数学建模课后习题作业

选修课——数学建模部分习题详细解答【陈文滨】1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？【模型假设】（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。

【模型建立】在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）•g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。

【模型求解】如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。

如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。

这时，将长方形ABCD 绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f（0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0， f（π）＝0。

令h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。

又h（0）＝f(0)－g（0）＞0，h（π）＝f(π)－g（π）＜0，,根据连续函数介值定理，必存在θ0∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ0）；又因为f（θ0）•g（θ0）＝0，所以f（θ0）＝g（θ0）＝0。

于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。

【模型讨论】用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳．2、人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。

问人、狗、鸡、米怎样过河 【模型假设】人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。

【符号说明】1X ：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0； 2X ：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0； 3X ：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0； 4X ：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0； 1234(,,,)K S X X X X =：状态向量，代表时刻K 左岸的状态； 1234(,,,)K D X X X X =：决策向量，代表时刻K 船上的状态；【模型建立】限制条件：23134202X X X X X +≠⎧=⇒⎨+≠⎩ 初始状态：00(1,1,1,1),(0,0,0,0)S D ==目标：确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由(1,1,1,1)(0,0,0,0)→ 【模型求解】根据乘法原理，四维向量1234(,,,)X X X X 共有4216=种情况，根据限制条件可以排除(0,1,1,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)三种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行匹配，易知可行决策集仅有五个元素：{}(1,1,1,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0),(0,0,0,0)D =,状态集有8个元素，将其进行匹配，共有两种运送方案：方案一：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表2）。

表1：方案一的状态与决策表2：方案二的状态与决策3、报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。

设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。

这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。

报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。

请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。

【符号说明】报纸具有时效性每份报纸进价b元，卖出价a元，卖不完退回份报纸c元。

设每日的订购量为n，如果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。

订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。

为了获得最大效益，现在要确定最优订购量n。

n的意义。

n是每天购进报纸的数量，确定n一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。

所以，笔者认为n的意义是双重的。

本题就是让我们根据a、b、c及r来确定每日进购数n。

【模型假设】1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n。

2、假设报纸每日的需求量是r，但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量r的分布函数,只知道每份报纸的进价b、售价a及退回价c。

3、假设每日的定购量是n。

4、报童的目的是尽可能的多赚钱。

【模型建立】应该根据需求量r确定需求量n，而需求量r是随机的，所以这是一个风险决策问题。

而报童却因为自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。

但是要得到n值，我们可以从卖报纸的结果入手，结合r与n的量化关系，从实际出发最终确定n值。

由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。

现在用简单的数学式表示这三种结果。

1、赚钱。

赚钱又可分为两种情况:①r>n，则最终收益为(a-b)n (1)②r<n，则最终收益为(a-b)r-(b-c)(n-r)>0整理得：r/n>(b-c)/(a-c) (2)2、由(2)式容易得出不赚钱不赔钱。

r/n=(b-c)/(a-c) (3)3、赔钱。

r/n<(b-c)/(a-c) (4)【模型求解】首先由(1)式可以看出n与最终的收益呈正相关。

收益越多，n的取值越大。

但同时订购量n 又由需求量r约束，不可能无限的增大。

所以求n问题就转化成研究r与n的之间的约束关系。

然后分析(3)、(4)两式。

因为(3)、(4)分别代表不赚钱不赔钱及赔钱两种情况，而我们确定n值是为了获得最大收益，所以可以预见由(3)、(4)两式确立出的n值不是我们需要的结果，所以在这里可以排除，不予以讨论。

最后重点分析(2)式。

显然式中r表需求量，n表订购量，(b-c)表示退回一份儿报纸赔的钱。

因为(a-c)无法表示一个显而易见的意义，所以现在把它放入不等式中做研究。

由a>b>c,可得a-c>a-b，而(a-b)恰好是卖一份报纸赚得的钱。

然后采用放缩法，把(2)式中的(a-c)换成(a-b)，得到r/n<(b-c)/(a-b) (5)不等式依然成立。

由(5)式再结合(1)式可知收益与n正相关，所以要想使订购数n的份数越多，报童每份报纸赔钱(b-c)与赚钱(a-b)的比值就应越小。

当报社与报童签订的合同使报童每份报纸赔钱与赚钱之比越小，订购数就应越多。

5、赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。

各种艇虽大小不同，但形状相似。

现在考虑八人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg）和轻量级组（桨手体重不超过73kg），建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%。

【符号说明】【模型假设】1．/l b 为常数，赛艇净重0W 与浆手数目成正比，即08W ∝；2．赛艇前进时收到阻力与2sv 成正比；3.每个浆手比赛时划桨功率保持不变，且功率与体重成正比。

【模型建立】克服阻力做功功率为Fst ，因此总功率满足P Fv ∝，且2,F sv P W ∝∝，我们用量纲法进行建模：对于重量级八人赛艇：111P FV ∝ (1) 211F sV ∝ (2)11P W ∝ (3)由上述各式有：311W sV ∝，因此1311W V s ⎛⎫∝ ⎪⎝⎭ (4) 且已知 23s A ∝ (5) 又赛艇总重018W W W =+;由于假设2可知：08W w =（w 为常数），因此有1()W W w ∝+。

我们如下定义λ：111W wW λ+=(6)从而11W W λ∝ (7)根据阿基米德定律A W ∝,根据（7）式： 11A W λ∝ (8)将（8）式代入（5）式中有： ()2311s W λ∝ (9)将（9）式代入（4）式中有： ()()2193111V W λ--∝ (10)因为V 与t 成反比，有：()()2193111t W λ∝ (11)同理，对于轻量级快艇，我们有：()()2193222t W λ∝ (12)结合（11）与（12）式，我们可以知道两种快艇成绩比值的关系：2193111222t W t W λλ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（13）【模型求解】根据（13）式，我们有重量级八人赛艇比轻量级八人赛艇的成绩领先率为：219311122211t W t W λλ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 259911122211t W w W t W w W ⎛⎫⎛⎫+⇒-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭我们令W1=86kg ，W2=73kg在12λλ十分接近1时，12110.561 5.61%t t -==；在12,w W w W <<<<的情况下，791286110.13613.6%73t t ⎛⎫-≈-== ⎪⎝⎭。