决问题。
根据力的平衡条件，合外力和合内力的和必须为零，从而可以建立方程解得未知量。
向量的平衡条件为我们提供了解决多个力作用下物体平衡问题的重要方法。
此外，在弹性力学中，向量也被广泛应用。
弹性力学研究物体受力后的变形和应力分布，而位移和应变这两个物理量都可以用向量来表示。
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中应用1、向量与图形运用向量解决、研究图形问题，一般情况下，有两种途径：一是选择适当基底，其它有向线段用基底线性表示，然后通过向量运算求解；二是建立适当坐标系，运用向量或点坐标运算求解。
终究用哪一种方法，可视具体问题而定。
下面举例说明之。
例1 P 、Q 过△OAB 重心G ，OP:OA=m ，OQ:OB=n, 求证： 1m +1n =3。
分析 这是涉及到比例问题，运用向量加法、数乘运算即可。
图7-23中有众多线段，不妨以不共线向量→OA 、→OB 为基底，其它有向线段用基底线性表示。
设 →OA =a ，→OB =b ， 那么 →OD =12( a +b ), →OG =13( a +b )，→OP =m →OA ,→OQ =n →OB。
→PG =→OG -→OP =(13-m) a +13b , →PQ =→OQ -→OP = n b –m a 。
∵P 、Q 、G 共线，∴存在λ，使→PG =λ→PQ ，即(13-m) a +13b =λ〔n b –m a 〕。
整理，得(13-m+λm)a +〔13–λn 〕b =0，于是，13-m+λm=0，13–λn=0，消去λ，得1m +1n=3。
例2 △ABC 中，AM:AB=1:3，AN:AC=1:4,，BN 与CN 交于点E ，AB=m ，AC=n,∠BAC=60°，求AE 之长.解 问题涉及到比例，长度与距离，因此必须运用向量三种运算求解。
选择 →AB =a ， →AC =b 为基底，那么→NB = a －14b , →CM =13a －b 。
因N 、E 、B 共线, C 、E 、M 共线，故存在实数λ,μ，使 →NE =λ→NB =λ(a -14b ), →CE =μ→CM =μ(13a -b )。
∵→NC +→CE +→EN =0 ， ∴34b +μ(13a -b )- λ( a -14b )=0 ， (34－μ+14λ)b + (13μ－λ)a =0 。
数学-向量在物理中的应用举例
向量在物理中的应用举例高中数学 会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用．导语 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．一、向量与力2例1 如图，用两根分别长5m和10 m的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解 如图，由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角，BG与铅垂方向成60°角．设A处所受力为F a，B处所受力为F b，物体的重力为G.因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos 45°＋|F b|cos 60°＝|G|＝100，①且|F a|sin 45°＝|F b|sin 60°，②26由①②得|F a|＝150－50，26所以A处所受力的大小为(150－50)N.反思感悟 用向量解决物理问题的一般步骤(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．跟踪训练1 用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.答案 10解析 设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G 都成60°角，且|F 1|＝|F 2|，F 1＋F 2＋G ＝0．∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N ，∴每根绳子的拉力都为10 N.二、向量与速度、加速度、位移例2 (教材P41例4改编)一条宽为 km 的河，水流速度为2 km/h ，在河两岸有两个码头3A ，B ，已知AB ＝ km ，船在水中的最大航速为4 km/h ，问该船怎样安排航行速度可使它3从A 码头最快到达彼岸B 码头？用时多少？解 如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED ，且当AE 与AB 重合时能AC → AD → 最快到达彼岸，根据题意知AC ⊥AE ，在Rt △ADE 和▱ACED 中，||＝||＝2，||＝4，∠AED ＝90°，∴||＝＝2，又AB ＝，∴用时DE → AC → AD → AE → |AD →|2－|DE → |2330.5 h ，易知sin ∠EAD ＝， ∴∠EAD ＝30°.12∴该船航行速度大小为4 km/h ，与水流方向成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5 h.反思感悟 速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算．跟踪训练2 某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走30 m 到达点B ，则此人的3位移的大小是______ m ，方向是北偏东________．答案 60 30°解析 如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，OB → OA → AB → OA → AB →则||＝＝60(m)，OB → |OA →|2＋|AB → |2tan ∠BOA ＝＝，|AB →||OA → |3所以∠BOA ＝60°.所以的方向为北偏东30°.OB → 三、向量与功例3 已知力F (斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g ＝10 m/s 2)解 如图所示，设木块的位移为s ，则W F ＝F·s ＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)．323将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，12所以摩擦力f 的大小为|f |＝|μ(G －F 1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此W f ＝f·s ＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F 和f 所做的功分别为500 J 和－22 J.3反思感悟 力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s|cos θ(θ为F 和s 的夹角)．跟踪训练3 一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．则在这个过程中三个力的合力所做的功为________．答案 －40解析 ∵F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，∴合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)．又∵＝(－1,4)，AB → ∴F ·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，AB → 即三个力的合力做的功等于－40.1．知识清单：(1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解．(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：不能将物理问题转化为向量问题．1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2|D.|v 1v 2|答案 C 解析 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.人的速度和风速方向相反，故选C.2．一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 N ，则两个力的合力的3大小为( )A ．5 NB ．5 N 2C ．5 ND ．5 N36答案 D解析 两个力的合力的大小为|F 1＋F 2|＝＝5(N)．F 21＋F 2＋2F 1·F 263．已知力F 的大小|F |＝10，在F 的作用下产生的位移s 的大小为|s |＝14，F 与s 的夹角为60°，则F 做的功为( )A ．7B ．10C ．14D ．70答案 D 解析 F 做的功为F·s ＝|F ||s |cos 60°＝10×14×＝70.124．当两人提起重量为|G |的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 D解析 作＝F 1，＝F 2，＝－G (图略)，OA → OB → OC → 则＝＋，OC → OA → OB → 当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，所以∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.课时对点练1．如果一架飞机向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么( )A ．s >|a |B ．s <|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比较大小答案 A解析 在△ABC 中，两边之和大于第三边，即s ＝||＋||>||＝|a |，故选A.AB → BC → AC → 2．共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．2答案 D解析 因为F 1＋F 2＝(1,2lg 2)，所以W ＝(F 1＋F 2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)答案 D解析 为使物体平衡，则合力为0，即F 4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．4．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．2 m/s 26C ．4 m/sD ．12 m/s 6答案 B解析 由题意知|v 水|＝2m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图．∴|v |＝＝＝2(m/s)．102＋22104265．一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m ，已知|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A ．24 JB ．24 J 2C ．24 JD ．24 J 36答案 D解析 如图，建立直角坐标系，则F 1＝(1，)，F 2＝(2，2)，F 3＝(－3,3)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(2－2,2＋4)．33333又位移s ＝(4，4)，所以合力F 所做的功W ＝F ·s ＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝24223232 J.66．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( )A ．船垂直到达对岸所用时间最少B ．当船速v 的方向与河岸垂直时用时最少C ．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D ．船垂直到达对岸时航行的距离最短答案 BD解析 根据向量将船速v 分解，当v 垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．7．一个物体在大小为10 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为50 m ，且力F 所做的功W ＝250 J ，则F 与s 的夹角等于________．2答案 π4解析 设F 与s 的夹角为θ，由W ＝F·s ，得250＝10×50×cosθ，∴cos θ＝.又222θ∈[0，π]，∴θ＝.π48．一条河宽为8 000 m ，一船从A 处出发垂直航行到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________ h.答案 0.5解析 如图，v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2，|v 1|＝20，|v 2|＝12，∴|v 实际|＝|v 1|2－|v 2|2＝＝16(km/h)．202－122∴所需时间t ＝＝0.5(h)．816∴该船到达B 处所需的时间为0.5 h.9．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功．解 (1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，AB → W 1＝F 1·＝(3,4)·(－13，－15)AB → ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·＝(6，－5)·(－13，－15)AB → ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·＝(F 1＋F 2)·AB → AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J.10．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解 如图所示，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直AB → AD → AC →过江的速度．因为＋＝，AB →AD →AC →所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，||＝||＝12.5，DC →AB →||＝25，所以∠CAD ＝30°，AD →即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.11．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )A ．40 NB ．10 N2C ．20 N D. N210答案 B解析 对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，可知这两个力的大小都是10 N ；当它们的夹角为120°时，可知力的合成构成一个等边三2角形，因此合力的大小为10 N.212．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v 1的大小为|v 1|＝10 km/h ，水流的速度v 2的大小为|v 2|＝4 km/h.设v 1和v 2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A ′在A 的正北方向，则游船正好到达A ′处时，cos θ等于( )A. B ．－ C. D ．－2152152525答案 D解析 设船的实际速度为v ，v 1与南岸上游的夹角为α，如图所示．要使得游船正好到达A ′处，则|v 1|cos α＝|v 2|，即cos α＝＝，|v 2||v 1|25又θ＝π－α，所以cos θ＝cos(π－α)＝－cos α＝－.2513．一个物体受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且|F 1|＝3 N ，|F 2|＝4 N ，则F 1与F 3夹角的余弦值是________．答案 －53737解析 因为物体处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0．因此F 3＝－(F 1＋F 2)，于是|F 3|＝(F 1＋F 2)2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2＝＝，32＋42＋2×3×4·cos 60°37设F 1与F 3的夹角是θ.又F 2＝－(F 1＋F 3)，所以|F 2|＝(F 1＋F 3)2＝|F 1|2＋|F 3|2＋2F 1·F 3＝＝4，32＋37＋2×3×37·cos θ解得cos θ＝－.5373714.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝9.8 m/s 2)．答案 0 98解析 物体m 的位移大小为|s |＝＝(m)，则支持力对物体m 所做的功为2sin 37°103W 1＝F·s ＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G·s ＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J). 10315.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是( )A ．绳子的拉力不断增大B ．绳子的拉力不断变小C ．船的浮力不断变小D ．船的浮力保持不变答案 AC 解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，绳AB 与水平方向的夹角为θ，(0<θ<π2)则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝.|f |cos θ∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．16.如图所示，在某海滨城市O 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南θ 方向，距点O 300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西(cos θ＝210，θ∈(0，π2))偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？参考数据：cos(θ－45°)＝.45解 设t h 后，台风中心移动到Q 处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ ＝θ－45°.∵＝＋，OQ → OP → PQ → ∴2＝(＋)2OQ → OP → PQ → ＝2＋2＋2·OP → PQ → OP → PQ →＝2＋2－2||||cos(θ－45°)OP → PQ → OP → PQ → ＝3002＋(20t )2－2×300×20t ×45＝100(4t 2－96t ＋900)．依题意得2≤(60＋10t )2，OQ → 解得12≤t ≤24.从而12 h 后该城市开始受到台风的侵袭．。
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向量的应用
向量是数学中一个重要的概念，也是物理、工程等领域常用的工具。
它具有大小和方
向两个方面的特性，常用箭头表示。
在现实生活中，向量的应用非常广泛。
下面将以几个具体的例子来介绍向量在不同领
域的应用。
首先是物理领域。
向量在力学中起着重要的作用。
力的大小和方向可以用向量来表示。
当多个力作用在同一物体上时，可以将这些力的向量叠加得到合力的向量。
利用向量的性质，可以方便地求解物体的运动、受力情况等问题。
在电磁学中，向量也扮演着重要角色。
磁场与电流之间的关系可以用安培环路定理来
描述，该定理可以通过将电流元素所产生的磁场的向量叠加来求解。
向量的应用不仅限于物理领域，还涉及到工程、计算机图形学等领域。
在工程中，向
量被广泛用于描述力、速度、加速度等物理量。
当我们需要分析一座桥的受力情况时，可
以将每个力都用向量表示，并通过向量叠加的方法来得到整体的受力情况。
在计算机图形学中，向量被用于描述空间中的点和矢量。
三维空间中的一个点可以用
三个坐标表示，而两个点之间的方向和距离可以用向量表示。
除了上述领域，向量还可以应用于统计学、经济学等领域。
在统计学中，向量可以用
于表示数据集合。
在多元线性回归中，可以将自变量和因变量表示为向量，并通过求解向
量的线性关系来分析数据。
在经济学中，向量可以用于描述供给和需求的关系。
在供求模型中，可以将供给和需
求的量表示为向量，并通过求解向量的平衡来确定市场的价格和数量。
向量是数学中一个重要的概念，在物理、工程、计算机图形学、统计学、经济学等领
域都有广泛的应用。
通过应用向量，我们可以方便地描述和分析许多现实生活中的问题，
为科学研究和工程实践提供了有效的工具。