数学模型第三版课后习题答案.doc
《数学模型》作业解答
第七章（ 2008 年 12 月 4 日）
1．对于节蛛网模型讨论下列问题：
（ 1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 k 1时段的价格y k 1由第k 1 和第 k 时段的数量x k 1和x k决定，如果仍设x k 1仍只取
决于 y k ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较
.
（ 2）若除了 y k 1 由 x k 1 和 x k 决定之外， x k 1 也由前两个时段的价格
析稳定平衡的条件是否还会放宽 .
解：（ 1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：
y
k 1
f x
k 1
x k
)
(
2
x k 1
h( y k )
在 P 0 (x 0 , y 0 )
点附近用直线来近似曲线 f , h ，得到
y k 1
y 0 (
x
k 1
x k x 0 ),
2
x
k 1
x 0
( y k
y 0 ) ,
由（ 2）得
x k 2 x 0
( y k 1
y 0 )
（ 1）代入（ 3）得
x
k 2
x 0
(
x
k 1x
k
x 0 )
2
2x k 2 x k 1 x k 2x 0 2
x 0
对应齐次方程的特征方程为
2
2
(
) 2 8
特征根为
1, 2
4
y k 和 y k 1 确定 . 试分
(1)
( 2)
(3)
当
8 时，则有特征根在单位圆外，设
8 ，则
1,2
( ) 2
( ) 2 8
42
2
4 1,2
1
2
即平衡稳定的条件为
2与 P 207
的结果一致 .
（ 2）此时需求函数、供应函数在
P 0 (x 0 , y 0 ) 处附近的直线近似表达式分别为：
y k 1
y 0
( x k 1 x k
x 0 ),
( 4)
2
x
k 1
x 0
( y k
y k 1
y 0 ) ,
( 5)
2
由（ 5）得， (x
x 0
) β(y
y
y
k 1
y 0
)
( 6 )
2 k 3
k 2
将（ 4）代入（ 6），得
2( x k 3 x 0 )
(
x
k 2
x
k 1
x 0 )
(
x k 1
x
k
x 0 )
2
2
4 x k 3x k 2 2 x k 1
x k
4 x 0
4
x 0
对应齐次方程的特征方程为
4
3 2
2
0 (7)
代数方程（ 7 ）无正实根，且
αβ ,
,
2
4
不是（ 7）的根 . 设（ 7）的三个非零根分
别为 1, 2, 3，则
1
2
3
4
1 2
2 3
3
1
2
1
2 3
4
对（ 7）作变换：
, 则
12
3
q 0,
p
其中 p
1
(2
2 2
), q
1(833 2 2
)
4
12
4
123
6
1
q
( q ) 2 ( p ) 3
q
( q )
2
( p
3
3
) 3
2
2
3
2 2
3
用卡丹公式：2
w 3
q
( q ) 2 ( p )3 w 2 3
q
( q ) 2 ( p ) 3
2
2
3
2
2 3 3
w
2
3
q
( q ) 2 ( p )3
w 3
q
( q ) 2 ( p ) 3
2
2
3
2
2
3
其中 w
1
i 3 ,
2
求出 1,
2
,
3 ，从而得到
1 ,
2 ,
3 ，于是得到所有特征根 1的条件 .
2．已知某商品在 k 时段的数量和价格分别为 x k 和 y k ，其中 1 个时段相当于商品的一个生
产周期 . 设该商品的需求函数和供应函数分别为
y k
f (x k ) 和 x k 1
g(
y
k
y k 1
) . 试建
2
立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件 .
解：已知商品的需求函数和供应函数分别为
y k
f (x k ) 和 x k 1
g (
y
k
y k 1 ) .
2
设曲线 f 和 g 相交于点 P 0 (x 0 , y 0 ) ，在点 P 0 附近可以用直线来近似表示曲线
f 和
g ：
y k y 0 ( x k x 0 ) ,
----------------------
（ 1）
x k
1
x 0
( y k
y k 1 y 0 ) , 0
--------------------
（ 2）
2
从上述两式中消去
y k 可得
2x k 2
x
k 1
x k 2(1)x 0 , k 1,2, ， -----------
（3）
上述（ 3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程 .
为了寻求 P 0 点稳定平衡条件，我们考虑（
3）对应的齐次差分方程的特征方程：
2 2
容易算出其特征根为
(
) 2 8 1,2
4
---------------（ 4）
当8 时，显然有
2
( ) 2
8
----------- （ 5）
4
4
从而 2
2，
2 在单位圆外．下面设
8 ，由 (5) 式可以算出
1, 2
2
要使特征根均在单位圆内，即
1, 2
1 ，必须
2 ．
故 P 0 点稳定平衡条件为
2 ．
3． 已知某商品在 k 时段的数量和价格分别为 x k 和 y k ，其中 1 个时段相当于商品的一个生
产周期 . 设该商品的需求函数和供应函数分别为
y k 1
f (
x
k
1
x k
) 和 x k 1
g ( y k ) . 试建
2
立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件 .
解：已知商品的需求函数和供应函数分别为
y k
1
f ( x k 1
x k
) 和 x k 1 g( y k ) .
2
设曲线 f 和 g 相交于点
( x 0 , y 0 )
，在点 0 附近可以用直线来近似表示曲线
f 和
g ：
P P
y k 1y 0
(
x
k 1
2 x k
x 0 ) ,
0 --------------------
（ 1）
x k
1
x 0 ( y k
y 0 ) ,
--- ----------------
（ 2） 由（ 2）得 x k
2 x 0
( y k
1
y 0 )
--------------------
（ 3）
（ 1）代入（ 3），可得 x k
2
x 0
( x k
1
x k
x 0 )
2
2x k
2
x k 1
x k 2x 0 2 x 0 , k 1,2, ， --------------
（4）
上述（ 4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程 .
为了寻求 P 0 点稳定平衡条件，我们考虑（ 4）对应的齐次差分方程的特征方程：
2
2
容易算出其特征根为
(
) 2 8 1,2
4
---------------（ 4）
当8 时，显然有
2 ( ) 2 8
----------- （ 5）4 4
从而22， 2 在单位圆外．下面设8 ，由(5) 式可以算出1, 2
2 要使特征根均在单位圆内，即1, 2 1 ，必须 2 ．
故 P0点稳定平衡条件为 2 ．
《数学模型》作业解答
第八章（ 2008 年 12 月 9 日）
1．证明节层次分析模型中定义的n 阶一致阵 A 有下列性质：
（1） A 的秩为1，唯一非零特征根为n ；
（2） A 的任一列向量都是对应于n 的特征向量.
证明：（1）由一致阵的定义知： A 满足
a ij a jk a ik ， i, j , k 1,2, , n
于是对于任意两列i, j ，有a ik
a jk
a ij ，k 1,2, ,n . 即i列与j 列对应分量成比例.
从而对 A 作初等行变换可得：
b11 b12 b1n
初等行变换0 0 0
A B
0 0 0
这里 B 0.秩B1 ，从而秩 A 1
再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P，使 PA B ，于是
c 11 c
12
c
1n
PAP 1 BP 1 0 0 0 C
0 0 0
易知 C的特征根为c11,0, ,0 （只有一个非零特征根）.
又
A ～C ，
A 与 C 有相同的特征根，从而 A 的非零特征根为 c 11 ，又 对于任意
矩阵有
12 n
Tr A
a
11
a
22
a
nn
1 1
1
n . 故 A 的唯一非
零特征根为 n .
a 1k
, a
2k
T
1,2, , n
（2）对于 A 的任一列向量
, , a nk ， k
有
n
a 1 j
a
jk
n
a 1k
na 1 k
j 1 j 1
n
a 2 j
a
jk n
a
2 k
na 2 k
T
n a 1k , a 2k
T
A a 1k , a 2k , , a nk
j 1 j 1
, , a nk
n
n
na nk
a nj
a
jk
a
nk
j 1
j 1
A 的任一列向量 a 1k , a 2k , , a nk T 都是对应于 n 的特征向量 .
7. 右下图是 5 位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出 5 位选手的名次 .
解：这个 5 阶竞赛图是一个
5 阶有向 Hamilton 图 . 其一个有
2
向 Hamilton 圈为 3
1
4
5
2
3. 所以此竞赛图
是双向连通的 .
4 5 1 2 3
2 4 5
3 1
1
3
5
3 1
2
4
3 1
4 5
2
等都是完全路径 .
此竞赛图的邻接矩阵为
0 1 0 1 0
0 0 1 1 0
5
A
1 0 0 0
4
0 0 1 0 1
1 1 1 0 0
令 e 1,1,1,1,1 T
，各级得分向量为
S
1
Ae 2,2,1,2,3 T
，
S
2
AS S 3
AS 2
7,6,4,7,9 T ，
S 4
AS
1
4,3,2,4,5 T ，
3
13,11,7,13,17 T
由此得名次为5， 1（ 4）， 2，3（选手1和4名次相同）.
注：给 5 位网球选手排名次也可由计算 A 的最大特征根和对应特征向量S 得到：
1.8393，S0.2137,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769 T
数学模型作业（ 12 月 16 日）解答
1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.
解：目标层
越海方案的最优经济效益
准则层
省收岸间当地建筑
时入商业商业就业
方案层
建桥梁修隧道设渡轮
2.简述层次分析法的基本步骤 . 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成
哪 3 个层次？具体内容分别是什么？
答：层次分析法的基本步骤为：（ 1）．建立层次结构模型；（ 2）．构造成对比较阵；（ 3）．计算权向量并做一致性检验；（ 4）．计算组合权向量并做组合一致性检验．对于一个即将毕业
的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这
3 个层次 .目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位 3 等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.
3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪 3 个层次？试给出一致性指标的定义以及
n 阶正负反阵 A 为一致阵的充要条件.
答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这 3 个层次；一
致性指标的定义为：
CI
n ．
n
阶正互反阵
A 是一致阵的充要条件为：
A 的最大特征根
n 1
=n ．
第九章（ 2008 年 12 月 18 日）
1．在 9.1节传送带效率模型中 , 设工人数 n 固定不变 . 若想提高传送带效率
D, 一种简单的方
法是增加一个周期内通过工作台的钩子数
m ，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法
是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子， 其它条件不变， 于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子， 只要其中一只是空的， 他就可以挂上产品， 这种办法用的钩子数量与第一种办法一样． 试推导这种情况下传送带效率的公式， 从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．
解： 两种情况的钩子数均为
2m ．第一种办法是 2m 个位置，单钩放置
2m 个钩子；第二
种办法是 m 个位置，成对放置 2m 个钩子．
① 由 9.1
节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为
2m 1
n
D
1
1
n
2m
当
n
较小， n
1时，有
2m
D
2m 1 1
1 n n 1 1 n 1
n
2m 8m 2
4m
D 1 E
，
n
E
4m
② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：
对于 m 个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，
考虑一个周期内通过的 m 个
钩对．
任一只钩对被一名工人接触到的概率是
1 ；
m 1
任一只钩对不被一名工人接触到的概率是
1
；
1
, q 1 1
m
记 p
．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空
m m
的概率为 q n，其空钩的数为2m ；任一钩对上只挂上１件产品的概率为npq n 1，其空钩数为 m ．所以一个周期内通过的2m 个钩子中，空钩的平均数为
2m q n m npq n 1 m 2q n npq n 1
于是带走产品的平均数是2m m 2q n npq n 1 ，
未带走产品的平均数是n 2m m 2q n npq n 1 ）
此时传送带效率公式为
m 2q n npq n 1 n
n 1
n 1
D ' 2m m 2 2 1 1 1
n n m m m ③ 近似效率公式：
n
n n n 1 1 n n 1 n 2 1 由于 1
1 1
m 2 m2 6 m3
m
1 n 1
n 1 n 1 n 2 1
1 1
m m 2 m2
D ' 1 n 1 n 2 6m2
当 n 1时，并令 E' 1 D' ，则E'
n2
6m 2
④ 两种办法的比较：
由上知： E
n ， E' n 2
6m2
4m
E'/ E 2n ，当 m n 时，2n 1 ，E' E ．
3m 3m
所以第二种办法比第一种办法好．
《数学模型》作业解答
第九章（ 2008 年 12 月 23 日）
一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖. 已知每100 份报纸报童全部卖出可获利7 元. 如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100 份报纸要赔 4 元 . 报童每天售出的报纸数 r 是一随机变量，其概率分布如下表：
售出报纸数 r （百份）0 1 2 3 4 5 概率 P(r ) 0． 05
试问报童每天订购多少份报纸最佳( 订购量必须是100 的倍数 ) ？
解：设每天订购 n 百份纸，则收益函数为
f ( r ) 7r ( 4)(n r ) r n 7n r n
n
收益的期望值为G(n) = (11r 4n) P( r ) + 7n P(r )
r 0 r n 1
现分别求出n = 0,1,2,3,4,5 时的收益期望值.
G(0)=0 ； G(1)= 4 × +7× +7×（ +++） =;
G(2)= ( 8 0.05 3 0.1 14 0.25 ) 14 (0.35 0.15 0.1) 11.8; G(3)=( 12 0.05 1 0.1 10 0.25 21 0.35 ) 21 (0.15 0.1) 14.4
G(4)=( G(5)=
16 0.05 5 0.1 6 0.25 17 0.35 28 0.15 ) 28 0.1 13.15 20 0.05 9 0.1 2 0.25 13 0.35 24 0.15 35 0.1 10.25
当报童每天订300 份时，收益的期望值最大.
数模复习资料
第一章
1.原型与模型
原型就是实际对象. 模型就是原型的替代物. 所谓模型 ,按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象. 如航空模型、城市交通模型等.
直观模型如玩具、照片等
形象模型
如某一试验装置
物理模型
模型思维模型如某一操作
抽象模型符号模型如地图、电路图
数学模型
2.数学模型
对某一实际问题应用数学语言和方法, 通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学
d 2 x
结构 , 称为此实际问题的一个数学模型 . 例如力学中着名的牛顿第二定律使用公式
F m dt 2 来描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型. 或又如描述人口N t 随时间 t 自由增长过程的微分dN t
方程rN t .
dt
3.数学建模
所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程. 更具体地说 , 数学建模是指对于现实世界的某一特定系统或特定问题, 为了一个特定的目的, 运用数学的语言和方法, 通过抽象和简化 , 建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构 ( 数学模型 ), 运用适当的数学工具以及计算机技术来解
模型 , 最后将其结果接受实际的检验 , 并反复修改和完善 .
数学建模过程流程图为：
实际抽象、简化、假设
数学地、数值地归结
问题确定变量、参数
求解模型
数学模型
估计参数否
检验模型是( 用实例或有关知评价、推广并交付使用
符合否？
产生经济、社会效益
识 )
4.数学建模的步骤
依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用5.数学模型的分类
数学模型可以按照不同的方式分类, 常见的有：
人口模型
交通模型
环境模型（污染模型）
a. 按模型的应用领域分类数学模型生态模型
城镇规划模型
水资源模型
再生资源利用模型
b.按建模的数学方法分类
初等数学模型
几何模型
微分方程模型
数学模型图论模型
组合数学模型
概率模型
规划论模型
描述模型
分析模型
预报模型
c. 按建模目的来分类数学模型
优化模型
决策模型
控制模型
d. 层次分析法的基本步骤： 1. 建立层次结构模型2. 构造成对比较阵 3. 计算权向量并作一
致性检验 4. 计算组合权向量并作组合一致性检验
阶正互反正 A 是一致阵的充要条件为 A 的最大特征值为n
f. 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：幂法、和法、根法
4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不
变. 试构造模型并求解 .
解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB与 CD的对称轴为x轴，用中心点的转角表示椅子的位置 . 将相邻两脚 A、B与地面距离之和记为 f ( ) ;C、D与地面距离之和记为g ( ) .
并旋转 1800 . 于是，设f (0) 0, g(0) 0, 就得到 g 0, f 0.
数学模型：设 f 、 g 是0,2 上的非负连续函数. 若0,2 , 有
f g 0 , 且 g 0 0, f 0 0, g 0, f 0 , 则0 0,2 , 使
f 0
g 0 0 .
模型求解: 令h( ) f ( ) g( ). 就有h(0) 0,
h( ) f ( ) g( ) 0 g( ) 0 .再由 f , g 的连续性 , 得到h 是一个连续
函数 . 从而 h 是 0, 上的连续函数. 由连续函数的介值定理：0 0, , 使
h 00 .即00,, 使f0g00 .
又因为0,2, 有f g0 .故 f0g00 .
9．（1）某甲早8： 00 从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5： 00 到达山顶并留宿.
次日早 8：00 沿同一路径下山，下午5：00 回到旅店 . 某乙说，甲必在两天中的同一时刻经
过路径中的同一地点. 为什么？
（2） 37 支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者
进入下一轮，直至比赛结束 . 问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛 . 如果是n支球队比赛
呢？
解：（ 1）方法一：以时间t 为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x 为纵坐标，
第一天的行程x(t) 可用曲线（）表示，第二天的行程x(t) 可用曲线（）表示，（）（）是连续曲线必有交点p0 (t0 , d 0 ),
两天都在 t0时刻经过 d0地点.x
d
方法二：设想有两个人，()
一人上山，一人下山，同一天同p0
时出发，沿同一路径, 必定相遇 .d0()
t
早 8t0晚5 方法三：我们以山下旅店为始点记路程, 设从山下旅店到山顶的路程函数为 f (t ) (即t时刻
走的路程为 f (t) ) ,同样设从山顶到山下旅店的路函数为g (t) ,并设山下旅店到山顶的距离
为 a ( a >0).由题意知： f (8) 0, f (17) a , g (8) a , g(17) 0 .令 h(t) f (t) g(t) ,
则有 h(8)f (8) g (8)a 0 ， h(17) f (17) g (17 ) a0 ，由于 f (t ) , g (t ) 都是
时间 t 的连续函数,因此h(t )也是时间 t 的连续函数,由连续函数的介值定理,t0[8,17] , 使 h(t0 ) 0 ,即 f (t0 )g(t0 ) .
（ 2）36 场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场； 6 轮比赛，因为 2 队赛 1 轮， 4 队赛 2
轮，32队赛 5轮. n 队需赛n 1 场，若2k 1 n 2k ，则需赛k 轮.
2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为x k和 y k，其中 1 个时段相当于商品的一个生
产周期 . 设该商品的需求函数和供应函数分别为y
k 1 f (
x
k 1
x
k ) 和 x k
1
g ( y k ) .试建
2
立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
解：已知商品的需求函数和供应函数分别为y k 1 f ( x k 1
x
k ) 和 x k 1 g( y
k ) .
2
设曲线 f 和g相交于点 P0 (x0 , y0 ) ，在点 P0 附近可以用直线来近似表示曲线 f 和g：
y k 1y
0 ( x k 1 x k x0 ) , 0 -------------------- （ 1）
2
x k 1 x0 ( y k y0 ) , 0 --- ---------------- （ 2）由（ 2）得x k 2 x0 ( y k 1 y0 ) -------------------- （ 3）
（ 1）代入（ 3），可得x k 2 x0 (x
k 1 x k x0 )
2
2x k 2 x
k 1 x k 2x0 2 x0 , k 1,2, ， -------------- （4）
上述（ 4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求 P0点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：
2 2 0
容易算出其特征根为
( ) 2 8
（ 5）
1,2 4 ---------------
当8 时，显然有
2 ( ) 2 8
----------- （ 6）4 4
从而 2 2， 2 在单位圆外．下面设8 ，由(5) 式可以算出1, 2
2 要使特征根均在单位圆内，即1, 2 1，必须 2 ．
故 P 0 点稳定平衡条件为 2 ．
3．设某渔场鱼量 x(t ) ( 时刻 t 渔场中鱼的数量 ) 的自然增长规律为：
dx(t) rx(1 x )
其中 r 为固有增长率 , N` 为环境容许的最大鱼量
dt
h . N . 而单位时间捕捞量为常数
（ 1）．求渔场鱼量的平衡点 , 并讨论其稳定性 ;
（ 2）．试确定捕捞强度 E m , 使渔场单位时间内具有最大持续产量Q m , 并求此时渔场鱼量水
平 x *0 .
解：（ 1） . x(t) 变化规律的数学模型为
dx(t )
x
h
dt
rx(1)
N
记
f ( x) rx(1 x ) h , 令 rx (1 x
) h 0 ，即
r x 2
rx h 0 ---- （ 1 ）
N N
N
4rh
4h
N
1 4h N r 2
r (r
， （ 1）的解为：
x
1, 2
rN
N
)
2
N
① 当
0 时，（ 1）无实根，此时无平衡点；
②当
0 时，（ 1）有两个相等的实根，平衡点为
f '
(x) r (1
x )
rx r 2rx ， f '
( x 0 ) 0
N N N
x ) rN 但 x
x 0
及 x x 0 均有 f ( x) rx(1
N 4
N x 0
.
2
不能断定其稳定性 .
0 ，即 dx 0 x 0
不稳定；
dt ③ 当 0 时，得到两个平衡点：
4h 4h N N 1
N N 1
rN rN x 1
， x 2
2
2
易知 x 1
N x 2
N
f ' (x 1 ) 0 ， f ' ( x 2 )
， 2
2
平衡点 x 1 不稳定 ，平衡点 x 2 稳定 .
（2）．最大持续产量的数学模型为：
max h
s.t. f (x) 0
即 max h
rx (1 x ) ， 易得 x 0*
N 此时 h
rN
，但 x 0*
N
这个平衡点不稳定 .
N
2
4
2
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量
x N , 且尽量接近 N , 但不能等于 N
.
2 2 2 5．某工厂生产甲、乙两种产品 , 生产每件产品需要原材料、 能源消耗、劳动力及所获利润如
下表所示：
品种原材料能源消耗(百元)劳动力(人)利润(千元)
甲214 4
乙362 5 现有库存原材料1400 千克；能源消耗总额不超过2400 百元；全厂劳动力满员为2000 人. 试安排生产任务( 生产甲、乙产品各多少件), 使利润最大 , 并求出最大利润.
解：设安排生产甲产品x 件，乙产品y 件，相应的利润为S. 则此问题的数学模型为max S 4x 5y
s.t .2x 3 y 1400
x 6 y 2400
4x 2 y 2000
x 0, y 0, x, y Z
模型的求解：
用图解法 . 可行域为：由直线
l 1 : 2 x 3 y 1400
l
2: : x 6 y 2400
l 3 : 4 x 2 y 2000
及 x 0 , y 0
组成的凸五边形区域 .
直线 l : 4x 5y C 在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l过l1与l3的交点时， S 取最
大值 . 由2 x 3y 1400
400, y 200 4 x 2 y
解得： x
2000
S
max 4 400 5 200 2600 （千元）.
故安排生产甲产品400 件、乙产品 200 件, 可使利润最大 , 其最大利润为2600 千元 .
6.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
货物
体积重量利润（立方米 / 箱）（百斤 / 箱）（百元 / 箱）
甲 5 2 20
乙 4 5 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24 立方米，重量不超过13 百斤 . 试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.
解: 设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1, x2,所获利润为 z .则问题的数学模型可表示为
max z 20x1 10 x2
5x1 4x2 24
st 2x1 5x2 13
x1 , x2 0, x, y Z
这是一个整线性规划问题.
用图解法求解 .
可行域为：由直线
l 1 : 5x 1 4x 2 24
l 2 : 2x 1 5x 2 13 及 x 1
0, x 2
0 组成直线 l : 20x 1 10x 2
c 在此凸四边形区域内
平行移动 .
x 2
l 1
易知：当 l 过 l 1 与 l 2 的交点时， z 取最大值
l 2
x 1
5x 1
4x 2
24
x 1 4
解得
由
5x 2
13
x 2
1
2x 1
l
z
max
20 4 10 1 90 .
7. 深水中的波速 v 与波长 、水深 d 、水的密度
和重力加速度
g 有关，试用量纲分析方
法给出波速 v 的表达式 .
解 ：设 v ,
,
d , ， g
的关系为 f (v, , d , , g ) =0. 其量纲表达式为
[ v ]=LM 0T -1 ，
0 0
， [ d
0 0
]=L -3
， [
g
0 -2
,其中 L ，M ，T 是基本量纲.
[]=LM T ]=LMT ， [ MT ]=LM T ---------4
分
量纲矩阵为
1
1 1
3 1
(L )
A=
0 0 0
1 0 (M )
1 0 0
2 (T )
( v) ( )
(d)
( ) ( g)
齐次线性方程组 Ay=0 ，即
y 1
y 2 y 3 3y 4
y 5
y 4
- y 1
- 2y 5
的基本解为 y 1 = (1,
1
,0,0,
1
), y 2 = (0, 1,1,0,0)
2
2
1
1
由量纲 P i 定理 得
v
2
g 2
1
1
d
2
∴ v g
1
,
1
( 2),
2
d
v g ( d
) ，其中
是未定函数 .
第二章 (2) （2008年 10 月 9日
15． 速度为 v 的风吹在迎风面积为 s 的风车上，空气密度是
，用量纲分析方法确定风车
获得的功率 P 与 v 、S 、
的关系 .
解: 设 P 、 v 、 S 、 的关系为 f ( P, v, s, )
0 ， 其量纲表达式为 :
[P]= ML 2T 3 , [ v ]= LT 1 ,[ s ]= L 2 ,[
]= ML 3 , 这里 L, M ,T 是基本量纲 .
量纲矩阵为：
A=
齐次线性方程组为：
2
1 2 3 ( L )
1 0 0 1 (M )
3 10 0(T)
(P) (v) (s) (
2 y 1 y 2 2y
3 3y
4 0
y 1
y 4 0
3y 1
y 2
它的基本解为 y ( 1,3 ,1,1)
由量纲 P i 定理得
P 1v 3 s 1
1 ，
P
v 3s 1 1
， 其中 是无量纲常数 .
16．雨滴的速度 v 与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度
g 有关，其中粘滞系数的定义
是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，
比例系数为粘滞系
数，用量纲分析方法给出速度 v 的表达式 .
解 ：设 v ,
,
, g
的关系为 f ( v ,
,
,
g ) =0. 其量 纲表达式为 [ v ]=LM 0T -1 ，
-3
-2
-1 -1
-1 -2
-2 -2
-1
-1
0 -2
[ ]=L MT ， [
]=MLT （ LT L ） L =MLL T T=L MT ， [ g ]=LM T , 其中 L ， M ，T 是基本
量纲 .
量纲矩阵为
1
3 1 1 (L)
1
1 0 (M) A=
1 0
1
2(T)
(v) (
)
(
)
(g )
齐次线性方程组 Ay=0 ，即
y 1 - 3y 2 - y 3 y 4 0 y 2
y 3 0 - y 1 - y 3 - 2y 4
的基本解为 y=(-3 ,-1 ,1 ,1)
由量纲 P i 定理 得
v
3
1
g .
v
3
g
，其中 是无量纲常数
.
16 * ．雨滴的速度 v 与空气密度
、粘滞系数 、特征尺寸 和重力加速度
g 有关，其中粘
滞系数的定义是： 运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比， 比例
系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度 v 的表达式 .
解：设 v ,
, , ， g 的关系为 f (v, , , , g) 0 . 其量纲表达式为 [ v 0 -1 ， ]=L -30， -2（ -1 -1 ）-1 -2 -2 -2 -1-1 ， 0 0 ， 0 -2
]=LM T [ MT [ ]=MLT LT L L =MLL T T=L MT [ ]=LM T
[ g ]=LM T 其中 L ， M ， T 是基本量纲 .
量纲矩阵为
1
1 3
1 1 (L)
A=
0 1
1 0 ( M )
1
0 0
1
2 (T )
(v) ( ) ( ) ( ) ( g)
齐次线性方程组 Ay=0 即
y 1
y 2 3y 3
y 4 y 5 0
y 3 y 4 0
y 1
y 4 2 y 5
的基本解为
y 1 (1,
1 ,0,0, 1)
2
2
y 2
(0,
3
, 1,1, 1 )
2 2
得到两个相互独立的无量纲量
1
v
1/ 2
g 1 / 2
2
3 / 2
1
g 1 / 2
即
v
g 1 ,
3 / 2
g 1 / 2
1 1
(1,2)0, 得
( 21)
2
. 由 1
g (
3 / 2
g 1 / 2 1 ) ,
其中 是未定函数 .
20. 考察阻尼摆的周期， 即在单摆运动中考虑阻力， 并设阻力与摆的速度成正比 . 给出周期的
表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期
.
解：设阻尼摆周期 t ,
摆长
l ,
质量
m , 重力加速度
g ，阻力系数
k 的关系为
f (t, l , m, g, k)
其量纲表达式为：
[ t]
L 0 M
0T ,[ l ]
LM
0T
0 , [m]
L 0
MT 0
,[ g]
LM
0T
2 ,[k ]
[ f ][ v]
1
MLT
2
( LT
1
)
1
数学建模作业
数学建模作业 姓名:李成靖 学号:140803０3１１ 班级:计科1403班 日期:２０15．12。30
１.某班准备从5名游泳队员中选4人组成接力队，参加学校的4×100ｍ混合泳接力比赛,5名队员４种泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应如何选拔队员组成接力队? 如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大的退步，只有１′1５＂２;而队员戊经过艰苦训练自由泳成绩有所进步,达到57”5，组成接力队的方案是否应该调整? 名队员4种泳姿的百米平均成绩 ｉj 若参选择队员i 加泳姿j 的比赛，记x i ｊ＝1， 否则记ｘi ｊ=０ 目标函数： 即m ｉn=66．8*x11+7５.６*ｘ1２+87＊x13+58．６＊x1４+57。2＊x21＋66*x22+66.４＊x ２3＋53＊x2４＋７8＊ｘ3１+67．8＊x32+８4。6*ｘ３3+59．４*x34+70*x ４1+74。2＊x42+69.６*x ４３＋５７。2＊x44+6７。4＊ｘ5１+71＊ｘ5２＋8３。8*x53＋62.4*x5４; 约束条件: x 11＋x12+x13＋x14〈=1； x ２1＋x22+x2３+x ２4〈=1; x ３１+x32+x33+x34<＝1； x ４1+ｘ4２＋x ４3+x44〈＝１； x ５1＋ｘ５2+ｘ５３+ｘ54＜=1； ｘ11＋x ２1+ｘ31＋x41+x51=1； x １2+ｘ2２＋x32+x4２+ｘ５2=１; ｘ13+x ２3＋x33+x43+x53=１; ｘ14+ｘ24+x ３4＋ｘ4４+x54=１; 甲 乙 丙 丁 戊 蝶泳 1′06＂8 ５7”２ 1′1８” 1′１0” １′07＂４ 仰泳 1′１5＂6 1′06＂ 1′0７”8 １′14"２ 1′11＂ 蛙泳 1′２7” １′0６"4 1′２4"6 1′09＂6 １′2３"8 自由泳 5８"6 53” 59”４ 5７”２ 1′02”４ ∑∑=== 415 1j i ij ij x c Z Min
数学模型习题解答解读
上机练习题一 班级： 姓名： 学号： 1.建立起始值=3,增量值=5.5,终止值=44的一维数组x 答案： x=(3:5.5:44) 2.写出计算 Sin(30o )的程序语句. 答案： sin(pi*30/180) 或 sin(pi/6) 3.矩阵??????????=187624323A ,矩阵???? ??????=333222111B ;分别求出B A ?及A 与B 中对应元素之间的乘积. 答案：A = [3,2,3; 4,2,6; 7,8,1] B = [1,1,1; 2,2,2; 3,3,3] A*B ；A.*B 4计算行列式的值1 876243 23=A 。答案：det(A) 5对矩阵 ???? ??????=187624323A 进行下述操作。 (1)求秩。答案：rank(A) (2)求转置。答案：A' (3) 对矩阵求逆，求伪逆。答案：inv(A) ，pinv(A) (4) 左右反转,上下反转。答案：fliplr(A)，flipud(A) (5) 求矩阵的特征值. 答案：[u,v]=eig(A) (6) 取出上三角和下三角. 答案：triu(A) tril(A) (7)以A 为分块作一个3行2列的分块矩阵。答案：repmat(a) 6 计算矩阵??????????897473535与???? ??????638976242之和。 >> a=[5 3 5;3 7 4;7 9 8]; >> b=[2 4 2;6 7 9;8 3 6]; >> a+b 7 计算??????=572396a 与?? ????=864142b 的数组乘积。 >> a=[6 9 3;2 7 5]; >> b=[2 4 1;4 6 8];
数学建模竞赛C题解答
数学建模竞赛C题解答
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C 题解答 问题1：如图1，设P 的坐标为 (x , y )， (x ≥ 0，y ≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k 倍，模型可归结为 2222)()()(),(min y b x l y a x ky y x f -+-+-++= 只需考虑21<≤k 的情形（不妨假设b a ≤）。对上述二元费用函数求偏导，令 ()()()()()()()()??? ? ??? =-+----+--==-+----+=0 ,0,22222222 y b x l y b y a x y a k y x f y b x l x l y a x x y x f y x （＊） 结合图1，将（＊）式改写为 ?? ?=+=-k βαβαsin sin 0 cos cos ，易知： 2 4cos cos ,2 sin sin 2 k k -= ===βαβα 所以 2 4tan tan k k -= =βα，故经过AP 和BP 的直线方程分别为： x k k a y 2 4-- =- ① ()l x k k b y --= -24 ② 联立①、②解方程组得交点()()?? ? ???--+= ??? ?????--- =2 2 421,421k kl b a y a b k k l x
因为 x ≥ 0，y ≥ 0，所以 l 应满足： ()a b k k l --≥ 2 4 且()a b k k l +-≤2 4 （a ）当 )(42 a b k k l --≤ 时，此时交点在y 轴上，将0=x 代入①式，可得),0(a P =，即交点P 与A 点重合（如图2）。 ka l a b f ++-=22min )( (b) 当)(4)(42 2 a b k k l a b k k +-< <--时，交点在梯形内（如图1） 。??? ? ? ?--+---=)4(21),(24222k kl b a a b k k l P ， 因为 2 42cos cos cos k l l x l x BP AP -==-+= +α βα，所以模型简化为： 2 42),(min k l ky y x f -+ =， () l k k b a f 2min 4)(2 1 -++= (c) 当)(42 a b k k l +-≥ 时，此时交点在x 轴上，即无共用管线的情形（如图3） 。
数学建模1例题解析
1.贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少共计付了多少利息 (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清 (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由%/月调到%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少 (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是： (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2； (ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 解答： (1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。 利用式子 (元)，即每个月还款元，共还款(元)，共计付利息元。 (2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为， 利用公式：， 所以，
(元) (3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元) (4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。帮忙提前三年还清需要资金数： 。 对于条件(ii)佣金数： 分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为 即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。 2.冷却定律与破案 按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。用此定律建立相应的微分方程模型。 凌晨某地发生一起凶杀案，警方于晨6时到达案发现场，测得尸温26℃，室温10℃，晨8时又测得尸温18℃。若近似认为室温不变，估计凶杀案的发生时间。 解答： 根据Newton冷却定律，可知温度T的微分方程为：
数学建模作业43508
数学建模作业
1、在甲乙双方的一场战争中，部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月，乙方封锁了所有 水陆交通通道，因此被包围的甲方只能依靠空中交通维持补给，运送4个月的供给依此分别 需要2次、3次、3次、4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成，每架飞机都需要3名飞 行员，每架飞机每月只能飞行一次，每名飞行员每月也只能飞行一次，每次执行完运输飞行 任务后的返回途中有20%的飞机被乙方部队击落，导致机上的飞行员也牺牲或失踪。在第 一个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员，每个月开始时，甲方可以招聘 新飞行员和购买新飞机，新飞机必须经过一个月的检查磨合后才可以投入使用，新飞行员也 必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能成为熟练飞行员而投入飞行（作为教练的 熟练飞行员本月不能参与飞行任务），每名熟练飞行员作为教练每月指导20名飞行员（包括 自己在内）进行训练，每名飞行员在完成本月的飞行任务后必须有一个月的带薪休假，然后 返回待命可再次投入飞行，已知各项费用平均单价如下表所示（单位：千元）。 第一个月第二个月第三个月第四个月新飞机价格200 195 190 185 闲置的熟练飞行员报酬7 6.9 6.8 6.7 10 9.9 9.8 9.7 教练及飞行员报酬和训练 费用 执行飞行任务的飞行员报 9 8.9 9.8 9.7 酬 休假期的飞行员报酬 5 4.9 4.8 4.7 （1）为甲方安排一个总费用最小的飞行计划。 （2）如果每名熟练飞行员作为教练每月指导不超过20名飞行员（包括自己在内）进行训练， 相应的模型和安排将会发生怎样的改变？ 解：（1） 设每月初购买飞机数量为d1，d2，d3,d4架，每月闲置飞机数量为 y1,y2,y3,y4架，每月教练与新飞行员总数量为a1,a2,a3,a4人，每月闲置熟练 飞行员的数量为b1,b2,b3,b4人。由于每月执行任务的飞行员和休假期的飞行员 的数量是固定的，即这部分的花费是固定的，所以在优化目标中可以不必考虑。 模型建立： 决策变量：设每月初购买飞机数量为d1，d2，d3,d4架，每月闲置飞机数量 为y1,y2,y3,y4架，每月教练与新飞行员总数量为a1,a2,a3,a4人，每月闲置熟 练飞行员的数量为b1,b2,b3,b4人。 目标函数：设总费用为z元，则由价格平均表可知： z=200d1+195d2+190d3+185d4+10a1+9.9a2+9.8a3+9.7a4+7b1+6.9b2+6.8b3+ 6.7b4 约束条件包括： （1）飞机数量限制：四个月中出去执行任务的飞机数量分别为100，150，150，200架次，每次安全返回的数量为80，120，120，160架次。 根据每个月的实际情况可得方程： 100+y1=110； 150+y2=80+y1+d1； 150+y3=120+y2+d2； 200+y4=120+y3+d3；
数学模型第三版课后习题答案.doc
《数学模型》作业解答 第七章（ 2008 年 12 月 4 日） 1．对于节蛛网模型讨论下列问题： （ 1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 k 1时段的价格y k 1由第k 1 和第 k 时段的数量x k 1和x k决定，如果仍设x k 1仍只取
决于 y k ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较 . （ 2）若除了 y k 1 由 x k 1 和 x k 决定之外， x k 1 也由前两个时段的价格 析稳定平衡的条件是否还会放宽 . 解：（ 1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： y k 1 f x k 1 x k ) ( 2 x k 1 h( y k ) 在 P 0 (x 0 , y 0 ) 点附近用直线来近似曲线 f , h ，得到 y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), 2 x k 1 x 0 ( y k y 0 ) , 由（ 2）得 x k 2 x 0 ( y k 1 y 0 ) （ 1）代入（ 3）得 x k 2 x 0 ( x k 1x k x 0 ) 2 2x k 2 x k 1 x k 2x 0 2 x 0 对应齐次方程的特征方程为 2 2 ( ) 2 8 特征根为 1, 2 4 y k 和 y k 1 确定 . 试分 (1) ( 2) (3) 当 8 时，则有特征根在单位圆外，设 8 ，则
1,2 ( ) 2 ( ) 2 8 42 2 4 1,2 1 2 即平衡稳定的条件为 2与 P 207 的结果一致 . （ 2）此时需求函数、供应函数在 P 0 (x 0 , y 0 ) 处附近的直线近似表达式分别为： y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), ( 4) 2 x k 1 x 0 ( y k y k 1 y 0 ) , ( 5) 2 由（ 5）得， (x x 0 ) β(y y y k 1 y 0 ) ( 6 ) 2 k 3 k 2 将（ 4）代入（ 6），得 2( x k 3 x 0 ) ( x k 2 x k 1 x 0 ) ( x k 1 x k x 0 ) 2 2 4 x k 3x k 2 2 x k 1 x k 4 x 0 4 x 0 对应齐次方程的特征方程为 4 3 2 2 0 (7) 代数方程（ 7 ）无正实根，且 αβ , , 2 4 不是（ 7）的根 . 设（ 7）的三个非零根分 别为 1, 2, 3，则 1 2 3 4 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 4 对（ 7）作变换： , 则 12 3 q 0, p 其中 p 1 (2 2 2 ), q 1(833 2 2 ) 4 12 4 123 6
全国数学建模大赛题目
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 地平线油位探针
数学建模习题及答案课后习题
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
数学模型课后答案
数学模型课后答案
《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1．学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q值方法； （3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， , 432 ,333 ,235321 ===p p p ∑==3 1 . 1000i i p 方法一（按比例分配） , 35.23 1 11 == ∑=i i p N p q , 33.33 1 22 == ∑=i i p N p q 32 .43 1 33 == ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321 ===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分 配）为： 4 ,3 ,2321===n n n 第10个席位：计算Q 值为
2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ??+=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π ) 2 2 2 n wk k(r n πvt +=∴ . 2 2 2n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日） 1. 在 3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
数学建模典型例题
一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij
最新数学建模竞赛答案汇总
2010年数学建模竞赛 答案
输油管道的铺设设计 符号约定 m 炼油厂A 到铁路线L 的距离 n 炼油厂B 到铁路线L 的距离 b 炼油厂A 、B 间水平距离 F 输送管道的总费用 f 铺设管道的附加费用 W 铺设费用的权重系数 1k A 厂铺设非共用管线每千米的费用 2k B 厂铺设非共用管线每千米的费用 3k 共用管线每千米的费用 问题一分析与模型建立 最短路径的存在性论证 如图4.1，假设C 点为在铁路线上设计增建的车站，由费尔马问题的结论，在ABC ?中，存在费尔马点P ，使点P 与ABC ?三个顶点距离之和小于三角形二边之和，即有 PA+PB+PC
①当0120<∠ACB 时，铺设公用管道PC 的输送费用比不铺设公用管道费用低； ②当0120>∠ACB 时，不需要铺设公用管道，即公用管道PC =0。 问题一分析与模型建立 如图4.1，以炼油厂A 、B 间铁路线所在直线为x 轴，以过炼油厂A 且垂直于铁路线L 直线为y 轴，建立平面直角坐标系。设 A(0,m), B(b,n),P(r,t)，并设非公用管道的费用为每千米1个单位，公用管道的费用为每千米k 个单位（下同），根据实际意义易知21<≤k 。 根据参考文献[1]，点P 不可能在A 的上方，故m t ≤≤0。 易得，A 点关于过点P 平行于x 轴的直线1L 的对称点'A （0，2t-m ）。 由费尔马点的应用及平面几何对称性有 111F PB PA k PC BA k PC '=?+?+?>?+? 为此，得到铺设管道的最优模型 min 1F BA k PC '=?+? 4-1 问题一模型求解 对模型分两种管道费用相同与不同两种情形研究，并根据点A 、B 的坐标不同的取值，进行A 、B 不同位置时管道铺设设计。 1公用管道与非公用管道费用不同，即k <1时模型的求解 已知A 点关于1l 对称点'A （0，2t-m ） ()F t tk =
数学建模题目及答案
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和，
()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000；
数学建模习题指导
数学建模习题指导 第一章 初等模型 讨论与思考 讨论题1 大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。 （1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。 （2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。 提示： 决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。 单价随重量增加而减少 单价的减少随重量增加逐渐降低 思考题2 划艇比赛的成绩 赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。 各种艇的比赛成绩与规格 γβα++=3 2w w C w w c γβα++=-3 123 431w w c γβ--='-3 2943 4w w c γβ+=''-
第二章 线性代数模型 森林管理问题 森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。 思考： 试解释为什么模型中求解得到的 为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。 练习： 将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存 达到3架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 第三章 优化模型 讨论题 1）最优下料问题 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘。给出几种加工排列方法，比较出最优下料方案。 2）广告促销竞争问题 甲乙两公司通过广告竞争销售商品，广告费分别为 x 和 y 。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中所占份额是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数 又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。 （1）令 （2）写出甲公司的利润表达式 对一定的 y ，使 p (x ) 最大的 x 的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 练习1 三个家具商店购买办公桌：A 需要30张，B 需要50张，C 需要45张。这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张。下表给出了工厂和商店的距离（单位公里） ， 857.0=n R ) (),(y x y f y x x f ++的示意图。。画出则)()()(,t f t f t f y x x t 11=-++= 。 )(t p
(完整版)数学模型第二章习题答案
15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系. 解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-T ML , [v ]=1-LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲. 量纲矩阵为： A=) ??????? ???---ρ()() ()()()()(001310013212s v P T M L 齐次线性方程组为： ?? ? ??=--=+=-++0 30 32221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y 由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 1 13ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系 数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式. 解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0 ， [μ]=MLT -2 （LT -1L -1 ）-1L -2 =MLL -2T -2 T=L -1 MT -1 ，[g ]=LM 0T -2 ,其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为 A=) ()()()()()() (210101101131g v T M L μρ??????????----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即 ??? ??==+=+0 2y -y - y -0 y y 0y y -3y -y 431 324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲i P 定理 得 g v μρπ1 3 --=. 3 ρ μλg v =∴，其中λ是无量纲常数.
数学建模b题标准答案
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：北京大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 姚胜献 2. 许锦敏 3. 刘迪初 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：刘业辉 日期： 2011 年 9 月 12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 交巡警服务平台的设置与调度 摘要 本文通过建立整数规划模型，解决了分配各平台管辖范围、调度警务资源以及合理设置交巡警服务平台这三个方面的问题；通过建立线性加权评价模型定量评价了某市现有交巡警服务平台设置方案的合理性，并根据各个区对服务平台需求量的不同，提出了重新分配全市警力资源的解决方案。在计算交巡警服务平台到各个路口节点的路程时，使用了图论里的floyd算法。 针对问题一的第一个子问题，首先假设交巡警服务平台对某个路口节点的覆盖度是二元的，引入决策变量，建立了0-1整数规划模型。交巡警出警应体现时间的紧迫性，所以选择平均每个突发事件的出警时间最短作为目标函数，运用基于MATLAB的模拟退火算法进行求解，给出了中心城区A的20个服务平台的管辖范围，求得平均每个案件的出警时间为1.013分钟。 针对问题一的第二个子问题，为了实现对中心城区A的13个交通要道的快速全封锁，以最短的封锁时间为目标，建立了0-1整数规划模型，利用lingo软件编程求解，给出了该区交巡警服务平台警力合理的调度方案，并求得对13个交通要道实现全封锁最短需要8.02分钟。 问题一的第三个子问题是交巡警服务平台的选址问题。考虑到建设新的服务平台需要投入更多的成本和警务资源，还需平衡各个服务平台的工作量。因此，以增加最少的服务平台数和服务平台工作量方差最小为目标，采用集合覆盖理论，建立了双目标0-1整数规划模型，用基于MATLAB的模拟退火算法求解出增加的服务平台数为4个，新增 的服务平台具体位置为A 28,A 40 ,A 48 ,A 88 ，并得到各个服务平台的工作强度方差为2.28。 针对问题二的第一个子问题，通过建立线性加权评价模型定量评价了该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性，结果发现全市服务平台覆盖率较低且各个区的工作量不均衡，得出全市服务平台的布局存在明显的不合理的结论。并确定各区域人口密度、各区域公路总长度以及各区域平均每天总的发案率为各区域对交巡警需求的指标，然后根据各个区对服务平台需求量的不同，提出了较为合理的分配全市警力资源的解决方案。 对于问题二的第二个子问题，以围堵范围最小和调动警力最少的原则，通过分析案发后嫌疑犯可能到达的位置，给出了围堵方案。 关键词：交巡警服务平台 0-1整数规划模拟退火法
数学建模例题及解析
。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由
（2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对
数学建模课后习题答案
第一章 课后习题6. 利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。 解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为： )()0(mg M x = 由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程 M x x dt dx =-=)0(,λ（1） 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程： 0)0(,=-=y y x dt dy μλ（2） 方程（1）可转换为：t Me t x λ-=)( 带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμ λλ ----= 将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得： t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t 针对孩子求解，得： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=； 致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987= 课后习题7. 对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。
解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μu t e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---= 1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dt dz t 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t 用matlab 画图: 图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。 从图中可以看出，采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。T=2时，血液中药物浓度最高，为236.5；当z=200时，t=2.8731，血液透析0.8731小时后就开始解毒。 第二章 1.用 2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下的雇员和雇主之间的关系： 1）以雇员一天的工作时间和工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图，解释曲线为什么是那种形状； 2）如果雇主付计时费，对不同的工资率画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议； 3）雇员和雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员的工作时间增加到t 2，他有两种
数学建模课后答案
第一章 4.在1、3节“椅子能在不平的地面上放稳不”的假设条件中,将四脚的连线呈正方形改为长方形,其余不变。试构造模型并求解。 答:相邻两椅脚与地面距离之与分别定义为)()(a g a f 和。f 与g 都就是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地,所以对于任意的a ,)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后,对角线互换,0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样,改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题: 已 知 a a g a f 是和)()(的连续函数,对任意 0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且,0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ,使0)()(00==a g a f 证:令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则, 由g f 和的连续性知h 也就是连续函数。 根据连续函数的基本性质, 必存在0a (0＜0a ＜π/2)使0)(0=a h ,即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ,所以0)()(00==a g a f
8 第二章
10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便有效的排列方法,使加工出尽可能多的圆盘。
第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少,则设 kx q x q -=0)( (1)k 就是产量增加一个单位时成本的降低 , 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将(1)(2)(3)代入(4)求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--=