中考数学专题训练(附详细解析)：四边形(矩形)

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(易错题精选)初中数学四边形专项训练及答案

（易错题精选）初中数学四边形专项训练及答案一、选择题1．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则DE 的长为（）A ．65B ．85C ．125D ．245【答案】D【解析】【分析】连接AD ，根据已知等腰三角形的性质得出AD ⊥BC 和BD=6，根据勾股定理求出AD ，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC ，D 为BC 的中点，BC=12， ∴AD ⊥BC ，BD=DC=6，在Rt △ADB 中，由勾股定理得：22221068AB BD =+=， ∵S △ADB=12×AD×BD ＝12×AB×DE ， ∴DE=8624105AD BD AB ⨯⨯==，故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD 的长是解此题的关键．2．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（）A ．16B ．15.2C ．15D ．14.8【答案】D【解析】【分析】根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.【详解】解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，由勾股定理，得226810BD +=，∴=10PB PD BD +=，在△BCD 中，由三角形的面积公式，得11=22BD PC BC CD ••，即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯，解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=；故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.3．下列命题错误的是（）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．两直线平行，内错角相等C ．等腰三角形的两个底角相等D ．若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确；B、两直线平行，内错角相等，正确；C、等腰三角形的两个底角相等，正确；D、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D错误；故选：D.【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.4．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE，若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则∠EBF的余弦值是（）A．21313B．31313C．23D．1313【答案】B【解析】【分析】首先证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；设AE=x，则BF=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°，∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠EAD+∠BAF＝90°，∴∠ABF＝∠EAD，在△ABF和△DEA中BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA （AAS ），∴BF ＝AE ；设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，∵四边形ABED 的面积为6， ∴111622xx x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2，在Rt △BEF 中，222313BE =+=，∴313cos 1313BF EBF BE ∠===．故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．5．如图，已知矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，点E 在BC 边上，连接DE 、AE ，若EA 平分∠BED ，则ABE CDES S V V 的值为（）A 23-B 233-C 233-D 23- 【答案】C【解析】【分析】过点A 作AF ⊥DE 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ，利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质解答即可．【详解】解：如图，过点A 作AF ⊥DE 于F ，在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，∵AE 平分∠BED ，∴AF ＝AB ，∵BC ＝2AB ，∴BC ＝2AF ，∴∠ADF ＝30°，在△AFD 与△DCE 中∵∠C=∠AFD=90°,∠ADF=∠DEC,AF=DC,，∴△AFD ≌△DCE （AAS ），∴△CDE 的面积＝△AFD 的面积＝2113AF DF AF 3AF AB 22⨯=⨯= ∵矩形ABCD 的面积＝AB •BC ＝2AB 2，∴2△ABE 的面积＝矩形ABCD 的面积﹣2△CDE 的面积＝（2﹣3）AB 2，∴△ABE 的面积＝()2232AB -,∴2323323ABE CDE S S --==V V ，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ．6．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ：BC ＝2：1，且BE ∥AC ，CE ∥DB ，连接DE ，则tan ∠EDC ＝（）A ．14B ．16C ．26D ．310【答案】B【解析】【分析】过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=12 x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝12AD＝12x，OE∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝12OE＝x．∴tan∠EDC＝EFDF＝122xx x＝16．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．7．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）A ．183π-B ．183πC ．32316πD ．1839π-【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=383= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2120(43)84332316360ππ⨯⨯=．故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．8．下列说法中正确的是（）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D ．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.9．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=o ，则AEF ∠=（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形ABCD 沿EF 对折后两部分重合，150∠=o ， ∴∠3=∠2=180-502︒︒=65°， ∵矩形对边AD ∥BC ， ∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B ．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．10．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422AE BC ==⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．11．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2B ．322C ．52D ．3【答案】A【解析】【分析】根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可.【详解】 ∵2119y x =-， ∴当0y =时，21019x =-，解得：=3x ±，∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∴OC=4，∴BC 长度2205OB C +=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，即：OE=12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∴BD 的最小值为4，∴OE=12BD=2，即OE的最小值为2，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（）A．60 B．48 C．24 D．96【答案】D【解析】【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，∴AO＝22100368AB OB-=-=，∴AC＝16，BD＝12，∴菱形面积＝12162⨯＝96，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．18【答案】C【解析】【分析】首先根据矩形的特点，可以得到S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PFC =S △PCN ，最终得到S 矩形EBNP = S 矩形MPFD ,即可得S △PEB =S △PFD ，从而得到阴影的面积．【详解】作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，∴S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PFC =S △PCN∴S 矩形EBNP = S 矩形MPFD ,又∵S △PBE = 12S 矩形EBNP ，S △PFD =12S 矩形MPFD ， ∴S △DFP =S △PBE =12×2×8=8， ∴S 阴=8+8=16，故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S △PEB =S △PFD ．14．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（）A ．2B ．169C ．32D 2【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH =，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG V ，∴CDG V 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，∴4MN =，设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，即2114(42)22x x ?-，解得：121,4x x ==， ∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．15．如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A．BA=BCB．AC、BD互相平分C．AC⊥BDD．AB∥CD【答案】B【解析】试题分析：根据矩形的判定方法解答．解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分．理由如下：∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴▱ABCD是矩形．其它三个条件再加上AC=BD均不能判定四边形ABCD是矩形．故选B．考点：矩形的判定．16．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【解析】【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=12BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．【详解】如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE=∠AEB ，∵∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∴∠DAE=∠BAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，同理可得AB=AF ，∴AF=BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB=AF ，∴四边形ABEF 是菱形，∴AE ⊥BF ，OA=OE ，OB=OF=12BF=6， ∴OA=2222=106AB OB --=8，∴AE=2OA=16.故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF 是菱形是解决问题的关键．17．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标轴为()4,1, 点D 的坐标为()0,1，则菱形ABCD 的周长等于（）A 5B ．3C ．45D ．20【答案】C【解析】【分析】如下图，先求得点A 的坐标，然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长，进而得出菱形ABCD 的周长.【详解】如下图，连接AC 、BD ，交于点E∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB又∵B ()4,1，D ()0,1∴E(2，1)∴A(2，0)∴()()2220015-+-=∴菱形ABCD 的周长为：5故选：C【点睛】本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标，从而求得菱形周长.18．下列结论正确的是（）A ．平行四边形是轴对称图形B ．平行四边形的对角线相等C ．平行四边形的对边平行且相等D ．平行四边形的对角互补，邻角相等【答案】C【解析】【分析】分别利用平行四边形的性质和判定逐项判断即可．【详解】A 、平行四边形不一定是轴对称图形，故A 错误；B 、平行四边形的对角线不相等，故B 错误；C 、平行四边形的对边平行且相等，故C 正确；D 、平行四边形的对角相等，邻角互补，故D 错误．故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，掌握特殊平行四边形与一般平行四边形的区别是解题的关键．19．如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC=2，▱ABCD 的周长是在14，则DM 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：∵BM 是∠ABC 的平分线，∴∠ABM=∠CBM ，∵AB ∥CD ，∴∠ABM=∠BMC ，∴∠BMC=∠CBM ，∴BC=MC=2，∵▱ABCD 的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD ﹣MC=3，故选C ．考点：平行四边形的性质．20．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（）A ．1B ．2C ．32D ．85【答案】C【解析】【分析】由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度．【详解】解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，∴∠B=90°， ∴22345AC =+=，由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ，∴CF=5-3=2，在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -，由勾股定理，得：2222(4)x x +=-，解得：32x =； ∴32BE =．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE 的长度．。

中考数学第一部分考点研究复习第五章四边形第25课时矩形菱形正方形练习含解析

2019-2020年中考数学第一部分考点研究复习第五章四边形第25课时矩形菱形正方形练习含解析基础过关1. (xx遵义)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( )第1题图A. AB＝ADB. AC⊥BDC. AC＝BDD. ∠BAC＝∠DAC2. (xx河北)关于▱ABCD的叙述，正确的是( )A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C. 若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D. 若AB＝AD，则▱ABCD是正方形3. (xx黔东南)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )A. 2B. 3C. 3D. 23第3题图第4题图4. (xx荆门)如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF ⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A. △AFD≌△DCEB. AF＝1 2 ADC. AB＝AFD. BE＝AD－DF5. (xx广东)如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH 的周长为( )A. 2B. 2 2C. 2＋1D. 22＋1第5题图第6题图6. (xx郴州)如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( )A. 7B. 8C. 7 2D. 7 37. (xx宜宾)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A. 4.8B. 5C. 6D. 7.2第7题图第8题图8. (xx青海)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝________．9. (xx成都)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为________．第9题图第10题图10. (xx包头)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E.若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝________度．11. (xx漳州)如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是________．第11题图第12题图12. (xx张家界)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上E处，EQ 与BC相交于F，若AD＝8 cm，AB＝6 cm，AE＝4 cm，则△EBF的周长是________cm. 13. (xx黄冈)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝________．第13题图第14题图14. (xx哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E、F分别在边AB、BC上．△BEF 与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上. 若EG⊥AC，AB＝6，则FG的长为________．15. (xx襄阳)如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．第15题图第16题图16. (xx赤峰)如图，正方形ABCD的面积为3 cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N.若MN＝AE，则AM的长等于________cm.17. (xx云南)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．第17题图18. (xx青岛)已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．第18题图19. (xx杭州)如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一条直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.(1)求sin∠EAC的值；(2)求线段AH 的长．第19题图满分冲关1. (xx 呼和浩特)如图，面积为24的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E 、F 、G 分别在AB 、BC 、FD 上．若BF ＝62，则小正方形的周长为( ) A. 568 B. 566 C. 562 D. 1063第1题图第2题图2. (xx 咸宁)已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A (5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D (0，1)．当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( ) A. (0，0) B. (1，12) C. (65，35) D. (107，57)3. (xx 泸州)如图，矩形ABCD 的边长AD ＝3，AB ＝2，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF ＝2FC ，AF 分别与DE 、DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为( ) A. 225 B. 9220 C. 324 D. 425第3题图第4题图4. (xx 雅安)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED ＝3BE ，点P 、Q 分别在BD 、AD 上，则AP ＋PQ 的最小值为( )A. 2 2B. 2C. 2 3D. 3 35. (xx 淄博)如图，正方形ABCD 的边长为10，AG ＝CH ＝8，BG ＝DH ＝6，连接GH ，则线段GH 的长为( )A. 835B. 2 2C. 145D. 10－5 2第5题图第6题图6. (xx 丽水)如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为点E 、F ，延长BD 至G ，使得DG ＝BD ，连接EG 、FG .若AE ＝DE ，则EGAB＝________．7. (xx 温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板(如图①所示)中各块板的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图②所示)，则该凸六边形的周长是________cm.第7题图8. (xx 玉林)如图，已知正方形ABCD 边长为1，∠EAF ＝45°，AE ＝AF ，则有下列结论： ①∠1＝∠2＝22.5°； ②点C 到EF 的距离是2－1；③△ECF 的周长为2; ④BE ＋DF ＞EF . 其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．第8题图第9题图9. (xx 安徽)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG .其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)10. (xx 德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图②，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD .点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB ＝∠CPD ＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明)第10题图答案基础过关1. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得AB ＝AD ，即邻边相等，所以D 正确．2. C 【解析】选项逐项分析正误 A 有一个角是直角的平行四边形是矩形 × B 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 × C 对角线相等的平行四边形是矩形 √ D有一组邻边相等的平行四边形是菱形×3. D 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠ABC ＝60°，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝1，∴BO ＝AB 2－AO 2＝3，∴BD ＝2OB ＝2 3.4. B 【解析】选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS )√ B 只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立× C 由△AFD ≌△DCE 可知AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF √D∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，又∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE＝BC －CE ＝AD －DF√ 5. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边BC ，DC 的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF ＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 6. C 【解析】设AE 的延长线交DF 于点H ，CF 的延长线交BE 于点G ，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，∵AB ＝CD ，AE ＝CF ，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF (HL )，∴∠ABE ＝∠CDF ，∵AB ∥CD ，∴BE∥DF ，∵∠BEA ＝∠DFC ＝90°，∴∠AHF ＝∠CGE ＝90°，∴四边形FGEH 是矩形，∴∠BCG ＋∠DCF ＝∠DCF ＋∠CDF ＝90°，∴∠BCG ＝∠CDF ，又∵BC ＝CD ，∴△CBG ≌△DCF ，∴CG ＝DF ＝12，CF ＝BG ＝5，∴EG ＝FG ＝CG －CF ＝7，∴矩形EGFH 为正方形，∴EF ＝7 2.第6题解图第7题解图7. A 【解析】如解图，过点P 作PE ⊥AC 交AC 于点E , PF ⊥BD 交BD 于点F ，连接PO ，∵AB ＝6 BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵四边形ABCD 是矩形，∴AO ＝OD ＝12×AC＝12×10＝5，又∵S △AOD ＝S △AOP ＋S △DOP , ∴12×12×6×8＝12·AO ·PE ＋12·DO ·PF ，∴12＝12×5×PE ＋12×5×PF ，∴PE ＋PF ＝4.8.8. 4.8 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴AB＝42＋32＝5，∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝AB ·DH ，∴12×8×6＝5DH ，∴DH ＝4.8.9. 3 3 【解析】∵AE 垂直平分OB ，∴AB ＝AO ＝3，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ＝2AO ＝6，在Rt △BAD 中，AD ＝BD 2－AB 2＝62－32＝3 3.10. 22.5 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，OA ＝12AC ，OB ＝12BD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠EAC ＝2∠CAD ＝2∠ODA ，∵AE ⊥BD ，∴∠AEB ＝90°，∴∠EAC ＋∠CAD ＋∠ODA ＝90°，∴4∠ODA ＝90°，∴∠ODA ＝22.5°，∴∠BAE ＝90°－∠EAD＝90°－3∠ODA ＝22.5°.11. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，DF ⊥x 轴于点F ，∵菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D 点坐标为(3＋2，1)．第11题解图12. 8 【解析】∵∠HEQ ＝∠A ＝∠B ＝90°，易知△AHE ∽△BEF ，∴AH AE ＝BEBF.在Rt △AHE 中，AE 2＋AH 2＝HE 2，又∵HE ＝HD ，AE ＝4，∴AH ＋HE ＝AD ＝8，42＋AH 2＝(8－AH )2，∴AH ＝3，BF＝AE·BE AH ＝83；在Rt △BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2，∴EF ＝103，∵BE ＝6－AE ＝2，∴△EBF 的周长为：EB ＋BF ＋FE ＝2＋83＋103＝8.13. 23a 【解析】如解图，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，由题意知DE ＝a ，PE ＝CE ＝2a ，∴∠DPE ＝30°，∠GPF ＝60°，又∵四边形FGDC 是矩形，∴FG ＝3a ，∴FP ＝GF sin60°＝233×3a ＝23a .第13题解图14. 3 3 【解析】由题意可知，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，又∵AB ＝BC ，∴∠B ＝60°，∵EG ⊥AC ，可得△AEG 为等腰三角形，∴∠AEG ＝∠AGE ＝30°，又∵△BEF 与△GEF 关于直线EF 对称，∴∠BEF ＝∠GEF ＝180°－30°2＝75°，又∵∠B ＝60°，∴∠BFE ＝180°－75°－60°＝45°，∴∠BFE ＋∠GFE ＝90°，∴GF ⊥BC ，即GF 为AD 、BC 的公垂线，如解图，过点A 作BC 的垂线，垂足为点H ，则AH ＝FG ，在Rt △AHB 中，∠B ＝60°，AB ＝6，则AH ＝33，∴FG ＝AH ＝3 3.第14题解图 15.55【解析】∵正方形ABCD 的边长为22，∴AC ＝BD ＝4，且AC 和BD 相互垂直平分，∴OA ＝OB ＝OC ＝2，∵AM ⊥BE ，∴∠EAM ＋∠AEM ＝90°，∵∠OBE ＋∠AEM ＝90°，∴∠OBE ＝∠EAM ，∵OA ＝OB ，∠AOB ＝∠BOE ＝90°，∴△AOF ≌△BOE (ASA)，∴OF ＝OE ＝12OC ＝1，∴BF ＝OB －OF ＝1，∴在Rt △BOE 中，BE ＝OB 2＋OE 2＝22＋12＝ 5.∵∠OBE ＝∠MBF ，∠BOE＝∠BMF ＝90°，∴△BMF ∽△BOE ，∴BF BE ＝FM OE 即15＝FM 1，解得FM ＝55. 16. 233或33 【解析】根据题意画出图形如解图，过点N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∵∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵点F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM (HL)，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG＝60°，∴∠AFM＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AFcos30°＝132＝233 cm ；由对称性得AM ′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ；综上，AM 的长等于233或33cm.第16题解图17. (1)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∠ABC ＋∠BAD ＝180°，又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33； (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，又∵∠BOC ＝90°， ∴平行四边形OBEC 是矩形．18. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD . 又∵AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF (SAS)； (2)解：四边形BEDF 是菱形．理由：如解图，连接DG ，∵△ABE ≌△CDF ，第18题解图∴BE＝DF，∠ABE＝∠CDF，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BO＝OD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠EBO＝∠FDO.又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(AAS)，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．∵DG＝BG，∴△BDG是等腰三角形．又∵BO＝DO，∴GO⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形．19. 解：(1)由题意易求，EC＝2，AE＝10，如解图，过点E作EM⊥AC于点M，第19题解图∴∠EMC＝90°，又∵∠ACD＝45°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴EM ＝2， ∴sin ∠EAC ＝EM AE＝210＝55； (2)在△GDC 与△EDA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA (SAS)， ∴∠GCD ＝∠EAD ，又∵∠HEC ＝∠DEA ， ∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12AG ·DC ＝12GC ·AH ，∴12×4×3＝12×10·AH ， ∴AH ＝6510.满分冲关1. C 【解析】∵S 正方形ABCD ＝24，∴BC ＝CD ＝26，∴CF ＝BC －BF ＝362，∴DF ＝CF 2＋CD 2＝562，∵∠EFG ＝90°，∴∠EFB ＋∠DFC ＝90°，∵∠EFB ＋∠BEF ＝90°，∴∠DFC ＝∠BEF ，又∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CFD ，∴EF DF ＝BF DC ，∴EF ＝568，∴正方形EFGH 的周长＝4EF ＝562.2. D 【解析】同侧两点求最短路径时，作其中一点关于点P 所在直线的对称点，连接另一点与对称点，即最短路径．如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA 交OA 于点F .点C 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，EO ＝12OB ＝25，∴OF ＝4，根据勾股定理可得EF ＝2，点E 的坐标为(4，2)，∴直线OE 的函数解析式为y ＝12x，又∵D(0，1)，∴直线AD的函数解析式是y＝－15x＋1，联立两函数方程⎩⎪⎨⎪⎧y＝12xy＝－15x＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝107y＝57，∴点P的坐标为(107，57)．第2题解图3. B 【解析】如解图，延长DE与CB的延长线交于点G，由四边形ABCD是矩形可得AD∥BC 且AD＝BC＝3，又∵BF＝2FC，∴BF＝2，FC＝1，由勾股定理可得AF＝AB2＋BF2＝22＋22＝2 2.由△ADN∽△FBN可得ANNF＝ADBF＝32，∴AN＝32NF＝35AF＝625，再由△ADM∽△FGM得ADGF＝AMMF，又∵点E为BA的中点，可证△ADE≌△BGE，∴GB＝AD＝3.∴GF＝5，∴AMMF＝35，可得AM＝38AF ＝324.∴MN＝AN－AM＝625－324＝9220.第3题解图4. D 【解析】如解图，延长AE到点F，使得EF＝EA，过点F作FQ⊥AD于点Q，交BD于点P，连接AP，此时AP＋PQ＝FP＋PQ＝FQ，即FQ是AP＋PQ的最小值．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥PF，∵∠BAE＝∠PFE，∠ABE＝∠FPE，∵AE＝EF，∴△AEB≌△FEP(AAS)，∴BE ＝PE，PF＝AB.∵DE＝3BE，∴DP＝BP，∴AP＝BP＝AB，∴△APB是等边三角形，∴∠ABP＝60°.∵AD＝6，∴AB＝ADtan∠ABD＝23，∴PQ＝12AP＝12AB＝3，∴FQ＝33，即AP＋PQ的最小值为3 3.第4题解图5. B 【解析】如解图，延长DH 交AG 于点E .∵DH ＝6，CH ＝8，CD ＝10，∴DH 2＋CH 2＝CD 2，∴CH ⊥DH ，同理AG ⊥BG .∵∠ADE ＋∠DAE ＝∠BAE ＋∠DAE ＝90°，∴∠ADE ＝∠BAE ，∵∠AGB ＝∠AED ＝90°，AD ＝AB ，∴△AED ≌△BGA (AAS)，∴DE ＝AG ＝8，AE ＝BG ＝6，∴EG ＝2，同理HE ＝2，∴HG ＝2 2.第5题解图 6.72 【解析】如解图，延长BE 到点H ，使得EH ＝BE ，连接GH ，∵DG ＝BD ，∴DE ＝12GH 且DE ∥GH ，∵BE ⊥AD ，∴BH ⊥GH .设DE ＝x ，∵AE ＝DE ，BE ⊥AD ，∴AB ＝BD .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BD ＝2x ，∴△ABD 为等边三角形．∴∠DBE ＝30°.∴GH ＝2x ，EH ＝BE ＝3x ，∴EG ＝GH 2＋HE 2＝＝7x ，∴EG AB ＝＝72.第6题解图7. 322＋16 【解析】如解图，在正方形ABCD 中，∠BAD ＝90°，∴BD ＝162＋162＝162，∴OB ＝OD ＝8 2 ，∴BG ＝OG ＝OP ＝PD ＝42，BF ＝（42）2＋（42）2＝8, CF ＝8.将解图①和解图②对比，可知每一条线段的长，∴该凸六边形的周长为：82＋82＋8＋42×4＋8＝(322＋16)cm.第7题解图8. ①②③【解析】序号逐个分析正误①∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，又∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴∠1＝∠2＝12×(90°－∠EAF)＝12×45°＝22.5°√②如解图，过点A作AM⊥EF交EF于点M，连接CM，由于AE＝AF，易得ME＝MF，显然AF是∠DAM的平分线，所以DF＝MF＝ME，易得△EFC是等腰直角三角形，所以EF＝2FC，则DF＝22FC，点C到EF的距离是Rt△EFC斜边EF上的中线，所以这个距离是CM＝12EF＝12×2FC，即FC＝2CM，∴DF ＝CM，而DF＋FC＝1，则2CM＋DF＝1，所以(2＋1)CM＝1，解得CM＝2－1，即点C到EF的距离是2－1第8题解图√③△EFC周长是2FC＋EF＝22CM＋2CM＝2(2＋1)(2－1)＝2 √④∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE＝DF，又∵EF＝2DF，∴BE＋DF＝EF×综合所述，正确的结论是①②③.9. ①③④【解析】由折叠的性质得，∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，∴∠EBG＝∠FBE＋∠FBG＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF＝BC＝10，BA＝BH＝6，∴HF＝BF －BH＝4，∴AF＝BF2－BA2＝8，设GH＝x，则GF＝8－x，在Rt△GHF中，x2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠AB AG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，S △ABG S △FGH ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确． 10. (1)证明：如解图①，连接BD .第10题解图①∵点E ，H 分别为边AB ，AD 的中点， ∴EH ∥BD ，EH ＝12BD ，同理得FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形； (2)猜想：四边形EFGH 是菱形．证明：如解图②，连接AC ，BD . ∵∠APB ＝∠CPD ， ∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋ ∠APD ，即∠APC ＝∠BPD ，第10题解图② 又∵PA ＝PB ，PC ＝PD ， ∴△APC ≌△BPD (SAS)， ∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG ，又∵中点四边形EFGH 是平行四边形， ∴中点四边形EFGH 是菱形；(3)解：当∠APB ＝∠CPD ＝90°时，中点四边形EFGH 是正方形．【解法提示】如解图②，设AC 与BD 交于点O ，AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N ， ∵△APC ≌△BPD ， ∴∠ACP ＝∠BDP ， ∵∠DMO ＝∠CMP ， ∴∠COD ＝∠CPD ＝90°， ∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°， ∵中点四边形EFGH 是菱形，∴中点四边形EFGH 是正方形．#H32096 7D60 絠227100 69DC 槜XD32905 8089 肉25845 64F5 擵36115 8D13 贓35137 8941 襁25037 61CD 懍24590 600E怎9q。

中考数学复习四边形矩形菱形正方形PPT课件

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(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝ 10 ，AB∥CD，∴∠ABE＝∠DCB，
∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3.
∵四边形AEBD是菱形，∴AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF，
∴tan∠ABE＝＝3.
∵BF＝，∴EF＝
，∴DE＝3 10 ，
∴S菱形AEBD＝ 1 ·AB·DE＝ 1 · 10 ·3 10 ＝15.
在△APH和△FGH中，
∴△APH≌△FGH(ASA)，
∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝ 1 PG，∴PD＝AD－AP＝1. 2
∵CG＝2，CD＝1，∴DG＝1，
则
故选C.
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矩形的性质应用及判定方法 (1)矩形性质的应用：从边上看，两组对边分别平行且相等；从角上看，矩形的四个角都是直角；从对角线上看，对角线互相平分且相等，同时把矩形分为四个面积相等的等腰三角形． (2)矩形的判定方法：若四边形可以证为平行四边形，则还需证明一个角是直角或对角线相等；若直角较多，可利用“三个角为直角的四边形是矩形”来证．
考点一矩形的性质与判定 (5年3考) 例1 (2018·威海中考)矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C， E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若 BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝( )
A．1 B. 2 C. 2 D. 5 32 2
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【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝
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Hale Waihona Puke 6．(2018·扬州中考)如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接 AE. (1)求证：四边形AEBD是菱形；

2021年中考数学复习之专题突破训练《专题十一：四边形》解析

2021年中考数学复习之专题突破训练《专题十一：四边形》参考答案与试题解析一、选择题1．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC【考点】矩形的判定．【专题】常规题型．【答案】A【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、AB＝AD，菱形ABCD，不能判定是矩形，故本选项错误；B、OA＝OB，根据菱形的对角线互相平分且OA＝OB，知AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形可得▱ABCD是矩形，故本选项正确；C、AC＝BD，根据对角线相等的菱形是矩形，故本选项正确；D、DC⊥BC，则∠BCD＝90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得四边形ABCD是菱形，故本选项正确．故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．2．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC【考点】平行四边形的判定．【专题】多边形与平行四边形．【答案】D【分析】根据平行四边形判定定理进行判断．【解答】解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB∥DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为A．24B．3.6C．4.8D．5【考点】垂线段最短；矩形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；几何直观．【答案】C【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．【解答】解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值为：＝4.8．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：C．【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．4．一个菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则这个菱形的面积等于A．48cm2B．24cm2C．12cm2D．18cm2【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【答案】B【分析】根据菱形的面积公式：菱形的面积＝两条对角线的乘积的一半即可求得其面积．【解答】解：∵菱形的面积＝×两条对角线的乘积＝×6×8＝24cm2，故选B．【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法利用底乘以相应底上的高，利用菱形的特殊性，菱形面积＝两条对角线的乘积的一半；具体用哪种方法要看已知条件来选择．5．小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，瓷砖形状不可以是A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形【考点】平面镶嵌．【专题】几何图形．【答案】C【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．【解答】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，∴小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是正五边形．故选：C．【点评】此题考查平面镶嵌问题，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．6．▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以为A．1：2：3：4B．1：2：2：1C．2：2：1：1D．2：1：2：1【考点】平行四边形的性质．【答案】D【分析】根据平行四边形对角相等可得答案．【解答】解：∵平行四边形对角相等，∴对角的比值数应该相等，其中A，B，C都不满足，只有D满足．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质．解题的关键是掌握平行四边形的两组对角分别相等．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为A．B．2C．D．3【考点】菱形的性质；翻折变换．【专题】压轴题；动点型．【答案】B【分析】首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得＝，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值．【解答】解：连接PP′交BC于O，∵若四边形QPCP′为菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ＝90°，∵∠ACB＝90°，∴PO∥AC，∴＝，∵设点Q运动的时间为t秒，∴AP＝t，QB＝t，∴QC＝6﹣t，∴CO＝3﹣，∵AC＝CB＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝6，∴＝，解得：t＝2，故选：B．【点评】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是熟记平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．推出比例式＝，再表示出所需要的线段长代入即可．8．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE 的长是A．5B．2C．D．【考点】菱形的性质．【专题】几何直观．【答案】C【分析】首先利用菱形的性质结合勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm，∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，∠BOC＝90°，∴BC＝＝5，∴AE×BC＝BO×AC故5AE＝24，解得：AE＝．故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用三角形面积求出AE的长是解题关键．9．正方形ABCD的一条对角线长为8，则这个正方形的面积是A．4B．32C．64D．128【考点】正方形的性质．【答案】B【分析】正方形对角线长相等，因为正方形又是菱形，所以正方形的面积可以根据S＝ab计算．【解答】解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为8，∵正方形又是菱形，菱形的面积计算公式是S＝ab∴S＝×8×8＝32，故选：B．【点评】本题考查了正方形对角线相等的性质，解本题的关键是清楚正方形面积可以按照菱形面积计算公式计算，并熟记菱形的面积计算公式．10．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG ⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG；④EG＝，其中正确的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】三角形中位线定理；菱形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形．【答案】C【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB＝CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．【解答】解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正确；②四边形EFGH是菱形，正确；③HF平分∠EHG，正确；④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，∴连接CD，延长EG到CD上一点N，∴EN＝BC，GN＝AD，∴EG＝，只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误．综上所述，①②③共3个正确．故选：C．【点评】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB＝CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．11．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F．若BF＝12，AB＝10，则AE的长为A．10B．12C．16D．18【考点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质．【答案】C【分析】先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝6，∴OA＝＝＝8，∴AE＝2OA＝16；故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．12．如图所示，设M表示平行四边形，N表示矩形，P表示菱形，Q表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是A．B．C．D．【考点】多边形．【专题】探究型．【答案】A【分析】根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的定义进行解答即可．【解答】解：∵四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，∴正方形应是N的一部分，也是P的一部分，∵矩形、正方形、菱形都属于平行四边形，∴它们之间的关系是：．故选：A．【点评】本题考查的是正方形、平行四边形、菱形和矩形的定义，熟练掌握这些多边形的定义与性质是解答此题的关键．13．矩形、菱形、正方形都具有的性质是A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线平分对角【考点】多边形．【答案】C【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．【解答】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项错误；B、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项错误；C、对角线互相平分，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项正确；D、对角线平分对角，矩形不具有此性质，故本选项错误；故选：C．【点评】此题考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，注意掌握正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．14．在研究多边形的几何性质时．我们常常把它分割成三角形进行研究．从八边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为A．5B．6C．7D．8【考点】多边形的对角线．【专题】多边形与平行四边形；几何直观．【答案】B【分析】n边形从一个顶点出发可引出条对角线，分成个三角形．【解答】解：过八边形的一个顶点可以引＝5条对角线，所以可组成6个三角形．故选：B．【点评】此题主要考查了多边形对角线，关键是掌握多边形对角线的画法．15．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO ＝15°，则∠BOE的度数为A．85°B．80°C．75°D．70°【考点】矩形的性质．【答案】C【分析】由矩形的性质得出OA＝OB，再由角平分线得出△ABE是等腰直角三角形，得出AB＝BE，证明△AOB是等边三角形，得出∠ABO＝60°，OB＝AB，得出OB＝BE，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠EAO＝15°，∴∠BAO＝45°+15°＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠ABO＝60°，OB＝AB，∴∠OBE＝90﹣60°＝30°，OB＝BE，∴∠BOE＝＝75°．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．16．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是A．4B．5C．6D．8【考点】矩形的性质．【答案】A【分析】根据矩形性质得出AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，推出OA＝OB，得出△AOB 是等边三角形，推出AB＝AO＝4即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝4，故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．17．如图，丝带重叠的部分一定是A．正方形B．矩形C．菱形D．都有可能【考点】菱形的判定．【答案】C【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形．故选：C．【点评】本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．18．有这样一道题：如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，连接DH，如果BC＝12，BF＝3，则tan∠HDG的值为A．B．C．D．【考点】正方形的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【答案】D【分析】证明△EFB∽△FDC，通过比例式求解EF长，则HG、DG长可求，最后根据直角三角形中对应线段的比求tan∠HDG的值．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC＝12．∵BF＝3，∴FC＝12﹣3＝9．在Rt△DFC中，利用勾股定理求得DF＝15．∵∠C＝∠B＝90°，∠EFB＝∠FDC，∴△EFB∽△FDC．∴，解得EF＝．∴HG＝EF＝，DG＝DF﹣FG＝15﹣＝．∴tan∠HDG＝．故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质以及解直角三角形、勾股定理．19．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长是40cm，则平行四边形ABCD的周长是A．40cm B．60cm C．70cm D．80cm【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．【答案】D【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，又由OM⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得AM＝CM，又由△CDM的周长是40cm，即可求得平行四边形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，∵OM⊥AC，∴AM＝CM，∵△CDM的周长是40cm，即：DM+CM+CD＝DM+AM+CD＝AD+CD＝40cm，∴平行四边形ABCD的周长为：2＝2×40＝80．∴平行四边形ABCD的周长为80cm．故选：D．【点评】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．20．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C 之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm【考点】菱形的判定与性质．【答案】A【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR＝AS，∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的判定、勾股定理等知识，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．21．要在一块长方形的空地上修建一个花坛，要求花坛图案为轴对称图形，图中不符合设计要求的是A．B．C．D．【考点】矩形的性质；轴对称图形．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称．【答案】B【分析】利用轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与原图形重合，结合各图形进行判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，该选项不合题意；A、不是轴对称图形，该选项符合题意；A、是轴对称图形，该选项不合题意；A、是轴对称图形，该选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称图形的定义及应用，熟练掌握轴对称图形的定义是本题的关键．22．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为A．14B．16C．20D．18【考点】平行四边形的性质．【答案】C【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，再根据线段垂直平分线的性质得出BE＝DE，由△CDE的周长得出BC+CD＝6cm，即可求出平行四边形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∵△CDE的周长为10，∴DE+CE+CD＝BE+CE+CD＝BC+CD＝10，∴平行四边形ABCD的周长＝2＝20；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．23．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有A．3对B．2对C．1对D．0对【考点】平行四边形的判定与性质．【答案】A【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对平行四边形的面积相等．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABD＝S△CBD．∵BP是平行四边形BEPH的对角线，∴S△BEP＝S△BHP，∵PD是平行四边形GPFD的对角线，∴S△GPD＝S△FPD．∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△GPD＝S△BCD﹣S△BHP﹣S△PFD，即S▱AEPG＝S▱HCFP，∴S▱ABHG＝S▱BCFE，同理S▱AEFD＝S▱HCDG．即：S▱ABHG＝S▱BCFE，S▱AGPE＝S▱HCFP，S▱AEFD＝S▱HCDG．故选：A．【点评】本题考查的是平行四边形的性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，可以把平行四边形的面积平分．24．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为A．40B．24C．20D．15【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形．【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，得到AD＝CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO＝3，于是得到结论．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．25．如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若BD＝6，则四边形CODE的周长是A．10B．12C．18D．24【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质．【答案】B【分析】由已知条件先证明四边形CODE是平行四边形，再由矩形的性质得出OC＝OD ＝3，即可求出四边形CODE的周长．【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD＝6，∴OC＝OD＝3，∴四边形CODE是菱形，∴DE＝OC＝OD＝CE＝3，∴四边形CODE的周长＝4×3＝12．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．26．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件不正确的是A．AB＝AC B．AB＝BC C．BE平分∠ABC D．EF＝CF【考点】三角形中位线定理；菱形的判定．【专题】证明题；矩形菱形正方形．【答案】A【分析】当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．根据三角形中位线定理证明即可；当BE 平分∠ABC时，可证BD＝DE，可得四边形DBFE是菱形，当EF＝FC，可证EF＝BF，可得四边形DBFE是菱形，由此即可判断；【解答】解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形；理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，∴DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∵DE＝BC，EF＝AB，∴DE＝EF，∴四边形DBFE是菱形．故B正确，不符合题意，当BE平分∠ABC时，可证BD＝DE，可得四边形DBFE是菱形，当EF＝FC，可证EF＝BF，可得四边形DBFE是菱形，故C、D不符合题意，故选：A．【点评】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．27．下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是A．一组对角相等B．对角线互相平分C．一组对边相等D．对角线互相垂直【考点】平行四边形的判定．【专题】推理填空题．【答案】B【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断即可．【解答】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；B、∵OA＝OC、OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，题目具有一定的代表性，但是一道比较容易出错的题目．28．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为A．2.4B．3C．4.8D．5【考点】垂线段最短；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质．【答案】C【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形EDFB是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝BD，则EF的最小值即为BD的最小值，根据垂线段最短，知：BD 的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【解答】解：如图，连接BD．∵在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°．又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴四边形EDFB是矩形，∴EF＝BD．∵BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8，∴EF的最小值为4.8，故选：C．【点评】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．29．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝A．90°B．135°C．270°D．315°【考点】三角形内角和定理；多边形内角与外角．【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和定理．知道剪去直角三角形的这个直角后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键．30．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l 经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为A．B．2C．2D．3【考点】垂线段最短；全等三角形的判定与性质；平移的性质．【专题】三角形；应用意识．【答案】A【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝＝＝，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，，∴△BFD≌△CKD，∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为，综上所述，AE+BF的最大值为．故选：A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．二、填空题31．若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引8条对角线，则n＝11．【考点】多边形的对角线．【专题】多边形与平行四边形；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解．【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣3＝8，解得n＝11．故答案为：11．【点评】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．32．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为4b﹣2a．【考点】矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形．【答案】见试题解答内容【分析】利用矩形的性质得到剩余白色长方形的长为b，宽为，然后计算它的周长．【解答】解：剩余白色长方形的长为b，宽为，所以剩余白色长方形的周长＝2b+2＝4b﹣2a．故答案为4b﹣2a．【点评】本题考查了矩形的周长．33．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【考点】平行四边形的判定．【答案】见试题解答内容【分析】先根据分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，得出AB＝DC，AD＝BC，再判断四边形ABCD是平行四边形的依据．【解答】解：根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，解题时注意：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言为：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边行ABCD是平行四边形．34．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，AD＝6，则菱形的面积等于16．【考点】菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形．【答案】见试题解答内容【分析】根据菱形的面积＝对角线积的一半，可求菱形的面积．【解答】解：如图：设AC与BD的交点为O∵四边形ABCD是菱形∴AO＝CO＝4，BO＝DO，AC⊥BD∴DO＝＝2∴BD＝4∵S菱形ABCD＝×AC×BD∴S菱形ABCD＝×4×8＝16故答案为：16【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质解决问题是本题的关键．35．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止，在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有3次．【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】动点型．【答案】见试题解答内容【分析】首先设经过t秒，根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP＝BQ，分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，。

初中数学：9道专项例题讲解，特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）热门考点及常考题型

初中数学：9道专项例题讲解，特殊平行四边形（矩形、菱
形、正方形）热门考点及常考题型
特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题，是热门考点．
近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．
其主要考点可概括为：一个性质，一个定理，四个图形，三个技巧．
1.如图，在△ABC中，点D，E，F 分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：(1).四边形ADEF 是平行四边形；(2).∠DHF＝∠DEF.
2.如图所示，已知在四边形 ABCD 中，AD＝BC 且 AC⊥ BD，点E，F，G，H，P，Q 分别是 AB，BC，CD，DA，AC， BD 的中点．求证：(1).四边形 EFGH 是矩形； (2).四边形 EQGP 是菱形．
2.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E 作EF∥AB，交 BC于点 F.(1). 求证：四边形DBFE是平行四边形．
(2). 当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
6.如图，已知在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B 顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG，DE，FG 相交于点 H.
(1).判断线段 DE，FG 的位置关系，并说明理由；
(2).连接 CG，求证：四边形 CBEG 是正方形．
7.如图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，点 E， F 分别在AB，CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A，D 分别落在矩形 ABCD 外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．。

2022中考数学技巧《矩形中的典型模型问题》专题讲解附练习及答案

微专题：矩形中的典型模型问题◆模型一面积问题1．(2021·北京中考)现代数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，那么所得两长方形面积相等(如以下列图)〞这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补〞原理复原了?海岛算经?九题古证．请根据该图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(________＋________)．易知，S△ADC＝S△ABC，________＝________，________＝________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.2．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN.假设AB＝2 3 ，BC＝25，那么图中阴影局部图形的面积和为________．第2题图第3题图3．如图，点P是矩形ABCD内任意一点，连接P A，PB，PC，PD，得到的四个三角形的面积分别为S1，S2，S3，S4，其中S1＝2，S4＝6，那么S3－S2＝________．◆模型二矩形中根据面积法求两垂线段的定值问题4．如图，P是矩形ABCD的边AD上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F(P与A，D不重合)，假设AB＝2，BC＝23，那么PE＋PF的值为()A．2 B．1 C. 3 D．无法确定第4题图第5题图5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD的中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，那么FG＋FH的值为________．【变式题】含角平分线，本质不同如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD＝∠EBD，P为对角线BD上一点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M.(1)求证：BE＝DE；(2)判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由．◆模型三矩形内部含45°角的问题6．(2021·包头中考)如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.假设AB＝2，AD＝3，那么∠AEF的度数为________．参考答案与解析1．S △AEF S △FCM S △ANF S △AEF S △FGC S △FMC2．2153．4 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC .设点P 到AD ，AB ，BC ，CD 的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，那么S 1＝12AD ·h 1，S 2＝12AB ·h 2，S 3＝12BC ·h 3，S 4＝12CD ·h 4.∵12AD ·h 1＋12BC ·h 3＝12BC ·CD ，12AB ·h 2＋12CD ·h 4＝12AB ·BC ，∴12AD ·h 1＋12BC ·h 3＝12AB ·h 2＋12CD ·h 4，即∴S 2＋S 4＝S 1＋S 3，∴S 3－S 2＝S 4－S 1＝6－2＝4.4．C 5.3105解析：连接EF .∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝2，∠A ＝∠D ＝90°.∵点E 为AD 的中点，∴AE ＝DE △ABE 中，BE ＝AE 2＋AB 2＝12＋32＝10，在Rt △DCE 中，CE ＝DE 2＋DC 2＝12＋32＝10，∴BE ＝CE ＝10.∵S △BCE ＝S △BEF ＋S △CEF ，∴12BC ·AB ＝12BE ·FG ＋12CE ·FH ，即BE (FG ＋FH )＝BC ·AB ，∴10(FG ＋FH )＝2×3，解得FG ＋FH ＝3105. 【变式题】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∵∠CBD ＝∠EBD ，∴∠ADB ＝∠EBD ，∴BE ＝DE .(2) 解：AB ＝PM ＋PN .理由如下：如图，延长MP 交BC 于Q .∵AD ∥BC ，PM ⊥AD ，∴PQ ⊥BC .∵∠CBD ＝∠EBD ，PN ⊥BE ，∴PQ ＝PN ，∴AB ＝MQ ＝PM ＋PQ ＝PM ＋PN .6．45° 解析：连接AF .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，CD ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝3.∵FC ＝2BF ，∴BF ＝1，FC ＝2，∴AB ＝FC .∵E 是CD 的中点，∴CE ＝12CD ＝1，∴BF ＝CE .在△ABF 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FC ，∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，∴△ABF ≌△FCE (SAS)，∴∠BAF ＝∠CFE ，AF ＝FE .∵∠BAF ＋∠AFB ＝90°，∴∠CFE ＋∠AFB ＝90°，∴∠AFE ＝180°－90°＝90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴∠AEF ＝45°.。

2020年中考(全国通用版含解析)数学必考考点专题：矩形

专题：矩形1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线平分且相等。

3．矩形判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

4．矩形的面积：S 矩形=长×宽=ab【例题1】（2019广西桂林）将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，若顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同一条直线上，同时点E ，O ，F 在另一条直线上，则AD AB 的值为()A ．65B 2C ．32D 3【答案】B【解析】由折叠可得，AE OE DE ==，CG OG DG ==，E ∴，G 分别为AD ，CD 的中点，设2CD a =，2AD b =，则2AB a OB ==，DG OG CG a ===，3BG a =，2BC AD b ==，90C ∠=︒ ，Rt BCG ∴∆中，222CG BC BG +=，即222(2)(3)a b a +=，222b a ∴=，即2b a =，∴2b a =，∴AD AB的值为2【例题2】（2019贵州省安顺市）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 为斜边BC 上的一个动点，过D 分别作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为.BD M NC A【答案】512【解析】连接AD ，即可证明四边形AMDN 是矩形；由矩形AMDN 得出MN ＝AD ，再由三角形的面积关系求出AD 的最小值，即可得出结果．连接AD ，如图所示：BD M NC A∵DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴∠AMD ＝∠AND ＝90°，又∵∠BAC ＝90°，∴四边形AMDN 是矩形；∴MN ＝AD ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，∴BC ＝5，当AD ⊥BC 时，AD 最短，此时△ABC 的面积＝21BC •AD ＝21AB •AC ，∴AD 的最小值＝125AB AC BC ⋅=，∴线段MN 的最小值为512。

2021年中考数学复习专题-【矩形】解答题考点专练(一)(解析版)

2021年中考数学复习专题-【矩形】解答题考点专练（一）

1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．（1）求证：△AOM≌△CON；（2）若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为．

2．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．

3．在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝6．以BC为边作周长为18的矩形BCDE，M，N分别为AC，CD的中点，连接MN．请你画出图形，并直接写出线段MN的长． 4．如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．

（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．（2）连接DF，若BC＝，求DF的长．

5．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．

6．已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的． 7．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．

8．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．

《矩形》初中数学中考专题复习13

初中数学中考专题复习《矩形》1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.知识点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点解析：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.知识点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点解析：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.知识点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.知识点解析：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.知识点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.知识点解析：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.例题1、如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证△ABE≌△CDF．【思路】：由矩形的性质可得AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，然后用它们作条件证明△ABE≌△CDF．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形．∴ AB＝CD，∠B＝∠D＝90°在△ABE和△CDF中90AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩°∴ △ABE ≌△CDF(SAS)【总结】矩形的性质常用于求线段的长度与角的度数，在解题过程中应根据题目选择不同的性质来加以应用．举一反三：【变式】如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点P 为AB边上任一点，过P 分别作PE ⊥AC 于E ，PF⊥BC 于F ，则线段EF 的最小值是 _________ ．【答案】；提示：因为ECFP 为矩形，所以有EF ＝PC.PC 最小时是直角三角形斜边上的高.例题2、如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：(1)∠PBA ＝∠PCQ ＝30°；(2)PA ＝PQ ．【思路】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD 都是等边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，∴∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°(2)∵四边形ABCD是矩形，∴ AB＝DC．∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴ PB＝PC，QC＝DC＝AB．∵ AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC．∴△PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ．【总结】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B '处，点A 落在点A '处．(1)求证：B E BF '=；(2)设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a b c 、、之间有何等量关系，并给予证明．【答案】证明：(1)由折叠可得B FE BFE '∠=∠．∵ AD ∥BC ， ∴ B EF BFE B FE ''∠=∠=∠，∴ B E B F ''=，∴ B E BF '=．(2)猜想222a b c +=．理由：由题意，得A E AE a '==，A B AB b ''==．由(1)知B E BF c '==．在A B E ''△中，∵ 90A '∠=°，A E a '=，A B b ''=，B E c '=，∴ 222a b c +=．例题3、如图所示，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE ＝15°，求∠BOE 的度数．【思路】∠BOE 在△BOE 中，易知∠OBE ＝30°，直接求∠BOE 有困难，转为考虑证BO ＝BE ．由AE 平分∠BAD 可求∠BAE ＝45°得到AB ＝BE ，进一步可得等边△AOB ．有AB ＝OB ．证得BO ＝BE ．【答案】解：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠DAB ＝∠ABC ＝90°，AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，AC ＝BD ． ∴ AO ＝BO ．∵ AE 平分∠BAD ，∴ ∠BAE ＝45°．∴ ∠AEB ＝90°－45°＝45°＝∠BAE ．∴ BE ＝AB ．∵ ∠CAE ＝15°，∴ ∠BAO ＝60°．∴ △ABO 是等边三角形．∴ BO ＝AB ，∠ABO ＝60°．∴ BE ＝BO ，∠OBE ＝30°．∴ ∠BOE ＝18030752-=°°°．【总结】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．例题1、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝12AB，DF＝12CD.∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA.（2）四边形AECF是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝12AB，DF＝12CD.∴AE∥CF且AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形.∵CA＝CB，E是AB的中点，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形.【总结】要证明△BEC和△DFA全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD∵D为BC的中点，∴CD＝BD∴CD∥AE，CD＝AE∴四边形ADCE是平行四边形∵AB＝AC∴AC＝DE∴平行四边形ADCE是矩形.例题2、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．【思路】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案】证明：在ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝12∠BAD＋12∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四边形EFGH是矩形．【总结】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．例题3、如图所示，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)试证明EO＝FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明理由．【思路】(1)根据条件证明△OEC与△OCF都是等腰三角形，即OE＝OC，OF＝OC，所以EO＝FO．(2)由(1)OE＝OC＝OF，只要OA＝OC，即点O为AC的中点，则四边形AECF是矩形．【答案】证明：(1)因为MN∥BC，CE，CF分别是∠BCA、∠BCA外角的平分线，所以∠CEO＝∠ECO，∠CFO＝∠FCO，所以OE＝OC，OF＝OC，所以EO＝FO．(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．由(1)知EO＝FO，又因为AO＝CO，所以四边形AECF为平行四边形．因为OE＝OC，所以AC＝EF，所以四边形AECF是矩形．【总结】对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是对平行四边形、矩形判定的综合应用.举一反三：【变式】已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4cm，求这个平行四边形的面积.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形.∴△ABO≌△DCO又∵△ABO是等边三角形∴△DCO也是等边三角形，即AO＝BO＝CO＝DO∴AC＝BD∴ABCD为矩形.∵AB＝4cm，AC＝AO＋CO∴AC＝8cm在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝cm∴矩形ABCD的面积为：AB·BC＝162cm例题1、（佳木斯）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【答案】C；【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，BC＝4，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝1AC＝5，2∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．【总结】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．【答案】解：连接OP ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形．∴ AO ＝CO ，BO ＝DO ，∵ ∠APC ＝∠BPD ＝90°，∴ OP ＝12AC ，OP ＝12BD ，∴ AC ＝BD ．∴ 四边形ABCD 是矩形．例题2、如图所示，BD 、CE 是△ABC 两边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．求证：FG ⊥DE ．【答案】证明：连接EG 、DG ，∵ CE 是高，∴ CE ⊥AB ．∵ 在Rt △CEB 中，G 是BC 的中点，∴ EG ＝12BC ，同理DG ＝12BC ．∴ EG ＝DG ．又∵ F 是ED 的中点，∴ FG ⊥DE ．【总结】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题．举一反三：【变式】（2012•济南）如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（）1 D.52【答案】A ；解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE＋DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB＝2，BC＝1，AB＝1，∴OE＝AE＝12DE==，∴OD1.【高效巩固练习A】一.选择题1．下列命题中不正确的是( )．A.直角三角形斜边中线等于斜边的一半B.矩形的对角线相等C.矩形的对角线互相垂直D.矩形是轴对称图形2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm4．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( )A. B. C. D.5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角6. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A. B. C.4 D.二.填空题7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．9. 如图,矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝__________cm.10.（2012 宁夏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝10，则DE的长度是________.11.（2012•长春）如图，ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_______.12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是______.三.解答题13.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，求∠ADB的度数和BD的长.14.如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.15.如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCED是矩形．【高效巩固练习A答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】矩形的对角线相等.2.【答案】B；【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.3.【答案】B；【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6cm和8cm，则周长为28cm.4.【答案】D；【解析】∠2＞∠1.5.【答案】D；6.【答案】A；【解析】先证△ADF≌△BEF，则DF为△ABC中位线，再证明四边形BCDE是矩形，BE，可求面积.二.填空题7．【答案】5，53；【解析】可证△AOB为等边三角形，AB＝AO＝CO＝BO.8．；AB.【解析】由勾股定理算得斜边AB CD＝129.【答案】5.8；【解析】设DE＝x，则AE＝AB－BE＝AB－DE＝10－x.在Rt△ADE 中，由勾股定理可得AD2＋AE2＝DE2，即()222+-=，解410x x 得x＝5.8.10.；【解析】根据∠EDC：∠EDA＝1：2，可得∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，进而得出△OCD是等边三角形，再由AC＝10，求得DE. 11.【答案】3；【解析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，DC＝AB，证△ADC ≌△CBA，推出△ABC的面积是3，求出AC×AE＝6，即可求出阴影部分的面积．12.【答案】12；【解析】推出四边形FCGE是矩形，得出FC＝EG，FE＝CG，EF∥CG，EG∥CA，求出∠BEG＝∠B，推出EG＝BG，同理AF＝EF，求出矩形CFEG的周长是CF＋EF＋EG＋CG＝AC＋BC，代入求出即可．三.解答题13.【解析】解：由矩形的性质可知OD＝OC.又由OE∶BE＝1∶3可知E是OD的中点.又因为CE⊥OD，根据三线合一可知OC＝CD，即OC＝CD＝OD，即△OCD是等边三角形，故∠CDB＝60°.所以∠ADB＝30°.又因为CD＝2OF＝8，即BD＝2OD＝2CD＝16.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DC＝AB.∴∠DAE＝∠AFB.∵DE＝DC，∴DE＝AB.∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠ABF＝90°.∴△ABF≌△DEA.15.【解析】证明：在△ADB和△AEC中，∵ AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC．∴△ADB≌△AEC，∴ BD＝CE．又∵ DE＝BC，∴四边形BCED是平行四边形．∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC即∠DAC＝∠BAE．在△DAC和△EAB中，∵ DA＝EA，∠DAC＝∠EAB，AC＝AB．∴△DAC≌△EAB，∴ DC＝EB．∴四边形BCED是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．【高效巩固练习B】一.选择题1.下列关于矩形的说法中正确的是( )A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（）A.32cm D.cm C. 122cm B. 4242cmcm或1223. 如图，矩形ABCG(AB＜BC)与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是( )A.0B.1C.2D.34. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°5．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD 于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )A.2B.3C.222 D.36. 矩形的面积为1202cm，周长为46cm，则它的对角线长为（）A.15cmB.16cmC.17cmD.18cm二.填空题7．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°.8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．9. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形对角线AC长为________cm．10.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.11.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________.12.如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F 处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为___________.三.解答题13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交BE的延长线于F，连接CF．（1）线段AF与CD相等吗？为什么？（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF是怎样的特殊四边形，并说明理由．14.（2012•青岛）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF 的中点．（1）求证：△BOE≌△DOF；BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．（2）若OA＝1215.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．【高效巩固练习B 答案与解析】一.选择题 1.【答案】D ； 2.【答案】D ；【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3. 3.【答案】C ；【解析】当BP=AB 或BP=BC 时，∠APE 是直角. 4.【答案】B ；【解析】∠EMF ＝∠EMB ′＋∠FMB ′＝21∠BMC ′＋21∠CMC ′＝21×180°＝90°. 5．【答案】C ；【解析】过点C 做BE 垂线，垂足为F ，易证△BAE ≌△CBF ，所以BF ＝AE ，BE ＝CF ，所以总面积＝AE ×BE ＋CF ×EF ＝ AE ×BE＋BE ×（BE －AE ）＝28BE =，BE =.6.【答案】C ；【解析】设边长为a b 、，则23,120,a b ab +==解得22289a b +=，所17=.二.填空题7．【答案】60°；【解析】AD ＝A 1D ＝2CD ，所以∠CA 1D ＝30°，∠EA 1B ＝60°. 8.【答案】136；【解析】设AE ＝CE ＝x ，DE ＝3x -，()22232x x =-+，136x =. 9.【答案】8；【解析】由矩形的性质可知△AOB 是等边三角形，∴ AC ＝2AO ＝2AB ＝8cm ． 10.【答案】6；【解析】设AB ＝AF ＝x ，BE ＝EF ＝3，EC ＝5，则CF ＝4，()22284x x +=+，解得6x =.11.【答案】125；【解析】BD ＝5，利用面积法，PE ＋PF ＝△AOD 中OD 边上的高＝345⨯. 12.【答案】12；【解析】设BE ＝EF ＝x ，CE ＝b ，CF ＝a ，DF ＝y ，则9,3x b y y a x a b ++++=++=，解得3y =，矩形ABCD 的周长＝()()223312y a x b +++=⨯+=.三.解答题 13.【解析】解：（1）AF ＝CD ．理由：∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE∵AF∥BC∴∠EBD＝∠EFA，∠EDB＝∠EAF，可得△AEF≌△DEB．∴AF＝BD．∵BD＝CD，∴AF＝CD．（2）四边形ADCF为矩形．理由：∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形AFCD为平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠ADC＝90°．∴四边形AFCD为矩形．14.【解析】（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO＝∠DFO＝90°，∵点O是EF的中点，∴OE＝OF，又∵∠DOF＝∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）；（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD，又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OA＝12BD，OA＝12AC，∴BD＝AC，∴ABCD是矩形．15.【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°．∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°．∴∠BFE＝∠CED．又∵EF＝ED，∴△EBF≌△DCE．∴BE＝CD．∴BE＝AB．∴∠BAE＝∠BEA＝45°．∴∠EAD＝45°．∴∠BAE＝∠EAD．∴AE平分∠BAD．。

中考数学复习考点题型讲解与专题练习03 四边形综合(解析版)

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（1）求证：△DMF≌△FNC ；（2）若四边形 MFNE 是正方形，求 AD : AB 的值．
6．（河南省漯河市临颍县 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）如图，矩形 ABCD中， AB = 4, BC = m(m > 0) . P 为边 BC 上一动点(不与 B,C 重合)，过 P 点作 PE ⊥ AP 交直线CD 于E.
中考数学复习考点题型讲解与专题练习
03 四边形综合
四边形综合题是全国中考常考题型。好多学生因特殊四边形的定理弄混淆而失分。 1．从考点频率看，三角形的综合和四边形的综合会二选一，四边形综合题以考查特殊四边形性质和判定为主。
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2．从题型角度看，以解答题为主，分值 8 分左右！
3．（2019 年山东省日照市中考）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的中点为 O，点 G，H 在对角线
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AC 上，AG＝CH，直线 GH 绕点 O 逆时针旋转α角，与边 AB、CD 分别相交于点 E、F（点 E 不与点 A、 B 重合）．
（1）求证：四边形 EHFG 是平行四边形；（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求 AE 的长．
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（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）求证：四边形 ABCD 是矩形．
2．（2020 年广东省初中学业水平考试数学模拟试题）如图，△ABC 为等边三角形，E 为 AC 上一点，连接 BE，将△BEC 旋转，使点 C 落在 BC 上的点 D 处，点 B 落在 BC 上方的点 F 处，点 E 落在点 C 处，连接 AF.求证：四边形 ABDF 为平行四边形.
ABCD
的边长为
1，正方形

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中考数学专题训练（附详细解析）矩形

1、（专题陕西）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC是，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则MDAM等于（）

A．83 B．32 C．53 D．54 考点：矩形的性质及菱形的性质应用。解析：矩形的性质应用较为常见的就是转化成直角三角形来解决问题，菱形的性质应用较常见的是四条边相等或者对角线的性质应用。此题中求的是线段的比值，所以在解决过程中取特殊值法较为简单。设AB=1，则AD=2，因为四边形MBND是菱形，所以MB=MD，又因为矩形ABCD，所以A=90°，设AM=x,则MB=2-x，由勾股定理得：AB2+AM2=MB2，

所以x2+12=(2-x)2解得：43x，所以MD=45432，534543MDAM，故选C．

2、（专题济宁）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）

A． cm2 B． cm2 C．cm2 D．cm2 考点：矩形的性质；平行四边形的性质．专题：规律型．分析：根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可．解答：解：设矩形ABCD的面积为S=20cm2， ∵O为矩形ABCD的对角线的交点， ∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的， ∴平行四边形AOC1B的面积=S，

B C D A

第9题图

N ∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1， ∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的，

∴平行四边形AO1C2B的面积=×S=，

…，依此类推，平行四边形AO4C5B的面积===cm2．

故选B．

点评：本题考查了矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分的性质，得到下一个图形的面积是上一个图形的面积的是解题的关键．

3、（专题•天津）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形考点：旋转的性质；矩形的判定．分析：根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．解答：解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE， ∴AE=CE，DE=EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AC=BC，点D是边AB的中点， ∴∠ADC=90°， ∴四边形ADCF矩形．故选A．点评：本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角是平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键． 4、（专题四川南充，3分）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）

A.12 B. 24 C. 123 D. 163

答案：D 解析：由两直线平行内错角相等，知∠DEF＝∠EFB=60°，又∠AEF=∠'AEF＝120°，所以，∠'AE'B=60°，'AE＝AE＝2，求得''23AB，所以，AB＝23，矩形ABCD

的面积为S＝23×8＝163，选D。

5、（专题四川宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（） A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等考点：矩形的性质；菱形的性质．分析：根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误； B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确； C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误； D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．

6、（专题•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（） A． S1＞S2 B． S1=S2 C． S1＜S2 D． 3S1=2S2

考点：矩形的性质．分析：由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，而△ABC的面积又等于矩形AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系．解答：解：矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=S矩形AEFC，即S1=S2，

故选B．点评：本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．

7、（专题•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则的值为（）

A． B． C． D．考点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．分析：根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠BAC，从而得到∠EAC=∠DAC，设AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF=CF，再求出DF=EF，从而得到△ACF和

△EDF相似，根据相似三角形对应边成比例求出=，设DF=3x，FC=5x，在Rt△ADF

中，利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．解答：解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处， ∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD， ∵矩形ABCD的对边AB∥CD， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠EAC=∠DAC，设AE与CD相交于F，则AF=CF， ∴AE﹣AF=CD﹣CF，即DF=EF，

∴=，又∵∠AFC=∠EFD， ∴△ACF∽△EDF，

∴==，设DF=3x，FC=5x，则AF=5x，在Rt△ADF中，AD===4x，又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x， ∴==．故选A．

点评：本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．

8、（专题•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）

A． 8 B． 6 C． 4 D． 2 考点：等腰三角形的判定；矩形的性质．分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形．解答：解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=CO=DO， ∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形，故选：C．点评：此题主要考查了等腰三角形的判定，以及矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．

9、（专题河北）如已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是 A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对答案：A 解析：对于甲：由两组对边分别相等的四边形是平行四边形及角B为90度，知ABCD是矩形，正确；对于乙：对角线互相平分的四边形是平行四边形及角B为90度，可判断ABCD是矩形，故都正确，选A。

10、（专题台湾、20）如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC=70°，则∠MPC的度数为何？（）

A．20 B．35 C．40 D．55 考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根据等边对等角求解即可．解答：解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点， ∴BP=PC，MP=MC， ∵∠PBC=70°，

∴∠BCP=（180°﹣∠PBC）=（180°﹣70°）=55°，在长方形ABCD中，∠BCD=90°， ∴∠MCP=90°﹣∠BCP=90°﹣55°=35°， ∴∠MPC=∠MCP=35°．故选B．点评：本题考查了矩形的四个角都是直角的性质，等腰三角形两底角相等的性质以及等边对等角，是基础题．

11、（专题达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10。设AE=x，则x 的取值范围是 . 答案：2≤x≤6 解析：如图，设AG＝y，则BG＝6－y，在Rt△GAE中，

x2＋y2＝（6－y）2，即3612xy（8(0)3y，当y＝0时，x取最大值为6；当y＝83时,x取最小值2，故有2≤x≤6

12、（专题•湘西州）小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是．

考点：几何概率．分析：先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出S1=S2即可．

解答：解：根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，根据平行线的性质易证S1=S2，故阴影部分的面积占一份，

故针头扎在阴影区域的概率为．

点评：此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 13、（专题哈尔滨）如图。矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．