南通市2010届高三数学附加题考前指导
2010年南通高三数学模拟试卷28份含答案数学试卷文科
高三练习数学试题（文科）填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分•请把答案填写在相应位置上.1 ： 2已知全集U =R，集合M 二｛x|lg x :： 0｝, N 二｛x|$)x｝，则(C U M ) N =▲2 ___________________________________________________________________________________若函数f（x）=x n a（n. Z）是偶函数，且y = f（x）在（0, •：：）上是减函数，则n =（m R）成立的充要条件是.（注：填写m的取值范围）已知a,b,l表示三条不同的直线，〉，：，表示三个不同平面，有下列四个命题:①若〉'■二a, X"-b且a//b，则〉// ；③若a _ 一：，：•［二a , b- :, a _ b，则b_ :-；④若a 二：jb 二，，：1二m,l _ a,l _ b,则I _ m •其中正确的是▲.把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为▲.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如右图所示，其中支出在[50,60）元的同学有30人，贝U n的值为_ ▲.2 2已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、a bAF L F,F2 =0且AF, _|A F2=C2 ,当0乞X乞1时，I ax - 2x3 I -」恒成立，则实数a的取值范围是▲2 21.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.若函数y =2sin（2 x •「），「•（0,二）在（0三）上是减函数,N 若（a -2i）i二b -i，其中a,b R,i是虚数单位,y = 3 + x2y =y = xY■八运行右边算法流程，当输入的x值为▲时，输出的设f （x）=x3 log? x ,x21，则不等式f（m） f （m2 -结束y值为4. 输出y2) _0②若a、b相交且都在：•、1外, b// ，则〉// '■；F2 ,贝U IF1F2 ^2c ,点A在椭圆上且则椭圆的离心率为输入X开始12. 已知P 是.ABC内任一点，且满足AP =xAB yAC , x、y R，则y • 2x的取值范围是▲.13. 当二取遍所有值时，直线x COST y sinv - A , 2 sin(')所围成的图形面积为▲.414. 定义函数f(x) =[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5] =1, [_1.3] - _2 ,a 亠90当x • [0, n) (n • N )时，设函数f(x)的值域为A,记集合A中的元素个数为a.，则式子-^―0的n 最小值为______ ▲______ .二、解答题:本大题共六小题，共计90分•请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知向量m = (1,cos・，x), n=(sin •，x「. 3),( • ‘ • 0)，函数f(x)二mr 的图像上一个最高点的坐标为(二,2)，与之相邻的一个最低点的坐标匚,_2).12 12(1)求f (x)的解析式.(2)在△ ABC中，a、b、C是角A B C所对的边，且满足a2• c2二b2- ac，求角B的大小以及f (A)取值范围.16.(本小题满分14分)如图，四边形ABCD为矩形，AD丄平面ABE, 上的点，且BF丄平面ACE .(1)求证：AE丄BE;(2 )求三棱锥 D —AEC的体积；(3)设M在线段AB上，且满足AM = 2MB，试在线段AE= EB= BC = 2, F 为CECE上确定一点N，使得MN //平面DAE.MA BE17.(本小题满分15分)已知圆M : x2(y-2f =1，设点B,C是直线I : x_2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t,t 4(t R)，点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA,切点为A .(1 )若t =0，MP —5，求直线PA的方程；(2)经过A,P,M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L(t).18.(本小题满分15分)已知函数f(x)二ax2，4x • b(a ：：： 0,且a,b・R).设关于x的不等式f(x) 0 的解集为(x i,x2),且方程f(x) =x的两实根为.(1 )若|a -P| =1，求a,b的关系式;(2)若：：：1「：2，求证：(捲1)(x2• 1^：： 7 .1 119.(本小题满分16分)各项均为正数的数列{an}的前n项和为S n, S n=—a；+ —a n( N")；4 2卡a n, n为奇数("求a n; (2)令b n 二bn, n为偶数，4 =b2n 4(n • N )；求的前n项和「..2'(3)令九(九、q 为常数，q>0 且q^1)，c n=3 + n+Q+b2+H|+b n)，是否存在实数对C、q)，使得数列〈c n?成等比数列？若存在，求出实数对(■、q)及数列心的通项公式，若不存在，请说明理由.20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=alnx-ax-3(a・R).(I)当a=1时，求函数f (x)的单调区间；(n)若函数y二f(x)的图像在点(2, f (2))处的切线的倾斜角为45，问：m在什么范围取值时，对于任意的r 1,2 1,函数g(x)=x3x2 - f'(x)在区间(t,3)上总存在极值？IL2(川)当a =2时，设函数h(x)=(p-2)x- —-3，若在区间1,e】上至少存在一个x°，使x得h(x0) f (x0)成立，试求实数p的取值范围.。
南通市2010届高三第三次模拟考试答案(含附加题)
泰州市2010届高三第三次模拟考试语文参考答案及评分建议一、语言文字运用(15分)1．(3分)B(A项，薄命／薄暮冥冥；C项，炮烙／络绎不绝；D项，刹那／名山古刹，读音相同。
)2．(3分)D(A项，搭配不当。
“如何加强干旱地区的用水问题和全国性的节水行动”。
B项，成分残缺，可删除“使得”和“引发了”。
C项，结构混乱。
)3．(5分)①急于求成，遮掩实力不足；(2分)②一味追求经济效益；(1分)③难以超越短篇创作高峰。
(2分)4．(4分)(第一句) 示例一：青春是一只纸鸢，却终有飘零的一天。
示例二：青春是一场舞剧，却终有落幕的一天。
(第二句)示例一：青春是滚在叶上的晨露，艳阳高照时已悄然褪去。
示例二：青春是灿然于天的流星，虽然美丽却瞬间逝去。
评分建议：每句2分，其中内容合理，1分，手法得当、句式相近，1分。
二、文言文阅读(19分)5．D(权：权衡。
)6．B(①是预料经略杨镐必败；③是辽东巡抚熊廷弼的御侮之策；⑥是作者对光启所上万全之策的评价。
)7．C(“始终都没能实施”，这一说法有悖事实。
遵化失守后，正是因为实施了徐光启“晋升垛守。
毖火器，走敕招徕”的防守策略，战事才得以平息。
)8．(1)所以读他文章的人，(如果)不深入思考到五六层的意思，仓猝间(是)不容易理解(他的文章)的。
评分建议：①文意通顺。
(1分)②指：通‚旨‛，意思。
(1分)③猝：仓猝，突然。
(1分)(2)但决不能把没有训练的士兵，轻率地布防在城外，致使(军队)丧失了锐气，使城池防守单薄。
评分建议：①文意通顺。
(1分)②第：但是。
(1分)③浪：轻率，鲁莽，冒失。
(1分)④寒：使……单薄。
(1分)(3)使国家富裕，一定要依靠农业；使国家强大，一定要依靠训练有素的军队。
评分建议：①文意通顺。
(1分)②富：使……富裕；强：使……强大。
(1分)⑧本业：农业。
根本的产业。
(1分)附文言文参考译文：徐光启，字子先，号玄扈，是南直隶上海人。
徐光启小时候矫健勇猛，很有超群的天分。
南通市2010届高三数学一调有答案
南通市2021届高三第一次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分． 1. 集合U ={1, 2, 3, 4}，M ={1, 2}，N ={2, 3}，那么U(M ∪N ) = ▲ ．2．复数21i(1i)-+〔i 是虚数单位〕的虚部为 ▲ ．3．设向量a ，b 满足：3||1,2=⋅=a a b，+=a b ||=b ▲ ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是m = ．5．函数()cos (sin cos )()f x x x x x =+∈R 的最小正周期是 ▲ ． 6．在数列{a n }中，假设对于n ∈N *，总有1nkk a=∑＝2n －1，那么21nkk a=∑= ▲ ．7．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，那么x y为整数的概率是 ▲ ． 8．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了局部学生进展每分钟输入汉字个数测试，下列图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70〕，[70，90〕， [90，110〕，[110，130〕，[130，150]，样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，那么样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 ▲ ． 9．运行如下图程序框图后，输出的结果是 ▲ ．10．关于直线,m n 和平面,αβ，有以下四个命题：①假设//,//,//m n αβαβ，那么//m n ；②假设//,,m n m n αβ⊂⊥，那么αβ⊥；③假设,//m m n αβ=，那么//n α且//n β；④假设,m n m αβ⊥=，那么n α⊥或n β⊥.其中假命题的序号是 ▲ ．11．函数2220()20x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，，，，假设2(2)()f a f a ->，那么实数a 的取值范围是 ▲ ．〔第8题数/分〔第9题图〕12．椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C 、D 的坐标分别是())0,0，那么PC ·PD 的最大值为 ▲ ．13．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i 〔i =1，2，3，4〕，P 是该四边形内任意一点，P 点到第i 条边的距离记为h i ，假设31241234a a a a k ====, 那么412()i i S ih k ==∑.类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i 〔i =1，2，3，4〕，Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为H i ，那么相应的正确命题是：假设31241234S S S S k ====,那么 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2m y =+和圆222x y n +=相切，其中m ，*0||1n m n ∈<-≤N ，，假设函数1()x f x m n +=- 的零点0(,1),x k k k ∈+∈Z ，那么k = ▲ ．【填空题答案】1．{4}； 2．12-; 3．2； 4．23-； 5．π；6．()1413n -； 7．12； 8．90； 9．10； 10．①③④ ；11．(21)-，； 12．4； 13．413()ii ViH k==∑； 14．0．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值14分〕在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且b 2=ac ，向量()cos()1A C =-，m 和(1cos )B =，n 满足32⋅=m n .〔1〕求sin sin A C 的值；〔2〕求证：三角形ABC 为等边三角形． 【解】〔1〕由32⋅=m n 得，3cos()cos 2A CB -+=， ……………………2分 又B =π-(A +C )，得cos(A -C )-cos(A +C )=32， ……………………4分 即cos A cos C +sin A sin C -(cos A cos C -sin A sin C )=32，所以sin A sin C =34． ……………6分 【证明】〔2〕由b 2=ac 及正弦定理得2sin sin sin B A C =，故23sin 4B =. ……………8分 于是231cos 144B =-=，所以 1cos 2B =或12-. 因为cos B =32-cos(A -C )>0， 所以 1cos 2B =，故π3B =． ………………… 11分 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即222b ac ac =+-，又b 2=ac ，所以22ac a c ac =+-， 得a =c .AB CD EF(第16因为π3B =，所以三角形ABC 为等边三角形. ………………… 14分 16．〔本小题总分值14分〕如图，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC =AD ，DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．〔1〕 求证：AF ∥平面BCE ；〔2〕 求证：平面BCE ⊥平面CDE ． 【证明】〔1〕因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB ∥DE .取CE 的中点G ，连结BG 、GF ，因为F 为CD 的中点，所以GF ∥ED ∥BA ， GF ＝12ED ＝BA ，从而ABGF 是平行四边形，于是AF ∥BG . ……………………4分 因为AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，所以AF ∥平面BCE ． ……………………7分〔2〕因为AB ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF ，即ABGF 是矩形，所以AF ⊥GF . ……………………9分 又AC =AD ，所以AF ⊥CD . ………………… 11分而CD ∩GF ＝F ，所以AF ⊥平面GCD ，即AF ⊥平面CDE . 因为AF ∥BG ，所以BG ⊥平面CDE . 因为BG ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE ． ………………… 14分 17．〔本小题总分值15分〕设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，．〔1〕求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； 〔2〕设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，成等差数列？假设存在，求出t 和m 的值；假设不存在，请说明理由.【解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d . 由得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，， ……………………2分即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，……………………4分.故221n n a n S n =-=，. ………6分 〔2〕由〔1〕知2121n n b n t-=-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t -⨯=+++-+，……8分.整理得431m t =+-， …………… 11分 因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ………………… 15分18．〔本小题总分值15分〕某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，AB =AC =6km ，现方案在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y . 〔1〕设PBO α∠=，把y 表示成α的函数关系式； 〔2〕变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？ 【解】〔1〕在Rt AOB ∆中，6AB =，所以OB =OA =32所以π4ABC ∠=由题意知π04α≤≤. ……………………2分所以点P 到A 、B 、C 的距离之和为 322sin 22(3232)3232cos y PB PA ααα-=+==. ……………………6分 故所求函数关系式为()2sin π32320cos 4y ααα-=≤≤. ……………………7分〔2〕由〔1〕得22sin 132cos y αα-'=，令0y '=即1sin 2α=，又π04α≤≤，从而π6α=. ……………………9分.当π06α≤<时，0y '<；当ππ64α<≤时, 0y '>. 所以当π6α=时，2sin 432cos y αα-=+取得最小值， ………………… 13分 此时π3266OP ==km 〕，即点P 在OA 上距O 6km 处. 【答】变电站建于距O 6km 处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分19．〔本小题总分值16分〕椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞6，过右顶点A 的直线l 与椭圆C相交于A 、B 两点，且(13)B --，.〔1〕求椭圆C 和直线l 的方程；〔2〕记曲线C 在直线l 下方的局部与线段AB 所围成的平面区域〔含边界〕为D ．假设曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．【解】〔1〕由离心率6e =226a b -=223a b =. ① ………………2分 又点(13)B --，在椭圆2222:1y x C a b =+上，即2222(3)(1)1a b--=+.② ………………4分解 ①②得22124a b ==，，故所求椭圆方程为221124y x +=. …………………6分OBCAP〔第18题图〕由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………8分 〔2〕曲线2222440x mx y y m -+++-=，即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径r =，表示圆心在直线2y =-上，半径为. ………………… 10分由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形. 设G 与直线l 相切于点T=，得4m =±，………………… 12分当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得(24)T --，. ………………… 14分因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，所以切点T D ∉，由图可知当G 过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=，解得min 1m =. ………………… 16分 〔说明：假设不说理由，直接由圆过点B 时，求得m 的最小值，扣4分〕 20．〔本小题总分值16分〕二次函数g 〔x 〕对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--，且()11g =-．令()19()ln (,0)28f xg x m x m x =+++∈>R ．〔1〕求 g (x )的表达式；〔2〕假设0x ∃>使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；〔3〕设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对12[1]x x m ∀∈，，，恒有12|()()| 1.H x H x -<【解】 〔1〕设()2g x ax bx c =++，于是()()()()2211212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以121.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，又()11g =-，那么12b =-．所以()211122g x x x =--. ……………………4分〔2〕()2191()ln ln (0).282f xg x m x x m x m x =+++=+∈>R ，当m >0时，由对数函数性质，f 〔x 〕的值域为R ；当m =0时，2()02x f x =>对0x ∀>，()0f x >恒成立； ……………………6分当m <0时，由()0mf x x x x'=+=⇒=[]min ()2mf x f m ==-+这时， []min0()0e<0.20mm f x m m ⎧-+>⎪>⇔⇒-<⎨⎪<⎩， ……………………8分 所以假设0x ∀>，()0f x >恒成立，那么实数m 的取值范围是(e 0]-，. 故0x ∃>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞，．……………… 10分〔3〕因为对[1]x m ∀∈，，(1)()()0x x m H x x --'=≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减.于是21211|()()|(1)()ln .22H x H x H H m m m m -≤-=--2121113|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m -<⇐--<⇔--< ………………… 12分记13()ln (1e)22h m m m m m=--<≤， 那么()221133111()022332h'm m m m =-+=-+>，所以函数13()ln 22h m m m m=--在(1e]，是单调增函数， ………………… 14分所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2eh m h -+≤=--=<，故命题成立. ………………… 16分附加题局部21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1 几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，且CA 平分∠BAF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D . 求证：DC 是⊙O 的切线. 【证明】连结OC ，所以∠OAC =∠OCA .又因为CA 平分∠BAF ，所以∠OAC =∠F AC ， 于是∠F AC =∠OCA ，所以OC //AD . 又因为CD ⊥AF ，所以CD ⊥OC ，故DC 是⊙O 的切线． ………………… 10分 B ．选修4—2 矩阵与变换变换T 是绕坐标原点逆时针旋转π2的旋转变换，求曲线22221x xy y -+=在变换T 作用 下所得的曲线方程．【解】变换T 所对应变换矩阵为0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么00x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即00,,y x x y =-⎧⎨=⎩，代入220000221x x y y -+=， 即22221x xy y ++=，所以变换后的曲线方程为22221x xy y ++=． ………………… 10分C ．选修4—4 参数方程与极坐标〔此题总分值10分〕圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2πcos()24ρθ--=． 〔1〕把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； 〔2〕求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【解】〔1〕224ρρ=⇒=，所以224x y +=；因为()2πcos24ρθ--=，所以()2ππcos cos sin sin244ρθθ-+=，所以222220x y x y +---=． ………5分〔2〕将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为1x y +=． 化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，即()πsin 4ρθ+= ………………… 10分D ．选修4—5 不等式证明选讲〔此题总分值10分〕0m a b >∈R ，，，求证：()22211a mba mb mm++≤++.【解】因为0m >，所以10m +>，所以要证()22211a mba mb mm ++≤++， 即证222()(1)()a mb m a mb +≤++， 即证22(2)0m a ab b -+≥， 即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立，故()22211a mba mb mm++≤++．…………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域〔含边界〕上运动，且到点F 〔0，1〕和直线l 的距离之和为4．〔1〕求点P 的轨迹C 的方程；〔2〕过点(0,1)Q -作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成区域的面积． 【解】〔1〕设P 〔x ，y 〕，根据题意，得＋3－y ＝4，化简，得y ＝14x 2〔y ≤3〕． …………………4分〔2〕设过Q 的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程，整理得x 2－4kx ＋4＝0． 由△＝16k 2－16＝0．解得k ＝±1．于是所求切线方程为y ＝±x －1〔亦可用导数求得切线方程〕. 切点的坐标为〔2，1〕，〔－2，1〕． 由对称性知所求的区域的面积为S ＝220132(1)d .44x x x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦⎰………………… 10分23．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB ＝BCBB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上． 〔1〕AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF ？〔2〕设AF =1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值. 【解】 〔1〕因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝π2．以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如下图空间直角坐标系. 因为AC ＝2，∠ABC ＝90º，所以AB ＝BC ＝2， 从而B (0，0，0)，A)00，，C ()00，B 1(0，0，3)，A1)03，，C1()03，AC 1B 1A FD 3⎫⎪⎭，E302⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以()123CA =，，设AF ＝x ，那么F (2，0，x )，()()112222030CF xB F x B D ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，，，，，，，.12(00CF B D x ⋅=+⋅=，所以1.CF B D ⊥ 要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F .由1CF B F ⋅＝2＋x 〔x －3〕＝0，得x ＝1或x ＝2， 故当AF ＝1或2时，CF ⊥平面B 1DF ．……………… 5分 〔2〕由〔1〕知平面ABC 的法向量为n 1=〔0，0，1〕.设平面B 1CF 的法向量为(,,)x y z =n ，那么由100CF B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n得020z z +=-=，，令z =1得)1=n ，所以平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值1cos 〈〉==，n n ………………… 10分。
再谈2010江苏高考数学的“难”
再谈2010江苏高考数学的“难”XXXXX2010年江苏省高考数学试卷从整体上看，更加突出数学学科特点，涉及考试说明中的五种能力和两种意识，特别注意从多种不同角度进行分析研究，引发多种不同的解法，展示考生的各种能力，试卷题型虽然常规，但梯度明显，区分度高，难度大，很多题目都有陷阱。
因此，考生们对2010年江苏高考数学考题普遍的评价和03年一样，又是一个字：难！1．今年江苏卷从知识与能力角度看真正地“难”在哪里？1．1．部分试题注重知识交汇点命题，综合性较强例1．（01江苏8）函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=_________解析：在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：时，解得，所以 数列是以为公比、16为首项的等比数列，因此，。
点评：本题考查抛物线的切线方程、数列的通项，是函数、导数、数列等三个知识点的结合。
它的难度至少达到B 级。
例2．（01江苏10）定义在区间上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为___________。
解析:线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且6cosx=5tanx ，结合，解得sinx=。
线段P 1P 2的长为。
点评：本题考查三角函数的图象、同角三角函数关系、图形的交点计算等三个知识点，全面地考察了正弦、余弦、正切函数的图像的把握情况。
平时这类题目仅仅考到直线被两个函数图像截得的线段的长度大小等，现在更深入，增加了第三个函数。
1.2部分试题立意新颖，设问灵活，创新层次高例3．（01江苏12）设实数x,y 满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是________解析一（后面还有两一种解法）：设，，解得，， 则，其中，当，时，的最大值是27.点评：本题从表面上给人的第一感觉，它应该是线性规划问题，再仔细地想，这个题目类似如：已知，求的最大值。
数学_2010年江苏省南通市某校高三质量检测数学试卷(含答案)
2010年江苏省南通市某校高三质量检测数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x 2−2x >0}，则C ∪A 等于________．2. 若一个球的体积为4√3π，则它的表面积为________．3. 设向量a →=(1,2),b →=(2,3)，若向量λa →+b →与向量c →=(−4,−7)共线，则λ=________．4. 已知等比数列{a n }中，a 3⋅a 9=2a 52，则公比q =________．5. 某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A ，C 产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是________件．6. 若f(x)=−12x 2+bln(x +2)在(−1, +∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．7. 在△ABC 中，C =π2，AC =1，BC =2，则f(λ)=|2λCA →+(1−λ)CB →|的最小值是________．8. 已知双曲线的两个焦点为椭圆x 216+y 27=1的长轴的端点，其准线过椭圆的焦点，则该双曲线的离心率为________．9. 设A:x(x −1)<0，B:0<x <m 若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 取值范围为________．10. 过点A(4, −1)与圆(x +1)2+(y −3)2=5切于点B(1, 2)的圆的方程为________．11. 已知非负实数x 、y 同时满足2x +y −4≤0，x +y −1≥0，则z =x 2+(y +2)2的最小值是________．12. 甲打靶射击，有4发子弹．甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔P ，Q ，R ，第四枪瞄准了三角形PQR 射击，第四个弹孔落在三角形PQR 内，则第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率为________．（忽略弹孔大小）．13. 已知函数f(x)=sinx +tanx ．项数为2009的等差数列{a n }满足a n ∈(−π2,π2)，且公差d ≠0．若f(a 1)+f(a 2)+...+f(a 2008)+f(a 2009)=0，则当k =________时f(a k )=0．14. 当n 为正整数时，函数N(n)表示n 的最大奇因数，如N(3)=3，N(10)=5，…，设S n =N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+...+N(2n −1)+N(2n )，则S n =________．二、解答题（共9小题，满分130分）15. 如图，ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P为AB的中点．（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；（2）求四面体PCEF的体积．16. 设向量m→=(cosx,sinx)，n→=(2√2+sinx,2√2−cosx)，若f(x)=m→⋅n→求：（1）f(x)的单调递增区间（2）若θ∈(−3π2，−π)，且f(θ)=1，求sin(θ+5π12)的值．17. 已知圆O:x2+y2=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为√22的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P的坐标为(1, 1)，求证：直线PQ与圆O相切；（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．18. 如图，直线y=−12x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A、D、C的抛物线与直线的另一个交点为E．（1）求抛物线的解析式．（2）若正方形以每秒√5个单位长度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．19. 一口袋中有四根长度分别为1cm，3cm，4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题：(1)求这三根细木棒能构成三角形的概率；(2)求这三根细木棒能构成直角三角形的概率；(3)求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率．20. 已知函数f(x)=a|x|+2，(a>0,a≠1)a x（1）a>1，解关于x的方程f(x)=3．（2）记函数g(x)=f(−x)，x∈[−2, +∞)，若g(x)的最值与a无关，求a的取值范围．21. 设M是把坐标平面上的点P(1, 1)，Q(2, −1)分别变换成点P1(2, 3)，Q1(4, −3)，求矩阵M．22. 如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（1）证明：A1C⊥平面BED；（2）求二面角A1−DE−B的大小．23. 在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射击命中，每次命中与否互相独立．的概率都是23（1）求恰好射击5次引爆油罐的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．2010年江苏省南通市某校高三质量检测数学试卷答案1. {x|0≤x≤2}2. 12π3. 24. ±√25. 8006. b≤−17. √28. 2√339. m>110. (x−3)2+(y−1)2=511. 9212. 1−π1213. 100514. 4n+2315. 证明：（1）因为ABCD为矩形，AB=2BC，P为AB的中点，所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC=45∘．同理可证∠APD=45∘．所以∠DPC=90∘，即PC⊥PD．又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE．因为DE∩PD=D，所以PC⊥PDE．又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE；解：（2）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以DE // CF．又DC⊥CF，所以S△CEF=12DC⋅CF=12×4a×2a=4a2．在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则PQ // BC，PQ=BC=2a．因为BC⊥CD，BC⊥CF，所以BC⊥平面CEF，即PQ⊥平面CEF，亦即P到平面CEF的距离为PQ=2a.V PCEF=V P−CEF=13PQ⋅S△CEF=13⋅4a2⋅2a=83a3．（注：本题亦可利用V P−CEF=V B−CEF=V E−BCF=V D−BCF=16DC⋅BC⋅CF=83a3求得）16. 解：（1）∵ 向量m→=(cosx,sinx)，n→=(2√2+sinx,2√2−cosx)，∴ f(x)=m→⋅n→=cosx(2√2+sinx)+sinx(2√2−cosx)=2√2cosx+cosxsinx+2√2sinx−sinxcosx=2√2(cosx+sinx)∴ f(x)=4sin(x+π4)，∴ x+π4∈[2kπ−π2, 2kπ+π2]∴ 单调增区间为[2kπ−3π4，2kπ+π4](k∈z)（2）∵ θ∈(−3π2，−π)，∴ f(θ)=4sin(θ+π4)=1∴ sin(θ+π4)=14∵ θ+π4∈(−5π4，−3π4)∴ cos(θ+π4)=−√154∴ sin(θ+5π12)=sin[(θ+π4)+π6]=sin(θ+π4)cos π6+sin(θ+π4)sin π6， ∴ sin(θ+5π12)=√3−√158． 17. 解：（1）因为a =√2，e =√22，所以c =1 则b =1，即椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1（2）因为P(1, 1)，所以k PF =12，所以k OQ =−2，所以直线OQ 的方程为y =−2x又椭圆的左准线方程为x =−2，所以点Q(−2, 4)所以k PQ =−1，又k OP =1，所以k OP ⊥k PQ =−1，即OP ⊥PQ ，故直线PQ 与圆O 相切（3）当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆O 保持相切证明：设P(x 0, y 0)(x 0≠±√2)，则y 02=2−x 02， 所以k PF =y 0x 0+1，k OQ =−x 0+1y 0，所以直线OQ 的方程为y =−x 0+1y 0x 所以点Q(−2, 2x 0+2y 0) 所以k PQ =y 0−2x 0+2y 0x 0+2=y 02−(2x 0+2)(x 0+2)y 0=−x 02−2x 0(x 0+2)y 0=−x 0y 0， 又k OP =y 0x 0，所以k OP ⊥k PQ =−1，即OP ⊥PQ ，故直线PQ 始终与圆O 相切18. 解：（1）（2）设抛物线为y =ax 2+bx +c ，抛物线过(0, 1)(3, 2)(1, 3)，∴ {c =1a +b +c =39a +3b +c =2解得{a =−56b =176c =1∴ 抛物线方程为y =−56x 2+176x +1，．（2）①当点A 运动到点F 时，t =1，当0<t ≤1时，∵ ∠OFA =∠GFB′，tan∠OFA =OA OF =12，∴ tan∠GFB′=GB′FB′=√5t =12，∴ GB′=√52t∴ S△FB′G=12FB′×GB′=12×√5t×√5t2=54t2；②当点C运动到x轴上时，t=2，当1<t≤2时，A′B′=AB=√22+12=√5，∴ A′F=√5t−√5，∴ A′G=√5t−√52，∵ B′H=√5t2，∴ S梯形A′B′HG=12(A′G+B′H)×A′B′=12(√5t−√52+√5t2)×√5=52t−54；③当点D运动到x轴上时，t=3，当2<t≤3时，如图3，∵ A′G=√5t−√52，∴ GD′=√5−√5t−√52=3√5−√5t2，∵ S△AOF=12×1×2=1，OA=1，△AOF∽△GD′H∴ S△GD′HS△AOF =(GD′OA)2，∴ S△GD′H=(3√5−√5t2)2，∴ S五边形GA′B′C′H=(√5)2−(3√5−√5t2)2=−54t2+152t−254；(1<t≤2)19. 解：用枚举法或列表法，可求出从四根细木棒中取两根细木棒的所有可能情况共有6种．方法1．枚举法：(1, 3)、(1, 4)、(1, 5)(3, 4)、(3, 5)、(4, 5)共有6种；(1)P（能构成三角形）=46=23；(2)P（能构成直角三角形）=16；(3)P（能构成等腰三角形）=12．20. 解：（1）令f(x)=a|x|+2a x=3当x≥0时，方程变为a2x−3a x+2=0，解得a x=1或a x=2，可得=0或log a2当x<0时，方程变为1+2=3a x，解得x=0故此类下无解．综上x=0或log a2；（2）由题设，g(x)=a|x|+2a x，x∈[−2, +∞)，下分类讨论：①若a>1，则(I)当x≥0时，a x≥1，g(x)=3a x，∴ g(x)∈[3, +∞)(II)−2≤x<0时，1a2≤a x<1，g(x)=a−x+2a x∴ g′(x)=−a−x lna+2a x lna=2(a x)2−1a xlna从而当1a2>√12即1<a<√24时，对∀x∈(−2, 0)，g′(x)>0，∴ g(x)在[−2, 0)上递增∴ g(x)∈[a2+2a2，3)，由此g(x)有最小值a2+2a2与a有关，不符合．当1a2≤√12即a≥√24时，由g′(x)=0得x=−12log a2则−2<x<−12log a2时，g′(x)<0；−12log a2<x<0时，g′(x)>0∴ g(x)在[−2,−12log a2]上递减，在[−12log a2，0]上递增，∴ g(x)min=g(−12log a2)=2√2g(x)有最小值为2√2与a无关，符合要求②若0<a<1，则(I)x≥0时，0<a x≤1，g(x)=3a x，∴ g(x)∈(0, 3](II)−2≤x<0时，1<a x≤1a2，g(x)=a−x+2a x，∴ g′(x)=−a−x lna+2a x lna=2(a x)2−1a xlna<0，∴ g(x)在[−2, 0)上递减，∴ g(x)∈(3,a 2+2a 2]，由此g(x)有最大值a 2+2a 2与a 有关，不符合 综上：实数a 的取值范围是a ≥√24．21. 解：设[a b c d ]，则有[a b cd ][11]=[23]，[a b c d ][2−1]=[4−3] 得，{a +b =2c +d =32a −b =42c −d =−3 解得{a =2b =0c =0d =3∴ M =[2003] 22. 解：解法一：依题设知AB =2，CE =1．（1）连接AC 交BD 于点F ，则BD ⊥AC ．由三垂线定理知，BD ⊥A 1C ．在平面A 1CA 内，连接EF 交A 1C 于点G ， 由于AA 1FC =AC CE =2√2， 故Rt △A 1AC ∽Rt △FCE ，∠AA 1C =∠CFE ，∠CFE 与∠FCA 1互余．于是A 1C ⊥EF ．A 1C 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以A 1C ⊥平面BED ．（2）作GH ⊥DE ，垂足为H ，连接A 1H ．由三垂线定理知A 1H ⊥DE ，故∠A 1HG 是二面角A 1−DE −B 的平面角．EF =√CF 2+CE 2=√3，CG =CE×CF EF =√2√3，EG =√CE 2−CG 2=√33．EG EF =13，GH =13×EF×FD DE =√2√15． 又A 1C =√AA 12+AC 2=2√6，A 1G =A 1C −CG =5√63．tan∠A 1HG =A 1GHG =5√5．所以二面角A 1−DE −B 的大小为arctan5√5．（）解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D −xyz ．依题设，B(2, 2, 0)，C(0, 2, 0)，E(0, 2, 1)，A 1(2, 0, 4)．DE →=(0,2,1)，DB →=(2,2,0)，A 1C →=(−2,2,−4)，DA 1→=(2,0,4)．（1）因为A 1C →⋅DB →=0，A 1C →⋅DE →=0，故A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ．又DB ∩DE =D ，所以A 1C ⊥平面DBE ．（2）设向量n →=(x, y, z)是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥DE →，n ⊥DA 1→．故2y +z =0，2x +4z =0．令y =1，则z =−2，x =4，n →=(4, 1, −2)．<n →，A 1C →>等于二面角A 1−DE −B 的平面角，cos <n →，A 1C →=>|n →||A 1C →|˙=√1442所以二面角A 1−DE −B 的大小为arccos √1442． 23. 解：（1）∵ 每次命中与否互相独立．且每次射击命中的概率都是23， ∴ 是一个独立重复试验， 记“恰好射击5次引爆油罐”的事件为事件A ， 表示前四次有一次射中且第五次一定击中， ∴ P(A)=C 41×23×(13)3×23=16243．（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5．当ξ=2时，表示两枪都击中，当ξ=3时，表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中，当ξ=4时，表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中，当ξ=5时，应该表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中或前四枪中有一枪中且第五枪不中或前四枪不中且第五枪中或五枪都不中四种情况∴ P(ξ=2)=(23)2=49； P(ξ=3)=C 21×23×13×23=827； P(ξ=4)=C 31×23×(13)2×23=427； P(ξ=5)=1−49−827−427=19．∴ ξ的分布列为Eξ=2×49+3×827+4×427+5×19=7927．∴ 所求ξ的数学期望为7927．。
数学_2010年江苏省南通市某校高三学情分析数学试卷(理科)(含答案)
2010年江苏省南通市某校高三学情分析数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 若集合A ={x|x ≤2}，B ={x|x ≥a}满足A ∩B ={2}，则实数a =________．2. 函数y =1−sin 2(x −π6)的最小正周期是________．3. 如图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为________；方差为________．4. 某算法的伪代码如图：则输出的结果是________．5. 若复数z(1−i)=a +3i （i 是虚数单位，a 是实数），且z =z ¯（z ¯为z 的共轭复数），则a =________．6. 已知1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1+a 2b 2=________．7. 已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________．8. 已知抛物线y 2=4x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2=1交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是________． 9. 函数y ＝x +2cosx 在区间[0,π2]上的最大值是________． 10. 在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB→|AB →|+AC →|AC →|)⋅BC →=0且AB→|AB →|⋅AC→|AC →|=14，若△ABC 的面积是2√15，则BC 边的长是________．11. 设f(x)=|2−x 2|，若0<a <b ，且f(a)=f(b)，则ab 的取值范围是________． 12. 抛掷一颗骰子的点数为a ，得到函数f(x)=sinaπ3x ，则“y =f(x)在[0, 4]上至少有5个零点”的概率是________．13. 对于定义在R 上的函数f(x)，有下述命题：①若f(x)是奇函数，则f(x −1)的图象关于点A(1, 0)对称；②若函数f(x −1)的图象关于直线x =1对称，则f(x)为偶函数； ③若对x ∈R ，有f(x −1)=−f(x)，则f(x)的周期为2；④函数y =f(x −1)与y =f(1−x)的图象关于直线x =0对称． 其中正确命题的序号是________．14. 已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，动点B、C分别在l1和l2上，且BC=3√2，过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为________．二、解答题（共10小题，满分90分）15. 在△ABC中，角A的对边长等于2，向量m→=(2,2cos2B+C2−1)，向量n→=(sin A2，−1)．（1）求m→⋅n→取得最大值时的角A的大小；（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值．16. 如图，已知三棱锥A−BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．（1）求证：DM // 平面APC；（2）求证：平面ABC⊥平面APC；（3）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D−BCM的体积．17. 已知以点P为圆心的圆过点A(−1, 0)和B(3, 4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|=4√10．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程；（3）设点Q在圆P上，试探究使△QAB的面积为8的点Q共有几个？证明你的结论．18. 如图，设椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的右顶点与上顶点分别为A、B，以A为圆心，OA为半径的圆与以B为圆心，OB为半径的圆相交于点O、P．（1）若点P在直线y=√32x上，求椭圆的离心率；（2）在（1）的条件下，设M是椭圆上的一动点，且点N(0, 1)到椭圆上点的最近距离为3，求椭圆的方程．19. 水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国9100万亩坡度为25∘以上的坡耕地需退耕还林，其中西部占70%，2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%．（1）试问，从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题？（2）为支持退耕还林工作，国家财政每年补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元计算，并且每亩退耕地每年补助20元，试问到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？20. 已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a≠0, b<1)，在区间[2, 3]上有最大值4，最小值1，设f(x)=g(x)x．（1）求a，b的值；（2）不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1, 1]上恒成立，求实数k的范围；（3）方程f(|2x−1|)+k(2|2x−1|−3)=0有三个不同的实数解，求实数k的范围．21. 已知矩阵A=[12−14]，向量a→=[74]．（1）求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量α1→、α2→；（2）求A5α→的值．22. 已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)，曲线C1，C2相交于A，B两点．(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求弦AB的长度．23. 如图，在四棱锥p−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB // CD，∠BAD=90∘，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．（1）求证：BD⊥PC；（2）求二面角B−PC−A的余弦值．24. （1）用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？（2）用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．求恰有两个区域用红色鲜花的概率；2010年江苏省南通市某校高三学情分析数学试卷（理科）答案1. 22. π3. 85,854. 95. −36. 527.y 264+x 248=18. √6 9. π6+√3 10. 2√6 11. (0, 2) 12. 2313. ①②③ 14. 18π15. 解：(1)m →⋅n →=2sin A2−(2cos 2B+C 2−1)=2sin A2−cos(B +C)．因为A +B +C =π，所以B +C =π−A ，于是m →⋅n →=2sin A2+cosA =−2sin 2A2+2sin A2+1=−2(sin A2−12)2+32． 因为A2∈(0,π2)，所以当且仅当sin A2=12，即A =π3时，m →⋅n →取得最大值32． 故m →⋅n →取得最大值时的角A =π3；（2）设角、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c 由余弦定理，得b 2+c 2−a 2=2bccosA 即bc +4=b 2+c 2≥2bc ，所以bc ≤4，当且仅当b =c =2时取等号． 又S △ABC =12bcsinA =√34bc ≤√3．当且仅当a =b =c =2时，△ABC 的面积最大为√3．16. （II ）∵ △PMB 为正三角形，D 为PB 的中点∴ MD ⊥PB ，∴ AP ⊥PB 又∵ AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ∴ AP ⊥面PBC∵ BC ⊂面PBC∴ AP ⊥BC 又∵ BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A∴ BC ⊥面APC ， ∵ BC ⊂面ABC∴ 平面ABC ⊥平面APC（III ）由题意可知，三棱锥A −BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．MD ⊥面PBC ，BC ＝4，AB ＝20，MB ＝10，DM ＝5√3，PB ＝10，PC =√100−16=2√21，∴ MD 是三棱锥D −BCM 的高，S △BCD =12×4×2√21×12=2√21， ∴ V M−DBC =13Sℎ=13×5√3×2√21=10√7．17. 解：（1）∵ k AB =1，AB 的中点坐标为(1, 2)∴ 直线CD 的方程为：y −2=−(x −1)即x +y −3=0； （2）设圆心P(a, b)，则由P 在CD 上得a +b −3=0 ①又直径|CD|=4√10，∴ |PA|=2√10 ∴ (a +1)2+b 2=40 ②①代入②消去a 得b 2−4b −12=0， 解得b =6或b =−2当b =6时a =−3，当b =−2时a =5 ∴ 圆心P(−3, 6)或P(5, −2)∴ 圆P 的方程为：(x +3)2+(y −6)2=40 或(x −5)2+(y +2)2=40；（3）∵ |AB|=√42+42=4√2，∴ 当△QAB 面积为8时，点Q 到直线AB 的距离为2√2， 又圆心到直线AB 的距离为4√2，圆P 的半径r =2√10， 且4√2+2√2>2√10，∴ 圆上共有两个点Q ，使△QAB 的面积为8． 18. 解：（1）因OP 是圆A 、圆B 的公共弦， 所以OP ⊥AB ，即k AB ⋅k OP =−1， 所以k AB =√3，又k AB =−ab，所以b 2=34a 2，所以a 2−c 2=34a 2⇒e =ca =12； （2）由（1）有b 2=34a 2， 所以此时所求椭圆方程为y 2a 2+4x 23a 2=1，设M(x, y)是椭圆上一点，则|MN|2=x 2+(y −1)2=34a 2−34y 2+y 2−2y +1=14(y −4)2−3+34a 2， 其中−a ≤y ≤a ，1∘若0<a <4时，则当y =a 时，|MN|2有最小值a 2−2a +1， 由a 2−2a +1=9得a =−2或a =4（都舍去）； 2∘若a ≥4时，则当y =4时，|MN|2有最小值34a 2−3，由34a 2−3=9得a =±4（舍去负值）即a =4；综上所述，所求椭圆的方程为y 216+x 212=1．19. 到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付约570亿元．20. 解：(1)(1)g(x)=a(x −1)2+1+b −a当a >0时，g(x)在[2, 3]上为增函数故{g(3)=4g(2)=1⇒{9a −6a +1+b =44a −4a +1+b =1⇒{a =1b =0 当a <0时，g(x)在[2, 3]上为减函数故{g(3)=1g(2)=4⇒{9a −6a +1+b =14a −4a +1+b =4⇒{a =−1b =3 ∵ b <1∴ a =1，b =0（2）由（1）即g(x)=x 2−2x +1.f(x)=x +1x −2．方程f(2x )−k ⋅2x ≥0化为2x +12x−2≥k ⋅2x1+(12x )2−212x≥k ，令12x =t ，k ≤t 2−2t +1∵ x ∈[−1, 1]∴ t ∈[12，2]记ϕ(t)=t 2−2t +1 ∴ φ(t)min =0 ∴ k ≤0（3）方程f(|2x −1|)+k(2|2x −1|−3)=0化为|2x −1|+1+2k|2x −1|−(2+3k)=0|2x −1|2−(2+3k)|2x −1|+(1+2k)=0，|2x −1|≠0令|2x −1|=t ，则方程化为t 2−(2+3k)t +(1+2k)=0(t ≠0) ∵ 方程|2x −1|+1+2k |2x −1|−(2+3k)=0有三个不同的实数解，∴ 由t =|2x −1|的图象知，t 2−(2+3k)t +(1+2k)=0有两个根t 1、t 2， 且0<t 1<1<t 2或0<t 1<1，t 2=1 记ϕ(t)=t 2−(2+3k)t +(1+2k)则{ϕ(0)=1+2k >0ϕ(1)=−k <0或{ϕ(0)=1+2k >0ϕ(1)=−k =00<2+3k2<1∴ k >0．21. 解：（1）矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−4|=λ2−5λ+6，令f(λ)=0，得λ1=2，λ2=3，当λ1=2时，得α1→=[21]，当λ2=3时，得α2→=[11]．（2）由α→=mα1→+nα2→得{2m +n =7m +n =4，得m =3，n =1．∴ A 5α→=A 5(3α1→+α2→)=3(A 5α1→)+A 5α2→=3(λ15α1→)+λ25α2→=3×25[21]+35[11]=[435339]． 22. 解：(1)曲线C 2:θ=π4(ρ∈R)， 表示直线y =x ，曲线C 1:ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ， 所以x 2+y 2=6x 即(x −3)2+y 2=9； (2)∵ 圆心(3, 0)到直线的距离d =3√22， r =3所以弦长AB =2√r 2−d 2=3√2．∴ 弦AB 的长度3√2．23.证明：（1）以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B(0, 1, 0)，C(−2, 4, 0)，D(−2, 0, 0)，P(0, 0, 4)， ∴ PC →=(−2,4,−4)，BD →=(−2,−1,0)， ∴ PC →⋅BD →=0 所以PC ⊥BD ．（2）易证BD →为面PAC 的法向量， 设面PBC 的法向量n =(a, b, c)， PB →=(0,1,−4)，BC →=(−2,3,0) 所以{n →⋅BC →=0˙⇒{b =4ca =6c所以面PBC 的法向量n =(6, 4, 1)，∴ cosθ=√265．因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，所以二面角B−PC−A的余弦值为√265．24. 解：（1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：4×3×2×2=48种．（2）设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如下图，①当区域A、D同色时，共有5×4×3×1×3=180种；②当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2=240种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种．（由于只有A、D，B、E可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出基本事件总数为A53+2A54+A55=420种）它们是等可能的．又因为A、D为红色时，共有4×3×3=36种；B、E为红色时，共有4×3×3=36种；因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种．所以，P(M)=72420=635．。
南通市2010届高三数学一调有答案
南通市2010届高三第一次调研测试、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合 U={1,2, 3, 4} , M={1,2} , N={2, 3}，贝U eu (M U N) = ▲.1 _i2.复数 ------ 亏(i 是虚数单位)的虚部为 ▲.(1+i)2 ---------3. 设向量 a , b 满足：| a |=1, a b 二3 , a b =2 2，则 I b |二 ▲.4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线x 亠(m 亠1)y =2 - m 与直线mx 亠2y - -8互相垂直的充要条件是 m=_____ . 5.函数f(x)=cosx(sinx ・COSX )(XE R )的最小正周期是▲.nn26. 在数列{a n }中，若对于n € N *，总有a k = 2n -1,则a k = ▲.k 二k 土7.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1, 2, 3, 4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x , y ,则X 为整数的概率是▲.y8.为了解高中生用电脑输入汉字的水平， 随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是 [50 , 150]，样本数据分组为[50, 70), [70 , 90), [90, 110), [110 , 130), [130 , 150]，已知样本中每分钟输入汉字个数小于 90的人数是36,则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于 70个并且小于130个的人数是▲.9. 运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ▲.10. 关于直线m, n 和平面:■,:，有以下四个命题：①若 m 〃 二，n 〃 ：，工〃：，则 m 〃 n ;②若 m 〃 n, m 二：£, n _ :，则L 1 ;③若〉-二m, m 〃 n ，则 n 〃用且 n 〃朴；④若 m _ n,〉「I : = m ，则 n _ 或 n _ :. 其中假命题的序号是▲(第9题图)频率11.已知函数f(x) = X22x2x, x _0,2 c—x , x :: 0,2右f(2 -a ) f (a)，则实数a的取值范围是▲.312. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C 、D 的坐标分别是［一才2, 0 , 2, 0 ,则PC • PD 的最大值为 ▲.13. 设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i （i=1，2，3，4），P 是该四边形内任意一点，P 点4到第i 条边的距离记为h i ，若=a ^=a ^ = a^= k 则送 的）=空.类比上述结论，体积为 V 的1 2 3 4二k三棱锥的第i 个面的面积记为 S （i=1，2，3，4），Q 是该三棱锥内的任意一点， Q 点到第i 个面的距 离记为"，则相应的正确命题是：若 $ =$ =S 3 =S4 =k 则 ▲1 2 3 4 -------14 .在平面直角坐标系xOy 中，设直线y = 3x - 2m 和圆y 2 = n 2相切，其中m ，、解答题：本大题共 6小题，共90分.解答时应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本小题满分14分）在厶ABC 中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且b 2=ac,向量COS （A - C ），13和n =（1, cosB ）满足m n . （1）求sinAsinC 的值；（2）求证：三角形 ABC 为等边三角形.233【解】(0 由 m n 得，cos(A -C) cosB ，........................... 2 分223又 B = n_(A+C)，得 cos(A_C) _cos(A+C)= ，........................... 4 分2 33 即 cosAcosC+sinAsinC - (cosAcosC _ sinAsinC)= ，所以 sinAsinC=—.24【证明】（2）由b 2=ac 及正弦定理得sin 2 B =sin AsinC ，故sin 2 B = 3. ............................ 8分411分由余弦定理得b 2 =a 2 ' c 2 -2accosB ，即b 2乞2 c 2 -an ：= N *，0 ：：| m _n |_1，若函数 f (x) =m x* -n的零点 x^(k, k 1), Z ，则 k= ▲【填空题答案】1. {4}；2 -1 ；2；6. 1 4nJ ;7丄；7. 2 ； 11. (-2, 1)； 12. 4；3. 2;4.一I ;5. n ;8. 90;9 . 10 ; 413. ' (iHJ 畔；i 土k10.①③④；14. 0.23 1于是cos B =1，所以 1 、 1cos B 或 .因为2 23 cosB =— 2—cos(A — C)>0， 所以 cosB 7t，又 b 2=ac ，所以 ac =a 2 ' c 2 - ac ， 得a=c. 222m T2m T ' t8分.整理得m = 3 •4t -111分n因为B，所以三角形ABC 为等边三角形316. (本小题满分14分)如图，已知 AB 丄平面 ACD , DE 丄平面ACD , AC=AD ,DE = 2AB , F 为 CD 的中点.” B '(1) 求证：AF //平面BCE ; (2) 求证：平面 BCE 丄平面CDE . ' A” '_ A 【证明】(1)因为AB 丄平面ACD , DE 丄平面ACD ，所以AB // DE.CF D(第16取CE 的中点G ,连结BG 、GF ，因为F 为CD 的中点，所以GF // ED // BA , GF = ED = BA ,2从而ABGF 是平行四边形，于是 AF // BG............................ 4分 因为AF 二平面BCE , BG 平面BCE ，所以AF //平面BCE............................ 7分(2)因为 AB 丄平面 ACD , AF 二平面ACD , 所以AB 丄AF ,即ABGF 是矩形，所以 AF 丄GF. .......................... 9分 又AC=AD ，所以AF 丄CD........................ 11分而CD Q GF = F ，所以 AF 丄平面 GCD ，即AF 丄平面CDE.因为 AF / BG ,所以BG 丄平面CDE. 因为BG 二平面BCE ，所以平面 BCE 丄平面CDE ........................... 14分仃.(本小题满分15分)设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n,且a 5 -缶=34, $ =9 .(1) 求数列｛a .｝的通项公式及前n 项和公式；a(2) 设数列｛b n ｝的通项公式为b n-，问：是否存在正整数t ,使得bi, b 2, b ma n +t(m_3, m N )成等差数列？若存在，求出 t 和m 的值；若不存在，请说明理由.f a^' Q3 = 34,【解】(1)设等差数列｛a n ｝的公差为d.由已知得.............. 2分J 3a 2 = 9，2n —1(2)由(1 )知b n.要使b , b 2, b m 成等差数列，必须26二b* b m ,即2n — 1 +t因为m , t 为正整数，所以t 只能取2, 3,5.当t =2时，m =7 ；当t =3时，m =5 ；当t =5时，m =4.14分即a1 8d =17,解得印汕 ........................... a 1 ^3, d =2.4 分.故 a n = 2n —1 S n = n?.......... 6 分18.（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处,已知AB=AC=6km ，现计划在 BC 边的高AO 上一点P 处建造一个 变电站.记P 到三个村庄的距离之和为 y. （1）设.PBO ■， （2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小?【解】(1)在 Rt.AOB 中，AB =6,所以 OB =OA=3..2.所以.ABC 二」由题意知04 4所以点P 到A 、B 、C 的距离之和为y=2PB PA=2 整 (3 2 -3 2tan 〉)=3 2 3 2cosacosa（1）求椭圆C 和直线I 的方程;（2）记曲线C 在直线I 下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域（含边界）为 D .若曲线x 2 -2mx y 2 4y m^^0与D 有公共点，试求实数 m 的最小值.2 2又点B( —1，— 3)在椭圆C:y -+X -a 2b 22 2解①②得a =12，b =4，2 2故所求椭圆方程为 丄+呂=1（第18题图）............ 6分故所求函数关系式为 y =3, 2 3 2 欝7.由(1 )得y =3 21 cos a令y 丄0即sin :=-，又0 _ :•一严，从而2 47tCt =—6冗9分.当0时,6八0 ；当訂三时,丫 ° 所以当时，y =4，3.22 sin一取得最小值, 6cos a13分此时OP =3#2 tan — = v6 ( km )，即点P 在0A 上距0点 6 km 处. 6【答】变电站建于距 O 点 6 km 处时，它到三个小区的距离之和最小15分19.（本小题满分16分） 已知椭圆C:：^+詁=1 a > b >0的离心率为，过右顶点A 的直线l 与椭圆 C 相交于A 、B 两点，且 B(-1 - 3).6a 2 -b 2 62 2【解】（1）由离心率e 6，得一b6，即a 2=3b 2.①3a 3-1上,把y 表示成很的函数关系式;2分12 4由A(2, 0), B(_1, -3)得直线l的方程为y=x_2. ...................... 8分(2)曲线x2一2mx 亠y2亠4y 亠m2-4 = 0 ,即圆(x -m)2 (y - 2)2=8，其圆心坐标为G(m, — 2)，半径r =2. 2 ,表示圆心在直线y =-2上，半径为2 2的动圆. ............. 10分由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑m：：：0的情形.设L G与直线I相切于点T,则由|a 2 -2| =2 2，得m =/4，......................................... 12分42当m = _4时，过点G(_4，_2)与直线I垂直的直线「的方程为x y ^0，f x ：卜y ：卜6 = 0,解方程组得T(_2, _ 4) . ........................ 14分x_y_2 =0因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为_1, 2 ,所以切点T ■' D，由图可知当|_ G过点B时，m取得最小值，即(_1 _m)2 - (_3 2)^ 8 ,解得mmin = _.7 -1 . ........................ 16分(说明：若不说理由，直接由圆过点B时，求得m的最小值，扣4分)20. (本小题满分16分)2已知二次函数g (x)对任意实数x都满足g x—1 i亠g 1 —x =x —2x —1，且g 1 =-1 .令f (x) =g x 1］亠mln x 9 (m 三R, x 0).2 8(1 )求g(x)的表达式；(2)若T x 0使f(x) _0成立，求实数m的取值范围；(3)设1 ：：：m _e , H (x) = f (x) -(m 亠1)x ,证明:对—X1, x2 ［1, m］，恒有|H(X1)-H(X2)|：：1.【解】(1 )设g (x )=ax +bx +c，于是2 *2, a =丄,g x-1 g1-x=2ax-1 2c=2x-1 -2,所以2'c = -1.又g 1 = -1，贝U b =.所以g x =1 x -1 x -1. ........................... 4 分2 %*22(2)f (x) =g x 1mln x 9 = 1 x2 mln x(m R, x 0).2 8 2当m>0时，由对数函数性质，f (x)的值域为R;2当 m=0 时，对 >0 f(x)*O 恒成立；............... 6 分2 ，当 m <0 时，由 f (X )=x 」m =0=x=_m ，列表：x这时，[f (x) Lin 二 f ( . -m) = —m - mln . —m.m—mln -m 0,〔f(x )m in0= 2 : e<m ：：： 0.m v0所以若>0 , f (x) >0恒成立，则实数 m 的取值范围是(Y, 0].故x . 0使f(x)岂0成立，实数m 的取值范围(-：：,-e ］U 0，亠「］1 1 于是 | H (xj —H (x 2) H (1) —H (m)m 2 —mlnm 2 2 1 -ml nm1 =2m 2^2所以函数h(m)=丄m _ln m _丄 在1，e ］是单调增函数，............. 14分 22m所以h(m)乞h(e) =£ -13= ° 3 ° 1::: 0，故命题成立........................ 16分2 2e2e附加题部分21. 【选做题】在A , B , C , D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分•解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.A .选修4—1几何证明选讲如图，AB 是。
数学_2010年江苏省南通市海安县高考数学回归课本专项检测(二)(含答案)
2010年江苏省南通市海安县高考数学回归课本专项检测（二）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 设集合A ={x|x ≤4}，m ={sin40∘}，m ________A （填“包含于”或“真包含于”的字母符号）2. 已知平面向量a →=(1,2)，b →=(−2,m)，且a →⊥b →，则|a →−b →|=________． 3. 设i 是虚数单位，则复数z =(1+i)⋅2i 所对应的点落在第________象限． 4. 若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 11=223π，则tan a 6=________．5. 命题“任意常数列都是等比数列”的否定形式是________．6. 把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是________．7. 设x ，y ∈R ，且满足x −y +2=0，则√x 2+y 2________若x ，y 又满足y >4−x ，则yx 的取值范围是________．8. 设函数f(x)=x 3−(12)x−2，则其零点所在区间为________．9. 设函数f(x)=log 3x+2x−a 在区间(1, 2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．10. 若某个几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是________cm 3．11. 执行如图程序框图，输出S 的值等于________．12. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若S 表示△ABC 的面积，若acosB +bcosA ＝csinC ，S =14(b 2+c 2−a 2)，则∠B ＝________．13. 设圆C 的圆心在双曲线x 2a 2−y 22=1(a >0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l:x −√3y =0截得的弦长等于2，则a =________． 14. 有下列命题：①x =0是函数y =x 3的极值点；②三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +d 有极值点的充要条件是b 2−3ac >0；③奇函数f(x)=mx 3+(m −1)x 2+48(m −2)x +n 在区间(−4, 4)上是单调减函数． 其中假命题的序号是________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 已知函数f(x)=2asin x2cos x2+sin 2x2−cos 2x2(a ∈R)．（1）当a =1时，求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）当a =2时，在f(x)=0的条件下，求cos2x 1+sin2x的值．16. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD为直角梯形，∠ABC =∠BAD =90∘，AD >BC ．E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点． （1）求证：PE ⊥BC ；（2）求证：EF // 平面PAD ；17. 已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，点A(−2√3，0)是其左顶点，点C 在椭圆上，且AC →⋅CO →=0，|AC →|=|CO →|．（1）求椭圆的方程；（2）若平行于CO 的直线l 和椭圆交于M ，N 两个不同点，求△CMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．18. 在一条笔直的工艺流水线上有n 个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x 1，x 2，…，x n ，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短． (I)若n =3，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；(II)若n =5，工作台从左到右的人数依次为3，2，1，2，2，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．19. 已知函数f(x)=13x 3−ax 2+(a 2−1)x +b(a, b ∈R)．（1）若x ＝1为f(x)的极值点，求a 的值；（2）若y ＝f(x)的图象在点（1, f(1)）处的切线方程为x +y −3＝0，求f(x)在区间[−2, 4]上的最大值；（3）当a≠0时，若f(x)在区间(−1, 1)上不单调，求a的取值范围．20. 数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，点(S n, S n+1)在直线y=n+1nx+n+1(n∈N∗)上．（1）求证：数列{S nn}是等差数列；（2）若数列{b n}满足b n=a n⋅2a n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设C n=T n22n+3，求证：C1+C2+⋯+C n>2027．2010年江苏省南通市海安县高考数学回归课本专项检测（二）答案1. ⊂2. √103. 二4. −√35. 存在一个常数列不是等比数列6. 0.127. √2,(1, 3)8. (1, 2)9. (log32, 1)10. 1811. 1712. 45∘13. √214. ①15. 解：（1）f(x)=sinx−cosx（一个公式1分）=√2sin(x−π4 )最小正周期为2π，由x−π4=kπ+π2，得x=kπ+3π4(k∈Z)．（标注1分）（2）当f(x)=0时解得tanx=12cos2x 1+sin2x =cos2x−sin2x (cosx+sinx)2=cosx−sinxcosx+sinx=1−tanx1+tanx=1316. 证明：解（1）∵ PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PA ⊥BC∵ ∠ABC =90∘， ∴ BC ⊥AB ， ∵ PA ∩AB =A ∴ BC ⊥平面PAB∵ E 为AB 中点，∴ PE ⊂平面PAB ． ∴ BC ⊥PE ．（2）证明：取CD 中点G ，连接FG ，EG ， ∵ F 为PC 中点， ∴ FG // PD∵ FG ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ∴ FG // 平面PAD ； 同理，EG // 平面PAD ∵ FG ∩EG =G ，（没有扣1分）平面EFG // 平面PAD ∴ EF // 平面PAD ．17. 解：（1）设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， ∵ 左顶点A(−2√3，0)，AC ⊥CO ，|AC|=|CO|． ∴ a 2=12，C(−√3,√3)，（第三象限的点相同，可以不考虑） 又∵ C 在椭圆上，∴312+3b =1，∴ b 2=4， ∴ 椭圆的标准方程为x 212+y 24=1．（2）设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，若CO 的斜率为−1， 则设直线l 的方程为y =−x +m ，代入x 212+y 24=1得4x 2−6mx +3m 2−12=0，{△=36m 2−4⋅4(3m 2−12)>0x 1+x 2=3m 2x 1⋅x 2=3m 2−124 ∴ |MN|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2√12−3m 24，又C 到直线l 的距离d =√3+√3−m|2=2，∴ △CMN 的面积S =12⋅|MN|⋅d =√34√m 2⋅(16−m 2)≤√34⋅√(m 2+16−m 22)2=2√3，当且仅当m 2=16−m 2时取等号，此时m =±2√2满足题中条件，∴ 直线l 的方程为x +y ±2√2=0．当点C 在第三象限时，由对称可知：直线l 的方程为x −y ±2√2=018. 解：设供应站坐标为x ，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d(x)． (I)d(x)=|x −x 1|+|x −x 2|+|x −x 3|．当x <x 1时，d(x)=x 1+x 2+x 3−3x 在区间(−∞, x 1)上是减函数； 当x >x 3时，d(x)=3x −(x 1+x 2+x 3)在区间(x 3, +∞)上是增函数． 所以，x 必须位于区间[x 1, x 3]内，此时d(x)=x 3−x 1+|x −x 2|(∗)，当且仅当x =x 2时，(∗)式取最小值，且d(x 2)=x 3−x 1，即供应站的位置为x =x 2． (II)由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d(x) =3|x −x 1|+2|x −x 2|+|x −x 3|+2|x −x 4|+2|x −x 5|． 类似于(I)的讨论知，x 1≤x ≤x 5，且有d(x)={2x 2+x 3+2x 4+2x 5−3x 1−4xx 1≤x <x 2x 3+2x 4+2x 5−3x 1−2x 2x 2≤x <x 32x +2x 4+2x 5−3x 1−2x 2−x 3x 3≤x <x 46x +2x 5−3x 1−2x 2−x 3−2x 4x 4≤x ≤x 5所以，函数d(x)在区间(x 1, x 2)上是减函数，在区间(x 3, x 5)上是增函数，在区间[x 2, x 3]上是常数．故供应站位置位于区间[x 2, x 3]上任意一点时，均能使函数d(x)取得最小值，且最小值为x 3+2x 4+2x 5−3x 1−2x 2，x 2≤x ≤x 3． 19. f′(x)＝x 2−2ax +a 2−1 ∵ x ＝1是f(x)的极值点，∴ f′(1)＝0，即a 2−2a ＝0，解得a ＝0或2； ∵ （1, f(1)）在x +y −3＝0上．∴ f(1)＝2∵ (1, 2)在y ＝f(x)上，∴ 2=13−a +a 2−1+b 又f′(1)＝−1， ∴ 1−2a +a 2−1＝−1∴ a 2−2a +1＝0，解得a =1,b =83∴ f(x)=13x 2−x 2+83,f ′(x)=x 2−2x由f′(x)＝0可知x ＝0和x ＝2是极值点． ∵ f(0)=83,f(2)=43,f(−2)=−4,f(4)=8∴ f(x)在区间[−2, 4]上的最大值为8． 因为函数f(x)在区间(−1, 1)不单调， 所以函数f′(x)在(−1, 1)上存在零点．而f′(x)＝0的两根为a −1，a +1，区间长为2， ∴ 在区间(−1, 1)上不可能有2个零点． 所以f′(−1)f′(1)<0，∵ a 2>0， ∴ (a +2)(a −2)<0，−2<a <2． 又∵ a ≠0，∴ a ∈(−2, 0)∪(0, 2)． 20. 解：（1）∵ 点(S n , S n+1)在直线y =n+1nx +n +1(n ∈N ∗)上，S n+1=n+1nS n +n +1，同除以n +1，则有：Sn+1n+1−S n n=1∴ 数列{Sn n }是以3为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）可知，S n =n 2+2n(n ∈N ∗)，∴ 当n =1时，a 1=3， 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n +1，经检验，当n =1时也成立，∴ a n=2n+1(n∈N∗)．∵ b n=a n2a n，∴ b n=(2n+1)⋅22n+1，T n=3⋅23+5⋅25++(2n−1)⋅22n−1+(2n+1)⋅22n+14T n =3⋅25++(2n−3)22n−1+(2n−1)22n+1+(2n+1)22n+3解得：T n=(23n+19)⋅22n+3−89．（3）∵ C n=T n22n+3=2n3+19−19⋅(14)n∴ C1+C2+⋯+C n=23⋅n(n+1)2+19⋅n−19⋅14[1−(14)n]1−14=3n2+4n9−127+127(14)n>3n2+4n9−127≥79−127=2027．。
江苏省南通2010届高三数学基础小题训练(40)新人教版
江 苏 南 通数学基础小题冲刺训练（40）班级 姓名 学号1、直线13y xtan π=-+的倾斜角为___________．2、0lg lg 22=+x x 的解是 ．3、若直线y=ax-1-a 不经过第一象限，则a 的取值范围是 .4、．在△ABC 中，BC =1，∠B =3π，当△ABC 的面积为3时，=∠C tan5、若集合{}{}a x x B x x A <-=<<=1,40,且A B ⊆,则实数a 的取值范围是 ．6、．抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为___________.7V ，底面边长为a ，则它的高为______ _____．8、函数a xx x f +-=1)(为奇函数，则实数a 的值是______ ____． 910、对于函数)22()sin()(πϕπϕω<<-+=x x f ，以下列四个命题中的两个为条件，余下的两个为结论，写出你认为正确的一个命题 ．①函数f (x )图像关于直线12π=x 对称； ②函数f (x )在区间]0,6[π-上是增函数；③函数f (x )图像关于点)0,3(π对称； ④函数f (x )周期为π.11、一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的3球恰好颜色不同的概率为12、已知函数)2(log )()1(+=+n n f n （n 为正整数），若存在正整数k 满足：k n f f f f =⋅⋅)()3()2()1( ，那么我们将k 叫做关于n 的“对整数”．当∈n [1，100]时，则“对整数”的个数为____________个．13．已知函数n x x x f +-=2)(2的定义域为[0,3],值域为M ,若对于任意的a 、b 、c ∈M ，a 、b 、c 都分别是一个三角形的三边的长度，则n 的取值范围是 .14．等比数列{}n a 中，点25(,)a a 是二次函数2516y x x =-+的顶点，若此数列前n 项和S n ≤k 恒成立，则k ∈ ..江苏南通数学基础小题冲刺训练答题卡（40）班级 姓名 学号1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. ；11. ；12. ；13. ；14. .数学基础小题冲刺训练参考答案小题训练（ 40）1．23π; 2.1x =或210x -=； 3. －1≤a ≤0 ; 4. -； 5.3a ≥ ； 6. 4 7. 24V a8. 1-; 9. 5; 10. ③④⇒①②或①④⇒②③ 11.1225;12. 5； 13.()+∞,5.提示：当定义域为[0,3]时，函数的值域M 为[n-1，n+3]， a 、b 、c 分别是一个三角形的三边的长度的条件是确保较小的两边的长度大于较长的边的长度，最小的边长为n-1，最大的边长为n+3，所以2 (n-1)>n+3，即n>5；14.[)2,+∞.提示：由题意知32511111,,,,121682a a q q a ==∴=∴==公比,11(),2n n a -∴=。
2010年南通高三数学模拟试卷28份含答案数学试卷理科
(m R )成立的充要条件是.(注：填写m已知a,b,l 表示三条不同的直线，：•「，表示三个不同平面，有下列四个命题:①若〉：二a ，:=b 且 a//b ，则〉//；数学试题(理科)A .正题部分填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分•请把答案填写在相应位置上. 1 J 2已知全集U=R ，集合心｛xSFN.g 才乜｝,2若函数f(x) =x n Jn (n ・Z)是偶函数，且y = f(x)在(0, •：：)上是减函数，则n 二 若函数y =2s in (2 x • J,(0,二)在(0三)上是减函数, 则— 若(a -2i)i 二b -i ，其中a,b ・R,i 是虚数单位, 运行右边算法流程，当输入的x 值为 ▲ 时，输出的设 f (x) = x3 log 2 x x 21，则不等式 f (m) f (m 2 -则(C U M ) N 二 ▲ 输入x 开始N NY y = 1 _ xy 值为4. 输出y结束2) _01. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 9. 10. 11. 12.②若a 、b 相交且都在：•、1外, b// ，则〉// '■；③若 a _ 1 一「二 a , b 二；，a _ b ，贝U b_ :-； ④若 a 二：；，b ：_ :,匚「- - m,l _ a,l _ b,则 I _ m • 其中正确的是 ▲ . 把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则 其中一段长度 大于另一段长度2倍”的概率为 _________ ▲ . 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量 为n 的样本，其频率分布直方图如右图所示，其中支出在 [50,60)元 的同学有30人，贝U n 的值为 2 2已知椭圆笃 y2 =1的左、右焦点分别为F 1、 a b Ah L F 1F 2丸且AF *」AF2二C 2，则椭圆的离心率为-F 2 ,则 |F 1F 2| = 2C ，点 A在椭圆上且1 3 1 当0丄x 时，| ax 「2x |恒成立，则实数 2 2T ■ T 已知P 是■ ABC 内任一点，且满足 AP =xAB - yAC ,a 的取值范围是x 、y R ，贝U y 2x 的取值范围是13.当门取遍所有值时，直线x COST y sinv - 4 -<2 sin(')所围成的图形面积为▲ .414. 定义函数f(x) =[x[x]]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如：[1.5] =1, [-1.3]- -2 ,*a +90 当x • [0，n) (n • N )时，设函数f(x)的值域为A ，记集合A 中的元素个数为a .，贝U 式子」——的 n最小值为 _________ ▲ ______ . 二、解答题:本大题共六小题，共计 90分•请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分 14分)已知向量 m = (1,cos ・‘X ), n = (sin •‘x,、、3),(u >0)，函数 f(x) = m ・n 的 图像上一个最高点的坐标为(二,2)，与之相邻的一个最低点的坐标(1 ,一2).12 12(1) 求 f (x)的解析式.2 2 2(2)在△ ABC 中，a 、b 、C 是角A B C 所对的边，且满足 a c -b - ac ，求角B 的大 小以及f (A)取值范围.16.(本小题满分14分)如图，四边形 ABCD 为矩形，AD 丄平面ABE ， 上的点，且BF 丄平面ACE . (1)求证：AE 丄BE ;(2 )求三棱锥 D — AEC 的体积；(3)设M 在线段AB 上，且满足 AM = 2MB ，试在线段 E2 217.(本小题满分15分)已知圆M : x ，(y-2) =1，设点B,C 是直线I : x-2y=0上的两点,它们的横坐标分别是t,t 4(r R)，点P 在线段BC 上，过P 点作圆M 的切线PA ,切点为A .(1 )若t =0，MP =-.5，求直线PA 的方程；(2)经过A,P,M 三点的圆的圆心是 D ，求线段DO 长的最小值L(t).18. (本小题满分15分)已知函数f(x)二ax 2 • 4x • b(a ：：： 0,且a,b ，R).设关于x 的不等式f(x) 0 的解集为(X 1,X 2),且方程f(x)二X 的两实根为 二二 (1) 若 |a -P| =1，求 a,b 的关系式； (2) 若「<2，求证：(捲 1)(x 2 * 1) ”： 7 .AE = EB = BC = 2, F 为 CECE 上确定一点 N ，使得 MN //平面DAE .MAB1 2 119. (本小题满分16分)各项均为正数的数列£n匚的前n项和为S n，S n a n a n(n，N )；4 2f a n, n为奇数("求a n ； (2)令b n 二bn, n为偶数，G = b2n 4(n • N”)，求d的前n 项和「.i 2'(3)令b n=k q a n+h (九、q 为常数，q>0 且q 式1), C n=3 + n+(b+b2+il|+b n),是否存在实数对(，、q)，使得数列IcJ成等比数列？若存在，求出实数对「、q)及数列心的通项公式，若不存在，请说明理由.20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=alnx-ax-3(a・R).(I)当a=1时，求函数f (x)的单调区间；(H)若函数y= f(x)的图像在点(2, f (2))处的切线的倾斜角为45，问：m在什么范围取值时，对于任意的r 1,2 1,函数g(x^x3x2 - f'(x)在区间(t,3)上总存在极值？IL 2(川)当a = 2时，设函数h(x) =(p-2)x 3，若在区间1,e 1上至少存在一个x0，使x得h(x o) f(x o)成立，试求实数p的取值范围.B.附加题部分本大题共6小题，其中第21〜24题为选做题，请考生在第21〜24题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分；第25和第26题为必做题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21. (本小题为选做题，满分10分)如图，AB是L O的直径，M为圆上一点，ME _ AB，垂足为E,点C为L O上任一点，AC, EM交于点D , BC交DE于点F .求证：(1) AE ED 二FE: EB ;(2) EM2二ED EF .B22. (本小题为选做题.，满分10分)已知点P(x, y)是圆x2y2 =2y上的动点.(1)求2x y 的取值范围;(2)若x y • a _0恒成立，求实数a 的取值范围.23. (本小题为选做题.，满分10分)2 4]2 0〕 _1 01求使等式|」M| I 成立的矩阵M . 3 50 1'0 -124. (本小题为选做题.，满分10分)「A•兀1 2已知x (0,—)，求函数y sin 2x 的最小值以及取最小值时所对应的x 直2J2sin x25. (本小题为必做题，满分10分)如图，直三棱柱 ABQ^! - ABC 中，CQ =CB =CA =2 , AC _ CB . D 、E 分别为棱 CQ 、B 1C 1 的 中占 I 八、、■(1) 求点E 到平面ADB 的距离；(2) 求二面角E - AD - B 的平面角的余弦值； (3) 在线段AC 上是否存在一点F ,使得EF_平面A 1 DB ?若存在，确定其位置；若不存在，说明理由26. (本小题为必做题，满分10分)某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与 否相互独立.又知电梯只在有人下时才停止 .(I )求某乘客在第i 层下电梯的概率(i =234,5);(n)求电梯在第 2层停下的概率；(川)求电梯停下的次数•的数学期望.CEDFA。
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南通市2010届高三数学附加题考前指导一．矩阵变换1. 二阶行矩的乘法:一般地M N NM ≠，nM MM M = ，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦2. 二阶行矩的乘法:一般地M N NM ≠，nM MM M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦。
cos sin sin cos A θθθθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,nA 表示几何意义是什么？3.几种常见的平面变换 (1) 恒等变换阵（即单位矩阵）： (2) 伸压变换: (3) 反射变换：（4）旋转变换：（5）投影变换： （6）切变换：4.逆矩阵常见的方法：ＡＢ＝ＢＡ＝E（1）用待定系数法求逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，ＡＢ＝ＢＡ＝E ； （2）公式法：a bc d ＝ad bc -，记为：detA ，有1det det det det db A A A ca A A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当detA=ad bc -≠0；（3）从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵； （4）(AB)－1＝B －1A －1 。
5利用逆矩阵解方程组 ax b m cx dy n+=⎧⎨+=⎩可以表示成a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，简写成AX B =,111A AX AB X A B ---=⇒= 6.求特征向量和特征值的步骤： （1）() -() ()a b f c d λλλ-=--=0；（2）解()0()0a x by cx d y λλ--=⎧⎨-+-=⎩()0a x by λ⇔--=；（3）取1x=或者1y =，写出相应的向量；7．如何求nM β的步骤： （1）求M αλα=，即M 的特征值λ和特征向量α；（2）用特征向量12,αα线性表示向量x y β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即12,,m n m n βαα=+是常数，但一般不是12,λλ；（3）代入12()M M m n βαα=+=12mM nM αα+,因为111M αλα=222M αλα=，12mM nM αα+=1122m n λαλα+，依此，n M β=1122n nm n λαλα+；例1.求矩阵M=⎢⎢⎣⎡251- ⎥⎥⎦⎤32的特征值和特征向量解：M=⎢⎢⎣⎡251- ⎥⎥⎦⎤32 有两个特征值λ1=4，λ2=-2，属于λ1=4的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡52，属于λ2=-2的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡12-。
例2. 例18. 已知M=1 -23,-2 11α⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试计算20M α 解：2020202020113232(1)1132M α⎡⎤+⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦二．参数方程、极坐标1. 常见的曲线的极坐标方程（1）直线过点M 00(,)ρθ,倾斜角为α常见的等量关系：正弦定理sin sin OP OMOMP OPM=∠∠，0OMP παθ∠=-+OPM αθ∠=-； （2）圆心P 00(,)ρθ半径为R 的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理2.参数方程化为直角坐标：消去参数（1）圆222()()x a x b r -+-=的参数方程：cos ,sin x a r x b r θθ-=-=（2）椭圆22221x y a b+=的参数方程：cos ,sin x a x b θθ==（3）直线过点M 00(,)x y ,倾斜角为α的参数方程：00tan y y x x α-=-即00cos sin x x y y t θθ--==，即⎩⎨⎧+=+=)(sin cos 00是参数t t y y t x x αα注：0cos x x t θ-=，0sin y y tθ-=根据锐角三角函数定义，T 的几何意义是有向线段MP 的数量；3. 极坐标和直角坐标互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x yy x θρ，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合.（2）将点(,)ρθ变成直角坐标(cos ,sin )ρθρθ，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。
4．曲线的极坐标方程(1)求曲线轨迹的方程步骤：（1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P (,)ρθ；（3）写出等式；（4）根据,ρθ几何意义用,ρθ表示上述等式，并化简（注意：,x y ρθ≠≠）；（5）验证。
注意：常见的技巧（1）直接法；（2）定义法；（3）坐标转移法（利用,ρθ几何意义） (2)求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =,是求轨迹最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程 ⑶代入法(相关点法或转移法).⑷定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 例1． 已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长． 解：直线l 与曲线C相交所成的弦的弦长例2. 已知圆C的参数方程为2cos 2sin x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），若P 是圆C 与y 轴正半轴的交点，以圆心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P 的圆C 的切线的极坐标方程。
解：5cos()26πρθ-=即为所求切线的极坐标方程． 三．定积分 1、基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m＝111++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x ＝xe ＋C ；⎰dx a x＝a a xln ＋C ；⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；⎰xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）。
（2）定积分的性质①⎰⎰=b abadx x f k dx x kf )()(（k 为常数）； ②⎰⎰⎰±=±ba babadx x g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=bac abcdx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。
例1、如图，过点A (6，4)作曲线()f x =l ． （1）求切线l 的方程；（2）求切线l ，x 轴及曲线所围成的封闭图形的面积S ． 解：（1）∵()f x '=，∴1(6)2f '=，∴切线l 的方程为：14(6)2y x -=-，即材112y x =+．（2）令()f x =，则x =2．令112y x =+=0，则x = -2。
∴A=6221(1)2x dx -+-⎰⎰=3226611()(48)2246x x x +---=163四．用向量方法求空间角和距离⑴求异面直线所成的角：设a 、b分别为异面直线a 、b 的方向向量,则两异面直线所成的角||||||arccos a b a b α⋅⋅=；⑵求线面角：设l 是斜线l 方向向量,n是平面α法向量, 与直线l 则斜线l 的锐夹角为ϑ,||||||cos l n l n θ⋅⋅=，则斜线l 与平面α成角为ϑ-090，或||||||sin l n l n α⋅⋅= ； 注意：||||||cos l n l n θ⋅⋅=得到的角ϑ是法向量与直线的夹角，并不是直线和平面成的角；⑶求二面角(法一)在α内a l ⊥ ,在β内b l ⊥,其方向如图(略),则||||cos a b a b α⋅⋅= ；(法二)设1n ,2n是两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l αβ--的平面角1212||||cos n n n n α⋅⋅=；注：12120||||cos n n n n α<⋅⋅=不能判断二面角是钝角，还要根据图形辨别；（4)求点面距离：设n 是α法向量,在α内取一点B ,则A 到α距离|||||cos |||AB n d AB n θ⋅==(即AB 在n 方向上投影的绝对值)（5）坐标系的建立：作空间直角坐标系O-xyz 时，使∠xOy=135°（或45°）， ∠yOz=90°。
(1)让右手拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指能指向z 轴的正方向，则称为右手直角坐标系； (2) OQ=x 、OR=y 、PA=z 分别叫做点A 的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作A （x,y,z ）； (3) 平面法向量：由直线与平面垂直的判断定理可知， 不共线,，⊥⊥,则为平面α的法向量例1. 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且2,1====AB DC AD PA ,M是PB 的中点．（1）求AC 与PB 所成的角余弦值；（2）求二面角A MC B --的余弦值．解：（1）AC 与PB.（2）23-故所求的二面角的余弦值为.五．排列、组合、二项式定理 1、排列数公式:!!()!(1)(1)(,,*)mnn m n m A n n n m m n m n N -=--+=≤∈ , !nn A n =.组合数公式：(1)(1)()!(1)(2)321m mn nA n n n m C m n m m m m ⋅-⋅⋅⋅--==≤⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅,01nn n C C ==. 组合数性质：mn m n nC C -=；11r r rn n n C C C -++=. 2、二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)r n r rr n T C a b r n -+==；⑵注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1项系数的区别.例1．已知)(321*∈++++=N n A A A A a nn n n n n，当n ≥2时，求证：⑴n a a n n =+-11；⑵12311111(1)(1)(1)(1)3n a a a a n++++- ≤ （1）因为)2(A )]!1()1[()!1()!(!A 11n k n k n n n k n n k n kn ≤≤=----⋅=-=--，所以当2≥n 时，n n a n 1=)A A A (21n n n n +++ =)]A A ([11111---+++n n n n n n n111111)A A (1----+=+++=n n n n a . 所以na a n n =+-11．（2）由（1）得1111---=+n n n n na a a a ，即1111--=+n n n na a a ，所以3241231231111(1)(1)(1)(1)234n a a a a a a a a a a +⋅+⋅+⋅⋅+=⋅⋅ …nn a n a )1(1++11(1)!(1)!n a n n +==++)A A A (112111+++++++n n n n +-+=)!1(1!1n n (11)12!1!+++11(1)(1)(2)n n n n ≤++--- (2211)+⨯++-+-+--=)2111()111(n n n n …2)211(+-+n 13-=． ［另法：可用数学归纳法来证明+-+)!1(1!1n n …111132!1n+++≤-！］六．数学归纳法如果（1）当n 取第一个值0n （例如01,2n =等）时结论正确；（2）假设当nk =（*k N ∈，且0k n ≥）时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确．那么，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立．注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证； （2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即1nk =+时为什么成立？1n k =+时成立是利用假设n k =时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证1n k =+出时成立，而不是直接代入，否则1n k =+时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析． 例1．已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 0111,(4),.2n n n a a a a n N +==⋅-∈ （1）求12,a a ；（2）证明12,n n a a n N +<<∈．解：（1）0100211131151,(4),(4),2228a a a a a a a ==-==-= 方法一 用数学归纳法证明：1°当n=0时，0131,,2a a == ∴210<<a a ，命题正确．2°假设n =k 时有.21<<-k k a a则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时11111112()()()()(4).22k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a -----=---+=---而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确． 由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a方法二：用数学归纳法证明：1°当n=0时，0131,,2a a ==∴2010<<<a a ；2°假设n =k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设 有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有。