高等数学复习题(答案)
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高 等 数 学
一、填空题
1．曲线⎰
=
x dt t y 0
sin 的全长=_________．
2．设)(x f 在0=x 点的某邻域内连续，且1)0(=f ，
则2
sin )(lim
x
du
u f dt t x
x ⎰⎰→=__________．
3．设⎰
+=
x t dt e x f 20
1)(2
，)(x f y =的反函数是)(x y ϕ=，则
)1(ϕ'=___________．
4．设二阶常系数线性微分方程x
e y y y -=+'+''γβα的一个特解 为x
x
e
x e y -++=)1(，则此方程的通解为___________．
5．设函数)(x f 在0=x 点的某个邻域内连续，且21
)
(lim
0=-→x x e x f ，则曲线
)(x f y = 在0=x 处的法线方程为_________．
6．曲线⎩⎨⎧-=-=t
y t t x cos 1sin 在2π
=t 处的曲率半径 R =___________．
7．
⎰⎰
∑
dxdy z
1
=___________，其中∑为222y x R z --=的上侧． 8．若函数)(x f y =处处二阶可导，且点))(,(p f p 是曲线)(x f y =的拐点， 则=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
++-+-++→→kh p f h p f k p f h k p f h k )()()()(lim
lim 00_________． 9．设),(x y xy f z =，且f 有二阶连续偏导数，则=∂∂∂y
x z
2_________________．
10．点)0,1,1(到直线
1
3
21-==z y x 的距离为___________． 11．若函数),(y x f 在D ：422≤+y x 上连续，且
2),(),(-=⎰⎰y x f dxdy y x f xy
D
，则),(y x f =__________．
12．级数(
)
∑+∞=1
cos 2n n
n
x n 的收敛区间为__________． 13．
dx e
dy y
x ⎰⎰
-10
12
=__________．
14．已知曲线的方程为⎰
--=
x dt t x f 1
|)|1()(，则曲线)(x f y =与x 轴围成的
平面图形的面积为__________． 15．=∑⋅∞
=-11
3
1
n n n ___________．
二、选择题
1．若)(x f 在0x 点处取得极大值，则下面结论正确的是 （ ） （A ）0)(0='x f ，且0)(0<''x f （B ）0)(0='x f ，且0)(0>''x f
（C ）0)(0='x f ，且0
2．设)(x f 在0x 点的某个邻域内存在)1(+n 阶连续导数，且
0)()()(0)(00===''='x f x f x f n ，0)(0)1(>+x f n ，则 （ ）
（A ）当n 为奇数时，))(,(00x f x 必是曲线)(x f y =的拐点 （B ）当n 为偶数时，))(,(00x f x 必是曲线)(x f y =的拐点 （C ）当n 为奇数时，)(x f 在0x 点处必不取得极值 （D ）当n 为偶数时，)(x f 在0x 点处必取得极值
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3．设⎪⎩⎪
⎨⎧≥+<+=0
0sin 1cos )(2
x c
bx x x a x
x x f ，且)(x f 在0=x 处可导，则
（ ）
（A ）b a -=， 0=c （B ）b a =， 0=c （C ）b a -=， c 任意
（D ）b a =， c 任意
4．设)(x f 是),(∞+∞-内连续的正值函数，dt
t f dt t x f t x x x x ⎰⎰--=0
)()()()(ϕ，则
（ ）
（A ）)(x ϕ在)0,(∞-内单调增加，在),0(∞+内单调减少 （B ）)(x ϕ在)0,(+∞-内单调减少，在),0(∞+内单调增加 （C ）)(x ϕ在),(∞+∞-内单调增加 （D ）)(x ϕ在),(∞+∞-内单调减少
5．曲线x x y arctan 2-=的渐近线有 （ ） （A ）一条
（B ）二条 （C ）三条 （D ）四条
6．若级数∑∞
=12
3n n n n a 收敛，则∑-∞=1)1(n n n
na 是 （ ）
（A ）绝对收敛的 （B ）条件收敛的 （B ）发散的
（D ）收敛与否与n a 有关
7．设)(x f 是具有一阶连续导数的非负任意函数，且
⎰
)(0
)(x f dt t f 是当0→x 时
与2
4x 等价的无穷小量，则)0(f '= （ ） （A ）0
（B ）1
（C ）2
（D ）
2
1
8．已知曲线)(x f y =过原点，且在原点处的法线垂直于直线
)(,13x y y x y ==-是微分方程02=-'-''y y y 的解，则=)(x y （ ）
（A ）x x
e e
2--
（B ）x x
e e
--2