大一高数期末考试试题

2011学年第一学期

《高等数学（2-1）》期末模拟试卷

专业班级

姓名

学号

开课系室高等数学

考试日期2010年1月11日

页号一二三四五六总分得分

阅卷人

注意事项

1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；

2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；

3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.

⎰x(1+x)(-e-x)dx=

2005x

⎰tf(t)dt=f(x)

f(x)

1

（C）

y*=Ax cos2x+Bx sin2x;（D）y=A sin2x.

,则必有⎰f(x)dx≤⎰f(x)dx

（A）若[c,d]⊆[a,b]

[a,b]

⎰t f(t)d t

f(x)

本页满分36分

本

页

得

分

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）

2．1

-1

1．

x→0

1

lim(e x-x)x2=

.

.

3．设函数y=y(x)由方程⎰

x+y

1

e-t2dt=x

dy

确定，则dx x=0

=

.

x

4.设可导，且，f(0)=1，则f(x)=

.

5．微分方程y''+4y'+4y=0的通解为.二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）

1．设常数k>0，则函数f(x)=ln x-x+k

e在(0,+∞)内零点的个数为（）.

(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个. 2．微分方程y''+4y=3cos2x的特解形式为（）.

（A）

y*=A cos2x;（B）y*=Ax cos2x;

*

3．下列结论不一定成立的是（）.

d b

c a;

（B）若f(x)≥0在上可积,则⎰b

a

f(x)dx≥0

;

（C）若f(x)

是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有

⎰a+T

a

f(x)dx=⎰T f(x)d

x

;

x

（D）若可积函数为奇函数,则也为奇函数.

f(x)=1+e 1 x

4.设

1

2+3e x,则x=0是f(x)的（）.

(A)连续点;(B)可去间断点;

(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）

本页满分12分本

页

得

分1．计算定积分⎰

2x3e-x2dx

.

2．计算不定积分⎰

x sin x

d x cos5x.

本页满分12分本

页

得分

⎧x=a(t-sin t),

⎨t=

在

π

2处的切线的方程.

3．求摆线⎩

y=a(1-cos t),

4.设F(x)=⎰

x cos(x2-t)dt

，求

F'(x).

本页满分15分本

页

得

分5．设x=

n

n(n+1)(n+2)(n+3)(2n)

n lim x

，求n→∞n.

四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）

1．求由曲线y=x-2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.

2．设平面图形 D 由 x + y ≤ 2 x 与 y ≥ x 所确定，试求 D 绕直线 x = 2 3. 设 a > 1, f (t ) = a

- at 在 (-∞, +∞) 内的驻点为 t (a). 问 a 为何值时 t (a) 最小? 并求

本页满分 18 分 本 页 得 分

2 2

旋转一周所生成的旋转体的体积.

t

最小值.

f ( 0 ) f = = ( 1 )f =0 ，, (

lim(e - x) x 2 = e 1

e

确定，则 dx f (0) = 1 ，则 f (x ) = e 2 x 2 . （C ） y * = Ax cos2 x + Bx sin 2x ； （D ） y = A sin 2 x

[c, d ]⊆ [a, b ]

⎰ f (x )dx ≤ ⎰ f (x )dx

[a, b ]

⎰ f (x )dx ≥ 0

本页满分 7 分 本 页 得 分

五．证明题（7 分）

设 函 数 f ( x) 在 [0,1] 上 连 续 ， 在 (0,1) 内 可 导 且

1

2

)

1

试证明至少存在一点ξ ∈ (0,1) , 使得 f '(ξ )=1.

一．填空题（每小题 4 分，5 题共 20 分）：

1

x 1．

x →0

2 .

2．

⎰ 1

-1

x (1 + x 2005

)( x - e

- x

)dx =

4

e .

3．设函数 y = y( x) 由方程

⎰

x + y

1

dy

e -t 2dt = x = x =0

e - 1

.

4. 设 f (x ) 可导，且 ⎰ x 1 tf (t )dt = f ( x ) ，

1

5．微分方程 y '' + 4 y ' + 4 y = 0 的通解为 y = (C 1 + C 2 x)e -2 x .

二．选择题（每小题 4 分，4 题共 16 分）：

1．设常数 k > 0 ，则函数 f ( x ) = ln x - x

+ k

e 在 ( 0, + ∞) 内零点的个数为（ B ）.

(A) 3 个; (B) 2 个; (C) 1 个;

(D) 0 个.

2． 微分方程 y '' + 4 y = 3cos 2 x 的特解形式为 （

C ）

（A ） y * = A cos2 x ；

（B ） y * = Ax cos2 x ；

*

3．下列结论不一定成立的是

（ A ）

(A)

(B) (A) 若 ,则必有 d b

c a

;

(C)

(D) (B) 若 f ( x) ≥ 0 在 上可积,则

b a

;

(E) (C)

若 f (x ) 是 周 期 为 T 的 连 续 函 数 , 则 对 任 意 常 数 a 都 有