数学建模作业习题

数学建模作业习题

1.4 在1.3节“椅子能在不平地面上放稳吗”的假设条件中，将四角连线呈正方形改为呈长方形，其余不变，构造模型求解。

解：在地面建立坐标系设椅子对角线ac 开始与之夹角为0度，用f （x ）表示ac 腿与地面的距离和，g （x ）表示bd 与之距离和，则可知f （x ），g （x ）是x 的连续函数，对任意的x 有f （x ）·g （x ）=0，起始时f （x ）=0，g （x ）﹥0.现将椅子旋转180度，a ，c 和b ，d 分别互掉位置，且f （x ）先增加后减小为0. g （x ）先减小为0后又变为g （x ）﹥0。 令h （x ）= f （x ）-g （x ），有以上条件可知在0与180度之间必有一个位置使得h （x 1）=0，而且f （x 1）·g （x 1）=0，所以可得f （x 1）=g （x 1）=0，可知其为长方形是亦可以放稳。

1.5 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，做下面问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，最多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时猫吃鱼、鸡吃米，试设计一个安全渡河方案，并使渡河次数尽量最少。 解：人、猫、鸡、米分别记做i=1,2,3,4，当i 在此岸时记x i =1，否则记x i =0，则此岸的状态可用s=（x 1，x 2，x 3，x 4，）表示。记s 的反状态为s '=（1-x 1，1-x 2，1-x 3，1-x 4），允许状态集合S={（1,1,1,1），（1,1,1,0），（1，1，0,1），（1,0,1,1,），（1,0,1,0）及它们的5个反状态}。

决策为乘船方案，记作d=（u 1，u 2，u 3，u 4），当i 在船上时记做u i =1，否则记做u i =0，允许决策集合为D={（1,1,0,0），（1,0,1,0），（1,0,0,1），（1,0,0,0）}。 记第k 次渡河前此案的状态为s k ，第k 次渡河的决策为d k ，则状态转移律为s k+1=s k +（-1）∧d ·d k ，设计安全过河方案归结为求决策序列d 1，d 2，···，d n ∈D ，是状态s k ∈S 按状态转移律有初始状态s 1=（1,1,1,1,），经n 步到达s n+1=

1.7 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为x(t ）)

(01t t r m

e x --+=

，其中0t 是

人口增长出现拐点的时刻，并说明0t 与r ，m x 的关系。

解：当0t t =时，2/m x x =，立即可得)

(01)(t t r m e x t x --+=，且.ln 10

0x x x r t m -=

1.8 假定人口增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x （t ），t 到t t ∆+时间内人口的增量与)(t x x m -成正比（其中m x 为最大容量）。是建立模型并求解。 解：

r x x r dt

dx

m ),(-=为比例系数，0)0(x x =，所以解得 rt m m e x x x t x ---=)()(0。

1.9 回答下列问题：

（1）甲早八点从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午五点到达山顶并留宿次日早八点从同一路径下上，下午五点回到旅店，乙说，甲比在两天中午的同一时刻经过路径的同一地点，为什么。

（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的没两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共进行多少场比赛，进行多少轮，如果是n

支球队呢。

（3）甲乙两站之间有电车相通，每个十分钟甲乙两站互发一趟车，但发车的时刻不一定相同。甲乙之间有一中站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那辆车，如果发现100天当中约有90天到达甲站约有10天到达乙站，问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻是如何安排的。

（4）某人家住在t市在他乡工作，每天下班后乘火车于六点抵达t市车站，他妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车与五点半到达车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇见他，即接他回家，如此发现比往常提前了十分钟，问他步行了多长时间。

（5）一男孩和一女孩分别在离家两千米和一千米且方向相反的两所学校上学，每天同时放学分别以四千米每小时和两千米每小时的速度步行回家，一小狗以六千米每小时的速度由男孩处奔向女孩又从女孩处奔向南海，如此往返直到回到家中问小狗走了多少路程。

解：（1）设想有两个人一人上山一人下山，同一天出发，沿同一路径，必定相遇。

（2）36场比赛，因为除冠军外每队都要负一场；六轮比赛，因为两队赛一轮，三十二队赛五轮。n队需赛n-1场，若2∧k-1﹤n≤2∧k，则需要赛n轮。

（3）不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是：8:00，8:10,8:20，···，那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是：8:09,8:19，8:29，···。

（4）步行了25分钟。设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了十分钟，于是带他去车站这段路程骑车跑了五分钟，而到车站的时间是6:00，所以妻子驾车遇到他的时刻是5:55.

（5）小狗跑了3千米，因为其一共跑了半小时，所以路程为3千米。

4.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。每个销售代理点只能向本区

和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模型并求解。

解：将大学生数量为34，29，42，21，56，18，71的区分别标号为

1,2,3,4,5,6,7区，划出区与区之间的如下相邻关系图：

记i r 为第i 区的大学生人数，用0-1变量ij x =1表示（i ，j ）区得大学生由一个销售代理点提供图书（i

j

ij ij x x i ∀

}1,0{∈ij x 即 Max

2

675647464534252423131267

56474645342524231312..8974923977638550717663≤++++++++++++++++++++x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x x

1

0111

1

1

11

67476756465645254746453424242313252423121312or x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =≤+≤++≤++≤++++≤++≤+++≤+ 用LINDO 求解得到：最优解为14725==x x （其他为0），最优值为177人。

4.3 某储蓄所每天的营业时间是上午9:00到下午5:00.根据经验，每天不同时9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之间必须安排一个小时的午餐时间。储蓄所每天雇佣不超过三名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工