数学模型 第四版 课后答案 姜启源 谢金星 叶俊编
人猫鸡米渡河问题的数学模型
人猫鸡米渡河问题的数学模型(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--人猫鸡米渡河问题的数学模型摘要：人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外（船除了要载人外），只能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
本文将设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。
模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。
关键字：穷举法，Matlab运算求解。
一、问题的提出课本:模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。
二、问题的分析因为这是个简单问题，研究对象少，所以可以用穷举法，简单运算即可解题。
此问题是从状态向量A（1,1,1,1）经过奇数次运算向量B变为状态向量A（0,0,0,0）的状态。
转移过程为什么是奇数次？我们注意到过河有两种，奇数次的为从左岸到右岸，而偶数的为右岸回到左岸，因此得到下述转移过程，所以最后应该是过河完成时状态转移数为奇数次。
三、问题的假设：假设船除了载人之外，至多只能载猫、鸡、米三者之一。
：当人不在场时，猫一定会吃鸡、鸡一定会吃米。
四、定义符号说明：我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，当一物在左岸时，相应的分量记为1，在右岸时记为0.如向量（1,0,1,0）表示人和鸡在左岸，猫和米在右岸，并将这些向量称为状态向量。
例如（1,1,1,1）表示它们都在左岸，（0,1,1,0）表示猫，鸡在左岸，人，米在右岸；由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。
凡问题可以允许存在的状态称为可取状态。
A 向量定义为状态变量。
比如()11,0,1,0A 是一个可取状态向量，但()20,0,1,1A 是一个不可取状态向量。
此外，B 向量定义为运载变量。
把每运载一次也用一个四维向量来表示。
姜启源编数学模型第四版
一般模型 x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力. • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比. • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t).
x(t) f (x, y) x u(t), 0
tm~传染病高潮到来时刻
tm
1
ln
1 i0
1
t i 1 ?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
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模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染. SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
di
dt
i(1 i)
i
i[i (1 1 )]
i(0) i0
/
~ 日接触率 1/ ~感染期
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数.
第7页/共76页
模型3
di/dt
di i[i (1 1 )]
dt
接触数 (感染期内每个
病人的有效接触人数)
i
i
>1
i0
>1
1
1-1/
接触率
N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
dt
s(t) i(t) 1
di
i(1 i)
dt
i(0) i0
第5页/共76页
模型2
i
di
i(1 i)
dt
i(0) i0
Logistic 模型
1
i(t)
数学模型第四版(姜启源)作业对于6.4节蛛网模型讨论下列问题：【范本模板】
对于6。
4节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定。
如果设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与6.4的结果进行比较。
（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 决定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。
解:（1)设1+k y 由1+k x 和k x 的平均值决定，即价格函数表示为：)2(11k k k x x f y +=++ 则 0),2(0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),(001>-=-+ββy y x x k k消去y, 得到 012)1(22x x x x k k k +=++++αβαβαβ ,k=1，2，….该方程的特征方程为022=++αβαβλλ与6.4节中 )2(11-++=k k k y y g x 时的特征方程一样， 所以0〈αβ〈2, 即为0p 点的稳定条件。
（2）设 )2(11k k k x x f y +=++ )2(11-++=k k k y y g x ， 则有 0),2(0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),2(0101>-+=--+ββy y y x x k k k 消去y ，得到0123)1(424x x x x x k k k k +=++++++αβαβαβαβ 该方程的特征方程为02423=+++αβαβλαβλλ令λ=x ,αβ=a ， 即求解三次方程0a 2ax ax 4x 23=+++ 的根 在matlab 中输入以下代码求解方程的根x ：syms x asolve(4*x^3+a*x^2+2＊a*x+a==0,x)解得 1x = （36＊a^2 — 216＊a — a^3 + 24＊3^（1/2）＊（-a^2＊（a — 27））^（1/2)）^（1/3）/12 — a/12 + (a*(a — 24))/（12＊（36*a^2 — 216＊a — a^3 + 24*3^（1/2)＊(-a^2＊（a — 27）)^（1/2))^(1/3）)；2x = -（2＊a*(36*a^2 - 216＊a — a^3 + 24＊3^（1/2）＊（—a^2＊(a - 27））^（1/2）)^（1/3） — 3^（1/2)*a*24＊i — 3^（1/2）*（36＊a^2 — 216＊a — a^3 + 24＊3^(1/2）＊(—a^2*(a — 27））^(1/2))^(2/3）*i - 24＊a + 3^(1/2)＊a^2*i+ (36*a^2 - 216＊a - a^3 + 24＊3^（1/2）*(-a^2＊（a — 27）)^（1/2）)^（2/3) + a^2)/（24*(36*a^2 — 216*a - a^3 + 24＊3^(1/2)＊（-a^2*（a — 27））^（1/2）)^（1/3））；3x =—（2＊a*（36*a^2 - 216*a — a^3 + 24＊3^（1/2)*(-a^2*（a - 27))^（1/2))^(1/3) + 3^(1/2)＊a ＊24*i + 3^（1/2）*(36＊a^2 - 216＊a — a^3 + 24*3^(1/2）＊(-a^2*(a - 27））^（1/2))^(2/3)*i — 24＊a - 3^（1/2)＊a^2＊i + (36＊a^2 - 216＊a - a^3 + 24*3^(1/2）*(-a^2＊（a - 27))^(1/2))^（2/3) + a^2）/（24＊（36＊a^2 — 216＊a — a^3 + 24*3^（1/2）*（—a^2*(a -27）)^(1/2）)^(1/3））；其中1x 为实根，2x 与3x 为一对共轭虚根。
数学模型课后答案姜启源
数学模型课后答案姜启源【篇一：姜启源《数模》习题选解】方案模型构成：以阈值0,1分别标记“不在”和“在”，记第k次渡河前此岸的人阈值为xk，猫阈值为yk，鸡阈值为zk，米阈值为wk，将四维向量sk=(xk,yk,zk,wk)定义为状态，xk,yk,zk,wk=0,1。
安全渡河条件下的状态集合为允许状态集合，记作s。
以穷举法得到s：s={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),( 0,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0)} 记第k次渡船上四个对象（人、猫、鸡、米）的阈值分别为ak,bk,ck,dk，并将四维向量ek=(ak,bk,ck,dk)定义为决策。
允许决策集合记作e={(a,b,c,d)|0≤b+c+d≤1，a=1，b,c,d=0,1}因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以，状态sk随决策ek变化的规律是sk+1=sk+(-1)kek该式称状态转移律，该问题就转换成多步决策模型：求决策∈?? ??=1,2,?,?? ，使状态∈??按照转移律，由初始状态s1=(1,1,1,1)经有限步n到达状态sn+1=(0,0,0,0)。
模型求解：本解答试尝用图解法，由于无法利用平面来表达四维坐标系，所以采取其投影即三维空间的方法来构建模型。
把人的阈值xk抽离出来，分别标记0系坐标系（即当xk=0时，(yk,zk,wk)的空间坐标），和1系坐标系，可允许状态点如下标示（红色点）：由于a=1是恒成立的，所以，决策是0系坐标系和1系坐标系的点集间的连接，而非任意坐标系内部的连接。
如图1所示，两正方体中心重合，且对应顶点的连线通过中心，称为二合正方体（四维空间不具有包性，即a/b两正方体并没有包含的关系）。
二合正方体的一个顶点为（a,b），称为共顶点，即二合正方体共有8个共顶点。
(完整版)数学模型(第四版)课后详细答案
数学模型作业六道题作业一1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。
解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV。
我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。
至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。
我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。
即：V=k 1L 3，因此，模型为：……………………………模型一33111M V k l K L ρρ===利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1，如下图1所示：图1从图1结果可以得到参数K 1=0.014591，所以模型为：31M 0.014591 L =上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。
因此，有必要改进模型。
如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k 2d 2L ，因此，模型为：身长/cm 36.831.843.836.832.145.135.932.1质量/g 76548211627374821389652454胸围/cm24.821.327.924.821.631.822.921.6t h i ng sin………………………………模型二22222M V k d K d L L ρρ===利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示：图2从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为：22M 0.032248d L=将实际数据与模型结果比较如表1所示：表1实际数据M 76548211627374821389652454模型一M 1727.165469.2141226.061727.165482.6291338.502675.108482.619模型二M 2729.877465.2481099.465729.877482.9601470.719607.106483.9602.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。
关于人员时间安排问题的数学建模
关于人员时间安排问题的数学建模本题涉及公司对人员进行时间安排的问题，安排的策略既不能浪费人力资源，同时又使他们在自己的工作时间内发挥应有的效益。
目的是使最省人力、最省开支的目的，达到公司事半功倍的效果。
我们采用的是对题目进行各时间段落实，采用列出方程组，解出最优解的方案。
建立的关于人员时间安排问题的模型Ｓ＝（Ｘ＋Ｙ）×800＋（Ｚ＋Ｗ）×900，最后对各未知数之间的关系的分析、解剖，分析得出的结果：Ｓ＝38000，X=10，Y=15，Z=20，W=0。
此模型涉及到线形方程的最优解，反映了此人员时间安排及工程预算、工程测量等工作安排的实际问题，对其他各领域方面的深入研究也有一定的指导意义。
一.(1)问题的提出某公司的营业时间是上午8点到21点，服务人员中途需要1小时的吃饭和休息时间。
每人的工作时间为8小时，上午8点到17点的工作人员月工资为800元，中午12点到21点工作的人员的工资为900元。
为保证营业时间内部有人值班，公司安排四个班次，其班次休息私见安排都有所安排。
问如何安排服务人员既满足需求又使公司所付工资总数最少。
（2）模型假设1）假设各班次人员可以任意安排；2）不考虑服务人员的个人时间问题；（3）符号说明X为班次是1班的工作人员的总人数；Y为班次是2班的工作人员的总人数；Z为班次是3班的工作人员的总人数；W为班次是4班的工作人员的总人数。
（4）模型分析1）对时间区间8：00—10：00工作人员的安排，班1和班2都在值班时间内，所以班1和班2人员都可胜任，X+Y≥20。
2）对时间区间10：00—12：00工作人员的安排，班1和班2都在值班时间内，所以班1和班2人员都可胜任，X+Y≥25。
3）对时间区间12：00—14：00工作人员的安排，班1和班2、班3、班4都有部分工作时间在此区间内，班1：13：00—14：00区间上能值班，班2：12：00—13：00区间上可以值班，此区间属于班3和班4工作时间内，所以班1、班2、班3、班4都能担任此区间的值班工作。
数学模型(第四版)课后详细答案
数学模型作业六道题 作业一1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV 。
我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。
至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。
我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。
即：V=k 1L 3，因此，模型为：33111M V k l K L ρρ===……………………………模型一 利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1，如下图1所示：图1从图1结果可以得到参数K 1=0.014591，所以模型为：31M 0.014591 L =上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。
因此，有必要改进模型。
如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k 2d 2L ，因此，模型为：身长/cm36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 质量/g765 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围/cm24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.622222M V k d K d L L ρρ===………………………………模型二利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示：图2从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为：22M 0.032248d L=将实际数据与模型结果比较如表1所示：表1实际数据M765 482 1162 737 482 1389 652 454模型一M 1 727.165 469.214 1226.061 727.165 482.629 1338.502 675.108 482.619 模型二M 2 729.877 465.248 1099.465 729.877 482.960 1470.719 607.106 483.9602.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。
数学模型第四版课后规范标准答案姜启源版
.
再由初始条件，得
又由
其解为
(1)
即乙方取胜时的剩余兵力数为
又令
注意到 .
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援.则
相轨线为
此相轨线比书图11中的轨线上移了 乙方取胜的条件为
《数学模型》作业解答
第六章（2008年11月20日）
1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．
S取最大值.
由 解得
此时 ＝20 ＝350（元）
2.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
货物
体积
（立方米/箱）
重量
（百斤/箱）
利润
（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.
A
B
C
3 2 2
3 3 3
4 5 5
4 4 3
5 5 5
6 6 7
总计
10 10 10
15 15 15
2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.
解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑 到 时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 两边积分，得
《数学模型》作业解答
故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T = ，能节约费用约53．33元.
《数学模型》作业解答
第四章（2008年10月28日）