(中学)数学学科知识与教学能力测试卷及答案

（中学）数学学科知识与教学能力测试卷
（总分100分，考试时长90分钟）
一、主观题（每小题10 分，共 100分）
1、下列框图反应了三角函数与其他学科内容之间的关系，请用恰当词语补充完整。

2、《义务教育数学课程标准（2011 年版）》附录中给出了两个例子：
例1. 计算15×15，25×25，…，95×95，并探索规律。

例2. 证明例 1 所发现的规律。

很明显例1 计算所得到的乘积是一个三位数或者四位数，其中后两位数为25，而百位和千位上的数字存在这样的规律：1×2=2，2×3=6，3×4=12，…，这是“发现问题”的过程，在“发现问题”的基础上，需要尝试用语言符号表达规律，实现“提出问题”，进一步实现“分析问题”和“解决问题”。

请根据上述内容，完成下列任务：
（1）分别设计例 1、例 2 的教学目标；（8 分）
（2）设计“提出问题”的主要教学过程；（8 分）
（3）设计“分析问题”和“解决问题”的主要教学过程；（7 分）
（4）设计“推广例 1 所探究的规律”的主要教学过程。

（7 分）
3、数学教育家弗赖登塔尔（Hans.Freudental)认为，人们在观察认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象，从客观世界的对象及其关系中抽象并形成数学的概念、法则和定理，以及为解决实际问题而构造的数学模型的过程，就是一种数学化的过程。

（1）请举出一个实例，并简述其“数学化”的过程：（2）分析经历上述“数学化”过程对培养学生“发现问题，提出问题”以及“抽象概括”能力的作用。

4、针对一元二次方程概念与解法的一节复习课，教学目标如下：
① 进一步了解一元二次方程的概念；
② 进一步理解一元二次方程的多种解法（配方法、公式法、因式分解法等）；
③ 会运用判别式判断一元二次方程根的情况；
④ 通过对相关问题的讨论，在理解相关知识的同时，体会数学思想方法，积累数学活动经验。

问题：
根据上述教学目标，完成下列任务：
（１）为了落实上述教学目标①②，请设计一个教学片段，并说明设计意图；（18分）
（２）配方法是解一元二次方程的通性通法，请设计问题串，以帮助学生进一步理解配方法在解一元二次方程中的作用。

（12分）
5、怎样理解学生主体地位和教师主导作用的关系，如何使学生成为学习的主体？
6、叙述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，并以“
是无理数”的教学过程为例说明在教学中如何体现该教学原则。

7、《义务教育教学课程标准（2011年版）》关于平行四边形的性质的教学要求是：探索并证明平行四边形的性质定理——平行四边形的对边以及对角相等，请基于该要求，完成下列教学设计任务：
（1）设计平行四边形性质的教学目标；（6分）
（2）设计两种让学生发现平行四边形性质的教学流程；（12分）
（3）设计平行四边形性质证明的教学流程，使学生领悟证明过程中的教学思想方法。

（12分）
8、数学概念教学中出现的主要问题。

9、请列举数学课堂教学导入的两种方式，并举例说明。

10、函数单调性是刻画函数变化规律的重要概念，也是函数的一个重要性质。

（１）请叙述函数严格单调递增的定义，并结合函数单调性的定义，说明中学数学课程中函数单调性与哪些内容有关（至少列举出两项内容）；（７分）
（２）请列举至少两种研究函数单调性的方法，并分别简要说明其特点。

（８分）
参考答案
一、主观题
1、本题主要考查对课程内容的把握。

1.基本初等函数：与指数函数，对数函数和幂函数进行横向比较；
2.性质特点：三角函数最显著的图像性质就是周期性；
3.锐角三角函数值：通过对锐角三角函数值的学习探索三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
4.应用：重视学科之间的联系与综合，在学习其他学科的相关内容（如单摆运动、波的传播、交流电）时，可以将任意角的三角函数实际应用于其中。

在三角函数的教学中，教师应根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义。

例如，通过单摆、弹簧振子、圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型。

2、本题主要考查考生对于新授课教学设计的能力。

3、本题主要考查对“数学化”的理解。

4、本题主要考查方程的概念与解法的教学设计。

5、好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。

一方面，学生主体地位的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的标志，是学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展。

启发式教学是处理好学生主体地位和教师主导作用关系的有效途径。

教师富有启发性的讲授，创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体。

6、本题主要考查数学教学原则的基本内容，并能够根据实例进行理解和把握。

首先，明确数学教学原则是依据数学教学目的和教学过程的客观规律而制定的指导数学教学工作的一般原理，它是数学教学经验的概括总结，它来自于数学教学实践，反过来又指导数学教学实践。

本题作为论述题，需要分步进行解答。

第一步，阐述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，分别简述严谨性、量力性的内涵，以及严谨性与量力性相结合原则的贯彻；第二步，结合“
是无理数”的教学过程实例阐述在教学过程中如何体现“严谨性与量力性相结合”数学教学原则。

7、本题主要以初中数学教学中的重要内容之一“平行四边形的性质定理”为例，平行四边形的性质定理的基础知识，初中数学课程内容、课程标准及实施建议，教学过程的基本要素及教学方法的选择，教学设计中的教学目标、教学过程及教学策略等相关知识，比较综合性地考查学科知识、课程知识、教学知识以及教学技能的基本知识和基本技能。

（1）新课标倡导三维教学目标，知识与技能目标、过程与方法目标、情感态度与价值观目标。

知识与技能目标，是对学生学习结果的描述，即学生同学习所要达到的结果，又叫结果性目标。

这种目标一般有三个层次的要求：学懂、学会、能应用。

过程与方法目标，是学生在教师的指导下，如何获取知识和技能的程序和具体做法，是过程中的目标，又叫程序性目标。

这种目标强调三个过程：做中学、学中做、反思。

情感态度与价值观目标，是学生对过程或结果的体验后的倾向和感受，是对学习过程和结果的主观经验，又叫体验性目标。

它的层次有认同、体会、内化三个层次。

知识与技能目标是过程与方法目标、情感态度与价值观目标的基础；过程与方法目标是实现知识与技能目标的载体，情感态度与价值观目标对其他目标有重要的促进和优化作用。

（2）让学生发现平行四边形性质的教学流程，可以从不同角度进行设计，如“观察—猜想—验证—归纳”，“动手操作—小组讨论—归纳总结”等，但重要的是让学生在学习过程中进行主动学习，教师只是起到引导的作用，充分体现“学生是主体，教师是主导”的教学理念。

（3）平行四边形关于边、角的性质定理，即平行四边形的对边以及对角相等，这一定理的证明是通过证明三角形全等来证明对边、对角相等来进行的。

注意在平行四边形性质证明的教学流程中，务必使学生领悟证明过程中所用到的转化思想与方法。

8、长期以来部分中学数学教师轻视概念课的教学，过分看重模式化的解题训练，不注重概念教学方法的研究和选择，概念教学往往模式固定，方法死板，重结果而轻过程，从
而导致学生在学习过程中轻视概念学习环节，对概念理解水平较低，不能很好地利用概念解题，影响了其他数学知识的学习，阻碍了学生的能力培养。

9、本题主要考查对课堂导入方法的掌握程度。

10、本题主要考查函数单调性的知识，考生对中学课程内容的掌握以及考生的教学设计能力。