《正方形的性质与判定》第1课时示范课教案【北师大版九年级数学上册】

第一章 特殊的平行四边形
1.3 正方形的性质与判定
第1课时
一、教学目标
1．理解正方形的概念，了解它与菱形、矩形、平行四边形之间的关系．
2．探索并证明正方形的性质定理，进一步发展推理能力．
3．体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．
二、教学重点及难点
重点：探索并证明正方形的性质定理．
难点：学会并积累一些分析问题的思路和解题的方法．
三、教学用具

多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源

《生活中的正方形》图片，《正方形的概念》动画，《正方形的性质》微课.
五、教学过程
【情境导入】
下列图片中出现的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发
现它们有什么样的共同特征吗？

师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题．
答：这些特殊的平行四边形均是正方形．
这节课我们就来研究正方形的概念、正方形的性质及其判定方法．
设计意图：从生活中的图片入手引出本节课要探究的内容，激发学生学习本节课的兴
趣．
【探究新知】
正方形定义
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师给出正方形的定义．
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
议一议 （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？（2）你认为正方形具有哪些性质？
师生活动：教师出示问题，引导学生回答．
答：（1）由正方形的定义可知正方形既是矩形，又是菱形；（2）正方形应该具有矩形与
菱形的所有性质．
猜想：正方形的性质：
（1）正方形的四个角都是直角，四条边相等．
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分．
你能证明你的猜想吗？
师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．
答：（1）已知：如图，在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC．求证：∠A=∠B=∠C=
∠D=90°，AB=BC=CD=DA．

分析：从正方形的定义和平行四边形的性质入手来证明．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，AB=BC，AD∥BC，AB∥DC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠A=180°-90°=90°．
又∵∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°．∴∠D=∠B=90°．
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD=BC．∵AB=BC，
∴AB=BC=CD=DA．
∴正方形的四个角都是直角，四条边相等．
（2）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．求证：AC=BD，

D
C
B
A
AC⊥BD，OA=OC，OB=OD．
分析：从正方形的定义和平行四边形的性质及等腰三角形的性质入手来证明．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．
∵AB=BC，AD=CD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD（SSS）．
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=45°．∴BO平分∠ABC．
在等腰△ABC中，∵BO是AC边上的中线，BO⊥AC（等腰三角形“三线合一”），
∴AC⊥BD．∴∠AOB=90°．
在Rt△AOB中，∵∠OAB=90°-∠ABO=90°-45°=45°，
∴OA=OB（等角对等边）．
∵AC=2AO，BD=2BO，∴AC=BD．
∴正方形的对角线相等且互相垂直平分．
设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．
想一想 正方形有几条对称轴？
师生活动：教师出示问题，让学生拿出一张正方形纸片，折一折，观察、思考、发现结
论并与同伴交流．

结论：正方形是轴对称图形，它有四条对称轴．
设计意图：培养学生的动手能力和发现规律的能力．
议一议 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示
它们之间的关系吗？
师生活动：教师出示问题，让学生尝试表示它们之间的关系，教师引导．
设计意图：让学生整体地理解平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系，并能直

O
D
C
B
A
观地表示这种关系．
【典例精析】
例 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF．BE
与DF之间有怎样的关系？请说明理由．

师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成本题．
解：BE=DF，且BE⊥DF．理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）．
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°．
∴∠BCE=∠DCF．又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF．∴BE=DF．
（2）如图，延长BE交DF于点M．

∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF．∵∠DCF=90°，∴∠CDF+∠F=90°．
∴∠CBE+∠F=90°．∴∠BMF=90°．∴BE⊥DF．
设计意图：培养学生应用所学知识解决问题的能力．
【课堂练习】
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）．
A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角 D．四条边相等
2．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）．
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角
3．在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水（如图），看不清
所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是（ ）．
A．等边三角形 B．四边形
C．等腰梯形 D．菱形
4．如图，四边形ABCD是正方形，E为BC延长线上一点，
且AC=EC，则∠DAE=_________．

5．如图，正方形ABCD的对角线长为82，E为AB上一
点．若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG=________．

6．如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，
连接BF，DF．你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进
行证明．
参考答案
1．A．
2．C．解析：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，因此都具有的性质应该是平行四
边形的性质．
3．D．
4．22.5°．
5．42．解析：设AC与BD相交于点O．
由正方形的性质易知△BEG是等腰直角三角形，四边形EGOF是矩形．
∴有EF=GO，EG=BG．
∴EF+EG=GO+BG=BO=12BD182422．
6．解：△ADF≌△ABF，△DCF≌△BCF，△ADC≌△ABC．
以△ADF≌△ABF为例加以证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠BAF．
∵AF=AF，
∴△ADF≌△ABF（SAS）．

G
E
F
D
C
B

A
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
本节课我们探讨了正方形的定义、正方形的性质及正方形的判定方法，下面我们来共同
总结一下：
1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的性质：
（1）边：对边平行，四条边都相等．
（2）角：四个角都是直角．
（3）对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．

七、板书设计
1.3 正方形的性质与判定（1）
1．正方形的定义
2．正方形的性质定理
（1）正方形的四个角都是直角，四条边相等．
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分．