全等三角形经典例题(含答案)
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新思路全等三角形的经典例题
判定方法 条件
注意 ⑴边边边公理(SSS ) 三边对应相等 三边对应相等
⑵边角边公理(SAS)
/
两边和它们的夹角对应相等 (“两边夹一角”)
必须是两边夹一角,不能是两边对
一角
⑶角边角公理(ASA)
两角和它们的夹边对应相等 (“两角夹一边”)
不能理解为两角及任意一边
…
⑷角角边公理(AAS)
两角和其中一角的对边对应相等
例1:已知:如图,过ABC 的顶点A ,作AF ⊥AB 且AF=AB ,作AH ⊥AC ,使AH=AC ,连结BH 、CF ,且BH 与CF 交于D 点。求证:(1)BH=CF (2)BH ⊥CF
分析:从图中可观察分析,若证BH=CF ,显然,若能证出ABH ≌AFC ,问题就能解决。从已知看,已经知道AF=AB ,AC=AH 。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等,显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看,∠BAF 和∠HAC 都是直角。而图中的∠BAC 显然是公共角,根据等式性质,问题可以顺利解决。 证明:(1)∵AF ⊥AB ,AH ⊥AC & ∴∠BAF=∠HAC=90
∴∠BAF +∠BAC=∠HAC +∠BAC ∴即∠FAC=∠BAH 在ABH 和AFC 中
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AB AF BAH FAC AH AC =∠=∠=⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪已知已证已知
∴ABH ≌AFC (边角边)
∴BH=FC (全等三角形对应边相等) (2)设AC 与BH 交于点P 在APH 中 ∵∠HAP=90
∴∠2+∠3=90(直角三角形中两个锐角互余) ∵∠1=∠2(全等三角形对应角相等) ∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3=90 在PDC 中
;
∵∠1+∠4=90 ∴∠HDC=90 ∴BH ⊥CF
例2:已知,如上图:BD 、CE 是ABC 的高,分别在高上取点P 与Q ,使BP=AC ,CQ=AB 。求证:AQ=AP 分析:从要证的结论AQ=AP ,只有在ABP 和QCA 中找对应原素,不难发现,已经有BP=AC 、CQ=AB ,也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等,全等就可以了,问题的关键在于如何找出∠1=∠2再分析已知条件,不难看出,既然BD 、CE 都是高,就有∠BDA=∠CEA=90,这样就
?
可看出∠1和∠2都是∠BAC 的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到∠1=∠2,这样问题就可以迎刃而解了。
证明:∵BD ⊥AC 于D CE ⊥AB 于E 、 ∴∠BDA=∠CEA=90
∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90 ∴∠1=∠2
在ABP 和PCA 中
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AB CQ BP AC =∠=∠=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪已知已证已知12
∴ABP ≌QCA (边角边)
∴AQ=AP (全等三角形对应边相等)
例3:已知:如图,OA=OB 、OC=OD 求证:AE=BE
,
分析:从要证明的结论AE=EB 看,我们不难看出,应当在ADE 和BCE 中去寻找答案,而要证明ADE ≌BCE ,比较明显的有一组对顶角相等,即∠AED=∠BEC ,另外可以通过等式性质得到,OA -OD=OB -OC ,即AD=BC ,那么这两个三角的全等条件仍然差一个,从证明的结论AE=BE 上分析,不可能再寻找边的对应相等了,那么只有找一组对应角是否相等就可以了,如能否证出∠A=∠B (或∠ADE=∠BCE ),∠A=∠B 除了是ADE 和BCE 的对应角外,它们还是AOC 和BOD 的对应角,只要AOC ≌BOD ,那么就可以推出∠A=∠B ,这样问题便迎刃而解了,同学们自己分析一下AOC 和BOD 全等条件够吗 证明:在AOC 和BOD 中
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OA OB O O OC OD =∠=∠=⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪已知公共角已知
∴AOC ≌BOD (边角边)
∴∠A=∠B (全等三角形的对应角相等) ∵OA=OB (已知) OC=OD (已知)
¥ ∴AD=BC (等式性质) 在ADE 和BCE 中
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∠=∠∠=∠=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪A B AED BEC AD BC 已证对顶角相等已证 ∴ADE ≌BCE (角角边)
∴AE=BE (全等三角形对应边相等)
同学们自己动手试一试,可不可通过证明∠ADE=∠BCE 来证明ADE ≌BCE 呢
例4:已知:如图,AD ∥BC ,AE 、BE 分别平分∠DAB 和∠CBA ,DC 过点E 。求证:AB=AD +BC
分析:从要证明的结论AB=AD+BC 上看,显然是两条线段的和与另外一条线段相等,可以考虑,能否在长的AB 边上截一段等于AD (或BC ),利用角平分线的条件证全等。 (
证明(一):在AB 上截AF=AD ,连结EF 在A DE 和AFE 中
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AD AF DAE FAE AE AE =∠=∠=⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪已作已知公共边
∴ADE ≌AFE
∴∠D=∠AFE (全等三角形对应角相等) ∵AD ∥BC (已知)
∴∠D+∠C=180(两直线平行,同旁内角互补) … 又∵∠D=∠AFE (已证)
∴∠BFE=∠C (等角的补角相等) 在BFE 和BCE 中
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∠=∠∠=∠=⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪BFE C FBE CBE BE BE 已证已知公共边
∴BFE ≌BCE (角角边) ∴BF=BC ∴AB=AD+BC
, 证明(二):延长AE 、BC 交于点F 。
∵AE 、BE 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线。 又∵AD ∥BC
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180(两直线平等,同旁内角互补) ∴∠2+∠3=90 ∴∠AEB=90 ∴∠BEF=90
在ABE 和FBE 中
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∠=∠=∠=∠=︒⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪3490已知公共边已证BE BE AEB BEF
∴ABE ≌FBE (角边角)
∴AB=BF
AE=EF
在AED 和FEC 中
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∠=∠=∠=∠⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪1F AE EF AED FEC 两直线平等,内错角相等已证对顶角相等
∴AED ≌FEC ∴AD=FC
'
∴AB=AD+BC (等量代换)