导数及其应用 专项训练

导数及其应用 专项训练一、选择、填空题1、若21(1)ln (21),0,()2ln , x a a x a x x a f x x x x x a ⎧--+++<⎪=⎨⎪->⎩≤．是(0,)+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,e]B ．[e,)+∞C ．32(0,]eD ．32[1,e ]2、设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()()()f x f x x R >∈，2(2)f e =（e 为自然对数的底数），则不等式2(2ln )f x x <的解集为（ ）A．)e B． C. (0,)e D ．(1,)e3、若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为 ．4、已知函数f （x ）＝（e x ﹣a ）（x +a 2）（a ∈R ），则满足f （x ）≥0恒成立的a 的取值个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35、函数1221()(1)2x f x eax a x a -=-+-+在（一∞，十∞）上单调递增，则实数a 的范围是（ ） A. {1} B. (－1，1) C. (0. 1) D. {－1，1} 6、设过曲线f(x)= －e x －x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g(x)＝a x+2cosx 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为 7、曲线()2af x x x=+在点()()1,1f 处的切线与直线20x y +-=垂直,则实数a = .8、已知函数1ln )(2++=x a x x f ，若1x ∀，[)+∞∈,32x ，)(21x x ≠，[]2,1∈∃a ，m x x x f x f <--1221)()(，则实数m 的最小值为（ ） A ．320-B ．29-C ．419-D ．319-9、曲线x y =在点)2,4(处的切线的斜率为10、函数13)(23-+=x ax x f 存在唯一的零点0x ，且0x 0<，则实数a 的取值范围是 ．11、曲线()1x y ax e =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 12、已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________。

13、曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos sin αα+的值为（ ）A B C D 14、若0,0,a b >>且函数32()422f x x ax bx =--+在2x =处有极值，则ab 的最大值等于（ ） A ．121B ．144C ．72D ．8015、设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有22()'()f x xf x x +>，则不等式2(2018)(2018)x f x ++4(2)0f -->的解集为（ ） A ．(2020,0)- B ．(,2020)-∞- C ．(2016,0)- D ．(,2016)-∞- 二、解答题1、已知函数R a ax xe x a xf x∈+--=,ln )(. （I ）当0＜a 时,讨论函数)(x f 的单调性；（II ）当1=a 时,若关于x 的不等式1()()1x f x x e bx x++-≥恒成立,求实数b 的取值范围.2、已知a ＞0，函数2()ln ,()ln f x ax x x g x x =--=　．(1)求证：()g x x <；（2）讨论函数()y f x =零点个数；3、设函数()3()xf x e ax a R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间[1,2]上的最小值是4，求a 的值.4、已知函数),,()(23R c b a b ax cx x f ∈+-=（1）当8)0(=f ，a f -=10)1(时，有()0f x ≥在[1,2]上有解，求实数a 的取值范围；（2）若2=c ，0=b ，是否存在整数a ，使得函数3223124)()(a x a ax x f x g +-+=在区间(0,2)上存在极小值？若存在，求出所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．5、已知函数)11(ln )(-+=xa x x f ,a ∈R 。

(I)若f (x )≥0,求实数a 取值的集合； (Ⅱ)证明：x e x xe x)2(ln 21-+-≥+。

6、已知函数)(ln )1(21)(2R a x x a ax x f ∈-++-=。

（Ⅰ）当0>a 时，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当0=a 时，设函数)()(x xf x g =，若存在区间),21[],[+∞⊆n m ，使得函数)(x g 在],[n m 上的值域为]2)2(,2)2([-+-+n k m k ，求实数k 的取值范围。

7、已知函数f （x ）＝21xe x mx -+．（Ⅰ）若m ∈（－2,2）时，求函数y ＝f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若m ∈（0，12］，则当x ∈［1，m ＋1］时，记f （x ）的最小值为M ，g （x ）＝x 的最大值为N ，判断M 与N 的大小关系，并写出判断过程。

8、已知函数f （x ）＝lnx ﹣e x +a ．（Ⅰ）若曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线与x 轴正半轴有公共点，求a 的取值范围； （Ⅱ）求证：a ＞1﹣1e时，f （x ）＜﹣e ﹣1．9、己知函数21()ln 1,2f x x x mx x m R =--+∈. （1)若f （x ）有两个极值点，求实数m 的取值范围：(2)若函数2()ln ln g x x x mx e x emx =--+有且只有三个不同的零点，分别记为x 1，x 2，x 3， 设x 1＜x 2＜x 3，且31x x 的最大值是e 2，求x 1x 3的最大值．10、已知函数f （x ）＝ax ﹣ln （﹣x ），x ∈[﹣e ，0），其中e 为自然对数的底数． （1）(1)当＝－1 时，证明:f （x ）+．(2)是否存在实数a ，使f(x)的最小值为3，如果存在，求出a 的值;如果不存在,请说明理由.11、已知函数2()12xx f x e ax =---.（1）若12a =，求()f x 的单调区间； （2）设函数2()()()2F x f x f x x =+-++，求证：(1)(2)()F F F n ⋅⋅⋅12(e2)n n +>+*()n N ∈.12、已知函数()212xf x e x x a =---,()()2ln 15x bg x e x x =++-(其中e 为自然对数的底数). (Ⅰ)若()0f x <对所有的0x <恒成立,求实数a 的取值范围； (Ⅱ)求最大的整数b ,使()g x 在()1,-+∞上为单调递增函数.13、已知函数2ln )(ax x x f -=，23)(-+=ax xe x g x（1）设曲线)(x g y =在1x =处的切线的斜率为k ，且23e ak =。

求a 的值； （2）当1=a 时. ①求)(x f 的单调区间； ②求证：)()(x g x f <.14、已知函数()()()ln 1+ln 1f x x x =--.（Ⅰ）讨论函数()()()0F x f x ax a =+≠的单调性；（Ⅱ）若()3(3)f x k x x >-对()0,1x ∈恒成立，求k 的取值范围.15、已知函数ln ()1ax xf x x =-． （1）当1a =时，判断()f x 有没有极值点?若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由； （2）若()1f x x <+，求a 的取值范围．16、已知函数1)1(21ln )(2+-+-=x a ax x x f ． （1）求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 有极值，对任意的21,x x ，当210x x <<，存在0x 使12120)()()('x x x f x f x f --=，证明：0212x x x >+参考答案一、选择题1、D2、C3、24、B5、A6、［－1，2］7、18、A9、4110、2-<a 11、3- 12、21y x =-- 13、A 14、C 15、B二、解答题1、2、3、（I ）'()=-xf x e a .当0≤a 时，'()0>f x ，()f x 在R 上单调递增；当0>a 时，'()0>f x 解得ln >x a ，由'()0<f x 解得ln <x a . 综上所述：当0≤a 时，函数()f x 在R 上单调递增； 当0>a 时，函数()f x 在(ln ,)+∞a 上单调递增， 函数()f x 在(,ln )-∞a 上单调递减.（II ）由（I ）知，当当0≤a 时，函数()f x 在R 上单调递增， ∴函数()f x 在[1,2]上的最小值为(1)34=-+=f e a ， 即10=->a e ，矛盾.当0>a 时，由（I ）得ln =x a 是函数()f x 在R 上的极小值点.○1当ln 1a ≤即o a e <≤时，函数()f x 在[1,2]上单调递增， 则函数()f x 的最小值为(1)34f e a =-+=，即1a e =-，符合条件. ②当ln 2a ≥即2a e ≥时，函数()f x 在[1,2]上单调递减，则函数()f x 的最小值为2(2)234f e a =-+=即2212e a e -=<，矛盾. ③当1ln 2a <<即2e a e <<时，函数()f x 在[1,ln ]a 上单调递减，函数()f x 在[ln ,2]a 上单调递增， 则函数()f x 的最小值为ln (ln )ln 34af a ea a =-+=即ln 10a a a --=.令()ln 1h a a a a =--（2e a e <<），则'()ln 0h a a =-<， ∴()h a 在2(,)e e 上单调递减， 而()1h e =-，∴()h a 在2(,)e e 上没有零点，即当2e a e <<时，方程ln 10a a a --=无解. 综上，实数a 的值为1e -.4、解析：（1）由8)0(=f ，a f -=10)1(有8=b ，2=c ， ……2分∴ 32()28f x x ax =-+，又[]2,1∈x ， 由0)(≥x f 可得2238282xx x x a +=+≤， 设282)(x x x h +=，则3/162)(x x h -=，∵[]2,1∈x ，∴0)(/≤x h ，则)(x h 在[]2,1上是减函数， ∴10)1()(max ==h x h ，∵()0f x ≥在[1,2]上有解，即282x x a +≤在[1,2]上有解， ∴10≤a ，故实数a 的取值范围为(]10,∞- ……5分 （2）3223()23123g x ax a x x a =+-+，∴22()66126()(2)g'x ax a x a x a x =+-=-+， ……6分 ①当0a =时，()0g'x ≥，()g x 单调递增，无极值； ……7分 ②当0a >时，若2x a <-或x a >，则()0g'x >； 若2a x a -<<，则()0g'x <， ∴当x a =时，()g x 有极小值．()g x 在(0,2)上有极小值，∴02a <<，此时整数1a =； ……9分③当0a <时，若x a <或2x a >-，则()0g'x >； 若2a x a <<-，则()0g'x <， ∴当2x a =-时，()g x 有极小值．()g x 在(0,2)上有极小值，∴022a <-<，即10a -<<，此时整数a 不存在． ……11分 综上，存在整数1a =，使得函数()g x 在区间(0,2)上存在极小值．…12分5、6、解：（Ⅰ）当0>a 时，函数x x a ax x f ln )1(21)(2-++-=导数为 xax x x a ax x f )1)(1(11)(---=-++-=' ·············· 2分 若1=a 时，0)(≤'x f ，)(x f 单调递减 若1>a 时，11<a ，当1>x 或a x 10<<时，0)(<'x f ，当11<<x a时，0)(>'x f ， 即函数)(x f 在区间),1(),1,0(+∞a上单调递减，在区间)1,1(a上单调递增。