空间向量与立体几何知识点归纳总结
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间向量及其运算
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.5空间向量及其运算最新考纲1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a ＝b相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ∥b 共面向量平行于同一个平面的向量2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa )·b ＝λ(a ·b )；②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示坐标表示数量积a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线a ＝λb (b ≠0，λ∈R )a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3垂直a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．(√)(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．(×)(3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(√)(6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．(×)题组二教材改编2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案A解析BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．答案2解析|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为2.题组三易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是()A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案B解析由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .5．已知a ＝(2，3，1)，b ＝(－4，2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________.答案26解析∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0，∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6.6．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C四点共面，则实数t ＝______.答案18解析∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18.题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)MP →＋NC 1→.解(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP→＝－12a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＋12b ＋＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.答案12AB →＋12AD →＋AA 1→解析∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.(2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于()A.12(－a ＋b ＋c )B.12(a ＋b －c )C.12(a －b ＋c )D.12(－a －b ＋c )答案B解析NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB→＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC→＝12(a ＋b －c )．题型二共线定理、共面定理的应用例2如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：BD ∥平面EFGH .证明(1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH→＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .思维升华证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA →＝λPB →且同过点P MP →＝xMA →＋yMB→对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB→对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB→跟踪训练2如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？(2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？解(1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →)＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．(2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内，又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面，∴MN ∥平面ABB 1A 1.综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内；当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．(1)证明设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°.MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB→＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0.∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD .(2)解设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r －12p2－12q ·p ＋r ·q －12r ·2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos2－a 24＋a 22－＝a 22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cosθ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．(3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练3如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值．解(1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2＋12＋6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1，→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.1．已知a ＝(2，3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A ．(0，3，－6)B ．(0，6，－20)C ．(0，6，－6)D ．(6，6，－6)答案B解析由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3答案A解析a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.3．已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于()A.32B ．－2C ．0 D.32或－2答案B解析当m ＝0时，a ＝(1，3，－1)，b ＝(2，0，0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m ，解得m ＝－2.4．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为()A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)答案C 解析设P (0，0，z )，则有(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2，解得z ＝3.5．已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为()A.5π6 B.2π3 C.π3 D.π6答案D解析∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1，1，2)，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是()A.3B.2C ．1 D.3－2答案D 解析∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD→|＝3－2.7．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.答案－9解析由题意知c＝x a＋y b，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，x－y＝7，＋2y＝6，3x＋3y＝λ，解得λ＝－9.8．已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.答案(3，－2，2)解析因为a∥b，所以x－2＝4y＝1－1，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2，2)．9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP→＝13VC→，VM→＝23VB→，VN→＝23VD→.则VA与平面PMN的位置关系是________．答案平行解析如图，设VA→＝a，VB→＝b，VC→＝c，则VD→＝a＋c－b，由题意知PM→＝23b－13c，PN→＝23VD→－13VC→＝23a－23b＋13c.因此VA→＝32PM→＋32PN→，∴VA→，PM→，PN→共面．又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确的序号是________．答案①②解析①中，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3A 1B 1→2，故①正确；②中，A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．11．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内．解(1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，∴M ，A ，B ，C 四点共面．∴点M 在平面ABC 内．12．已知a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)解(1)2a ＋b ＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB→＝(－3，－1，4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E －65，－145，13.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.答案56解析连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ，OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12a＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c .又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.14．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是()A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定答案C 解析∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．15．已知O (0，0，0)，A (1，2，1)，B (2，1，2)，P (1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB→取最小值时，点Q 的坐标是________．答案(1，1，2)解析由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1，1，2)．16．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝AC ′，→·CE →|AC ′→||CE →|＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。
《空间向量与立体几何》知识点
《空间向量与立体几何》知识点1.空间向量的概念：⑴在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．⑵向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．⑶向量AB u u u r 的大小称为向量的模（或长度），记作||AB u u u r ．⑷模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．⑸与向量a r 长度相等且方向相反的向量称为a r 的相反向量，记作a -r．⑹方向相同且模相等的向量称为相等向量． 2.空间向量的加法和减法：⑴求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a r 、b r为邻边作平行四边形OACB ，则以O 起点的对角线OC u u u r 就是a r 与b r的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．特别地，在ABC ∆中，D 为BC 的中点，则1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r.⑵求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，则BA a b =-u u u r r r ．3.实数λ与空间向量a r 的乘积a λr是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λr 与a r方向相同；当0λ<时，a λr 与a r 方向相反；当0λ=时，a λr 为零向量，记为0r ．aλr的长度是a r的长度的λ倍．4.设λ，μ为实数，a r ，b r是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+r r r r ；结合律：()()a a λμλμ=r r．5.如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6.向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a r ，()0b b ≠r r，//a b r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r．7.平行于同一个平面的向量称为共面向量．8.向量共面定理：空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使AP x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ；或对空间任一定点O ，有OP OA x AB y AC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1OP xOA yOB zOC x y z =++++=u u u r u u u r u u u r u u u r．9.已知两个非零向量a r 和b r，在空间任取一点O ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则AOB ∠称为向量a r ，b r的夹角，记作a 〈r ，b 〉r ．两个向量夹角的取值范围是：a 〈r ，[0b 〉∈r ，]π．10.对于两个非零向量a r 和b r ，若a 〈r ，2b π〉=r ，则向量a r ，b r互相垂直，记作a b ⊥r r ．11.已知两个非零向量a r 和b r ，则cos a b a 〈r r r ，b 〉r 称为a r ，b r的数量积，记作a b ⋅r r ．即cos a b a b a ⋅=〈r r r r r ，b 〉r．零向量与任何向量的数量积为0．12.a b ⋅r r 等于a r的长度a r 与b r 在a r 的方向上的投影cos b a 〈r r ，b 〉r 的乘积．13.若a r ，b r 为非零向量，e r为单位向量，则有：⑴cos e a a e a a ⋅=⋅=〈r r r r r r ，e 〉r ；⑵0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；⑶()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩r r r r r r r r r r 与同向与反向，2a a a ⋅=r r r，a =r ；⑷cos a 〈r，a b b a b⋅〉=r r r r r ；⑸a b a b ⋅≤r r r r ．14.向量数乘积的运算律：⑴a b b a ⋅=⋅r r r r ；⑵()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；⑶()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ．15.若i r ，j r ，k r 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p r ，存在有序实数组{x ，y ，}z ，使得p xi yj zk =++r r r r，称xi r ，yj r ，zk r 为向量p r 在i r ，j r ，k r 上的分量．16.空间向量基本定理：若三个向量a r ，b r ，c r不共面，则对空间任一向量p r ，存在实数组{x ，y ，}z ，使得p xa yb zc =++r r r r．17.若三个向量a r ，b r ，c r不共面，则所有空间向量组成的集合是{p p xa yb zc =++r r r r r ，x ，y ，}z R ∈．这个集合可看作是由向量a r ，b r ，c r生成的， {a r ，b r ，}c r 称为空间的一个基底，a r ，b r ，c r称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．18.设1e u r ，2e u u r ，3e u r 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e u r ，2e u u r ，3e u r 的公共起点O 为原点，分别以1e u r ，2e u u r ，3e u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．则对于空间任意一个向量p r，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP p =u u u r r．存在有序实数组{x ，y ，}z ，使得123p xe ye ze =++u r u u r u r r．把x ，y ，z 称作向量p r 在单位正交基底1e u r ，2e u u r ，3e u r 下的坐标，记作(p x =r，y ，)z ．此时，向量p r 的坐标是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x ，y ，)z ．19.设1(a x =r ，1y ，1)z ，2(b x =r ，2y ，2)z ，则⑴12(a b x x +=+rr ，12y y +，12)z z +．⑵12(a b x x -=-r r，12y y -，12)z z -.⑶1(a x λλ=r ，1y λ，1)z λ． ⑷121212a b x x y y z z ⋅=++rr ．⑸若a r 、b r 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=r rr r ．⑹若0b ≠r r ，则12//a b a b x x λλ⇔=⇔=r r r r，12y y λ=，12z z λ=．⑺a==r⑻cos a〈r，a bba b⋅〉==rrr⑼1(A x，1y，1)z，2(B x，2y，2)z，则ABd AB==u u u r20.在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量OPuuu r来表示．在空间直角坐标系中，点P的坐标就是向量OPuuu r的坐标.21.若点1(A x，1y，1)z，2(B x，2y，2)z，则：⑴线段AB的中点C的坐标为12(2x x+，122y y+，12)2z z+；⑵点P在直线AB上，且AP ABλ=u u u r u u u r，则点P的坐标为：121(()OP OA AB x x xλλ=+=+-u u u r u u u r u u u r，121()y y yλ+-，121())z z zλ+-.22.直线l垂直α，取直线l的方向向量ar，则向量ar称为平面α的法向量．空间中不共线三点A、B、C确定的平面ABC的法向量有无数条，我们可以这样来求出它的一个法向量：设平面ABC的法向量(n x=r，y，)z，则n AB⊥u u u rr，n AC⊥r u u u r，进而可以得到关于x、y、z的两个三元一次方程，对其中一个变量赋值就可以得到一个法向量nr.23.若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为ar，br，则////a b a b⇔⇔rr()a b Rλλ=∈rr，0a b a b a b⊥⇔⊥⇔⋅=r rr r．24.若直线a的方向向量为ar，平面α的法向量为nr，且aα⊄，则////a aαα⇔ra n a n⇔⊥⇔⋅=r r r r，//a a a n a nααλ⊥⇔⊥⇔⇔=r r r r r．25.若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为ar，br，则////a bαβ⇔⇔rra bλ=rr，0a b a bαβ⊥⇔⊥⇔⋅=r rr r．26.设异面直线a，b的夹角为θ，方向向量为ar，br，其夹角为ϕ，则有cos cosa ba bθϕ⋅==rrrr．27.设直线l的方向向量为lr，平面α的法向量为nr，l与α所成的角为θ，lr与nr的夹角为ϕ，则有sin cosl nl nθϕ⋅==r rr r．28.设1nu r，2nu u r是二面角lαβ--的两个面α，β的法向量，则向量1nu r，2nu u r的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角lαβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=u r u u r u r u u r ．29.点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB u u u r的模AB u u u r 计算．30.在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n r，则定点A 到直线l 的距离为|cos d PA PA =〈u u u r u u u r ，|PA n n n⋅〉=u u u r r rr ．31.点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n r为平面α的一个法向量，则点P到平面α的距离为|cos d PA PA =〈u u u r u u u r ，|PA n n n⋅〉=u u u r r rr ．。
立体几何与空间向量知识点总结
立体几何与空间向量知识点总结我给你说啊，这立体几何和空间向量啊，就像我老家那些七拐八拐的胡同一样，看着迷糊，其实有条理着呢。
咱先说这立体几何，那各种各样的立体图形，就像一个个有性格的人。
棱柱啊，棱柱就像那种规规矩矩站得笔直的人，棱是棱，面是面，每一条棱都像是它的骨头架子，支撑着整个身体。
我就想起我小时候村里的老槐树，树干直直的，那些树枝就像棱柱的棱，向不同方向伸展着。
再说棱锥，棱锥就有点像那种尖脑袋的家伙，顶点那尖尖的，就像一个人在人群里冒尖儿似的。
它的底面可以是各种各样的多边形，就像不同的人有不同的脚底板儿。
我曾经和一个朋友聊这个棱锥，他非说棱锥像他家里的那种老式帐篷，我当时就笑他，这哪能一样呢？不过仔细想想，还真有点那个意思，帐篷撑起来，也是尖尖的顶，下面一个多边形的底面。
还有球，球这个东西可就圆滑了，没有棱没有角的。
就像那种在社会上混得特别圆滑的人，不管从哪个方向看，都是一样的。
我有一次拿着个球给我侄子看，他就用手在球上乱摸，还说这个球像他吃的糖球，外面裹着一层甜甜的东西。
我就笑着说，你这小娃娃就知道吃。
再来说说空间向量。
空间向量就像是给这些立体图形安上了导航仪。
它有方向，有大小。
你可以想象向量是一个小小的箭头，在空间里飞来飞去的。
我曾经和一个学生讨论这个空间向量，他怎么都理解不了向量的方向这个概念。
我就着急啊，我说你就想象你自己是个小箭头，你要往哪儿走，这个方向就是向量的方向。
他眼睛突然就亮了，好像一下子就懂了。
在解决立体几何问题的时候，空间向量就像是一个得力的助手。
比如说求两个平面的夹角，要是光靠想象，那可费劲了。
但是有了空间向量，就可以通过计算向量之间的夹角来得出平面的夹角。
这就像是本来要翻山越岭去一个地方，现在有了直升机，直接就飞过去了。
我觉得这立体几何和空间向量啊，就像是一个神秘的世界。
有时候我就像一个探险家，在这个世界里摸索着前进。
有时候遇到难题了，就像走进了一个死胡同，急得我直挠头。
空间向量与立体几何知识点
空间向量与立体几何知识点空间向量与立体几何知识点导言：空间向量与立体几何是数学中的两个重要分支，它们既有相互联系的地方，又有各自的独立性。
在几何学中，通过运用向量的概念可以方便地解决一些立体几何的问题，而立体几何知识则为空间向量的研究提供了丰富的实例。
本篇文章将以2000字的篇幅，给出空间向量与立体几何的一些重要知识点，并通过举例说明它们在解决实际问题中的应用。
一、空间向量的基本概念空间向量可理解为带有大小和方向的有向线段，它在三维坐标系中可以由三个分量表示，即一个有序三元组。
空间向量有以下重要性质：1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a 以及 (a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的数量乘法：向量与一个实数的乘积是一个新的向量，它具有与原向量相同的方向，但长度变化了。
3. 向量的模：向量的模即它的长度，用两点间的距离计算得到，即|a| = √(x^2 + y^2 + z^2)。
二、空间向量的坐标表示在直角坐标系中，向量的坐标表示为(a, b, c)，其中a、b、c分别表示向量在X、Y、Z轴上的投影长度。
可以利用向量的坐标表示来计算向量的模、向量之间的夹角、向量之间的数量积和叉积等。
三、立体几何中的直线与平面在三维空间中，直线可以由两个点或者一个点和一个方向向量来确定，即直线的参数方程可以写为l: P = P0 + td，其中P为直线上一点的坐标，P0为直线上已知点的坐标，d为直线的方向向量，t为参数。
利用参数方程，可以方便地求解直线和直线之间的距离、直线与平面的交点等问题。
平面可以由一个点和两个方向向量来确定，也可以由一个点和法向量确定。
平面的方程一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为法向量的分量。
利用平面的方程，可以方便地求解平面与平面之间的夹角、直线与平面之间的夹角等问题。
四、立体几何中的体积计算在立体几何中，体积是一个重要的概念，通常用来描述物体所占据的空间大小。
空间向量与立体几何知识点汇总
空间向量与⽴体⼏何知识点汇总⽴体⼏何空间向量知识点总结知识⽹络：知识点拨：1、空间向量的概念及其运算与平⾯向量类似，向量加、减法的平⾏四边形法则，三⾓形法则以及相关的运算律仍然成⽴．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共⾯向量定理都是平⾯向量在空间中的推⼴，空间向量基本定理则是向量由⼆维到三维的推⼴．2、当a 、b 为⾮零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之⼀，这是运⽤空间向量研究线线、线⾯、⾯⾯垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．3、公式cos ,a b a b a b ?<>=是应⽤空间向量求空间中各种⾓的基础，⽤这个公式可以求两异⾯直线所成的⾓（但要注意两异⾯直线所成⾓与两向量的夹⾓在取值围上的区别），再结合平⾯的法向量，可以求直线与平⾯所成的⾓和⼆⾯⾓等．4、直线的⽅向向量与平⾯的法向量是⽤来描述空间中直线和平⾯的相对位置的重要概念，通过研究⽅向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平⾯、平⾯与平⾯等的位置关系以及有关的计算问题．5、⽤空间向量判断空间中的位置关系的常⽤⽅法（1）线线平⾏证明两条直线平⾏，只需证明两条直线的⽅向向量是共线向量．（2）线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的⽅向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．（3）线⾯平⾏⽤向量证明线⾯平⾏的⽅法主要有：①证明直线的⽅向向量与平⾯的法向量垂直；②证明可在平⾯找到⼀个向量与直线⽅向向量是共线向量；③利⽤共⾯向量定理，即证明可在平⾯找到两不共线向量来线性表⽰直线的⽅向向量．（4）线⾯垂直⽤向量证明线⾯垂直的⽅法主要有：①证明直线⽅向向量与平⾯法向量平⾏；②利⽤线⾯垂直的判定定理转化为线线垂直问题．（5）⾯⾯平⾏①证明两个平⾯的法向量平⾏（即是共线向量）；②转化为线⾯平⾏、线线平⾏问题．（6）⾯⾯垂直①证明两个平⾯的法向量互相垂直；②转化为线⾯垂直、线线垂直问题．6、运⽤空间向量求空间⾓（1）求两异⾯直线所成⾓利⽤公式cos,a ba ba b<>=，但务必注意两异⾯直线所成⾓θ的围是0,2π?，故实质上应有：cos cos,a bθ=<>．（2）求线⾯⾓求直线与平⾯所成⾓时，⼀种⽅法是先求出直线及射影直线的⽅向向量，通过数量积求出直线与平⾯所成⾓；另⼀种⽅法是借助平⾯的法向量，先求出直线⽅向向量与平⾯法向量的夹⾓φ，即可求出直线与平⾯所成的⾓θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求⼆⾯⾓⽤向量法求⼆⾯⾓也有两种⽅法：⼀种⽅法是利⽤平⾯⾓的定义，在两个⾯先求出与棱垂直的两条直线对应的⽅向向量，然后求出这两个⽅向向量的夹⾓，由此可求出⼆⾯⾓的⼤⼩；另⼀种⽅法是转化为求⼆⾯⾓的两个⾯的法向量的夹⾓，它与⼆⾯⾓的⼤⼩相等或互补．7、运⽤空间向量求空间距离空间中的各种距离⼀般都可以转化为求点与点、点与线、点与⾯的距离．（1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．（2）点与⾯的距离点⾯距离的求解步骤是：①求出该平⾯的⼀个法向量；②求出从该点出发的平⾯的任⼀条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点⾯距离．备考建议：1、空间向量的引⼊，把平⾯向量及其运算推⼴到空间，运⽤空间向量解决有关直线、平⾯位置关系的问题，应体会向量⽅法在研究⼏何图形中的作⽤，进⼀步发展空间想像能⼒和⼏何直观能⼒．2、灵活选择运⽤向量⽅法与综合⽅法，从不同⾓度解决⽴体⼏何问题．3、在解决⽴体⼏何中有关平⾏、垂直、夹⾓、距离等问题时，直线的⽅向向量与平⾯的法向量有着举⾜轻重的地位和作⽤，它的特点是⽤代数⽅法解决⽴体⼏何问题，⽆需进⾏繁、难的⼏何作图和推理论证，起着从抽象到具体、化难为易的作⽤．因此，应熟练掌握平⾯法向量的求法和⽤法．4、加强运算能⼒的培养，提⾼运算的速度和准确性．第⼀讲空间向量及运算⼀、空间向量的有关概念1、空间向量的定义在空间中，既有⼤⼩⼜有⽅向的量叫做空间向量．注意空间向量和数量的区别．数量是只有⼤⼩⽽没有⽅向的量．2、空间向量的表⽰⽅法空间向量与平⾯向量⼀样，也可以⽤有向线段来表⽰，⽤有向线段的长度表⽰向量的⼤⼩，⽤有向线段的⽅向表⽰向量的⽅向．若向量a对应的有向线段的起点是A，终点是B，则向量a可以记为AB，其模长为a或AB．3、零向量长度为零的向量称为零向量，记为0．零向量的⽅向不确定，是任意的．由于零向量的这⼀特殊性，在解题中⼀定要看清题⽬中所指向量是“零向量”还是“⾮零向量”．4、单位向量模长为1的向量叫做单位向量．单位向量是⼀种常⽤的、重要的空间向量，在以后的学习中还要经常⽤到．5、相等向量长度相等且⽅向相同的空间向量叫做相等向量．若向量a与向量b相等，记为a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的⾮零向量都可以⽤空间中的同⼀条有向线段来表⽰，并且与有向线段的起点⽆关．6、相反向量长度相等但⽅向相反的两个向量叫做相反向量．a的相反向量记为－a⼆、共⾯向量1、定义平⾏于同⼀平⾯的向量叫做共⾯向量．2、共⾯向量定理若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共⾯的充要条件是存在实数对x、y,使得p=xa yb。
立体几何空间向量公式知识点归纳总结
立体几何空间向量公式知识点归纳总结 1、空间向量的概念： （1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．（2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．（3）向量的大小称为向量的模（或长度），记作．（4）模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．（5）与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：（1）平行四边形法则．（2）三角形法则．3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍．4、分配律：；结合律：．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则．AB AB 01a a a -λa a λ0λ>a λa 0λ<a λa 0λ=a λ0a λa λ()a b a b λλλ+=+()()a a λμλμ=a ()0b b ≠//a b λa b λ=P C AB x y x y C AP =AB +A O x y C OP =OA +AB +A P A B C ()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作． 11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 13、若，为非零向量，为单位向量，则有；； ，，； ； ． 14、量数乘积的运算律： ； ； ．15、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得．16、三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是．这个集合可看作是由向量，，生成的，称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．17、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方a b O a OA =b OB =∠AOB a b ,a b 〈〉[],0,a b π〈〉∈a b ,2a b π〈〉=a b a b ⊥a b cos ,a b a b 〈〉a b a b ⋅cos ,a b a b a b ⋅=〈〉0a b ⋅a a b a cos ,b a b 〈〉a b e ()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉()20a b a b ⊥⇔⋅=()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向2a a a ⋅=a a a =⋅()4cos ,a ba b a b ⋅〈〉=()5a b a b ⋅≤()1a b b a ⋅=⋅()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅a b c p {},,x y z p xa yb zc =++a b c {},,,p p xa yb zc x y z R =++∈a b c {},,a b c a b c 1e 2e 3e O 1e 2e 3e O 1e 2e 3e x y z向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标．18、设，，则（1）．（2）．（3）．（4）．（5）若、为非零向量，则．（6）若，则．（7）（8）（9），，则19、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有．20、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置．21、直线垂直平面，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．22、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则，．23、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且， xyz O p {},,x y z 123p xe ye ze =++x y z p 1e 2e 3e (),,p x y z =p P xyz O (),,x y z ()111,,a x y z =()222,,b x y z =()121212,,a b x x y y z z +=+++()121212,,a b x x y y z z -=---()111,,a x y z λλλλ=121212a b x x y y z z ⋅=++a b 12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=0b ≠121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===21a a a x =⋅=+21cos ,x a b a b a b x ⋅〈〉==+()111,,x y z A ()222,,x y z B =(d x AB =AB =l l A A l a l l P ta AP =ααO a b P α(),x y xa yb OP =+O a b αl αl a a αa b a b ////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=a a αn a α⊄则，．24、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则，．25、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有．26、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．27、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．28、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．29、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为．////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=αβa b ////a b αβ⇔⇔a b λ=0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=a b θa b ϕcos cos a b a bθϕ⋅==l l αn l αθl n ϕsin cos l n l nθϕ⋅==1n 2n l αβ--αβ1n 2n l αβ--θ1212cos n n n n θ⋅=l P A l n A l cos ,nd n n PA⋅=PA 〈PA 〉=P αA αn αP αcos ,n d n n PA⋅=PA 〈PA 〉=。
空间向量与立体几何知识点
空间向量与立体几何知识点第一篇：空间向量1. 空间向量的表示方法空间向量可以用有向线段、坐标和向量分量等多种方式进行表示。
其中，有向线段表示空间向量的长度、方向和起点，坐标表示空间向量的左端点和右端点的坐标，向量分量表示空间向量在三个坐标轴上的投影。
2. 空间向量的加减法空间向量的加减法与二维向量的加减法类似，可以通过将两个向量的分量逐一相加或相减得到结果向量的分量。
也可以通过平移法、三角法、正交分解等方法进行计算。
3. 空间向量的数量积和向量积空间向量的数量积和向量积都具有几何意义和物理意义。
数量积表示两个向量之间的夹角余弦值和向量长度的乘积，通常用于计算向量的投影和求解平面或直线的方程。
向量积表示两个向量所在平行四边形的面积和法向量，通常用于计算向量的叉积、平面或直线的法向量以及计算空间中两个平面的夹角。
4. 空间向量的共线、垂直和平行空间向量的共线、垂直和平行是三种基本关系。
当两个向量共线时，它们所在直线相交或重合；当两个向量垂直时，它们的数量积为0，而向量积为一个与它们垂直的向量；当两个向量平行时，它们的向量积为0，而数量积为它们长度的乘积。
5. 应用举例空间向量广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
例如，通过计算物体的重心和质量分布情况，可以求解物体的转动惯量和稳定性问题；通过计算矢量场中的散度和旋度，可以分析流体的运动状态和变化规律；通过计算三维空间中的距离和夹角，可以在计算机图形学中进行三维模型的建模和渲染。
第二篇：立体几何1. 立体几何的基本概念立体几何是研究三维空间中的基本几何对象和它们的性质、关系的数学分支。
它包括点、线、面、体和空间角等多个基本概念，用于描述和分析三维物体的形状、大小和位置关系。
2. 立体几何的基本公理立体几何的基本公理是欧几里得几何的扩展，是指空间中的点、线、面、体和空间角等基本几何对象应满足的性质和约束。
这些公理包括点的唯一性、直线的唯一性、平面的唯一性、线段长度的可加性、平面的无限性、等角推移原理等。
高中数学知识点总结大全空间向量与立体几何
高中数学知识点总结空间向量与立体几何一、考点概要：1、空间向量及其运算〔1〕空间向量的根本知识：①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。
②空间向量根本定理：ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。
且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。
ⅳ空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，那么对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。
③共线向量〔平行向量〕：ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。
ⅱ规定：零向量与任意向量共线；ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，使。
④共面向量：ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。
ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在α内，那么说向量平行于平面α，记作。
平行于同一平面的向量，也是共面向量。
ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。
ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。
ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。
⑤空间两向量的夹角：两个非零向量、，在空间任取一点O，作，〔两个向量的起点一定要相同〕，那么叫做向量与的夹角，记作，且。
⑥两个向量的数量积：ⅰ定义：空间两个非零向量、，那么叫做向量、的数量积，记作，即：。
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③（分配律）。
④不满足乘法结合率：
二．空间向量与立体几何
1．线线平行两线的方向向量平行
1—1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直
1-2面面平行两面的法向量平行
2线线垂直（共面与异面)两线的方向向量垂直
2—1线面垂直线与面的法向量平行
2-2面面垂直两面的法向量垂直
3线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角，
外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。
垂心P：高的交点：（移项,内积为0，则垂直)
重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）
中心：正三角形的所有心的合一。
（4）模长公式：若，，
则，
(5）夹角公式:。
ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角,钝角Δ
（6)两点间的距离公式：若，,
则,
或
7。空间向量的数量积.
5.解：
所以，。
(1)；
（2）。
；
（3）。
2.解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
(2）解：∵,又∵，
∴。
所以，平面平面。
3.
解：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
∴,
。
.
4.分析:⑴
∴∠BAC＝60°,
⑵设＝（x，y，z）,则
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝（1，1,1）或＝（－1,－1，－1）.
⑵加法结合律:
⑶数乘分配律：
运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则
3。共线向量.
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。
（2)共线向量定理:空间任意两个向量、(≠)，//存在实数λ，使＝λ.
(3）三点共线：A、B、C三点共线〈=〉
4-1线面距离（线面平行):转化为点面距离
4-2面面距离（面面平行）:转化为点面距离
【典型例题】
1．基本运算与基本知识（)
例1。已知平行六面体ABCD－,化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.
⑴;⑵；
⑶；⑷.
例2.对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式:
（其中）的四点是否共面？
例3已知空间三点A（0，2，3)，B（－2,1，6）,C(1,－1，5）.
注：①点A(x，y，z)关于x轴的的对称点为（x,-y，-z),关于xoy平面的对称点为（x,y，—z）。即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0，y,0）,在平面yOz中的点设为（0,y,z)
(2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y，z)
空间向量与立体几何知识点归纳总结
一．知识要点。
1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性
2.空间向量的运算.
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）.
;；
运算律：⑴加法交换律：
⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；
⑵若向量分别与向量垂直，且|｜＝，求向量的坐标。
2．基底法（如何找,转化为基底运算）
3．坐标法(如何建立空间直角坐标系,找坐标）
4．几何法
例4。如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。
说明：由图形知向量的夹角易出错，如易错写成，切记！
例5.长方体中,，为与的交点,为与的交点，又，求长方体的高。
3—1线面夹角：求线面夹角的步骤:先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可,若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角。
3—2面面夹角（二面角）：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角。
4．点面距离:求点到平面的距离：在平面上去一点，得向量；；计算平面的法向量；。
【模拟试题】
1。已知空间四边形,连结,设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量:（1）；
（2)；(3）。
2。已知平行四边形ABCD,从平面外一点引向量。
。
（1)求证：四点共面;
(2）平面平面。
3.如图正方体中，,求与所成角的余弦。
5.已知平行六面体中,
，
,求的长。
［参考答案]
1。解:如图，
(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点,作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定,显然有；若，则称与互相垂直,记作:.
（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。
（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作,即。
（4）空间向量数量积的性质：
①。②。③。
（5)空间向量数量积运算律：
（3）空间向量的直角坐标运算律：
①若,，则，
，,
,
,
。
②若，，则。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
③定比分点公式：若,,，则点P坐标为.推导:设P（x,y,z）则,显然，当P为AB中点时，
④，三角形重心P坐标为
⑤ΔABC的五心：
内心P：内切圆的圆心,角平分线的交点。（单位向量)
<=〉
（4）与共线的单位向量为
4.共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的.
（2)共面向（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>
<=>
5.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。
若三向量不共面,我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。
6.空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点,存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。