数学建模课后答案

第一章

4.在1、3节“椅子能在不平的地面上放稳不”的假设条件中,将四脚的连线呈正方形改为长方形,其余不变。试构造模型并求解。

答:相邻两椅脚与地面距离之与分别定义为)()(a g a f 和。f 与g 都就是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地,所以对于任意的a ,)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后,对角线互换,0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样,改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题: 已

知

a

a g a f 是和)()(的连续函数,对任意

0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且,0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ,使0)()(00==a g a f

证:令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则, 由g f 和的连续性知h 也就是连续函数。 根据连续函数的基本性质,

必存在0a (0＜0a ＜π/2)使0)(0=a h ,即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ,所以0)()(00==a g a f

8

第二章

10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便有效的排列方法,使加工出尽可能多的圆盘。

第三章

5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少,则设

kx q x q -=0)( (1)k 就是产量增加一个单位时成本的降低 ,

销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将(1)(2)(3)代入(4)求出

ka q kbp pa bp x r --++-=02)(

当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为

b

a

kb ka q p 2220*+--=

6、根据最优定价模型 px x f =)( x 就是销售量 p 就是价格,成本q 随着时间增长,ββ,0t q q +=为增长率,0q 为边际成本(单位成本)。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x 、

利润)()()(x q x f x u -=、假设前一半销售量的销售价格为1p ,后一半销售量的销售价格为2p 。

前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12

/011--=? 后期利润 dt bp a t q p p u T

T ))](([)(22/22--=? 总利润 )()(21p u p u U += 由

0,02

1=??=??p U

p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++=

)]4

3([2102T

q b a b P β++= 前期销售量 dt bp a T )2

01?

-、（ 后期销售量

dt p a T

T )(2

/2?

-

总销售量 0Q =)(2

21p p bT

aT +-

在销售量约束条件下U 的最大值点为

8~01T bT Q b a p β--= ,8

~02T bT Q b a P β+-= 7、

(1)雨水淋遍全身,22.2)2.0*5.12.0*5.05.0*5.1(*2)(2m ac bc ab s =++=++= 以最大速度跑步,所需时间s v d t m 2005/1000/min === (2)顶部淋雨量v bcdw Q /cos 1θ=

雨速水平分量 θsin u ,水平方向合速度 v u +θsin 迎面淋雨量 uv v u abdw Q /)sin (2+=θ 总淋雨量 21Q Q Q +=

当m v v =时,Q 最小,15.10≈=Q ，θL;L 55.1Q 30≈=，。

θ (3)合速度为

|

sin |v u -α总淋雨量

???

???

?>+-=-+≤-+=-+=ααααααααααsin ,)sin cos ()sin (cos sin ,)sin cos ()sin (cos u v v av a c u u bdw v u v a cu u

bdw u v v av

a c u u bdw v v u u cu u bdw Q 若0sin cos <-ααa c ,即a c /tan >α,则αsin u v =时Q 最小, 否则m v v =时Q 最小,当。30=α,L Q s m v 24.0,/2,15/2tan ≈=>α最小

（4）雨从背面吹来,满足）。6.7,2.0,5.1(/tan >==>ααm c m a a c ,αsin u v =,Q 最

小,人体背面不淋雨,顶部淋雨。 （5）侧面淋雨,本质没有变化

第四章

1.(1)设证券A B C D E 的金额分别为 54321,,,,x x x x x

,,,0

32104,52341590364466,4.152210

4..04

5.0022.0025.0027.0043.0543,2154321543215

432154321543215

43215432143254321≥≤---+≤++++++++≤+--+≤++++++++≤++++≥++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Max 即即

(2)由(1)可知,若资金增加100万元,收益增加0、0298百万元,大于以2、75%的利润借到100万元资金的利息,所以应该借贷。投资方案需要将上面模型第二个

约束右端改为11,求解得:证券A,C,E 分别投资2、40百万元,8、10百万元,0、50百万元,最大税后收益为0、3007百万元。

(3)由(1)可知,证券A 的税前收益可增加0、35%,若证券A 的税前收益增加为4、5%,投资不应改变。证券C 的税前收益可减少0、112%,故若证券C 的税前收益减少为4、8%,投资应该改变。

6、设1,1z y 分别就是产品A 就是来自混合池与原料丙的吨数,22,z y 分别就是产品B 中就是来自混合池与原料丙的吨数;混合池中原料甲乙丁所占的比例分别为

421,,x x x ,优化目标就是总利润最大,

7.记b=(290,315,350,455)为4种产品的长度,n=(15,28,21,30)为4种产品的产品的需求量,设第i 种切割模式下每根原料钢管生产4种产品的数量分别为

,,,,4321r r r r 该模式使用i x 次,即使用该模式切割i x 根原料钢管(i=1,2,3,4)且切割

模式次序就是按照使用频率从高到低排列的。

第五章

1、(1)SIR 模型???????=-==-=00)0(,)0(,s

s si dt ds i i i si dt

di

λμλ,s(t)曲线单调递减。

若σ

1

0>

s ,当

01

s s <<σ

时,0>dt

di

,i(t)增加; 当σ1

=s 时,

0=dt di

,i(t)达到最大值;

当σ1

,i(t)减少,且0=∞i

(2)若)(,0,10t i dt

di

s <<σ单调递减至0

9.(1)提倡一对夫妻只生一个孩子:总与生育率1)=t （β;(2)提倡晚婚晚育:生育

模式11

1,)

()()(1

r r e

r r r h r r >Γ-=

---αθαθ

α取2

,2n

==αθ，

得21-+=n r r c ,1r 意味着晚婚,n 增加意味着晚育,这里的c r r ,1增大(3)生育第二胎的规定:1)(>t β,生育模式)(r h 曲线更加扁平。