中考数学专题训练(附详细解析)：解直角三角形(三角函数应用)
中考数学总复习专题训练锐角三角函数2解直角三角形及其应用试题(共5页)
解直角三角形及其应用(yìngyòng)*考虑：你认为怎样规定0°和90°角的三角函数值？在直角三角形中，由元素〔直角除外〕求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．1.在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下〔如下图〕：〔1〕三边之间的等量关系：〔2〕两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．〔3〕边与角之间的关系：〔4〕直角三角形中成比例(bǐlì)的线段：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．CD=AD•BD；AC2=AD•AB；BC2=BD•BA；AC•BC=AB•CD．〔5〕直角三角形中的主要线段：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，斜边的中点是外心．假设r是Rt △ABC〔∠C=90°〕的内切圆半径，那么〔6〕直角三角形的面积公式：在Rt△ABC中，∠C=90°，2．关于(guānyú)直角三角形可解的条件：在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道两个〔其中至少有一个为边〕，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的根本类型可分为：〔1〕两条边〔两条直角边或者斜边和直角边〕；〔2〕一边和一个锐角〔直角边和一个锐角或者斜边和一个锐角〕．例1．在Rt△ABC中，∠C=90°，（1） a=35，c=35，求∠A、∠B和b；（2） a=2，b=2 ，求∠A、∠B和c；（3） sinA=, c=6 ，求a和b；（4） tanB=，b=9，求a和c；（5）∠A=60°，△ABC的面积(miàn jī)S=123，求a、b、c及∠B．例2．如图，在△ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=．〔1〕求AB边上的高CD；〔2〕求△ABC的面积S；〔3〕求tanB．例3．如图，有一段斜坡(xiépō)BC长为10m，坡角∠CBD=12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．〔1〕求坡高CD；〔2〕求斜坡新起点A与原起点B之间的间隔〔准确到〕．内容总结（1）解直角三角形及其应用*考虑：你认为怎样规定0°和90°角的三角函数值（2）解直角三角形及其应用*考虑：你认为怎样规定0°和90°角的三角函数值（3）〔2〕求△ABC的面积S。
中考数学专题练习 解直角三角形(含解析)
解直角三角形一、选择题（共13小题，每小题4分，满分52分）1．在△ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，则下列结论中正确的是（）A．sinA=B．cosB=C．tanA=D．tanB=2．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10 D．20﹣103．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．a=c•sinA D．a=b•cotB5．如图，已知▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③C．①②④D．②③④6．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0） B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）7．如图，AB为⊙O的直径，CA切⊙O于A，CB交⊙O于D，若CD=2，BD=6，则sinB=（）A．B．C．D．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则tanA=（）A．B．C．D．9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．10．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（）A．6（+1）m B．6（﹣1）m C．12（+1）m D．12（﹣1）m11．已知α为等边三角形的一个内角，则cosα等于（）A．B．C．D．12．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A． m B．100m C．150m D． m13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）14．化简= ．15．如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1：1.5，上底宽为6m，路基高为4m，则路基的下底宽为m．16．如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡度设计为i=1：4.5，则AC的长为cm．17．身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为m．（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面的高度近似为身高）18．如图，在正方形网格中，∠ABO的正切值是．19．若△ABC中，∠C=90°，AC：BC=3：4，那么sinA= ．20．如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2=52．①a，b的值可以是（提示：答案不惟一）（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：．21．将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB= ．22．比较大小：sin33°+cos33°1．（可用计算器辅助）23．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，如果AC=3，BC=4，那么sinA= ．三、解答题24．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．25．计算：．26．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）27．计算：．28．为测量大楼CD的高度，某人站在A处测得楼顶的仰角为45°，前进20m后到达B处测得楼顶的仰角为60°，求大楼CD的高度．29．如图，为测量某塔AB的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A，仰角为60°，目高1.5米，试求该塔的高度（≈1.7）．30．九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α．（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB=36°，那么∠α的度数是；（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为b米，点P到护坡石坝底部B的距离为c米，如果利用（1）得到的结论，请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH．（sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）31．如图，某中学科学楼高15米，计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼，第一层是高2.5米的自行车场，第二层起为宿舍．已知该地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最低，此时太阳光线AB的入射角∠ABD=55°，为使第二层起能照到阳光，两楼间距EF至少是多少米（精确到0.1米）．（参考数据：tan55°=1.4281，tan35°=0.7002）．32．如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60度．已知C地比A地高200米，电缆BC至少长多少米？（精确到0.1米）33．如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，使得点C与AB的延长线上的点D重合，已知BC=6．（1）三角尺旋转了多少度？连接CD，试判断△BCD的形状；（2）求AD的长；（3）连接CE，试猜想线段AC与CE的大小关系，并证明你的结论．34．计算：35．计算：（﹣2）3+（）﹣1×cos60°﹣（1﹣）0．36．计算：﹣22+（）0+2sin30°．37．又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；甲：我们的身高都是1.5m；乙：我们相距20m．请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度．（精确到1米）38．如图，有两棵树，一棵高14m，另一棵高10m，两树相距5m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？39．如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD，坝顶AD=4m，坝高AE=6 m，斜坡AB的坡比i=1：2，∠C=60°，求斜坡AB、CD的长．40．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆25米的D处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角α=22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）参考数据：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，tan22°=0.4040，cot22°=2.4751．41．兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB（如图），已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD=14米，该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2，岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）42．课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测角仪（离地高度为1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．43．如图所示，张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB=6cm，微风吹来，假设铅垂P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面齐平，（即PA=PC）水平l与OC 的夹角α为8°（点A在OC上），求铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈，cos8°≈，tan8°≈）解直角三角形参考答案与试题解析一、选择题（共13小题，每小题4分，满分52分）1．在△ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，则下列结论中正确的是（）A．sinA=B．cosB=C．tanA=D．tanB=【考点】锐角三角函数的定义．【分析】先判定此三角形为直角三角形，再根据锐角三角函数的定义，分别求得sinA、cosB、tanA、tanB的值，即可判断．【解答】解：在△ABC中，∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC是直角三角形，其中∠C是直角．∴sinA=，cosB=，tanA=，tanB=，故选A．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．2．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10 D．20﹣10【考点】等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】根据ED⊥BC可得∠CED=30°，即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=AC﹣AE即可求CE的值．【解答】解：∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又∵AE+CE=5，∴x+x=5，解得x=10﹣15，∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．故选D．【点评】本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据AE、CE求x 的值是解题的关键．3．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．2【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】作EF⊥OB，则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题．【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．∴cos∠AOB===．故选：A．【点评】本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．a=c•sinA D．a=b•cotB【考点】锐角三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则cosA=，sinA=，tanB=，cosB=，tanA=，cotA=；因而b=ccosA=atanB，a=csinA=ccosB=btanA=，错误的是b=c•cosB．故选A．【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．5．如图，已知▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③C．①②④D．②③④【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个结论进行分析从而得到最后答案．【解答】解：∵∠BDE=45°，DE⊥BC∴DB=BE，BE=DE∵DE⊥BC，BF⊥CD∴∠BEH=∠DEC=90°∵∠BHE=∠DHF∴∠EBH=∠CDE∴△BEH≌△DEC∴∠BHE=∠C，BH=CD∵▱ABCD中∴∠C=∠A，AB=CD∴∠A=∠BHE，AB=BH∴正确的有①②③故选B．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．6．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0） B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）【考点】垂线段最短；坐标与图形性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，此时线段AB最短，因为直线y=x的斜率为1，所以∠AOB=45°，△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则OC=BC=．因为B在第三象限，所以点B的坐标为（﹣，﹣）．【解答】解：线段AB最短，说明AB此时为点A到y=x的距离．过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，∵直线y=x与x轴的夹角∠AOB=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴，垂足为C，则BC为中垂线，则OC=BC=．作图可知B在x轴下方，y轴的左方．∴点B的横坐标为负，纵坐标为负，∴当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．故选：C．【点评】本题考查了动点坐标的确定，还考查了学生的动手操作能力，本题涉及到的知识点为：垂线段最短．7．如图，AB为⊙O的直径，CA切⊙O于A，CB交⊙O于D，若CD=2，BD=6，则sinB=（）A．B．C．D．【考点】切线的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据切割线定理CA2=CD•CB可得CA=4，然后在Rt△ABC中，利用CA=4，BC=8可以求出sinB．【解答】解：如图，∵CA切⊙O于A，∴CA2=CD•CB，又CD=2，BD=6，∴CA=4．在Rt△ABC中，CA=4，BC=8，故sinB==．故选A．【点评】此题主要考查锐角三角函数的概念及切割线定理等知识．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则tanA=（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】由勾股定理易得AC的值，进而根据三角函数的定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，由勾股定理得：AC=12．则tanA==．故选A．【点评】本题要求学生熟练掌握三角函数的定义与解直角三角形的方法．9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=，tanB=和a2+b2=c2．∵sinA=，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x．∴tanB=．故选A．解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．∵A、B互为余角，∴cosB=sin（90°﹣B）=sinA=．又∵sin2B+cos2B=1，∴sinB==，∴tanB===．故选A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．10．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（）A．6（+1）m B．6（﹣1）m C．12（+1）m D．12（﹣1）m【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】利用所给的角的三角函数用AB表示出BD，CB；根据BC﹣DB=CD即可求出建筑物AB的高度．【解答】解：根据题意可得：BC==AB，BD==AB．∵CD=BC﹣BD=AB（﹣1）=12，∴AB=6（+1）．故选A．【点评】本题通过考查仰角的定义，构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力．11．已知α为等边三角形的一个内角，则cosα等于（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值；等边三角形的性质．【分析】先根据等边三角形的性质求出α的度数，再根据cos60°=即可解答．【解答】解：∵α为等边三角形的一个内角，∴α=60°．∴cosα=cos60°=．故选A．【点评】本题考查的是等边三角形的性质及特殊角的三角函数值，比较简单．12．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A． m B．100m C．150m D． m【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】压轴题．【分析】根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可．【解答】解：AD=AB•sin60°=50；BD=AB•cos60°=50，∴CD=150．∴AC==100．故选D．【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题；网格型．【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=2．∴cos∠ABC==．故选B．【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）14．化简= ．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】运用特殊角三角函数值计算．【解答】解：原式===．【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可．15．如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1：1.5，上底宽为6m，路基高为4m，则路基的下底宽为18 m．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】计算题．【分析】过C作CF⊥AB，过D作CF⊥AB，根据CF的长和坡度即可求得AE、BF的值，根据AB=AE+EF+BF 即可计算AB，即可解题．【解答】解：如右图，过C作CF⊥AB，过D作DE⊥AB，DE=CF=4m坡度===，∴AE=BF=6m，∴AB=AE+EF+FB=6+6+6（m）=18m．故答案为 18．【点评】本题考查了坡度的定义，考查了坡度在直角三角形中的运用，本题中求AE、BF的长是解题的关键．16．如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡度设计为i=1：4.5，则AC的长为210 cm．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】计算题．【分析】如图所示：所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m．然后根据坡度比解答．【解答】解：由题可知BD=60cm，AD=60cm．∵坡度!=BD：DC=1：4.5，∴DC=270，∴AC=DC﹣AD=270﹣60=210（cm）．【点评】运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．17．身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为 5.1 m．（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面的高度近似为身高）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】树高等于CD与DE的和，利用三角函数求CD长即可．【解答】解：∵∠CAD=30°，AD=6．∴CD=2．∴树的高=1.6+2≈5.1（米）．【点评】此题主要考查三角函数定义的应用．18．如图，在正方形网格中，∠ABO的正切值是 1 ．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据三角函数的定义即可求出tan∠ABO的值．【解答】解：利用三角函数的定义可知tan∠ABO==1．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．19．若△ABC中，∠C=90°，AC：BC=3：4，那么sinA= ．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】由题意得，AC：BC：AC=3：4：5，即可求得sinA的值．【解答】解：设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理可得AB=5x，∴sinA=BC：AB=．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边．20．如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2=52．①a，b的值可以是3，4 （提示：答案不惟一）（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：图中的点E可以是以BC为直径的半圆上的任意一点（点B，C除外）．BE，CE的长分别为两个小正方形的边长．【考点】勾股定理的应用．【专题】压轴题；开放型．【分析】①使得a2+b2=52．由直角三角形勾股定理的很容易联想到a、b的值是3、4；②要求设计一般性的剪裁，则先分割出来一个边长为4的正方形，再把剩下的部分分为两个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形，四个四边形拼成一个边长为3的正方形．【解答】解：①要使得a2+b2=52．考虑到直角三角形的特殊情况，a，b的取值可以使3，4一组（答案不唯一）；②裁剪线及拼接方法如图所示：按照上图所示剪裁，先剪一个边长是4的正方形；剩下的剪三个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形，然后将这些拼接成边长为3的正方形即可．【点评】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力．解决本题的关键是紧紧抓住a2+b2=52这个已知条件及剪拼过程面积不变的这个线索．21．将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB= ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据直角三角形的性质，求得BC，再求得EC，由此可以求出CE，再利用BE=CE﹣BC即可求出EB．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=4，∠A=45°，∴BC=4×=4在Rt△EDC中，∵∠EDC=60°，DE=6，∴CE=DE•sin∠EDC=6×=3∴BE=CE﹣BC=3﹣4．故填空答案：3﹣4．【点评】本题利用了直角三角形的性质和等腰三角形的性质求解．22．比较大小：sin33°+cos33°＞1．（可用计算器辅助）【考点】计算器—三角函数．【专题】计算题．【分析】先利用计算器求出33°的正弦值和余弦值，再计算两者之和，与1比较即可．【解答】解：∵sin33°≈0.545，cos33°≈0.839，∴sin33°+cos33°≈0.545+0.839≈1.384＞1．故答案是＞．【点评】本题考查了计算器计算三角函数值，注意一般取到小数点后3位．23．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，如果AC=3，BC=4，那么sinA= ．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】先由勾股定理求出AB，再利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵AC=3，BC=4，∴AB===5．∴sinA==．【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．三、解答题24．（2009•枣庄）如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）已知顶点坐标，设抛物线解析式的顶点式y=a（x﹣2）2+1，把O（0，0）代入即可；（2）∵△MOB与△AOB公共底边OB，最高点A的纵坐标为1，只需要点M的纵坐标为﹣3即可，将y=﹣3，代入解析式可求M点坐标；（3）由已知△OAB为等腰三角形，点N在抛物线上，只可能OB=BN，即要求∠AOB=∠BON，A、A'要关于x轴对称，通过计算，不存在．【解答】解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，∵抛物线过原点，∴a（0﹣2）2+1=0，a=﹣．∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+x．（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S△MOB=3S△AOB，∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M点的纵坐标是﹣3．∴﹣3=﹣x2+x，即x2﹣4x﹣12=0．解之，得x1=6，x2=﹣2．∴满足条件的点有两个：M1（6，﹣3），M2（﹣2，﹣3）（3）不存在．由抛物线的对称性，知AO=AB，∠AOB=∠ABO．若△OBN与△OAB相似，必有∠BON=∠BOA=∠BNO，即OB平分∠AON，设ON交抛物线的对称轴于A'点，则A、A′关于x轴对称，∴A'（2，﹣1）．∴直线ON的解析式为y=﹣x．由﹣x=﹣x2+x，得x1=0，x2=6．∴N（6，﹣3）．过N作NE⊥x轴，垂足为E．在Rt△BEN中，BE=2，NE=3，∴NB==．又∵OB=4，∴NB≠OB，∠BON≠∠BNO，△OBN与△OAB不相似．同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点．所以在该抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．【点评】本题考查了抛物线解析式的求法，坐标系里的面积问题，探求相似三角形的存在性问题，具有一定的综合性．25．计算：．【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式==5．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．26．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答．【解答】解：在Rt△BCD中，CD=BC×sin60°=20×=10又DE=AB=1.5，∴CE=CD+DE=CD+AB=10+1.5≈18.8答：此时风筝离地面的高度约是18.8米．【点评】本题考查直角三角形知识在解决实际问题中的应用．27．计算：．【考点】实数的运算．【分析】按照实数的运算法则依次计算．【解答】解：原式==2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、乘方、绝对值等考点的运算．注意（﹣1）2010=1，|﹣|=，（π﹣2010）0=1．28．为测量大楼CD的高度，某人站在A处测得楼顶的仰角为45°，前进20m后到达B处测得楼顶的仰角为60°，求大楼CD的高度．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】此题可利用两仰角的正切值及CD的高度表示AB，即AB=﹣，求得CD 即可．【解答】解：如图，依题意得∠CBD=60°，∠CAD=45°，AB=20m，设CD=xm，则AB=﹣，20=x﹣x，解得：x=（30+10）m，答：大楼CD的高为（30+10）m．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．29．如图，为测量某塔AB的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A，仰角为60°，目高1.5米，试求该塔的高度（≈1.7）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】本题是一个直角梯形的问题．作CD⊥AB于点D，把求AB的问题转化求AD的长，从而在△ACD中利用三角函数求解．【解答】解：如图，CD=20，∠ACD=60°．在Rt△ACD中，tan∠ACD=，∴=，∴AD=20≈34．又∵BD=1.5，∴塔高AB=34+1.5=35.5（米）．【点评】解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．30．九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α．（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB=36°，那么∠α的度数是72°；（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为b米，点P到护坡石坝底部B的距离为c米，如果利用（1）得到的结论，请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH．（sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】压轴题；方案型．【分析】（1）BF与BE的长度相等，则由等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和，得到∠α的度数．（2）由于竿长1米时离地面的高度为0.6米，则有AG：AH=1：0.6，可求得AH的长．（3）由题意知，△CPD∽△PHA，根据相似三角形的对应边相等可求得AH的长．【解答】解：（1）∵BF=BE．∴∠BFE=∠FEB．∴∠α=2∠EFB=72°．（2）∵竿长1米时离地面的高度为0.6米，MN∥AH．∴AG：AH=1：0.6∴AH=3米．（3）在Rt△ABH中，BH=AH÷tan72°=AH÷3=．由题意知，△CPD∽△PHA．∴DP：CP=AH：PH=AH：（PB+BH）=AH：（PB+）．即：a：b=AH：（c+）．解得：AH=．【点评】本题主要用到了等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和；平行线的性质，正切的概念，相似三角形的性质等知识点求解．31．如图，某中学科学楼高15米，计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼，第一层是高2.5米的自行车场，第二层起为宿舍．已知该地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最低，此。
中考数学考点24解直角三角形的实际应用总复习(解析版)
解直角三角形的实际应用【命题趋势】在中考中.锐角三角形函数主要选择题、填空题.解答题考查为主.难度系数低。
【中考考查重点】解直角三角形的实际应用1.解一个直角三角形2.背靠背型3.母子型考点解直角三角形的实际应用类型一仰角、俯角1．（2021秋•包河区期末）如图.在离铁塔BC底部30米的D处.用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°.测角仪高AD为1.5米.则铁塔的高BC为（）A．16.5米B．（10+1.5）米C．（15+1.5）米D．（15+1.5）米【答案】B【解答】解：过点A作AE⊥BC.E为垂足.如图所示：则四边形ADCE为矩形.AE＝30米.∴CE＝AD＝1.5米.在Rt△ABE中.tanα＝＝tan30°＝.∴BE＝AE＝×30＝10（米）.∴BC＝BE+CE＝（10+1.5）米.故选：B．2．（2021秋•丛台区校级期末）如图.小东在教学楼距地面8米高的窗口C处.测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°.旗杆底部B点的俯角为45°.升旗时.国旗上端悬挂在距地面2.5米处.若国旗随国歌声冉冉升起.并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端.则国旗匀速上升的速度为（）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60.cos37°≈0.80.tan37°≈0.75）A．0.3B．0.2C．0.25D．0.35【答案】C【解答】解：在Rt△BCD中.BD＝8米.∠BCD＝45°.∴△BCD是等腰直角三角形.∴BD＝CD＝8米.在Rt△ACD中.CD＝8米.∠ACD＝37°.∴AD＝CD•tan37°≈8×0.75＝6（米）.∴旗杆AB的高为：AD+BD＝6+8＝14（米）；升旗时.国旗上升高度是：14﹣2.5＝11.5（米）.∵耗时46s.∴国旗匀速上升的速度为：＝0.25（米/秒）.故选：C．3．（2021秋•历城区期末）如图.某建筑物的顶部有一块宣传牌CD.小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D的仰角为60°.沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知斜坡AB的坡角为30°.AB＝10米.AE＝15米.则宣传牌CD的高度是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过B作BF⊥AE.交EA的延长线于F.作BG⊥DE于G．在Rt△ABF中.∠BAF＝30°.AB＝10米.∴BF＝AB＝5（米）.AF＝BF＝5（米）．∴BG＝AF+AE＝（5+15）（米）.在Rt△BGC中.∠CBG＝45°.∴△BGC是等腰直角三角形.∴CG＝BG＝（5+15）（米）.在Rt△ADE中.∠DAE＝60°.AE＝15米.∴DE＝AE＝15（米）.∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+15+5﹣15＝（20﹣10）（米）.即宣传牌CD的高度是（20﹣10）米.故选：A．4．（2021秋•汉寿县期末）如图.某办公楼AB的后面有一建筑物CD（办公楼AB与建筑物CD均垂直于地面BCF）.当光线与地面的夹角是22°时.办公楼在建筑物CD的墙上留下的影子CE＝2米.而当光线与地面夹角是45°时.办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（点B.F.C在同一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A.E之间挂一些彩旗.请你求出A.E之间的距离．（参考数据：sin22°≈.cos22°≈.tan22°≈.）【答案】（1）20m（2）48米【解答】解：（1）过点E作EM⊥AB于点M.则四边形BCEM为矩形.∴BM＝CE＝2米.设AB＝x米.在Rt△ABF中.∠AFB＝45°.∴BF＝AB＝x米.∴BC＝BF+FC＝（x+25）米.AM＝（x﹣2）米.在Rt△AEM中.tan∠AEM＝.则≈.解得：x＝20.答：办公楼AB的高度为20m；（2）在Rt△AME中.cos∠AEM＝.则cos22°＝.即≈.解得：AE＝48.答：A.E之间的距离约为48米．类型二坡度、坡角5．（2021秋•淇县期末）如图.河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：.坝高BC＝3m.则AC的长度为（）A．6m B．m C．9m D．m【答案】D【解答】解：∵坡AB的坡比为1：.∴BC：AC＝1：.∵BC＝3m.∴AC＝3m.故选：D．16．（2021秋•莱芜区期末）如图.某水库大坝的横断面是梯形ABCD.坝高DE＝5m.斜坡BC的坡比为5：12.则斜坡BC＝（）A．13m B．8m C．18m D．12m【答案】A【解答】解：过点C作CF⊥AB于F.∵DC∥AB.∴CF＝DE＝5m.∵斜坡BC的坡比为5：12.CF＝5m.∴BF＝12m.由勾股定理得：BC＝＝＝13（m）.故选：A．6．（2021秋•龙口市期末）如图.山区某教学楼后面紧邻着一个土坡.坡面BC平行于地面AD.斜坡AB的坡比为i＝1：.且AB＝26米.为了防止山体滑坡.保障安全.学校决定对该土坡进行改造.经地质人员勘测.当坡角不超过53°时.可确保山体不滑坡；（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；（2）为了消除安全隐患.学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示）.那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）【参考数据：sin53°≈0.8.cos53°≈0.6.tan53°≈1.33.cot53°≈0.75】【答案】（1）BE＝24 （2）BE为24米；BF至少是8米【解答】解：（1）在Rt△ABE中.AB＝26.i＝＝.设BE＝12k.AE＝5k.则AB＝13k＝26.k＝2.∴AE＝10（米）.BE＝24（米）；（2）过点F作FG⊥AD于点G.由题意可知：FG＝BE＝24.∠F AD＝53°.在Rt△AFG中.cot53°＝＝0.75.∴AG＝18（米）.∴BF＝GE＝AG﹣AE＝8（米）.答：改造前坡顶与地面的距离BE为24米；BF至少是8米．类型三方向角7．（2021秋•汝阳县期末）如图.点A到点C的距离为100米.要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上.在C点测得B在北偏东30°的方向上.则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．米D．50米【答案】D【解答】解：过B作BM⊥AD于M.如图：由题意得：∠BAD＝90°﹣60°＝30°.∠BCD＝90°﹣30°＝60°.∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°.∴∠BAD＝∠ABC.∴BC＝AC＝100米.∵BM⊥AD.∴∠BMC＝90°.在Rt△BCM中.sin∠BCM＝.∴BM＝BC×sin∠BCM＝100×＝50（米）.即B点到河岸AD的距离为50米.故选：D．8．（2021•钦州模拟）如图.一艘测量船在A处测得灯塔S在它的南偏东60°方向.测量船继续向正东航行30海里后到达B处.这时测得灯塔S在它的南偏西75°方向.则灯塔S离观测点A的距离是（）A．15海里B．（15﹣15）海里C．（15﹣15）海里D．15海里【答案】B【解答】解：过S作SC⊥AB于C.在AB上截取CD＝AC.∴AS＝DS.∴∠CDS＝∠CAS＝30°.∵∠ABS＝15°.∴∠DSB＝15°.∴SD＝BD.设CS＝x海里.在Rt△ASC中.∠CAS＝30°.∴AC＝x（海里）.AS＝DS＝BD＝2x（海里）.∵AB＝30海里.∴x+x+2x＝30.解得：x＝.∴AS＝（15﹣15）（海里）.故选：B．9．（2021秋•成武县期中）如图在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15方向的A处.若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行半小时后到达C处.在C处观测到B在C的北偏东60°方向上.则B、C之间的距离为（）A．30海里B．20海里C．20海里D．30海里【答案】D【解答】解：如图.由题意得：AC＝60×0.5＝30（海里）.∵CD∥BF.∴∠CBF＝∠DCB＝60°.∵∠ABF＝15°.∴∠ABC＝∠CBF﹣∠ABF＝45°.∵AE∥BF.∴∠EAB＝∠FBA＝15°.又∵∠EAC＝75°.∴∠CAB＝∠EAB+∠EAC＝90°.∴△ABC是等腰直角三角形.∴BC＝AC＝30（海里）.故选：D．1．（2021秋•历下区期末）我国航天事业捷报频传.天舟二号于2021年5月29日成功发射.震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时.在P处测得A点的仰角∠DP A为30°.A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时.此时在P处测得B 点的仰角∠DPB为45°.则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（）（参考数据：≈1.7.≈1.4）．A．2.0千米B．1.5千米C．2.5千米D．3.5千米【答案】D【解答】解：在Rt△APD中.∠DP A＝30°.AP＝10千米.∠ADP＝90°.cos∠DP A＝cos30°＝.∴AD＝AP＝×10＝5（千米）.PD＝AP•cos30°＝10×＝5（千米）.在Rt△BPD中.tan∠DPB＝tan45°＝.∴BD＝PD•tan45°＝5×1＝5（千米）.∴AB＝BD﹣AD＝5﹣5≈8.5﹣5＝3.5（千米）.故选：D．2．（2021秋•盐湖区期末）如图.一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40海里的C 处.沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处.则该船行驶的路程为（）A．80海里B．120海里C．（40+40）海里D．（40+40）海里【答案】D【解答】解：如图.过点A作AD⊥BC于D.由题意得.∠CAD＝45°.∠BAD＝60°.AC＝40海里.在Rt△ADC中.∠ADC＝90°.∠CAD＝45°.AC＝40海里.∴AD＝CD＝×40＝40（海里）.在Rt△ADB中.∠ADB＝90°.∠BAD＝45°.AD＝40海里.∴BD＝AD＝40（海里）.∴BC＝CD+BD＝（40+40）海里.故选：D．3．（2021秋•柯城区期末）如图.河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：2（坡比是坡面铅直高度BC与水平宽度AC之比）.坝高BC＝3m.则坡面AB的长度最接近（）（参考数据：≈1.73.≈2.24）A．5.2m B．6m C．6.7m D．9m【答案】C【解答】解：∵坡AB的坡比是1：2.BC＝3m.∴AC＝6cm.由勾股定理得：AB＝＝＝3≈6.7（m）.故选：C．4．（2021秋•通州区期末）如图.要测量山高CD.可以把山坡“化整为零”地划分为AB 和BC两段.每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m.BC＝800m.测得坡角∠BAD＝30°.∠CBE＝45°.则山高CD为（）A．（300+800）m B．700mC．（300+400）m D．（400+300）m【答案】C【解答】解：由题意可知.四边形BFDE为矩形.∴DE＝BF.在Rt△BAF中.∠BAF＝30°.AB＝600m.则BF＝AB＝300（m）.∴DE＝300m.在Rt△CBE中.∠CBE＝45°.BC＝800m.∴CE＝BC＝400（m）.∴CD＝CE+DE＝（300+400）m.故选：C．5．（2021秋•安居区期末）如图所示.某拦水大坝的横断面为梯形ABCD.AE.DF为梯形的高.其中迎水坡AB的坡角α＝45°.坡长AB＝10米.背水坡CD的坡度i＝1：.则背水坡的坡长CD为（）米．A．20B．20C．10D．20【答案】A【解答】解：由题意得：四边形AEFD是矩形.∴DF＝AE.∵迎水坡AB的坡角α＝45°.坡长AB＝10米.∴DF＝AE＝10×sin45°＝10（米）.∵背水坡CD的坡度i＝1：.∴tan C＝i＝＝＝.∴∠C＝30°.∴CD＝2DF＝2AE＝20（米）.故选：A．6．（2021秋•临淄区期末）为了学生的安全.某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形.DE＝10m.其坡度为i1＝1：.将步梯DE改造为斜坡AF.其坡度为i2＝1：4.求斜坡AF的长度是米．（结果精确到0.01m.参考数据：≈1.732.≈4.123）【答案】20.62【解答】解：∵DE的坡度为i1＝1：.∴tan∠DEC＝＝.∴∠DEC＝30°.∴DC＝DE＝5（m）.∵四边形ABCD为矩形.∴AB＝CD＝5m.∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4.AB＝5m.∴BF＝4AB＝20（m）.在Rt△ABF中.AF＝＝≈20.62（m）.∴斜坡AF的长度约为20.62米.故答案为：20.62．7．（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧.游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°.从景点A出发向正北方向步行600米到达C处.测得景点B在C的北偏东75°方向．（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）（2）当地政府为了便捷游客游览.打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后.从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414.≈1.732）【答案】（1）300m（2）205m【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D.由题意得.∠A＝30°.∠BCE＝75°.AC＝600m.在Rt△ACD中.∠A＝30°.AC＝600.∴CD＝AC＝300（m）.AD＝AC＝300（m）.∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B.∴∠B＝75°﹣∠A＝45°.∴CD＝BD＝300（m）.BC＝CD＝300（m）.答：景点B和C处之间的距离为300m；（2）由题意得．AC+BC＝（600+300）m.AB＝AD+BD＝（300+300）m.AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）≈204.6≈205（m）.答：大桥修建后.从景点A到景点B比原来少走约205m．1．（2021•深圳）如图.在点F处.看建筑物顶端D的仰角为32°.向前走了15米到达点E即EF＝15米.在点E处看点D的仰角为64°.则CD的长用三角函数表示为（）A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°【答案】C【解答】解：∵∠CED＝64°.∠F＝32°.∠CED＝∠F+∠EDF.∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°.∴∠EDF＝∠F.∴DE＝EF.∵EF＝15米.∴DE＝15米.在Rt△CDE中.∵sin∠CED＝.∴CD＝DE sin∠CED＝15sin64°.故选：C．2．（2021•重庆）如图.在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡.斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4.坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A.B.C.D.E在同一平面内）.在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°.则建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米【答案】D【解答】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4.∴DE：CE＝5：12.∵DE＝50米.∴CE＝120米.∵BC＝150米.∴BE＝150﹣120＝30（米）.∴AB＝tan50°×30+50≈85.7（米）．故选：D．3．（2020•自贡）如图.我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD.DC∥AB．BC长6米.坡角β为45°.AD的坡角α为30°.则AD长为米（结果保留根号）．【答案】6【解答】解：过点D作DE⊥AB于E.过点C作CF⊥AB于F．∵CD∥AB.DE⊥AB.CF⊥AB.∴DE＝CF.在Rt△CFB中.CF＝BC•sin45°＝3（米）.∴DE＝CF＝3（米）.在Rt△ADE中.∵∠A＝30°.∠AED＝90°.∴AD＝2DE＝6（米）.故答案为：6．4．（2020•泰安）如图.某校教学楼后面紧邻着一个山坡.坡上面是一块平地．BC∥AD.BE ⊥AD.斜坡AB长26m.斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面.防止山体滑坡.学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测.当坡角不超过50°时.可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动.则坡顶B沿BC至少向右移m时.才能确保山体不滑坡．（取tan50°≈1.2）【答案】10【解答】解：在BC上取点F.使∠F AE＝50°.过点F作FH⊥AD于H.∵BF∥EH.BE⊥AD.FH⊥AD.∴四边形BEHF为矩形.∴BF＝EH.BE＝FH.∵斜坡AB的坡比为12：5.∴＝.设BE＝12xm.则AE＝5xm.由勾股定理得.AE2+BE2＝AB2.即（5x）2+（12x）2＝262.解得.x＝2.∴AE＝10m.BE＝24m.∴FH＝BE＝24m.在Rt△F AH中.tan∠F AH＝.∴AH＝≈20（m）.∴BF＝EH＝AH﹣AE＝10（m）.∴坡顶B沿BC至少向右移10m时.才能确保山体不滑坡.故答案为：10．5．（2021•黔西南州）如图.热气球的探测器显示.从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°.看这栋楼底部的俯角为60°.热气球A处与地面距离为150m.则这栋楼的高度是m．【答案】100【解答】解：如图.过A作AH⊥BC.交CB的延长线于点H.在Rt△ACD中.∵∠CAD＝30°.AD＝150m.∴CD＝AD•tan30°＝150×＝50（m）.∴AH＝CD＝50m．在Rt△ABH中.∵∠BAH＝30°.AH＝50m.∴BH＝AH•tan30°＝50×＝50（m）.∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m）.答：这栋楼的高度为100m．故答案为：100．6．（2021•广西）如图.从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°.看楼下荷塘D处的俯角为60°.已知楼高AB为30米.则荷塘的宽CD为米（结果保留根号）．【答案】（30﹣10）【解答】解：由题意可得.∠ADB＝60°.∠ACB＝45°.AB＝30m.在Rt△ABC中.∵∠ACB＝45°.∴AB＝BC.在Rt△ABD中.∵∠ADB＝60°.∴BD＝AB＝10（m）.∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10）m.故答案为：（30﹣10）．7．（2019•潍坊）自开展“全民健身运动”以来.喜欢户外步行健身的人越来越多.为方便群众步行健身.某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示.改造前的斜坡AB＝200米.坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后.斜坡AB改造为斜坡CD.其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）【答案】米【解答】解：∵∠AEB＝90°.AB＝200米.坡度为1：.∴tan∠ABE＝.∴∠ABE＝30°.∴AE＝AB＝100米.∵AC＝20米.∴CE＝80米.∵∠CED＝90°.斜坡CD的坡度为1：4.∴.即.解得.ED＝320米.∴CD＝＝米.答：斜坡CD的长是米．1．（2021•双阳区一模）某课外数学兴趣小组的同学进行关于测量楼房高度的综合实践活动．如图.他们在距离楼房35米的C处测得楼顶的仰角为α.则楼房AB的高为（）A．35sinα米B．35tanα米C．米D．米【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中.∵∠ABC＝90°.∠ACB＝α.BC＝35米.∴AB＝BC•tanα＝35tanα（米）.答：楼房AB的高为35tanα米．故选：B．2．（2021•南山区校级二模）如图.从一热气球的探测器A点.看一栋高楼顶部的仰角为55°.看这栋高楼底部的俯角为35°.若热气球与高楼的水平距离为35m.则这栋高楼度大约是（）（考数据：sin55°≈.cos55°≈.tan55°≈）A．74米B．80米C．84米D．98米【答案】A【解答】解：过点A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中.∠BAD＝55°.AD＝35m.tan∠BAD＝.∴BD＝AD•tan∠BAD≈35×＝49（m）.在Rt△ACD中.∠ACD＝90°﹣∠CAD＝55°.AD＝35m.tan∠ACD＝.∴CD＝≈＝25（m）.∴BC＝BD+CD＝49+25＝74（m）.故选：A．3．（2021•长春模拟）如图.建筑工地划出了三角形安全区△ABC.一人从A点出发.沿北偏东53°方向走50m到达C点.另一人从B点出发.沿北偏西53°方向走100m到达C点.则点A与点B相距（）（tan53°≈）A．B．C．D．130m【答案】B【解答】解：如图.过C作CF⊥AD.CE∥AD.BE∥AG.∴∠CEB＝90°.∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°.AC＝50.BC＝100.四边形CEDF是矩形.∴DE＝CF.DF＝CE.在Rt△ACF中.tan∠ACF＝＝tan53°.在Rt△BCE中.tan∠EBC＝＝tan53°.∵tan53°≈.∴＝＝.∴AF＝CF.CE＝BE.在Rt△ACF中.AF2+CF2＝AC2.∴CF2+（CF）2＝502.解得CF＝DE＝30.AF＝×30＝40.在Rt△BCE中.BE2+CE2＝BC2.∴BE2+（BE）2＝1002.解得BE＝60.CE＝DF＝×60＝80.∴AD＝AF+DF＝120.BD＝BE﹣DE＝30.在Rt△ABD中.AD2+BD2＝AB2.∴AB＝＝30．故选：B．4．（2021•松北区三模）如图.胡同左右两侧是竖直的墙.一架3米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上.测得梯子与地面的夹角为45°.此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通.故将梯子底端向右移动一段距离到达D处.此时测得梯子AD与地面的夹角为60°.则胡同左侧的通道拓宽了（）A．米B．3米C．（3﹣）米D．（3﹣）米【答案】D【解答】解：在Rt△EBC中.∠BCE＝45°.∴EC＝EB＝BC＝×3＝3（米）.在Rt△BDE中.tan∠BDE＝.∴DE＝＝＝（米）.∴CD＝EC﹣DE＝（3﹣）米.故选：D．5．（2021•河南模拟）如图.AD是土坡AB左侧的一个斜坡.坡度为55°.村委会在坡底D 处建另一个高为3米的平台.并将斜坡AD改为AC.坡比i＝1：1.求土坡AB的高度．（精确到0.1米.参考数据：sin55°≈0.82.cos55°≈0.57.tan55°≈1.43．）【答案】10.0米【解答】解：过点C作CE⊥AB于E.设AE＝x米.∵CD⊥BD.AB⊥CD.∴四边形CDBE为矩形.∴BE＝CD＝3米.CE＝DB.∵斜坡AC的坡比i＝1：1.∴CE＝AE＝x米.∴AB＝（x+3）米.在Rt△ADB中.tan∠ADB＝.即≈1.43.解得：x≈6.98.则AB＝x+3＝9.98≈10.0（米）.答：土坡AB的高度约为10.0米．6．（2021•九江模拟）如图1是甘棠湖上的一座拱桥.图2是其侧面示意图.斜道AB的坡度tan A＝.斜道CD的坡度tan D＝.得湖宽AD＝76米.AB＝10米.CD＝12米.已知所在圆的圆心O在AD上．（1）分别求点B.C到直线AD的距离；（2）求的长．【答案】（1）点B到直线AD的距离为10米.点C到直线AD的距离为12米（2）π【解答】解：（1）过点B作BE⊥AD于E.过点C作CF⊥AD于F.在Rt△BAE中.tan A＝.即＝.设BE＝x米.则AE＝3x米.由勾股定理得：BE2+AE2＝AB2.即x2+（3x）2＝（10）2.解得：x1＝10.x2＝﹣10（舍去）.∴BE＝10米.AE＝30米.在Rt△DCF中.tan D＝.即＝.设CF＝y米.则DF＝2y米.由勾股定理得：CF2+DF2＝CD2.即y2+（2y）2＝（12）2.解得：y1＝12.22＝﹣12（舍去）.∴CF＝12米.DF＝24米.答：点B到直线AD的距离为10米.点C到直线AD的距离为12米；（2）连接OB、OC.∵AD＝76米.AE＝30米.DF＝24米.∴EF＝76﹣30﹣24＝22米.设OE＝z米.则OF＝（22﹣z）米.在Rt△BEO中.OB2＝BE2+OE2.在Rt△CFO中.OC2＝CF2+OF2.∴BE2+OE2＝CF2+OF2.即102+z2＝122+（22﹣z）2.解得：z＝12.则OE＝12米.OF＝10米.∴△BEO≌△OFC.∴∠BOE＝∠OCF.∵∠COF+∠OCF＝90°.∴∠COF+∠BOE＝90°.∴∠BOC＝90°.在Rt△BEO中.OB＝＝＝2（米）.∴的长＝＝π（米）．7．（2021•九龙坡区模拟）重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示.兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人飞机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处.无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处.测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度.点M、C、D在同一条直线上．（1）求无人机的飞行高度AM；（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）（已知数据：sinα＝.cosα＝.tanα＝.sinβ＝.cosβ＝.tanβ＝2.≈1.732）【答案】（1）AM为200 （2）207.3米【解答】解：（1）根据题意可知：∠ACM＝β.AC＝100米.∴AM＝AC•sinβ＝100×＝200（米）.答：无人机的飞行高度AM为200米；（2）根据题意可知：∠ECD＝α.AB＝30米.∠FBD＝30°.如图.作BG⊥MC于点G交AC于点H.∵AB∥CM.∴∠BAH＝∠ACM＝β.∴BH＝AB•tanβ＝30×2＝60（米）.∴HG＝BG﹣BH＝200﹣60＝140（米）.∵AB∥CM.∴△HBA∽△HGC.∴AB：GC＝BH：HG.∴30：GC＝60：140.解得GC＝70（米）.∵∠GBD＝90°﹣30°＝60°.∴GD＝BG•tan∠GBD＝200×＝200（米）.∴CD＝GD﹣GC＝（200﹣70）米.∴DE＝CD•tanα＝（200﹣70）×≈207.3（米）．答：标志物DE的高度为207.3米．。
2023年九年级中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用(含解析)
2023年中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线kyx=（k≠0）上，则k的值为（）A．4B．﹣2C D．2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分△BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，△ADC=60°，122AB BC==，则下列结论：①△CAD=30°；②14OE AD=；③S平行四边形ABCD=AB·AC；④27BD=⑤S△BEP=S△APO；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5 3．如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒。
若△BAC=α，则此车的速度为()A．5tanα米/秒B．80tanα米/秒C．5tanα米/秒D．80tanα米/秒二、填空题4．如图，在 ABC 中，AD 是BC 上的高， cos tanB DAC =∠ ，若 1213sinC =， 12BC = ，则AD 的长 ．5．某人沿着坡角为α的斜坡前进80m ，则他上升的最大高度是 m ． 6．如图，建筑物BC 上有一旗杆AB ，点D 到BC 的距离为20m ，在点D 处观察旗杆顶部A 的仰角为52°，观察底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度为 m ．（精确到0.1m ，参考数据：520.79sin ︒≈，52 1.28tan ︒≈ 1.41≈ 1.73≈．）三、综合题7．在Rt△ACB 中，△C=90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AB 、AC 分别交于点D 、E ，且△CBE=△A.（1）求证：BE 是△O 的切线； （2）连接DE ，求证：△AEB△△EDB ；（3）若点F 为 AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ，若AO=5，3sin 5CBE ∠= ，求OG 的长.8．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板 ABC 与(30)DEF B E ∠=∠=︒ ，若将三角板 ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C 与点E 重合时移动终止），移动过程中始终保持点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，如图（2）， AB 与 DF 、 DE 分别交于点P 、M ， AC 与 DE 交于点Q ，其中 AC DF ==，设三角板 ABC 移动时间为x 秒.（1）在移动过程中，试用含x 的代数式表示AMQ 的面积；（2）计算x 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？9．已知AB 是△O 的切线，切点为B 点，AO 交△O 于点C ，点D 在AB 上且DB=DC ．（1）求证：DC 为△O 的切线；（2）当AD=2BD ，CD=2时，求AO 的长．10．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶 A 的仰角为 35︒ ，此时地面上C 点、屋檐上 E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 8m 到达点D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为 60︒ ，房屋的顶层横梁 12EF m = ，//EF CB ， AB 交 EF 于点G （点C ，D ， B 在同一水平线上）.（参考数据：sin350.6︒≈ ， cos350.8︒≈ ， tan350.7︒≈ ，1.7≈ ）（1）求屋顶到横梁的距离 AG ；（2）求房屋的高 AB （结果精确到 1m ）.11．如图，直线 (0)y mx n m =+≠ 与双曲线 (0)ky k x=≠ 交于 A B 、 两点，直线AB 与坐标轴分别交于 C D 、 两点，连接 OA ，若 OA = ，1tan 3AOC ∠= ，点 (3,)B b - .（1）分别求出直线 AB 与双曲线的解析式； （2）连接 OB ，求 AOBS.12．如图，某港口O 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A 、B 处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由.（2）若“远航”号沿北偏东60︒方向航行，经过两个小时后位于F 处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE 海岸线上，若他从F 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里.他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由.13．如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60︒ ，沿山坡向上走到p 处再测得点C 的仰角为 45︒ ，已知 100OA = 米，山坡坡度 1:2i = ，且O A B 、、 在同一条直线上，其中测倾器高度忽略不计.（1）求电视塔OC 的高度；(计算结果保留根号形式)（2）求此人所在位置点 P 的铅直高度.(结果精确到0.1米，参考数据：1.41= ， 1.73= )14．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，达到了发射技术的新高度．如图，运载火箭海面发射站点M 与岸边雷达站N 处在同一水平高度。
[全]中考数学必考：解直角三角形的应用详解
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中考数学必考：解直角三角形的应用详解典型例题分析1：小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？考点分析：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．题干分析：求这栋楼的高度，即BC的长度，根据BC=BD+DC，在Rt△ABD和Rt△ACD 中分别求出BD，CD即可．典型例题分析2：为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB=60（√6+√2）海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD=120（√6-√2）海里．（1）分别求出A与C及B与C的距离AC、BC（结果保留根号）（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，图中有无触礁的危险？（参考数据：√2=1.41，√3=1.73，√6=2.45）考点分析：解直角三角形的应用﹣方向角问题．题干分析：（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x，在Rt△CBE与Rt△CAE中，分别表示出BE、AE的长度，然后根据AB=60（√6+√2）海里，代入BE、AE的式子，求出x的值，继而可求出AC、BC的长度；（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，根据AD的值，利用三角函数的知识求出DF的长度，然后与100比较，进行判断．典型例题分析3：某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m（计算结果精确到0.1m）（1）当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h= m （2）某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？（参考数据：√2≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）考点分析：解直角三角形的应用．题干分析：（1）根据余弦函数先求出OE，再根据AF=OB+BD，求出DE，即可得出h的值；（2）过C点作CM⊥DF，交DF于点M，根据已知条件和余弦定理求出OE，再根据CM=OB+DE﹣OE，求出CM，再与成人的“安全高度”进行比较，即可得出答案．。
中考数学 专题19.1 锐角三角函数和解直角三角形(解析版)
19.1锐角三角函数和解直角三角形精选考点专项突破卷（一）考试范围：锐角三角函数和解直角三角形；考试时间：90分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2015·四川中考真题）如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（ ）A ．3B C ．3D 2．（2018·湖北中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90C =o ∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（ ）A ．35B ．45C ．34D ．433．（2018·黑龙江中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=8，tan ∠ABD=34，则线段AB 的长为（ ）A B ．C ．5 D ．104．（2014·四川中考真题）如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：√3，堤高BC=10m ，则坡面AB 的长度是（ ）A ．15mB ．20√3mC ．20mD ．10√3m5．（2018·湖南中考真题）如图，小刚从山脚A 出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B 点，则小刚上升了（ ）A ．300sin α米B ．300cos α米C ．300tan α米D ．300tan α米 6．（2012·山东中考真题）把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ） A ．不变 B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定 7．（2014·四川中考真题）在△ABC 中，若21cos (1tan )2A B -+-=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°8．（2018·山东中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是（ ）A ．4B ．14C ．13D ．39．（2019·湖南中考真题）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝57，则BC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．D ．10．（2018·浙江中考真题）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα二、填空题（每小题4分，共28分)11．（2013·辽宁中考真题）△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=34，则BC 的长 ． 12．（2019·四川中考真题）如图，在△ABC 中，30B ∠=︒，2AC =,3cos 5C =.则AB 边的长为___________.13．（2019·山东中考真题）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得70ABO ∠=︒，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得50CDO ∠=︒，那么AC 的长度约为______米．（sin700.94︒≈，sin500.77︒≈，cos700.34︒≈，cos500.64︒≈）14．（2019·山东中考真题）如图，小明为了测量校园里旗杆AB 的高度，将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6m 的位置，在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m ，则旗杆AB 的高度约为______m ．（精确到0.1m ．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）15．（2019·广西中考真题）如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，tan 2C =，3AB =，则AC 的长为_____．16．（2013·湖北中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC=6，sinA=35，则DE= ．17．（2019·江苏中考真题）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，H 是AB 的中点，将CBH ∆沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ，则tan HAP ∠=__．三、解答题一（每小题6分，共18分)18．（2019·四川中考真题）计算：(20146sin 453-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭o19．（2019·四川中考真题）计算：21tan 45|2|2-︒︒⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭．20．（2019·四川中考真题）计算：201920(1)(2)(3.14)4cos30|2π-︒-+-+--+- 四、解答题二（每小题8分，共24分)21．（2014·湖南中考真题） 一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C 处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）22．（2019·山东中考真题）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡200AB =米，坡度为AB 的高度AE 降低20AC =米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1:4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）23．（2016·青海中考真题）如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22º时， 教学楼在建筑物的墙上留下高2m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13m 的距离(B 、F 、C 在一条直线上)．(1)求教学楼AB 的高度；(2)学校要在A 、E 之间挂一些彩旗，请你求出A 、E 之间的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin22º≈38，cos22º≈1516，tan22º≈25)五、解答题三（每小题10分，共20分)24．（2017·湖北中考真题）（2017湖北省鄂州市）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．25．（2018·江苏中考真题）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？19.1锐角三角函数和解直角三角形精选考点专项突破卷（一）参考答案1．D【解析】过B 点作BD ⊥AC ，如图，由勾股定理得，=cosA=ADAB ，故选D ．2．A【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 详解：在Rt △ABC 中，∵AB=10、AC=8，∴，∴sinA=63105BC AB ==. 故选：A ．点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义． 3．C【解析】分析：根据菱形的性质得出AC ⊥BD ，AO=CO ，OB=OD ，求出OB ，解直角三角形求出AO ，根据勾股定理求出AB 即可．详解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，AO=CO ，OB=OD ， ∴∠AOB=90°， ∵BD=8， ∴OB=4， ∵tan ∠ABD=3 4AOOB=，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：，故选C．点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．4．C【解析】试题分析：∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：√3，∴AC=BC÷tanA=10√3m．∴AB=√AC2+BC2=√(10√3)2+102=20m．故选C．考点：1．解直角三角形的应用（坡度坡角问题）；2．锐角三角函数定义；3．特殊角的三角函数值．；4．勾股定理．5．A【解析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．【详解】在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，BO=AB•sinα=300sinα米．故选A．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．6．A。
15.中考数学专题解直角三角形的应用数学母题题源系列(解析版)
专题03 解直角三角形的应用【母题来源一】【2019•甘肃】为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260 mm～300 mm含（300 mm），高度的范围是120 mm～150 mm（含150 mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900 mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1 mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）【解析】如图，连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD·cos65°=900×0．423≈381，DM=BD•sin65°=900×0．906≈815，∵381÷3=127，120<127<150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260<272<300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．【母题来源二】【2019•潍坊】自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）【解析】∵∠AEB=90°，AB=200，坡度为1∴tan∠ABE3==，∴∠ABE=30°，∴AE12=AB=100，∵AC=20，∴CE=80，∵∠CED=90°，斜坡CD的坡度为1∶4，∴14 CEDE=，即8014 ED=，解得，ED=320，∴CD==答：斜坡CD的长是【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．【母题来源三】【2019•陕西】小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）【解析】如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH=BD，BH=CD=0.5．在Rt△ACH中，∠ACH=45°，∴AH=CH=BD，∴AB=AH+BH=BD+0.5．∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG=∠ABG=90°．由题意，易知∠EGF=∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴EF FG AB BG =，即 1.620.55BD BD=++， 解之，得BD =17.5， ∴AB =17.5+0.5=18（m ）． ∴这棵古树的高AB 为18 m ．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．【母题来源四】【2019•河南】数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55 m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部E 的仰角为34°，再沿AC 方向前进21 m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE 的高度．（精确到1 m ．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67≈1.73）【解析】∵∠ACE =90°，∠CAE =34°，CE =55 m ，∴tan ∠CAE CEAC =， ∴AC 55tan 340.67CE ==≈︒82.1 m ， ∵AB =21 m ，∴BC =AC -AB =61.1 m ，在Rt △BCD 中，tan60°CDBC==∴CD =≈1.73×61.1≈105.7 m ， ∴DE =CD -EC =105.7-55≈51 m ， 答：炎帝塑像DE 的高度约为51 m ．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．【母题来源五】【2019•天津】如图，海面上一艘船由西向东航行，在A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点C 的仰角为31°，再向东继续航行30m 到达B 处，测得该灯塔的最高点C 的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．【解析】在Rt△CAD中，tan∠CADCD AD =，则AD5tan313CD=≈︒CD，在Rt△CBD中，∠CBD=45°，∴BD=CD，∵AD=AB+BD，∴53CD=CD+30，解得，CD=45，答：这座灯塔的高度CD约为45 m．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【母题来源六】【2019•随州】在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．【解析】（1）作PC⊥AB于C，如图，则∠PCA =∠PB =90°，由题意得：PA =120海里，∠A =30°，∠BPC =45°， ∴PC 12=PA =60海里，△BCP 是等腰直角三角形，∴BC =PC =60海里，PB =答：收到求救讯息时事故渔船P 与救助船B 之间的距离为海里．（2）∵PA =120海里，PB 救助船A ，B 分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，∴救助船A 所用的时间为12040=3（小时），救助船B 所用的时间为30=∵B 先到达．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线是解题的关键．【母题来源七】【2019•上海】图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD ′E ′的位置（如图2所示）．已知AD =90厘米，DE =30厘米，EC =40厘米． （1）求点D ′到BC 的距离； （2）求E 、E ′两点的距离．【解析】（1）过点D ′作D ′H ⊥BC ，垂足为点H ，交AD 于点F ，如图，由题意，得：AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′=∠BHD′=90°．在Rt△AD′F中，D′F=AD′·sin∠DAD又∵CE=40厘米，DE=30厘米，∴FH=DC=DE+CE=70厘米，∴D′H=D′F+FH=（70）厘米．答：点D′到BC的距离为（70）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图．由题意，得：AE′=AE，∠EAE′=60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′=AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE=90°．在Rt△ADE中，AD=90厘米，DE=30厘米，∴AE==厘米，∴EE厘米．答：E、E′两点的距离是厘米．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．【母题来源八】【2019•江西】图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8 cm，CD=8 cm，AB=30 cm，BC=35 cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．①填空：∠BAO=__________．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时，求∠ABC 的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）【解析】（1）①过点A作AG∥BC，如图，则∠BAG=∠ABC=70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO=∠AOE=90°，∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160．②过点A作AF⊥BC于点F，如图，则AF=AB·sin∠ABE=30sin70°≈28.2（cm），∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+OA-CD=28.2+6.8-8=27（cm）．（2）过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图，则∠MBA=70°，AF=28.2 cm，DH=6 cm，BC=30 cm，CD=8 cm，∴CM=AF+AO-DH-CD=28.2+6.8-6-8=21（cm），∴sin∠MBC210.635CMBC===，∴∠MBC=36.8°，∴∠ABC=∠ABM-∠MBC=33.2°．【名师点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．【命题意图】利用解直角三角形解决实际问题是历年中考的热点，涉及面比较广，常以下列背景考查：测量建筑物的高度、航海行程、修路筑堤等，题型多种多样，但多为解答题，解答这类问题时，要注意把实际问题转化成数学问题，找出其中的直角三角形，运用解直角三角形的知识解决．【方法总结】1．解直角三角形应用题的一般步骤（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形；（3）寻找直角三角形，并解这个三角形．2．运用解直角三角形的知识解决视角相关问题的方法（1）实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长；（2）利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数．3．运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题的方法方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，就需要添加辅助线．在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程（组）来求解．这类题目主要考查同学们解决实际问题的能力．4．运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题的方法解决坡角、坡度相关问题时，首先要认真读题，弄清题意，理解坡角、坡度的实际意义及坡角与坡度的关系，其次是从图中确定要解的直角三角形，充分使用坡角、坡度提供的相关数据，正确选择关系式．1．【山东省菏泽市曹县2019年中考数学三模试卷】某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图，已知原阶梯式自动扶梯AB的长为m，坡角∠ABE=45°，改造后的斜坡自动扶梯坡角∠ACB=15°，求改造后的斜坡式自动扶梯AC的长，（精确到0.1 m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0，27）【解析】如图，过点A作AD⊥CE于点D，在Rt△ABD中，∠ABD=45°，AB m，∴AD=AB·sin45°=2=6（m）．在Rt△ACD中，∠ACD=15°，sin∠ACD=ADAC，∴AC=6sin150.26AD=︒≈23.1（m），即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为23.1米．【名师点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用，求出AD是解本题的关键．2．【河南省平顶山市2019届九年级中考数学三模试题】如图，一架无人机在距离地面高度为13.3米的点A处，测得地面点M的俯角为53°，这架无人机沿仰角为35°的方向飞行了55米到达点B，恰好在地面点N的正上方，M、N在同一水平线上求出M、N两点之间的距离．（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【解析】过点A作AC⊥BN于C．过点M作MD⊥AC于D，如图所示．在Rt△AMD中，DM=13.3，∠DAM=53°，∴ADDMtan53==︒10；在Rt△ABC中，AB=55，∠BAC=35°，∴AC=AB·cos53°=55×0.82=45.1．∵AC⊥BN，MD⊥AC，MN⊥BN，∴四边形MDCN是矩形，∴MN=DC=AC-AD≈35．答：MN两点的距离约是35米．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题以及矩形的判定与性质，通过解直角三角形，求出AD，AC的长度是解题的关键．3．【2019年山东省菏泽市东明县中考数学三模试卷】如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向，求海轮行驶的路程AB （结保留根号）．【解析】在Rt △APC 中，∠APC =45°，∴CA =CP =2AP ，在Rt △APC 中，tan B =CPCB ，则CB =tan CP B=∴AB =AC +CB ，答：海轮行驶的路程AB 为(+海里．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确理解方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．4．【内蒙古通辽市2019年中考模拟数学试题】如图，一座山的一段斜坡BD 的长度为600米，且这段斜坡的坡度i =1∶3（沿斜坡从B 到D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B 处测得山顶A 的仰角为30°，在斜坡D 处测得山顶A 的仰角为45°．求山顶A 到地面BC 的高度AC 是多少米？【解析】如图，作DH ⊥BC 于H ．设AE =x ．∵DH ∶BH =1∶3，在Rt △BDH 中，DH 2+（3DH ）2=6002，∴DH ，BH 在Rt △ADE 中，∵∠ADE =45°， ∴DE =AE =x ，∵又HC =ED ，EC =DH ，∴HC =x ，EC ，在Rt △ABC 中，tan30=︒，∴x∴AC =AE +EC ，答：山顶A 到地面BC 的高度AC 是（）米．【名师点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．5．【2019年浙江省绍兴市中考数学模拟试卷（5月份）】如图，某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物定点A 的仰角为60°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为45°．已知BC =60 m ，山坡的坡比为1∶2．（1）求该建筑物的高度（即AB 的长，结果保留根号）；（2）求此人所在位置点P 的铅直高度（即PD 的长，结果保留根号）．【解析】（1）过点P 作PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AB 于F ，又∵AB⊥BC于B，∴四边形BEPF是矩形，∴PE=BF，PF=BE，∵在Rt△ABC中，BC=90米，∠ACB=60°，∴AB=BC·tan60°（米），故建筑物的高度为米．（2）设PE=x米，则BF=PE=x米，∵在Rt△PCE中，tan∠PCD=12 PECE，∴CE=2x，∵在Rt△PAF中，∠APF=45°，∴AF=AB-BF-x，PF=BE=BC+CE=60+2x，又∵AF=PF，∴60-x=60+2x，解得：x-20，答：人所在的位置点P的铅直高度为（20）米．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，难度适中．6．【2019年江苏省泰州市姜堰区中考二模数学试卷】一游客步行从宾馆C出发，沿北偏东60°的方向行走到1000米的人民公园A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离到达位于宾馆南偏东45°方向的净业寺B处，如图所示．（1）求这名游客从人民公园到净业寺的途中到宾馆的最短距离；（2）若这名游客以80米/分的速度从净业寺返回宾馆，那么他能在10分钟内到达宾馆吗？请通过计算说明理由．（假设游客行走的路线均是沿直线行走的）【解析】（1）如图，过点C作CH⊥AB交AB于点H，在Rt△ACH中，∵∠ACH=30°，∴CH=1000·cos30°=，答：到宾馆的最短距离为米．（2）在Rt△CHB中，∠BCH=45°，CH∴BC=CH÷cos45°=，=>，∴t10∴不能到达宾馆．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用–––方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．7．【2019年江苏省徐州市中考数学三模试卷】某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB的长为3 m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6 m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m，成人的“安全高度”为2 m．（计算结果精确到0.1 m）（1）当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h=__________m；（2）某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）【解析】（1）在Rt△ANO中，∠ANO=90°，∴cos∠AON=ON OA，∴ON=OA·cos∠AON，∵OA=OB=3 m，∠AON=45°，∴ON=3·cos45°≈2.12 m，∴ND=3+0.6-2.12≈1.5 m，∴h=ND=AF≈1.5 m．故答案为：1.5．（2）如图，过C点作CM⊥DF，交DF于点M，在Rt△CEO中，∠CEO=90°，∴cos∠COE=OE OC，∴OE=OC·cos∠COF，∵OB=OC=3 m，∠CON=55°，∴OE=3·cos55°≈1.72 m，∴ED=3+0.6-1.72≈1.9 m，∴CM=ED≈1.9 m，∵成人的“安全高度”为2 m ， ∴成人是安全的．【名师点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是锐角三角函数，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．8．【2019年江西省南昌市十校联考中考数学模拟试卷（5月份）】在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN 是装订机的底座，AB 是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE 的D 点固定，点E 从A 向B 处滑动，压柄BC 可绕着转轴B 旋转．已知压柄BC 的长度为15 cm ，BD =5 cm ，压柄与托板的长度相等．（1）当托板与压柄夹角∠ABC =37°时，如图①点E 从A 点滑动了2 cm ，求连接杆DE 的长度； （2）当压柄BC 从（1）中的位置旋转到与底座AB 的夹角∠ABC =127°，如图②．求这个过程中点E 滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）【解析】（1）如图①，作DH ⊥BE 于H ，在Rt △BDH 中，∠DHB =90°，BD =5，∠ABC =37°， ∴5DH =sin37°，5BH=cos37°， ∴DH =5sin37°≈5×0.6=3（cm ），BH =5cos37°=5×0.8=4（cm ）． ∵AB =BC =15 cm ，AE =2 cm ， ∴EH =AB -AE -BH =15-2-4=9（cm ），∴DE ==cm ），答：连接杆DE 的长度为． （2）如图②，作DH ⊥AB 的延长线于点H ，∵∠ABC =127°，∴∠DBH =53°，∠BDH =37°， 在Rt △DBH 中，5BH BHBD ==sin37°=0.6， ∴BH =3 cm ，∴DH =4 cm ， 在Rt △DEH 中，EH 2+DH 2=DE 2， ∴（EB +3）2+16=90，∴EB =3）（cm ），∴点E 滑动的距离为：15-3）-2=（16）（cm ）．答：这个过程中点E 滑动的距离为（16cm ．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，正确构造直角三角形是解决问题的关键．。
中考数学真题专项汇编解析—解直角三角形
中考数学真题专项汇编解析—解直角三角形一．选择题1．（2022·天津）tan 45︒的值等于（ ）A ．2B ．1C D 【答案】B【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解． 【详解】作一个直角三角形，∠C =90°，∠A =45°，如图：∠∠B =90°-45°=45°，∠∠ABC 是等腰三角形，AC =BC ， ∠根据正切定义，tan 1BCA AC∠==， ∠∠A =45°，∠tan 451︒=，故选 B ．【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键． 2．（2022·四川乐山）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =D 是AC 上一点，连接BD ．若1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为（ ）A．B ．3 C D ．2【答案】C【分析】先根据锐角三角函数值求出AC =5,AB =过点D作DE AB ⊥于点E ，依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32BE AE =，再由5AE BE +=得AE =2，DE =1，由勾股定理得AD CD ．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC ∠1tan 2BC A AC ∠==∠2AC BC ==由勾股定理得,5AB == 过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图，∠1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，∠11,,23DE DE AE BE == ∠11,,23DE AE DE BE == ∠1123AE BE = ∠32BE AE = ∠5,AE BE += ∠352AE AE += ∠2,AE = ∠1DE =, 在Rt ADE ∆中,222AD AE DE =+ ∠AD∠AD CD AC +== ∠CD AC AD =-=故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键．3．（2022·浙江杭州）如图，已知∠ABC 内接于半径为1的∠O ，∠BAC =θ（θ是锐角），则∠ABC 的面积的最大值为（ ）A ．()cos 1cos θθ+B ．()cos 1sin θθ+C ．()sin 1sin θθ+D ．()sin 1cos θθ+ 【答案】D【分析】要使∠ABC 的面积S =12BC •h 的最大，则h 要最大，当高经过圆心时最大．【详解】解：当∠ABC 的高AD 经过圆的圆心时，此时∠ABC 的面积最大， 如图所示，∠AD ∠BC ，∠BC =2BD ，∠BOD =∠BAC =θ， 在Rt ∠BOD 中，sin θ=1BD BD OB =，cos θ=1OD ODOB =， ∠BD =sin θ，OD =cos θ，∠BC =2BD =2sin θ，AD =AO +OD =1+cos θ， ∠S △ABC =12AD •BC =12•2sin θ（1+cos θ）=sin θ（1+cos θ）．故选：D ．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．4．（2022·云南）如图，已知AB 是∠O 的直径，CD 是OO 的弦，AB ∠CD ．垂足为E ．若AB =26，CD =24，则∠OCE 的余弦值为（ ）A ．713B ．1213C ．712D ．1312【答案】B【分析】先根据垂径定理求出12CE CD =，再根据余弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∠AB 是∠O 的直径，AB ∠CD ． ∠112,902CE CD OEC ==∠=︒，OC =12AB =13， ∠12cos 13CE OCE OC ∠==．故选：B ． 【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键．5．（2022·陕西）如图，AD 是ABC 的高，若26BD CD ==，tan 2C ∠=，则边AB 的长为（ ）B．C．D．A．【答案】D【分析】先解直角ABC求出AD，再在直角ABD△中应用勾股定理即可求出AB．【详解】解：∠26CD=，BD CD==，∠3∠直角ADC中，tan2∠=，∠tan326C=⋅∠=⨯=，AD CD C∠直角ABD△中，由勾股定理可得，AB D．【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．6．（2022·浙江金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知∠=，则房顶A离地面EF的高度为（）6mBC=，ABCαA ．(43sin )m α+B ．(43tan )m α+C ．34m sin α⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．34m tan a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】过点A 作AD ∠BC 于D ，根据轴对称图形得性质即可得BD =CD ，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案． 【详解】解：过点A 作AD ∠BC 于D ，如图所示：∠它是一个轴对称图形，∠132BD DC BC ===m ，tan 3AD ADBD α∴==，即3tan AD α=， ∴房顶A 离地面EF 的高度为(43tan )m α+，故选B ．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键．7．（2022·浙江丽水）如图，已知菱形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，AF 平分EAD ∠交CD 于点F ，FG AD ∥交AE 于点G ，若1cos 4B =，则FG 的长是（ ）A．3B．83CD．52【答案】B【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=14，即可得到FG的长；【详解】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，∠BE=2，又∠1cos4B=，∠BH=1，即H是BE的中点，∠AB=AE=4，又∠AF是∠DAE的角平分线，AD∠FG，∠∠F AG=∠AFG，即AG=FG，又∠PF∠AD，AP∠DF，∠PF=AD=4，设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，∠PF∠BC，∠∠AGP=∠AEB=∠B，∠cos∠AGP=12PGAG=22xx-=14，解得x=83；故选B．【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．8．（2022·四川广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A B C．2D5【答案】B【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∠AB，由勾股定理逆定理可以证明∠DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．则DE∠AB，∠∠APC＝∠EDC．在∠DCE中，有DE=，EC=DC==5∠222EC DC DE+=+==，52025∠DCE∠=︒，∆是直角三角形，且90DCE∠cos∠APC ＝cos∠EDC ＝DC DE = 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．9．（2022·湖北随州）如图，已知点B ，D ，C 在同一直线的水平，在点C 处测得建筑物AB 的顶端A 的仰角为α，在点D 处测得建筑物AB 的顶端A 的仰角为β，CD a =，则建筑物AB 的高度为（ ）A ．tan tan a αβ- B ．tan tan a βα- C ．tan tan tan tan a αβαβ- D ．tan tan tan tan a αββα-【答案】D【分析】设AB =x ，利用正切值表示出BC 和BD 的长，CD =BC -BD ，从而列出等式，解得x 即可．【详解】设AB =x ，由题意知，∠ACB =α,∠ADB =β,∠tan x BD β=，tan xBC α=， ∠CD =BC -BD ，∠tan tan x x a αβ-=，∠tan tan tan tan a x αββα=-，即AB =tan tan tan tan a αββα-，故选：D ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 二．填空题10．（2022·山东泰安）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角30DPC ∠=︒，已知窗户的高度2m AF =，窗台的高度1m CF =，窗外水平遮阳篷的宽0.8m AD =，则CP 的长度为______（结果精确到0.1m ）．【答案】4.4m##4.4米【分析】根据题意可得AD ∠CP ，从而得到∠ADB =30°，利用锐角三角函数可得tan 0.46m AB AD ADB =⨯∠=≈，从而得到BC =AF +CF -AB =2.54m ，即可求解．【详解】解：根据题意得：AD ∠CP ， ∠∠DPC =30°，∠∠ADB =30°，∠0.8m AD =，∠tan 0.80.46m AB AD ADB =⨯∠=≈， ∠AF =2m ，CF =1m ，∠BC =AF +CF -AB =2.54m ， ∠ 2.544.4m tan tan 30BC CP BPC ︒==≈∠，即CP 的长度为4.4m ．故答案为：4.4m.【点睛】本题主要考查了解直角三角形、平行线的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．11．（2022·天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A ，B ，C 及DPF ∠的一边上的点E ，F 均在格点上．（∠）线段EF 的长等于___________；（∠）若点M ，N 分别在射线,PD PF 上，满足90MBN ∠=︒且BM BN =．请用无刻．．度．的直尺，在如图所示的网格中，画出点M ，N ，并简要说明点M ，N 的位置是如何找到的（不要求证明）___________．【答案】 见解析【分析】（∠）根据勾股定理，从图中找出EF 所在直角三角形的直角边的长进行计算；（∠）由图可找到点Q ，EQ BQ EF BF ====EFBQ 是正方形，因为90BM BN MBN =∠=︒，，所以BQM BFN ∆≅∆，点M 在EQ 上，BM 、BN 与圆的交点为直径端点，所以EQ 与PD 交点为M ，通过BM 与圆的交点G 和圆心O 连线与圆相交于H ，所以H 在BN 上，则延长BH 与PF 相交点即为N ．【详解】解：（∠）从图中可知：点E 、F 水平方向距离为3，竖直方向距离为1，所以EF ；（∠）连接AC ，与竖网格线相交于点O ，O 即为圆心；取格点Q （E 点向右1格，向上3格），连接EQ 与射线PD 相交于点M ；连接MB 与O 相交于点G ；连接GO 并延长，与O 相交于点H ；连接BH 并延长，与射线PF 相交于点N ，则点M ，N 即为所求，理由如下：连接,BQ BF由勾股定理算出BQ QE EF BF ====由题意得90MQB QEF BFE QBF ∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形BQEF 为正方形，在Rt BQM 和Rt BFN 中，BQ BF =，1tan tan 3QBA FBC ∠=∠=，QBA FBC ∴∠=∠， AOG COH ∠=∠，AG CH ∴=，ABG HBC ∴∠=∠，MBQ NBF ∴∠=∠()Rt BQM Rt BFN ASA ∴≌BM BN ∴=，90QBM MBF MBF FBN ∠+∠=∠+∠=︒90MBN ∴∠=，从而确定了点,M N 的位置．【点睛】本题考查作图，锐角三角函数、圆周角定理，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握圆周角的定理．12．（2022·江苏扬州）在ABC ∆中，90C ∠=︒，a b c 、、分别为A B C ∠∠∠、、的对边，若2b ac =，则sin A 的值为__________．【详解】解：如图所示：在Rt ABC 中，由勾股定理可知：222+=a b c ，2ac b =，22a ac c ∴+=，0a >， 0b >，0c >，2222a ac c c c +∴=，即：21a a c c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出ac =a c =，∴在Rt ABC 中：in s a c A == 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在Rt ABC 中，sin A A ∠=的对边斜边 ，cos A A ∠=的邻边斜边，tan A A A ∠=∠的对边的邻边． 13．（2022·湖南衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，10m AE =，30BDG ∠=︒，60BFG ∠=︒．已知测角仪DA 的高度为1.5m ，则大雁雕塑BC 的高度约为_________m ．（结果精确到0.1m ．参考数据：1.732）【答案】10.2【分析】先根据三角形外角求得30∠=∠=，再根据三角形的等角对等边DBF BDG得出BF=DF=AE=10m，再解直角三角形求得BG即可求解．【详解】解：∠30∠=︒，BFGBDG∠=︒且60∠30∠=∠-∠=︒，DBF BFG BDG∠∠=∠DBF BDG，即10mBF DF AE===．∠=⋅=≈，BG BF︒sin608.66m∠8.66 1.510.2mBC BG GC BG DA=+=+=+≈，故答案为：10.2m．【点睛】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的判定、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的判定和解直角三角形的解题方法是解答的关键．14．（2022·浙江嘉兴）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．【分析】先求解33,,3AB AD 再利用线段的和差可得答案． 【详解】解：由题意可得：1,15123,DE DC 30,90,A ABC 33,tan 603BC AB 同理：13,tan 6033DE AD 3233,33BD AB AD【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．15．（2022·浙江绍兴）如图，10AB =，点C 在射线BQ 上的动点，连接AC ，作CD AC ⊥，CD AC =，动点E 在AB 延长线上，tan 3QBE ∠=，连接CE ，DE ，当CE DE =，CE DE ⊥时，BE 的长是______．【答案】5或35 4【分析】过点C作CN∠BE于N，过点D作DM∠CN延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN =3x，由∠ACN∠∠CDM可得AN=CM=10+x，CN=DM=3x，由点C、M、D、E四点共圆可得∠NME是等腰直角三角形，于是NE=10-2x，由勾股定理求得AC可得CE，在Rt∠CNE中由勾股定理建立方程求得x，进而可得BE；【详解】解：如图，过点C作CN∠BE于N，过点D作DM∠CN延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN=BN•tan∠CBN=3x，∠∠CAD，∠ECD都是等腰直角三角形，∠CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，则∠CAN=∠DCM，在∠ACN和∠CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，∠∠ACN∠∠CDM（AAS），∠AN=CM=10+x，CN=DM=3x，∠∠CMD=∠CED=90°，∠点C、M、D、E四点共圆，∠∠CME=∠CDE=45°，∠∠ENM=90°，∠∠NME 是等腰直角三角形，∠NE =NM =CM -CN =10-2x ，Rt ∠ANC 中，ACRt ∠ECD 中，CD =AC ，CE =2CD ， Rt ∠CNE 中，CE 2=CN 2+NE 2，∠()()()()2222110331022x x x x ⎡⎤++=+-⎣⎦， 2425250x x -+=，()()4550x x --=，x =5或x =54，∠BE =BN +NE =x +10-2x =10-x ，∠BE =5或BE =354； 故答案为：5或354； 【点睛】本题考查了三角函数，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，一元二次方程等知识；此题综合性较强，正确作出辅助线是解题关键． 16．（2022·山东泰安）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30，已知斜坡的斜面坡度i =A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是___________．+【答案】(20mm，求出x=10，【分析】过D作DF∠BC于F，DH∠AB于H，设DF=x m，CF则BH=DF=，CF=，DH=BF，再求出AH DH，即可求解．【详解】解：过D作DF∠BC于F，DH∠AB于H，∠DH=BF，BH=DF，∠斜坡的斜面坡度i=1∠:DF CF=m，设DF=x m，CF∠CD==，220x∠x=10，∠BH=DF=10m，CF=，∠DH=BF=（m），∠∠ADH =30°，∠AH10=+m ）， ∠AB =AH +BH =20103（m ），故答案为：(20m +．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17．（2022·江苏连云港）如图，在66⨯正方形网格中，ABC 的顶点A 、B 、C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A =_________．【答案】45【分析】如图所示，过点C 作CE ∠AB 于E ，先求出CE ，AE 的长，从而利用勾股定理求出AC 的长，由此求解即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ∠AB 于E ，由题意得43CE AE ==，，∠5AC ， ∠4sin =5CE A AC =，故答案为：45．【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．18．（2022·四川凉山）如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点O 反射后照射到B 点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC ∠CD 于点C ，BD ∠CD 于点D ，且AC ＝3，BD ＝6，CD ＝12，则tanα的值为_______．【答案】43【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得,A B αβ∠=∠=，从而可得A B ∠=∠，再根据相似三角形的判定证出AOC BOD △△，根据相似三角形的性质可得OC 的长，然后根据正切的定义即可得．【详解】解：如图，由题意得：OP CD ⊥，AC CD ⊥，AC OP ∴，A α∴∠=，同理可得：B β∠=，αβ=，A B ∴∠=∠，在AOC △和BOD 中，90A B ACO BDO ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩， AOCBOD ∴， OC AC OD BD∴=， 3,6,12,AC BD CD OD CD OC ====-，1236OC OC ∴-=， 解得4OC =，经检验，4OC =是所列分式方程的解， 则4tan tan 3OC A AC α===， 故答案为：43．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．19．（2022·四川凉山）如图，在边长为1的正方形网格中，∠O 是∠ABC 的外接圆，点A ，B ，O 在格点上，则cos∠ACB 的值是________．【分析】取AB 中点D ，由图可知，AB =6，AD =BD =3，OD =2，由垂径定理得OD ∠AB ，则OB==cos∠DOB =13OD OB ==，再证∠ACB =∠DOB ，即可解．【详解】解：取AB 中点D ，如图，由图可知，AB =6，AD =BD =3，OD =2，∠OD ∠AB ，∠∠ODB =90°，∠OB==cos∠DOB =OD OB ==， ∠OA =OB ，∠∠BOD =12∠AOB ，∠∠ACB =12∠AOB ，∠∠ACB =∠DOB ，∠cos∠ACB = cos∠DOB【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，取AB 中点D ，得Rt ∠ODB 是解题的关键．20．（2022·山东滨州）在Rt ∠ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =12，则sin A =______. 【答案】1213【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【详解】解：如图所示：∠∠C =90°，AC =5，BC =12，∠AB ，∠sin A =1213BC AB =． 故答案为：1213． 【点睛】在直角三角形中求正弦函数值是本题的考点，根据勾股定理求出AB 的长是解题的关键．21．（2022·湖北黄冈）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A 点处测得乙建筑物D 点的俯角α为45︒，C 点的俯角β为58︒，BC 为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD 为6m ，则甲建筑物的高度AB 为________m ．（sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈，结果保留整数）．【答案】16【分析】过D 点作DE AB ⊥于点E ，则6BE CD ==，45ADE ∠=︒，58ACB ∠=︒，在Rt ADE △中，45ADE ∠=︒，设AE x =，则DE x =，BC x =，6AB AE BE x =+=+，在Rt ABC 中，6tan tan 58 1.60AB x ACB BC x+∠=︒==≈，解得10x ≈，进而可得出答案． 【详解】解：如图，过D 点作DE AB ⊥于点E ，设AE x =，根据题意可得：AB BC ⊥，DC BC ⊥，∠90AED BED ABC DCB ∠=∠=∠=∠=︒，∠四边形BCDE 是矩形，∠从甲建筑物A 点处测得乙建筑物D 点的俯角α为45︒，C 点的俯角β为58︒，BC 为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度CD 为6，∠6BE CD ==，45ADE ∠=︒，58ACB ∠=︒，在Rt ADE △中，45ADE ∠=︒，∠9045EAD ADE ∠=︒-∠=︒，∠EAD ADE ∠=∠，∠DE AE x ==，∠BC DE x ==，∠6AB AE BE x =+=+，在Rt ABC 中，tan ∠=AB ACB BC 即6tan 58 1.60x x+︒=≈， ∠6tan tan 58 1.60AB x ACB BC x +∠=︒==≈ 解得10x ≈，经检验10x ≈是原分式方程的解且符合题意，∠()616AB x m =+≈．故答案为：16．【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．22．（2022·四川广元）如图，直尺AB 垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE 的斜边DE 靠在直尺的一边AB 上，使点E 与点A 重合，DE ＝12cm ．当点D 沿DA 方向滑动时，点E 同时从点A 出发沿射线AF 方向滑动．当点D 滑动到点A 时，点C 运动的路径长为 _____cm ．【答案】(24-【分析】由题意易得CD CE DE ===，则当点D 沿DA 方向下滑时，得到D C E '''△，过点C '作C N AB '⊥于点N ，作C M AF '⊥于点M ，然后可得D C N E C M ''''≌，进而可知点D 沿DA 方向下滑时，点C ′在射线AC 上运动，最后问题可求解．【详解】解：由题意得：∠DEC =45°，DE ＝12cm ，∠2CD CE DE ===， 如图，当点D 沿DA 方向下滑时，得到D C E '''△，过点C '作C N AB '⊥于点N ，作C M AF '⊥于点M ，∠∠DAM =90°，∠四边形NAMC ′是矩形，∠90NC M '∠=︒，∠90D C N NC E NC E E C M ''''''''∠+∠=∠+∠=︒，∠D C N E C M ''''∠=∠，∠,90D C E C D NC E MC ''''''''=∠=∠=︒，∠D C N E C M ''''≌，∠C N C M ''=，∠C N AB '⊥，C M AF '⊥，∠AC '平分∠NAM ，即点D 沿DA 方向下滑时，点C ′在射线AC 上运动，∠当C D AB ''⊥时，此时四边形C D AE '''是正方形，CC ′的值最大，最大值为(12cm AD AC -=-，∠当点D 滑动到点A 时，点C 运动的路径长为((21224cm ⨯-=-；故答案为(24-．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键．23．（2022·湖北宜昌）如图，C岛在A岛的北偏东50︒方向，C岛在B岛的北偏西35︒方向，则ACB∠的大小是_____．【答案】85︒【分析】过C作CF DA∥交AB于F，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．【详解】解：C岛在A岛的北偏东50︒方向，50∴∠=︒，DACC岛在B岛的北偏西35︒方向，35∴∠=︒，CBE过C作CF DA∥交AB于F，如图所示：∴∥∥，DA CF EB50,35∴∠=∠=︒∠=∠=︒，FCA DAC FCB CBEACB FCA FCB∴∠=∠+∠=︒，85故答案为：85︒．【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．三．解答题24．（2022·江苏宿迁）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．20）m．【答案】（【分析】过点A作AE∠CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt∠ADE中，求出AE的长，在Rt∠ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的高度．【详解】解：过点A作AE∠CD于点E，由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，∠四边形ABDE是矩形，∠DE＝AB＝20m，在Rt ∠ADE 中，∠AED ＝90°，∠DAE ＝30°，DE ＝20m ，∠tan∠DAE ＝DE AE ，∠20tan tan 30DE AE DAE ===∠︒， 在Rt ∠ACE 中，∠AEC ＝90°，∠CAE ＝45°，∠∠ACE 是等腰直角三角形， ∠CE AE =m ，∠CD ＝CE ＋DE ＝（20）m ， ∠信号塔的高度为（20）m ．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键．25．（2022·天津）如图，某座山AB 的项部有一座通讯塔BC ，且点A ，B ，C 在同一条直线上，从地面P 处测得塔顶C 的仰角为42︒，测得塔底B 的仰角为35︒．已知通讯塔BC 的高度为32m ，求这座山AB 的高度（结果取整数）．参考数据：tan350.70tan 420.90︒≈︒≈，．【答案】这座山AB 的高度约为112m【分析】在Rt PAB 中，·tan AB PA APB =∠，在Rt PAC △中，·tan AC PA APC =∠，利用AC AB BC =+，即可列出等式求解．【详解】解：如图，根据题意，324235BC APC APB ︒∠︒=∠==，，．在Rt PAC △中，tan AC APC PA ∠=， ∠tan AC PA APC =∠． 在Rt PAB 中，tan AB APB PA ∠=， ∠tan AB PA APB =∠． ∠AC AB BC =+， ∠tan tan AB BC AB APC APB+=∠∠． ∠()tan 32tan 35320.70112m tan tan tan 42tan 350.900.70BC APB AB APC APB ⋅∠⨯︒⨯==≈=∠-∠︒-︒-．答：这座山AB 的高度约为112m ．【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程．26．（2022·浙江湖州）如图，已知在Rt ∠ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3．求AC 的长和sin A 的值．【答案】AC =4，sin A =35【分析】根据勾股定理求出AC ，根据正弦的定义计算，得到答案．【详解】解：∠∠C ＝Rt ∠，AB ＝5，BC ＝3，∠4AC =．3sin 5BC A AB ==． 【点睛】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦的定义是解题的关键．27．（2022·新疆）周米，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45︒，看这栋楼底部的俯角为37︒，已知两楼之间的水平距离为30m ，求这栋楼的高度．（参考数据：sin 370.60,cos370.80,tan 370.75︒≈︒≈︒≈）【答案】这栋楼的高度为：52.5米【分析】如图，过A 作AE ∠BC 于E ，在Rt ∠AEB 和Rt ∠AEC 中，根据正切的概念分别求出BE 、EC ，计算即可．【详解】解：过A 作AE BC ⊥于E ，∠90AEB AEC ∠=∠=︒由依题意得：45,37,30EAB CAE CD AE ∠=︒∠=︒==，Rt AEB 和Rt AEC 中， ∠tan BAE BE AE ∠=，tan CE CAE AE∠= ∠tan 4530130BE AE =⨯︒=⨯=，tan37300.7522.5CE AE =⨯︒≈⨯=∠3022.552.5BC BE CE =+=+=∠这栋楼的高度为：52.5米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟练运用锐角三角函数的定义是解题的关键．28．（2022·湖南邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60︒方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45︒方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．1.414 1.732≈）【答案】这艘轮船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析【分析】如图，过C作CD∠AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BAC=30°，∠CBD=45°，解Rt∠ACD和Rt∠BCD，求出CD即可．【详解】解：过点C作CD∠AB，垂足为D．如图所示：根据题意可知∠BAC=90°−60°=30°，∠DBC=90°-45°=45°，AB=30×1=30（km），在Rt∠BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=45°，tan∠DBC=CDBD ，即CDBD=1∠CD=BD设BD=CD=x km，在Rt∠ACD中，∠CDA=90°，∠DAC=30°，∠tan∠DAC =CD AD ，即30x x =+解得x，∠40.98km>40km∠这艘船继续向东航行安全．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用；解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义．29．（2022·湖南怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A 位于C 村西南方向和B 村南偏东60°方向上，C 村在B 村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B 、C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．≈1.41）【答案】不穿过，理由见解析【分析】先作AD ∠BC ，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°，设CD =x ，可表示AD 和BD ，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD ，与800米比较得出答案即可．【详解】不穿过，理由如下：过点A 作AD ∠BC ，交BC 于点D ，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°. 设CD =x ，则BD=2.4-x ，在Rt ∠ACD 中，∠ACD=45°，∠∠CAD=45°，∠AD=CD =x ．在Rt ∠ABD 中，tan 30AD BD ︒=，即2.4x x =-， 解得x =0.88，可知AD=0.88千米=880米，因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．30．（2022·四川成都）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角150AOB ∠=︒时，顶部边缘A 处离桌面的高度AC 的长为10cm ，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角108A OB '∠=︒时（点A '是A 的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A '处离桌面的高度A D '的长．（结果精确到1cm ；参考数据：sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）【答案】约为19cm【分析】在Rt ∠ACO 中，根据正弦函数可求OA =20cm ，在Rt ∠A DO '中，根据正弦函数求得A D '的值．【详解】解：在Rt ∠ACO 中，∠AOC =180°-∠AOB =30°，AC =10cm ，∠OA =10201sin 302OC，在Rt ∠A DO '中，18072A OC A OB ，20OA OA '==cm ， ∠sin72200.9519A D OA cm ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．31．（2022·四川泸州）如图，海中有两小岛C ，D ，某渔船在海中的A 处测得小岛C 位于东北方向，小岛D 位于南偏东30°方向，且A ，D 相距10 nmile ．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B ，此时测得小岛C位于西北方向且与点B 相距nmile．求B，D 间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．【答案】B，D间的距离为14nmile．【分析】如图，过点D作DE∠AB于点E，根据题意可得，∠BAC=∠ABC=45°，nmile．再根据锐角三角函数即可求出B，∠BAD=60°，AD=10 nmile，BCD间的距离．【详解】解：如图，过点D作DE∠AB于点E，nmile．根据题意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10 nmile，BC在Rt∠ABC中，AC=BC=16(nmile)，∠AB在Rt∠ADE中，AD=10 nmile，∠EAD=60°，∠DE=AD，AE=1AD=5 (nmile)，2∠BE=AB-AE=11(nmile)，∠BD=14(nmile)，答：B，D间的距离为14nmile．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．32．（2022·浙江台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m ；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【答案】梯子顶部离地竖直高度BC 约为2.9m ．【分析】根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC 的长．【详解】解：在Rt ∠ABC 中，AB =3，∠ACB =90°，∠BAC =75°，∠BC =AB ∠sin75°≈3×0.97=2.91≈2.9(m)．答：梯子顶部离地竖直高度BC 约为2.9m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．33．（2022·湖南湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中0.618DH AH≈）：伞柄AH 始终平分BAC ∠，20cm AB AC ==，当120BAC ∠=︒时，伞完全打开，此时90BDC ∠=︒．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，1.732）【答案】72cm【分析】过点B 作BE AH ⊥于点E ，解Rt ,Rt ABE BED ，分别求得,AE ED ，进而求得AD ，根据黄金比求得DH ，求得AH 的长，即可求解．【详解】如图，过点B 作BE AH ⊥于点EAB AC =，120BAC ∠=︒，AH 始终平分BAC ∠， 60BAE CAD ∴∠=∠=︒1cos 60102AE AB AB ∴=︒⨯==，BE ==,,AB AC BAD CAD AD AD =∠=∠= ADC ADB ∴≌90BDC ∠=︒45ADB ADC ∴∠=∠=︒BE ED ∴=1027.32AD AE ED ∴=+=+ 0.618DHAH ≈0.618DH DH AD∴≈+ 解得44.2DH ≈27.3244.271.5272AH AD DH ∴=+=+=≈答：最少需要准备72cm 长的伞柄【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．34．（2022·湖南常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道50AF =米，弧形跳台的跨度7FG =米，顶端E 到BD 的距离为40米，HG BC ∥，40AFH ∠=︒，25EFG ∠=︒，36ECB ∠=︒．求此大跳台最高点A 距地面BD 的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 250.42︒≈，cos250.91︒≈，tan 250.47︒≈，sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈）【答案】70【分析】过点E 作EN BC ⊥，交GF 于点M ，则四边形HBNM 是矩形，可得HB MN =，在Rt AHF △中，求得AH ，根据,tan tan tan EM EM EM FM MG EFG EGF ECB===∠∠∠，7FG =，求得FM ，进而求得MN ，根据AB AH HB AH MN =+=+即可求解．【详解】如图，过点E 作EN BC ⊥，交GF 于点M ，则四边形HBNM 是矩形， HB MN ∴=，50AF =，40AFH ∠=︒，在Rt AHF △中，sin 500.6432AH AF AFH =⋅∠≈⨯=米，HG BC ∥，EGF ECB ∴∠=∠25EFG ∠=︒，36ECB ∠=︒，7FG =,tan tan tan EM EM EM FM MG EFG EGF ECB===∠∠∠ 70.470.73EM EM ∴+=， 解得2EM ≈，顶端E 到BD 的距离为40米，即40EN =米40238MN EN EM ∴=-=-=米．323870AB AH HB AH MN ∴=+=+=+=米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．35．（2022·湖北宜昌）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足5372α︒≤≤︒．如图，现有一架长4m 的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上．(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A 与地面距离的最大值；(2)当梯子底端B 距离墙面1.64m 时，计算ABO ∠等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？（参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈，sin660.91︒≈，cos660.41︒≈，tan66 2.25︒≈）【答案】(1)梯子顶端A 与地面的距离的最大值3.8米(2)66ABO ∠=︒，人能安全使用这架梯子【分析】（1）AB 的长度固定，当∠ABO 越大，OA 的高度越大，当72α=︒时，AO 取最大值，此时，根据∠ABO 的正弦三角函数计算出OA 长度即可；（2）根据AB=4，OB=1.64，利用∠ABO的余弦函数值，即可求出∠ABO的大小，从而得到答案．(1)∠5372α︒≤≤︒当72α=︒时，AO取最大值，在Rt AOB中，sinAO ABOAB∠=，∠sin4sin7240.95 3.8AO AB ABO=∠=︒≈⨯=，所以梯子顶端A与地面的距离的最大值3.8米．(2)在Rt AOB中，cosBO ABOAB∠=，cos 1.6440.41ABO∠=÷=，cos660.41︒≈，∠66ABO∠=︒，∠5372α︒≤≤︒，∠人能安全使用这架梯子．【点睛】本题考查三角函数的应用，属于中考常见考题，利用图形中的直角三角形，建立三角函数模型是解题的关键．36．（2022·湖南株洲）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡∠的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡∠的山顶点B处．如图2所示，将直线l视为水平面，山坡∠的坡角30ACM∠=︒，其高度AM为0.6千米，山坡∠的坡度1:1i=，BN l⊥于N，且CN。
中考数学一轮复习《解直角三角形及其应用》知识梳理及典型例题讲解课件
C. m
D.250 m
命题点1 锐角三角函数
1.如图，PA，PB分别与☉O相切于点A，B，连接PO并延长，与☉O交于点C，D.若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（ A ）
A.
B.
C，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ B ）
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则AC的长为 2 .
30
2
知识点3 解直角三角形的实际应用
仰角、俯角
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角
坡度（坡比）
坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示，坡面与水平线的夹角α叫坡角.i＝tanα＝⑭
1
1
知识点2 解直角三角形
三边关系
a2＋b2＝⑨ c2
两锐角关系
∠A＋∠B＝⑩ 90°
边角关系
sinA＝cosB＝⑪ ；cosA＝sinB＝⑫ ；tanA＝⑬
c2
90°
【提分小练】
4.已知锐角α满足3tanα－＝0，则锐角α的度数为 30 °.
34
5.（2022·贵阳）交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图.测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD＝EF＝7 m，测速仪C和E之间的距离CE＝750 m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口点A处的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在点B处的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s.（图中所有的点都在同一平面内，参考数据：≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
中考数学一轮复习中考命题课三角形中考专题4++解直角三角形的实际应用(针对省卷22题,兰州卷25题)
模型拓展
DF＝EC，DE＝FC， BF＋DE＝BC，AE＋ DF＝AC
AE＝CF，AC＝EF， EC－BE＝BC
BC＋AE＝BF
2．[2024兰州一诊24题]小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内 有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？ 小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下：
请你根据上述信息解决以下问题：
(1)求∠CBN的大小； 解：∵ssiinn∠∠ACBBMN ＝1.33，sin∠ABM≈0.665， ∴sin ∠CB N＝0.665＝1，
1.33 2 ∴∠CBN＝30°.
(2)求鹅卵石的像G到水面的距离GH.(结果精确到0.1 m) (参考数据 ：sin41.7°≈0.665，cos41.7°≈0.747，tan41.7°≈0.891， ≈1.73) 解：∵∠ABM＝∠NBG＝41.7°，BN∥HC.
问题 工具
鹅卵石的像到水面的距离 纸、笔、计算器、测角仪等
图形 数据
根据实际问题画出示意图(如图)， 鹅卵石在C处，其像在G处，泳 池深为BN，且BN＝CH， 说明 MN⊥NC于点N，MN⊥BH于点 B，CH⊥BH于点H，点G在CH 上，A，B，G三点共线，通过 查阅资料获得＝1.33 BN＝3 m，∠ABM＝41.7°
2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究
解直角三角形的实际应用
中考专题四
(针对省卷22题，兰州卷25题)
考点 1 背靠背型(省卷：5年2考) 背靠背型指图中有两个有一条公共边的直角三角形，其中一 个直角三角形在另一个直角三角形的外部，或通过作高线，
模型解读 构造出这样的两个直角三角形，常利用公共边建立两个直角 三角形的联系，运用锐角三角函数关系进行求解
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中考数学专题训练（附详细解析） 解直角三角形（三角函数应用）
1、（绵阳市专题）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60º，又从A点测得D点的俯角β为30º，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ A ） A．20米 B．103米 C．153米 D．56米 ［解析］GE//AB//CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB
•cot∠ACB=30×cot60º=103 米，DF=AF•tan30º=103 ×33 =10米， CD=AB-DF=30-10=20米。
2、（专题杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（ ） A． B． C． D． 考点：解直角三角形． 专题：计算题． 分析：在直角三角形ABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，根据面积法求出CD的长，即为斜边上的高． 解答：解：根据题意画出图形，如图所示， 在Rt△ABC中，AB=4，sinA=， ∴BC=ABsinA=2.4，
根据勾股定理得：AC==3.2，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CD， ∴CD==． 故选B
点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键． 3、（专题•绥化）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的长．
考点： 解直角三角形． 分析： 首先解Rt△ABD，求出AD、BD的长度，再解Rt△ADC，求出DC的长度，然后由BC=BD+DC即可求解． 解答： 解：∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ABD中，∵AB=8，∠ABD=30°，
∴AD=AB=4，BD=AD=4． 在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∠ADC=90°， ∴DC=AD=4， ∴BC=BD+DC=4+4． 点评： 本题考查了解直角三角形的知识，属于基础题，解答本题的关键是在直角三角形中利用解直角三角形的知识求出BD、DC的长度．
4、（专题•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为 10 cm．
考点： 直角三角形斜边上的中线． 分析： 连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长． 解答： 解：连接OP， ∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴OP=AB， ∵AB=20cm， ∴OP=10cm， 故答案为：10．
点评： 此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5、（专题安顺）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为 ． 考点：解直角三角形． 专题：计算题． 分析：根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．
解答：解：∵tanA==， ∴AC=6， ∴△ABC的面积为×6×8=24． 故答案为：24． 点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积．
6、（11-4解直角三角形的实际应用·专题东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为 米. 15. 9.解析：过B作BE⊥CD于点E，设旗杆AB的高度为x，在RtABC中，tanABACBAC，所以3tantan6033ABxxACxACB，在RtBDE中，33BEACx，60BOE，tanBEBDEDE，所以331tan33xBEDExBDE，因为CE=AB=x，
所以163DCCEDExx，所以x=9，故旗杆的高度为9米. 7、（专题•常德）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值．
考点： 解直角三角形． 分析： （1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，然后根据BC=BD+DC即可求解； （2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解． 解答： 解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1， ∴DC=AD=1． 在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，
∴AB==3， ∴BD==2， ∴BC=BD+DC=2+1；
（2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE=BC=+，
∴DE=CE﹣CD=﹣， ∴tan∠DAE==﹣． 点评： 本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键．
8、（专题山东青岛、20）如图，马路的两边CF、DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市。CD与AB所在直线互相平行，且都与马路两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37° （1）求CD与AB之间的距离； （2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B，求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米
（参考数据：131267sin，13567cos，51267tan，
5337sin，5437sin，4337tan）
解析： 9、（专题•益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米） （参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）
考点： 解直角三角形的应用． 专题： 应用题． 分析： 设PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置． 解答： 解：设PD=x米， ∵PD⊥AB， ∴∠ADP=∠BDP=90°，
在Rt△PAD中，tan∠PAD=，
∴AD=≈=x， 在Rt△PBD中，tan∠PBD=， ∴DB=≈=2x， 又∵AB=80.0米， ∴x+2x=80.0， 解得：x≈24.6，即PD≈24.6米， ∴DB=2x=49.2． 答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米． 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．
10、（专题•娄底）专题3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：）
考点： 解直角三角形的应用． 分析： 过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出关于x的方程，解出即可． 解答： 解：过点C作CD⊥AB于点D， 设CD=x， 在Rt△ACD中，∠CAD=30°， 则AD=CD=x， 在Rt△BCD中，∠CBD=45°， 则BD=CD=x， 由题意得，x﹣x=4，
解得：x==2（+1）≈5.5．
答：生命所在点C的深度为5.5米． 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用．
11、（专题•包头）如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′． （1）求OB的长； （2）当AA′=1米时，求BB′的长．
考点： 勾股定理的应用；解直角三角形的应用． 分析： （1）由已知数据解直角三角形AOB即可； （2）首先求出OA的长和OA′的长，再根据勾股定理求出OB′的长即可． 解答： 解：（1）根据题意可知：AB=6，∠ABO=60°，∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，∵cos∠ABO=， ∴OB=ABcos∠ABO=6cos60°=3米， ∴OB的长为3米；
（2）根据题意可知A′B′=AB=6米， 在Rt△AOB中，∵sin∠ABO=， ∴OA=ABsin∠ABO=6sin60°=9米， ∵OA′=OA﹣AA′，AA′=1米， ∴OA′=8米， 在Rt△A′OB′中，OB′=2米， ∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣3）米． 点评： 本题考查了勾股定理的应用和特殊角的锐角三角函数，是中考常见题型．
12、（专题•呼和浩特）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）