导数及其应用训练四

导数及其应用训练四

一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分) 1.在下列命题中，正确的是（ ） Ａ．导数为零的点一定是极值点

Ｂ．如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，则0()f x 是极大值 Ｃ．如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，则0()f x 有极小值 Ｄ．如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，则0()f x 是极大值 2. 函数2()2ln f x x x =-的单调递增区间是（ ）

Ａ．(01)， Ｂ．0⎛ ⎝

⎭

Ｃ．12

⎛⎫+ ⎪⎝⎭

，

∞ Ｄ．102

⎛⎫- ⎪⎝⎭

，与12

⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

，∞ 3. (2011 全部) 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高应为（ ）

cm Ｂ．100cm Ｃ．20cm Ｄ．203

cm

4. 设2()()(0)f x x ax bx c a =++≠在1x =和1x =-处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是（ ）

Ａ．()a b ， Ｂ．()a c ， Ｃ．()b c ， Ｄ．()a b c +， 5.在下列命题中，正确的是（ ）

Ａ．若()f x 在()a b ，内是严格增函数，则对任何()x a b ∈，都有()0f x '> Ｂ．若在()a b ，内对任意x 都有()0f x '>，则()f x 在()a b ，内是严格增函数 Ｃ．若在()a b ，内()f x 为单调函数，则()f x '也为单调函数 Ｄ．若可导函数在()a b ，内有()0f x '<，则在()a b ，内有()0

f x <

6. 已知函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴相切于(10)，点，则函数()f x 的极值为（ ） Ａ．极大值为

4

27

，极小值为

0 Ｂ．极大值为0，极小值为4

27

-

Ｃ．极大值为0，极小值为5

27- Ｄ．极大值为527

，极小值为0

7. 函数()f x 的定义域为(0)+，∞且()0f x >，()0f x '>，那么函数()y x f x =·（ ）

Ａ．存在极大值 Ｂ．存在极小值 Ｃ．是增函数 Ｄ．是减函数 8. 已知32()26f x x x m =-+（m 为常数），在[22]-，上有最大值3，那么此函数在[22]-，上的最小值为（ ）

Ａ．37- Ｂ．29- Ｃ．5- Ｄ．以上都不对 9. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10km/h 时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元．要使航行每千米的总费用和最小，则此轮船的速度为（ ）

Ａ．25km/h Ｂ．20km/h Ｃ．15km/h Ｄ．30km/h 10. 设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()

y f x '=的图象可能为

（ ）

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11. 在曲线323610y x x x =++-的切线斜率中，最小值是 ． 12. 已知2(cos 2)12sin f x x =-，则()f x '= ．

13.函数cos y x x =+在π02x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，上取最大值时，x 的值为 ．

14.若函数32y ax bx cx =++的图象过点(14)A ，，当2x =时，此函数有极值0，则a = ，b = ，c = ． 15.函数2cos y x =的减区间是 ． 三、解答题（12+12+12+12+13+14=75分） 16.设

()()sin ()cos f x ax b x cx d x

=+++，试确定常数

a b c d

，，，，使得

()cos f x x x '=．

17.若一物体运动方程如下：2

2

32(03)293(3)(3)t t S t t ⎧+<⎪=⎨+-⎪⎩，

，

≤ ≥求此物体在1t =和3t =时的瞬时速度．

18.试求过点(35)A ，且与曲线2y x =相切的直线方程．

19.找出函数

y =

20.某厂生产一种产品，其总成本为c ，年产量为q ，产品单价为p ，三者之间存在关系：2

110075315

c q q q p =

++=-，．问：应确定年产量为多少时，才能达到最大利润？此时，产品单价为多少？

21.已知a 为实数，2()(4)()f x x x a =--， （1）求导数()f x '；

（2）若1x =-是函数()f x 的极值点，求()f x 在[22]-，上的最大值和最小值；

（3）若()f x 在(]2--，

∞和[)2+，∞上都是递增的，求a 的取值范围．

参考答案

一、选择题

1. Ｂ

2. Ｃ

3. Ａ

4. Ａ

5. Ｂ

6. Ａ

7. Ｃ

8. Ａ

9. Ｂ10. Ｂ 二、填空题

11. 3; 12. 1 ; 13. π2

;14. 41616-，， ; 15. π

ππ2

k x k k <<+∈Z ，

三、解答题

16. 解：()[()sin ][()cos ]f x ax b x cx d x '''=+++

()sin ()(sin )()cos ()(cos )ax b x ax b x cx d x cx d x ''''=+++++++ sin ()cos cos ()sin a x ax b x c x cx d x =+++-+

()sin ()cos a d cx x ax b c x =--+++，又()cos f x x x '=∵， 0010a d c a b c -=⎧⎪-=⎪⎨=⎪⎪+=⎩，，，，∴解得1

001a b c d =⎧⎪=⎪⎨

=⎪⎪=⎩，，，．

17. 解：当1t =时，232s t =+，

200063lim lim lim(63)6t t t s t t v t t t ∆→∆→∆→∆∆+∆===+∆=∆∆．当3t =时，2293(3)s t =+-， 2003()lim lim 30t t t v t t

++∆→∆→∆==∆=∆． 所以，物体在1t =和3t =时的瞬时速度分别是6和0． 18. 解：点A 不在曲线2y x =上，应先求切点． 设所求切线的切点为00()P x y ，，

P ∵是曲线2y x =上的一点，200y x =∴．

又过00()P x y ，点的切线斜率为0

02x x

y x ='=|，