含参不等式的解法举例

含参不等式专题(淮阳中学)

编写：孙宜俊当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型 (即是那一种不等式) 的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。

解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：

(1)二次项的系数；(2)判别式；(3)不等号方向( 4)根的大小。

一、含参数的一元二次不等式的解法：

1．二次项系数为常数(能分解因式先分解

因式，不能得先考虑0 )

例1、解关于X的不等式X2 (a 1)x a 0。

解：(x2a)( x 1) 0

令(x a)(x 1) 0 x a, x 1为方程的两个根

(因为a与1的大小关系不知，所以要分类讨论)

(1)当a 1 时，不等式的解集为{x| x 1 或x a}

( 2 )当a 1 时，不等式的解集为{x|x a或x1}

( 3 )

当a 1 时，不等式的解集为{x|x1}

综上所

述：

(1)当a 1 时，不等式的解集为{x| x1或X a} ( 2 )

当a 1 时，不等式的解集为{x|x a或x1} ( 3 )

当a 1 时，不等式的解集为{x|x1}

变题1 、

解不等式x2(a 1)x a 0 ；2

、

解不等式x2 (a2 a)x a3 0。

小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题 2 中 2 个根都有参数的要加强讨

例2、解关于x 的不等式2x 2 kx k 0

分析 此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别 式的

值也不同，故应先从讨论判别式入手. 解 k 2 8k k(k 8)

分解因式先分解因式，不能得先考虑 0)

例3、解关于 x 的不等式：

2 ax (a 1)x 1 0.

解：若a 0，

原不等式 x 1 0 x 1.

若a 0， 原不等式

(x 丄)(x 1) 0

x 丄或x 1

a

a

若a 0

， 原不等式

(x

1

)(x 1) 0. ()

a

其解的情况应由1与1的大小关系决定，故

a

(1) 当a 1时，式()的解集为；

1

(2) 当 a 1 时，式()-x 1 ;

a

1

(3) 当 0 a 1 时，式()1 x -.

a

综上所述，当a 0时，解集为{ xx —或x 1};

a

(1)当

0,既k 8或k

0时，方程2x 2

所以不等式2x 2 kx k

0的解集是：

⑵当 0即k 8或k

0时,方程2x 2

⑶当

0,即8 k 0时,方程2x 2

所以不等式2x 2 kx k 0的解集为 说明：一元二次方程、一元二次不等式、 注意

数形结合研究问题。

小结：讨论，即讨论方程根的情况。

2.二次项系数含参数(先对二次项系数讨论,

kx k 0有两个不相等的实根。

kx k 0有两个相等的实根，

，即 2 ,{0}；

kx k 0无实根

。

、一元二次函数有着密切的联系，要

分大于、等于或小于

0,然后能

所以不等式2x 2 kx k 0的解集是

例5、解关于的x 不等式(m 1)x 2 4x 1

0(m R)

分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1 1时，还需

对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论： ⑴当m< —1时，/ =4 (3-m ) >0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不 等式的解集取两边。⑵当一10,图象开口向上，与 x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。⑶当 m=3时，/ =4 (3— m ) =0，图 象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程 4x 2 4x 1 0的根。

当a 0时，解集为｛x x 1｝；

a 1时，解集为｛ x1

x -｝；

a

1时，解集为；当a 1

1时，解集为｛x 丄 a

x 1｝.

例4、解关于x 的不等式: 2

ax :ax 2

ax 1

0.

() (1) a 0时， ()

1 0 x R. (2) a 0

时，

则 a 2 4a 0 a 0 或 a

4

此时两根为x i

a 2 4a 2a

a

a 2 4a 2a

①当a 0时， 0， ()a

②当4 a 0时， 0，() ③当a

4时，

0，

()x

④当a 4时， 0， ()x

综上，可知当a 0时，〕

解集为(」-

当4 a 0时，解集为

当a

4时, 解集为(

当a 4时， 解集为(

a 2 4a 2a

a a 2 4a

2a ；

2a

a ••、a 2 4a

2a

a a 2 4a

2a

,1)(

)；

a .a 2 4a

2a

Ja 2 4a ) , /■

2a

1 0.

ax 解 X 2 ••、a 2

4a

2a