一题多解求双曲线的离心率
2024-2025学年四川省德阳市高三上学期第一次诊断考试数学检测试题(含解析)
说明：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷2—4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．2．本试卷满分150分，1202024-2025学年四川省德阳市高三上学期第一次诊断考试数学检测试题分钟完卷．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1.设集合{A x y ==，集合{}3Z 22B x x=Î-<<，则集合A B =I （ ）A. []0,1B. {}0 C. [)0,1 D. {}0,1【答案】D 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再根据交集的定义求解即可.【详解】因为{{}0A x y x x ===³，{}{}3Z 221,0,1B x x =Î-<<=-，所以{}0,1A B =I .故选：D.2. 已知复数z 满足()1i i z +=-，则z =（ ）A.11i 22- B.11i 22+ C. 1i - D. 1i+【答案】B 【解析】【分析】利用复数除法法则和共轭复数的概念得到答案.【详解】()()i 1i 11i 1i1i 1i 22z --===-++-，则11i 22z =+.故选：B3. 生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：5442ˆy x =-+，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m 代替），则（ ）温度x （C °）6810病毒数量y （万个）3022mA. 19m =B. 20m =C. 21m = D. m 的值暂时无法确定【答案】B 【解析】【分析】根据回归直线过样本中心点可得解.详解】由已知681083x ++==，30225233m my +++==，即样本中心为528,3m +æöç÷èø，又回归方程为5442ˆyx =-+，即52584432m +=-´+，解得20m =，故选：B.4. 已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n kn =+，且36a =，则数列1n S ìüíýîþ的前10项和为（ ）A.910B.109C.1011D.1110【答案】C 【解析】【分析】先求出k =1，然后利用211111n S n n n n ==-++裂项相消求出结果.【详解】由已知有()()22332633225a S S k k k ==-=+-+=+，故k =1.【所以()()21111111n n n S n n n n n n +-===-+++，从而121011*********...1...122310111111S S S æöæöæö+++=-+-++-=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.故选：C.5. 底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ）A. 2 B.32C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据已知及圆柱、圆柱侧面积求法列方程求圆锥的高与半径的关系，再应用圆锥、圆柱的体积公式求体积比.【详解】由题意，令圆锥的高为d ，底面圆的半径为r ，则圆柱的高2h r =，所以，根据侧面积相等有2ππrh =d =，综上，圆柱体积231π2πV r h r ==，圆锥体积2321π3V d r r ==，所以12V V ==故选：D6. 设()52501251ax a a x a x a x +=++++L 满足1252a a a +++=-L ，则24a a +=（ ）A. 120 B. 120- C. 40D. 40-【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法令0,1x x ==可计算得出2a =-，再令1x =-求出()5501235123a a a a a +=-+-+-=L ，构造方程组计算可得.【详解】因为()52501251ax a a x a x a x +=++++L ，令1x =，即可得()50125012a a a a a a +=++++=-+L ①，令0x =，即可得501(10)a a +´==，可得()511a +=-，所以2a =-；令1x =-，即可得()5501235123a a a a a +=-+-+-=L ②，+①②得()5024213a a a ++=-+，得024121a a a ++=，所以24120a a +=.故选：A.7. 函数()2,113,1x x x f x m x ì-<<=í-³î单调递增，且()()211f m f m +>-，则实数m 的取值范围为（ ）A. (]2,1-B. ()2,1- C. (]0,1 D. (0,1)【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的性质及函数的单调性，列出不等式组求解即可.【详解】解：因为当11x -<<时，()2x f x =单调递增；当1x ³时，()3x f x m =-单调递增；又因为()y f x =单调递增，且()()211f m f m +>-，所以2321111m m m m £-ìï+>-íï->-î，解得01m <£.故选：C.8. 设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左右焦点，O 为坐标原点，P 为C 的一条渐近线上一点，且11=PF PO PF PO +-uuu r uuu r uuu r uuu r ，若12PF PO =uuur uuu r，则C 的离心率为（ ）A.B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】利用向量的数量积运算推得1PF PO ^，再利用正切函数的诱导公式，结合双曲线的渐近线方程得到,b a 的比值，从而利用双曲线的离心率公式即可得解.【详解】依题意，不妨设点P 在第二象限，如图，因为11=PF PO PF PO +-uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以2211=PF PO PF PO +-uuu r uuu r uuu r uuu r ，则211122122=2PF PO PF PO PF PO PF PO +×+×+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，故10PF PO =×uuu r uuu r ，所以1PF PO ^，又12PF PO =uuu r uuu r ，双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，所以在1Rt POF △中，()122tan tan πtan POF POF POF Ð=-Ð=-Ð，即1PF b PO a æö=--ç÷èø，故2ba =，所以双曲线C的离心率为e ==故选：B.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，进而转化为,a c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 下列结论正确的是（ ）A. 随机变量X 服从二项分布13,,212B Y X æö=+ç÷èø，则()3D Y =B. 数据123,,,,n x x x x L 平均数为2，则12331,31,31,,31n x x x x ++++L 的平均数为6C. 数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10的D. 随机变量X 服从正态分布()25,N s ，且(25)P X a <<=，则(8)1P X a>=-【答案】AC 【解析】【分析】对选项A ，根据二项分布得到()11331224D X æö=´´-=ç÷èø，再根据方差的性质即可判断A 正确，对选项B ，根据平均数的性质即可判断B 正确，对选项C ，根据百分数位概念即可判断C 正确，对选项D ，根据正态分布性质即可判断D 错误.【详解】对选项A ，()11331224D X æö=´´-=ç÷èø，()()()3214344D D X Y X D ===+´=.故A 正确.对选项B ，因为2x =，12331,31,31,,31n x x x x ++++L 的平均数为3217´+=，故B 错误.对选项C ，70.6 4.2´=，所以第60百分位数是第五个数10，故C 正确.对选项D ，X 服从正态分布()25,N s ，(25)(58)P X P X a <<=<<=，所以1(8)2P X a >=-，故D 错误.故选：AC10. 定义在R 上的函数()f x 满足()()(),1122x y x y f x f y f f f +-æöæö+==ç÷ç÷èøèø，则下列结论正确的有（ ）A. ()02f = B. ()f x 为奇函数C. 6是()f x 的一个周期D.20242040522k k f =æö=ç÷èøå【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值法求解逐项判断即可.【详解】该函数满足()()22x y x y f x f y f f +-æöæö+=ç÷ç÷èøèø且()11f =，对于A ，令1x y ==，可得()()()()1110f f f f +=，解得()02f =，故A 正确；对于B ，令y x =-，()()()()0f x f x f f x +-=，所以f (−x )=f (x )，所以()f x 为偶函数，故B 错误；对于C ，令1x x =+，1y x =-，可得()()()11f x f x f x ++-=，令1x x =+，可得()()()21f x f x f x ++=+，将两式相加得：()()210f x f x ++-=，所以()()21f x f x +=--，所以()()3f x f x +=-，所以()()63()f x f x f x +=-+=，因此，6是()f x 的一个周期，故C 正确；对于D ，令x k =，0y =，()()202k f k f f æö+=ç÷èø，所以()222k f f k æö=+ç÷èø，所以()()()()20242024202012024220252k k k f f k f f f ==æöéù=+=++×××++´ç÷ëûèøåå，因为()02f =，()11f =，因为()()210f x f x ++-=，令0x =，()()210f f +-=，所以()2(1)1f f =-=-，令1x =，()()300f f +=，所以()32f =-，令2x =，()()410f f +=，所以()41f =-，令3x =，()()520f f +=，所以()51f =，由于6是()f x 的一个周期，所以()()()()()()()()()()()()0120243370123450132f f f f f f f f f f f f éù++×××+=++++++++=ëû，所以()()()()20242024202012024220252405040522k k k f f k f f f ==æö=+=++×××++´=+=ç÷èøåå，故D 正确；故选：ACD 11. 已知函数()3233f x x x mx =++-，则（）A. 当3m £时，函数()f x 有两个极值B. 过点()0,1且与曲线()y f x =相切的直线有且仅有一条C. 当1m =时，若b 是a 与c 的等差中项，直线0ax by c --=与曲线()y f x =有三个交点()()()112233,,,,,P x y Q x y R x y ，则1236x x x ++=-D. 当0m =时，若112x -<<-，则()313124f x f x æö-<<-<ç÷èø【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，由题意可得当3m =时，()f x 单调递增，即可判断；对于B ，设过点(0,1)的直线与y =f (x )切于点320000(,33)x x x mx ++-，利用导数可得切线的方程，再代入点(0,1)，通过判断0x 的解的个数，即可判断切线的条数，从而可判断B ；对于C ，由等差中项的定义可得直线过定点(1,2)--，且此点在曲线()y f x =上，再判断出点(1,2)--是函数的对称中心，即可得123x x x ++的值，从而判断C ；对于D ，利用导数可得()f x 在1(1,)2x Î--单调递减，求出函数的值域，再利用换元法求出3124f x æö-ç÷èø的值域，即可判断D ．【详解】解：因为()3233f x x x mx =++-，所以()236f x x x m ¢=++，对于A ，当3m £时，令()2360f x x x m =++=¢，则36120m D =-³，所以当3m =时，()223633(1)0f x x x x =+=+¢+³，所以()f x 单调递增，此时函数没有两个极值，故A 错误；对于B ，设过点(0,1)的直线与y =f (x )切于点320000(,33)x x x mx ++-，则切线方程为322000000(33)(36)()y x x mx x x m x x -++-=++-，代入(0,1)，得3220000001(33)(36)x x mx x x x m -++-=-++，整理得：32002340x x ++=，令32()234g x x x =++，则2()666(1)g x x x x x ¢=+=+，所以当(,1)x Î-¥-时，()0g x ¢>，()g x 单调递增；当(1,0)x Î-时，()0g x ¢<，()g x 单调递减；当(0,)x Î+¥时，()0g x ¢>，()g x 单调递增；又()()150,040g g -=>=>，所以()y g x =只有一个零点，即方程32002340x x ++=只有一个解，所以过点(0,1)且与曲线y =f (x )相切的直线有且仅有一条，故B 正确；对于C ，当1m =时，()3233f x x x x =++-，又因为b 是a 与c 的等差中项，所以直线0ax by c --=即为直线20ax by a b -+-=，所以直线过定点(1,2)--，且此点在曲线()y f x =上，设函数()y f x =的对称中心为(,)a b ,则有(2)()2f a x f x b -+=，即3232(2)3(2)(2)3332a x a x a x x x x b -+-+--+++-=，整理得：232126(1)2(12)8126a x x b a a a a a ++++-+-=，所以326(1)012(1)0812262a a a a a a b+=ìï-+=íï++-=î，解得12a b =-ìí=-î，所以函数的关于点(1,2)--对称，设123x x x <<，则有()132122,1x x x +=-´=-=-，所以1233x x x ++=-，故C 错误；对于D ，当0m =时，()3233f x x x =+-，()236f x x x ¢=+，所以当(,2)x Î-¥-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当(2,0)x Î-时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当(0,)x Î+¥时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；所以y =f (x )在1(1,)2--上单调递减，所以()19(,1)8f x Î--，令3124t x =-，当1(1,2x Î--时，7(,1)4t Î--，则()y f t =在7(,1)4t Î--上单调递减，所以()53(1,)64f t Î-，所以()()31f x f t -<<<，即()313124f x f x æö-<<-<ç÷èø，故D 正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：解答本题的关键在C 选项中，判断出直线过定点(1,2)--，且函数关于此点对称.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为_______【答案】8【解析】【分析】先计算得到抽取比例为27，再计算得到答案.【详解】解：田径队运动员的总人数是282149+=，要得到14人的样本，占总体的比例为142497=，于是应该在男运动员中随机抽取22887´=(名)，故答案为：813. 已知()2sin 3a b +=，tan 3tan a b =则()22cos a b -=_______【答案】79【解析】【分析】通过已知条件和和差角公式求出()sin a b -，然后利用二倍角公式求出答案.【详解】由()2sin 3a b +=，得2sin cos cos sin 3a b a b +=，由tan 3tan ab =，得sin cos 3cos sin a b a b =，解得1sin cos 2a b =，1cos sin 6a b =，所以()1sin sin cos cos sin 3a b a b a b -=-=，所以()()272212sin 9cos a b a b -=--=.故答案为：79.14. 若关于x 的方程ln 11mx x++=有且仅有两个实根，则实数m 的取值范围为_______【答案】()1e,00,e æö-Èç÷èø【解析】【分析】分类讨论，当0m >时，方程ln 11mx x++=即ln m x x =-有且仅有两个实根，利用导函数画出()ln f x x x =-的大致图象，转化为交点问题，当0m <时，令()ln ,ln 11ln 2,0m x x m m xg x x m x x x mx ì+>-ïï=++-=íï--<£-ïî，利用导函数求()g x 的单调性，转化为最值问题.【详解】ln 11mx x++=定义域为(0,+∞)，当0m >时，方程ln 11mx x++=即ln m x x =-有且仅有两个实根，令()ln f x x x =-，则f (1)=0，()ln 1f x x ¢=--，令()0f x ¢=解得1ex =，所以当10ex <<时，f ′(x )>0，()f x 单调递增，当1e x >时，f ′(x )<0，()f x 单调递减，又11e ef æö=ç÷èø，可得函数()ln f x x x =-大致图象如图所示，所以ln m x x =-有且仅有两个实根时，10em <<；当0m <时，令()ln ,ln 11ln 2,0m x x m m x g x x m x x x mx ì+>-ïï=++-=íï--<£-ïî，则g (x )=0有且仅有两个实根，因为当x m >-时，()2210m x mg x x x x ¢-=-=>，()g x 单调递增， 当0x m <£-时，()2210m x mg x x x x¢+=+=£，()g x 单调递减，所以要使g (x )=0有且仅有两个实根，则()()ln 10g m m -=--<，解得e 0m -<<，综上实数m 的取值范围为()1e,00,e æö-Èç÷èø.故答案：()1e,00,e æö-Èç÷èø的为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 平面向量1e u r ，2e u u r 满足12121212π1,,,,2e a e t b e e e t e e e ====+=+u r u u r u r u u r u r u ur u r u u r r r （1）若b r 在a r 上的投影向量恰为a r的相反向量，求实数t 的值；（2）若,a b rr 为钝角，求实数t 的取值范围．【答案】（1）1t =- （2）()(),11,0-¥--U 【解析】【分析】（1）根据投影向量的定义及数量积的运算律求解即可；（2）结合利用向量夹角的余弦与数量积的定义，及向量共线的表示求解即可.【小问1详解】由题意得a ba a aa××=-rr r r r r ，则21||a b a ×=-r r r ，即2||a b a ×=-r r r，因为1212π1,,2e e e e ===u r u u r u r u u r ，则120e e ×=u r u u r ，所以()()()2221212112212e e e e e t t t e e te a b t t ++×=+×+==×+u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r r r ，()2221211222222||1e e e te e e a t t t ==+++×+=u r u ur u r u r u u r u u r r ，所以()221t t =-+，解得1t =-.【小问2详解】由（1）知，2a b t ×=rr ，因为,a b r r 为钝角，所以20a b t ×=<r r ，即0t <，若,a b r r 共线，设a b l =r r ，即()1212t t e e e e l =++u r u u r u r u u r 则1tt l l =ìí=î，解得1t l ==或1t l ==-，要使,a b rr 为钝角，则0t <且1t ¹-，即实数t 的取值范围为()(),11,0-¥--U ．16. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6,a ABC =△的面积2sin S c A =（1）若1cos 4A =，求b 的值；（2）求内角C 取得最大值时ABC V 的面积.【答案】（1）6b =（2）【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式与条件得到2b c =，再利用余弦定理求得c ，从而得解；（2）利用余弦定理与基本不等式求得内角C 取得最大值时,sin b C 的值，再利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】依题意，得21sin sin 2S cA bc A ==，则2b c =，又16,cos 4a A ==，所以2222222362cos 44a b c bc A c c c c ==+-=+-=，从而3c =，所以6b =.【小问2详解】在ABC V 中有22223633cos 22428a b c c c C ab c c +-+===+³=，当且仅当328cc =，即c =时取等号，则cos 0C ³>，又0πC <<，所以π02C <<，故当内角C 取得最大值时，cos C 取得最小值，此时，cos C =，b =，则1sin 2C ==，所以111sin 6222S ab C ==´´´=.17. 已知函数()()254log 21f x x x l =-++的定义域为D ，()21x g x x l -=+（1）若34l =，求函数()f x 的值域；（2）若(),D m n =，且()()210g m g n -£éùëû，求实数l 的取值范围．【答案】（1）(],2-¥ （2）[]3,3-【解析】【分析】（1）当34l =时，先求内层函数2312t x x =-++的值域，进而再求函数()f x 的值域即可；（2）由对数函数定义域可知方程2210x x l -++=的两根分别为,m n ，利用韦达定理可得2m n l +=，1mn =-，代入()()210g m g n éù-£ëû化简即可求解.【小问1详解】当34l =时，由()23112022x x x x æö-++=-++>ç÷èø解得122x -<<，令2312t x x =-++，当()332214x =-=´-时t 取最大值233325142416æö-+´+=ç÷èø，所以250,16t æùÎçúèû，从而()f x 的值域为(],2-¥.【小问2详解】由于(),D m n =，且2Δ440l =+>，所以方程2210x x l -++=的两根分别为,m n ，且2m n l +=，1mn =-，又()()210g m g n éù-£ëû，即2221011m n m n l l --æö-£ç÷++èø，将2m n l +=，1mn =-代入整理得()()()()()2232232322222211111041144411m n m n n m mn m n n m n m n m m n m n m n m n éùéù---+---+-+æöêú-=´=´=-£êúç÷++++èøêú-êúëûëû，从而2()440m n mn +-£，所以29033l l -£Û-££即实数l 的取值范围为[]3,3-.18. 甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同．现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放入另一袋中，重复进行n 次这样的操作后()*N n Î，记甲袋中的白球数为n X ，甲袋中恰有一个白球的概率为n p （1）求12,p p ；（2）求n p 的解析式；（3）求()n E X ．【答案】（1）112p =，234p =（2）()*112,N 323nn p n æö=-+Îç÷èø（3）1【解析】【分析】（1）先利用组合相关知识与古典概型概率公可求1p ，再利用全概率公式即可得解；（2）由（1）知()*111,22n n p p n N n -=-γ，利用构造法可得数列23n p ìü-íýîþ是等比数列，可求n p ；（3）n X 的所有可能取值为0，1，2，求得分布列可求得数学期望.【小问1详解】记第n 次交换后甲袋中恰有两个白球的概率为n q ，则第n 次交换后甲袋中恰有零个白球的概率为1n n p q --，由题意得1111111111122C C C C 1C C 2p +==．()2111111131111224p p q p q p =´+´+--´=-=；【小问2详解】由（1）知()()*11111111111N ,222n n n n n n p p q p q p n n -----=´+´+--´=-γ，所以1212323n n p p -æö-=--ç÷èø，且121036p -=-¹，从而数列23n p ìü-íýîþ是以16-为首项，12-为公比的等比数列，所以12111136232n nn p -æöæö-=--=-ç÷ç÷èøèø，即()*112,N 323nn p n æö=-+Îç÷èø；【小问3详解】显然n X 的所有可能取值为0，1，2，且()1121323nn P X æö==-+ç÷èø，()111111110104626nn n n n n q p q p q ----æö=´+´+--´=--+ç÷èø，即()1112662nn P X æö==--ç÷èø，从而()1110662nn P X æö==--ç÷èø，所以n X 的分布列为nX 012P111662næö--ç÷èø112323næö-+ç÷èø111662næö--ç÷èø所以()1121110121323662n n n E X éùéùæöæö=+´-++´--=êúêúç÷ç÷èøèøêúêúëûëû.【点睛】方法点睛：对于离散型随机变量的期望与方差的综合问题的求解策略：1、理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得得全部数值；2、根据题意，求得随机变量X 的每一个值对应的概率；3、列出随机变量X 的分布列，利用期望和方差的公式求得数学期望和方差；4、注意期望与方差的性质()()()()2,E aX b aE X b D ax b a D X +=++=的应用；19. 若函数()y f x =与()y g x =在各自定义域内均能取得最大值，且最大值相等，则称()y f x =与()y g x =为“等峰函数”．（1）证明函数2sin cos ,R y x x x x =-Î与[]sinπ,0,2πxy x x =-Γ等峰函数”；是（2）已知()ln a x f x x =与()(0)eax x g x x =>为“等峰函数”．①求实数a 的值；②判断命题：“()()()012102,,R,x x x f x f x g x $Î==，且2120x x x =”的真假，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）①1a =；②真命题，理由见解析【解析】【分析】（1）求出函数2sin cos ,R y x x x x =-Î的最大值，利用导数知识求出[]sinπ,0,2πxy x x =-Î的最大值，比较后可完成证明；（2）①讨论a 的取值情况可得max1()e f x a =，max ()eaa a g x =，由max max ()()f x g x =可得1ln 01a a a --=+，最后通过研究()1ln 1a h a a a -=-+单调性可得答案；②解法1：先由①结合零点存在性定理可得方程()()f x g x =在()1,e 上有唯一实根0x ；然后由①及零点存在性定理研究()()0f x f x =的实根情况可得01e xx =；然后由①及零点存在性定理研究()()0gx g x =的实根情况可得20ln xx =，整理后可完成判断；解法2：同解法1可得()()f x g x =在()1,e 上有唯一实根0x ，整理得0200e ln x x x =，后令令0201ln ,e xx x x ==，说明()()()()1002f x f x g x g x ===即可完成判断；【小问1详解】πsin22sin 23y x x x æö==-ç÷èø，由于R x Î，所以当ππ22π32x k -=+即()5ππ12x k k Z =+Î时，max 2y =；对于函数sinπ1cosπ0π，xy x y x ¢=-=-³，所以函数sinππx y x =-在[]0,2上单调递增，从而当2x =时，max 2y =；则函数2sin cos ,R y x x x x =-Î与[]sinπ,0,2πxy x x =-Î在各自定义域内有相同最大值，即是“等峰函数”；【小问2详解】①由题()11ln a a xf x x+-¢=，其中0x >.当0a <时，若()10,e 0a x f x æöÎÞ÷¢<çèø；若()1e ,0a x f x æöÎ+¥Þ>ç¢÷èø，即函数()f x 在10,e aæöç÷èø上单调递减，在1e ,a ¥æö+ç÷èø上单调递增，则此时()f x 无最大值；当0a =时，()ln f x x =在()0,¥+上单调递增，无最大值；当0a >时，若()10,e 0a x f x æöÎÞ÷¢>çèø；若()1e ,0a xf x æöÎ+¥Þ<ç¢÷èø，即函数()f x 在10,e a æöç÷èø上单调递增，在1e ,a ¥æö+ç÷èø上单调递减，所以当1e a x =时，max 1()ef x a =由题()()11e ea a a x xx a x ax x g x ----¢==，其中0x >.因为0a >，所以()0,x a Î时，()()0,；g x x a >Î+¥¢时，()0g x ¢<，即函数()g x 在()0,a 上单调递增，在(),a +¥上单调递减，从而当x a =时，max()eaa a g x =.由于()ln a x f x x =与()(0)ax x g x x e=>为“等峰函数”，所以max max()()f x g x =即1e e aaa a =，其中0a >.将上式两端取自然对数得ln 1ln a a a a --=-，即1ln 01a a a --=+.令()1ln 1a h a a a -=-+，其中0a >.则()2221210(1)(1)a h a a a a a +=-=+¢>+，所以()h a 在()0,¥+上单调递增，又()10h =，从而1a =；②命题为真命题，理由如下：解法1：由①，()()ln e，x x x f x g x x ==.先考察方程()()f x g x =的实根情况，令()()()ln ex x xm x f x g x x =-=-由①知()f x 在()1,e 上单调递增，()g x 在()1,e 上单调递减，所以()()()m x f x g x =-在()1,e 上单调递增，又()()e 1e11e e e10e 0e e e e，e m m --<-=-=>=，所以存在唯一()01,e x Î，使得()00m x =.即方程()()f x g x =在()1,e 上有唯一实根0x ，且()()()001e ef xg x f =<=.其次考察方程()()0f x f x =的实根情况，令()()()0n x f x f x =-由①知()n x 在()e,+¥上单调递减，且()()01e 0e n f x =->()()0000001001111e 112e e 0e e e e，x x x x x x x xn ++++--+-=-=<<所以存在唯一()1e,x Î+¥，使得()10n x =，即()()10f x f x =.由于()()()0000000lne e e e x x x x x f x g x f ====，所以()()01e xf x f =，又01e e e x >=，由()f x 在()e,+¥上的单调性知01e xx =；最后考察方程()()0gx g x =的实根情况，令()()()0p x g x g x =-由①知()p x 在()0,1上单调递增，且()()00000001e 10010e e e ee ，x x x x x x p p x +=-<=-=>-.（注意到函数()1e e ，x t x x x =->，()0e e x t x ¢=->，得()e e x t x x =-在()1,+¥递增，则()()00010e e x t x x t =->=）所以存在唯一()20,1x Î，使得()20p x =，即()()20g x g x =由于()()()000000ln 0ln ln ln ex x x g x f x g x x ====，所以()()20ln g x g x =，且00ln 1x <<，由()g x 在()0,1上的单调性知20ln x x =.所以0120e ln xx x x =，又()()000000ln ex x x f x g x x ===，所以0200e ln x x x =，即2120x x x =，从而得知命题为真命题；解法2：先同解法1可得方程()()f x g x =在()1,e 上有唯一实根0x ，且()()001e f x g x =<即()01,e x $Î使()()00f x g x ==00200000ln e ln e x x x x x x x =Þ=令0201ln e ，x x x x ==，则102x x x ，，成等比数列．故要说明命题为真，只需()()()()1002f x f x g x g x ===即可.注意到()()()()ln ln ln lne ln e e e e，xx x x x x x x f x g x g x f x ======又()()()220x g x f ef x ==，()()()110ln f xg x g x ==，所以()()()()1002f x f x g x g x ===成立，故原命题为真【点睛】关键点睛：本题关键在于理解“等峰函数”概念，及利用适当方法研究所涉方程的根.对于与函数有关的方程或零点问题，常利用数形结合思想转化为函数图象与直线交点个数问题来解决，也可如本题利用零点存在性定理来解决.。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解67---双曲线
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第67讲双曲线考向预测核心素养考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，双曲线的离心率和渐近线是高考命题热点；直线与双曲线是高考新的命题点.直观想象、数学运算一、知识梳理1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1，F2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abxa，b，c关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2.常用结论1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2 a2 .2．巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 解析：选D.由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C.又由题意可知焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3，所以b ＝c 2－a 2＝4，故点M 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．2．(人A 选择性必修第一册P 127习题3.2 T 6改编)经过点A (4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (4，1)代入，得a 2＝15(舍负)， 故所求方程为x 215－y 215＝1.答案：x 215－y 215＝13．(人A 选择性必修第一册P 120例1改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得焦点为(－1，0)，(1，0)，顶点为(－2，0)，(2，0)．所以双曲线的顶点为(－1，0)，(1，0)，焦点为(－2，0)，(2，0)．所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )(3)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与x2b2－y2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1 e21＋1e22＝1.( )答案：(1)×(2)×(3)√二、易错纠偏1．(多选)(曲线方程中参数意义不明致误)若方程x23－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是( )A．若C为椭圆，则1<t<3B．若C为双曲线，则t>3或t<1C．曲线C可能是圆D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2解析：选AD.若t>3，则方程可变形为y2t－1－x2t－3＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为x23－t－y21－t＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2<t<3，则0<3－t<t－1，故方程x23－t＋y2t－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆；若1<t<2，则0<t－1<3－t，故方程x23－t ＋y2t－1＝1表示焦点在x轴上的椭圆；若t＝2，方程x23－t＋y2t－1＝1即为x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选AD.2．(忽视双曲线上的点的特征致误)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________．解析：设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4， 则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案：63．(忽视焦点的位置致误)坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，有ba＝3，则c ＝2a ，此时e ＝2. 若双曲线的焦点在y 轴上， 有a b ＝3，则c ＝233a ，此时e ＝233. 综上，e ＝2或e ＝233. 答案：2或233考点一 双曲线的定义及标准方程(多维探究)复习指导：了解双曲线的定义及几何图形； 会求双曲线的标准方程，理解两种类型的标准方程的差异．角度1 双曲线的定义(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 B.x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D.x 2－y 28＝1(x ≥1)(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．【解析】 (1)设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (2)不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.【答案】 (1)C (2)2 3在本例(2)中，若将“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积为________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→， 所以在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝4， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.答案：2双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．角度2 双曲线的标准方程(一题多解)已知双曲线过点(2，3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 【解析】 方法一：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，b a＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，该方程组无解．综上，所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.方法二：设双曲线的方程为x 2m －y2n ＝1(mn >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4m －9n ＝1，nm ＝3，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.方法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由双曲线过点(2，3)，可得λ＝3×22－32＝3，故双曲线的方程为3x 2－y 2＝3，其标准方程为x 2－y 23＝1.【答案】 C若本例中“双曲线过点(2，3)”变为“焦距为2”，其他条件不变，则双曲线的标准方程为________．解析：由例题方法三知所求双曲线方程可设为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)即x 2λ3－y 2λ＝1.又双曲线焦距为2，所以c ＝1.若λ>0，方程化为x 2λ3－y 2λ＝1，所以λ3＋λ＝1，所以λ＝34.此时方程为x 214－y 234＝1；若λ<0，方程化为y 2－λ－x 2－λ3＝1，所以－λ－λ3＝1，所以λ＝－34.此时方程为y 234－x 214＝1.故所求双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1或y 234－x 214＝1.答案：x 214－y 234＝1或y 234－x 214＝1求双曲线标准方程的常用方法(1)定义法：根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x 2m2－y 2n2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)，再根据条件求解． (3)常用设法：①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．|跟踪训练|1．(多选)(2022·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的条件是( ) A ．双曲线的离心率为54B ．双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫5，94C ．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0D ．双曲线的实轴长为4解析：选ABC.由题意可得焦点在x 轴上，且c ＝5，A 选项，若双曲线的离心率为54，则a ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故A 正确；B 选项，若双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94，则⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－8116b 2＝1，a 2＋b 2＝25，得⎩⎨⎧a 2＝16，b 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，可设双曲线的方程为x 216－y 29＝m (m >0)，所以c 2＝16m ＋9m ＝25，解得m ＝1，所以此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故C正确；D 选项，若双曲线的实轴长为4，则a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝21，此时双曲线的方程为x 24－y 221＝1，故D 错误．故选ABC.2．经过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为所求双曲线经过点P (3，27)，Q (－62，7)，所以⎩⎨⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二 双曲线的几何性质(多维探究)复习指导：了解双曲线的几何性质．角度1 渐近线和离心率(1)(2021·高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )A.72B.132C.7D.13(2)(2021·高考全国卷乙)已知双曲线C：x2m－y2＝1(m>0)的一条渐近线为3x＋my＝0，则C的焦距为________．【解析】(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝m2＋9m2－2×3m×m×cos 60°＝7m，所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|－|PF2|＝7m2m＝72.(2)双曲线x2m－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±1mx，即x±my＝0，又双曲线的一条渐近线为3x＋my＝0，即x＋m3y＝0，联立两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2a2＋b2＝4.【答案】(1)A (2)4角度2 双曲线性质的综合应用(1)(2022·潍坊模拟)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝2π3，则S△AF1F2S△ABF2＝( )A．1 B.12C.13D.23(2)(2022·合肥市名校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.53C.2D.73(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5【解析】 (1)如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a . 又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |， 所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2， 所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12.故选B.(2)设P (x P ，y P )，则双曲线的焦半径|PF 1|＝ex P ＋a ， |PF 2|＝ex P －a ，由|PF 1|＝4|PF 2|可得ex P ＋a ＝4(ex P －a )， 即3ex P ＝5a ，所以x P ＝5a 3e. 由于点P 在双曲线的右支上，则x P ＝5a3e≥a ， 从而e ≤53，即此双曲线的离心率e 的最大值为53.(3)依题意，记F (c ，0)，则以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24，将圆⎝⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24与圆x 2＋y 2＝a 2的方程相减得cx ＝a 2，即x ＝a 2c ，所以点P ，Q 的横坐标均为a 2c .由于PQ 是圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦， 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|PQ |22＝a 2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2， 即c 24＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2c 2＝a 2b 2c 2，所以c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ， 因此C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选A. 【答案】 (1)B (2)B (3)A双曲线的几何性质(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法：①求出a ，b ，c 直接求离心率e ，写渐近线方程．②列出a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系．|跟踪训练|1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为42，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为( )A ．2 B.4 C ．6D.8解析：选B.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线为y ＝±ba x ，两条渐近线互相垂直，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝－1，得a ＝b .因为双曲线的焦距为42，所以c ＝22，由c 2＝a 2＋b 2可知2a 2＝8，所以a ＝2，所以实轴长2a ＝4.故选B.2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5解析：选D.由题意，可得F (1，0)，直线l 的方程为x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .将x ＝－1代入y ＝±b a x ，得y ＝±b a ，所以点A ，B 的纵坐标的绝对值均为b a.由|AB |＝4|OF |可得2b a ＝4，即b ＝2a ，b 2＝4a 2，故双曲线的离心率e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝5.3．(2022·济宁模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为________．解析：因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点 A (a ，b )，c ＝4且（4－a ）2＋b 2＝4，又a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1考点三 直线与双曲线(综合研析)(2021·新高考卷Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解】 (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2<|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)．(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的方程为y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2⎝⎛⎭⎪⎫x －12(k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x 2－y216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－16＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 易知16－k 21≠0，则x A x B ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1⎝⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21， 所以|TA |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12， |TB |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B －12＝1＋k 21⎝⎛⎭⎪⎫x B －12，则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x A x B －12（x A ＋x B ）＋14 ＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k21－12·2k 1⎝⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21＋14 ＝（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16.同理得|TP |·|TQ |＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16.因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16，所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0. 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.(1)判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)弦长公式设直线y ＝kx ＋b 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.|跟踪训练|已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1.(1)求与双曲线C 1有相同的焦点且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程； (2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点．当OA →·OB →＝3时，求实数m 的值．解：(1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x ， 设A (x 1，2x 1)，B (x 2，－2x 2)．由⎩⎨⎧x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，消去y 化简得3x 2－2mx －m 2＝0.由Δ＝(－2m )2－4×3×(－m 2)＝16m 2＞0，得m ≠0.因为x 1x 2＝－m 23，OA →·OB →＝x 1x 2＋(2x 1)·(－2x 2)＝－3x 1x 2，所以m 2＝3，即m ＝± 3.[A 基础达标]1．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．11 B.9 C.5D.3解析：选 B.根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．2．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( )A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 28＝1 C ．x 2－y 28＝1D.x 22－y 28＝1 解析：选D.由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，所以双曲线的标准方程x 22－y 28＝1.故选D.3．设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积为( )A ．10 3B.8 3C.8 5D.16 5解析：选C.依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2， 因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4， 所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8， 所以S △PF 1F 2＝12×8×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝8 5.4．(2022·长春市质量监测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±x B.y ＝±2x C ．y ＝±3xD.y ＝±2x解析：选C.设点P (x ，y )，由题意知k 1·k 2＝yx －a ·yx ＋a ＝y 2x 2－a 2＝y 2a 2y 2b 2＝b 2a 2＝3，所以其渐近线方程为y ＝±3x ，故选C.5．(2020·高考天津卷)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 2－y 24＝1C.x 24－y 2＝1 D.x 2－y 2＝1解析：选D.方法一：由题知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b )的直线方程为x ＋y b ＝1，而x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x a ＋y b ＝0和x a －yb ＝0，由l 与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得a ＝1，b ＝1，故选D.方法二：由题知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则a ＝b ，即渐近线方程为x ±y ＝0，排除B ，C.又知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，l 过点(1，0)，(0，b )，所以b －00－1＝－1，b ＝1，故选D.6．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32 B.16 C.84D.4解析：选B.由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bc a 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，ca ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B. 7．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nxD ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线解析：选ACD.对于A ，若m ＞n ＞0，则mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m＋y 21n＝1，因为m >n >0，所以0<1m ＜1n，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若m ＝n >0，则mx 2＋ny 2＝1可化为x 2＋y 2＝1n，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若mn<0，则mx2＋ny2＝1可化为x21m＋y21n＝1，此时曲线C表示双曲线．由mx2＋ny2＝0可得y＝± －mnx，故C正确；对于D，若m＝0，n>0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝1 n ，y＝±nn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．故选ACD.8．(2021·高考全国卷乙)双曲线x24－y25＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________．解析：由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝|3－8|12＋22＝ 5.答案： 59．已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．解析：双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±bax，一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得ba＝2，即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，可得a＝32，b＝3，即有c＝a2＋b2＝94＋9＝352，即焦距为2c＝3 5.答案：3 510．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．因为MF 1→·MF 2→<0， 所以(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线C 上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20<0，所以－33<y 0<33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33[B 综合应用]11．(多选)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其中一条渐近线上的一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1C ．点P 的横坐标为±1D ．△PF 1F 2的面积为 2解析：选ACD.等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故A 正确；由双曲线的方程可知|F 1F 2|＝22，所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，故B 错误；点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上，不妨设点P (x 0，y 0)在直线y ＝x 上，所以⎩⎨⎧x 20＋y 20＝2，y 0＝x 0，解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得S△PF1F2＝12×22×1＝2，故D正确．故选ACD.12.如图，F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________．解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝±a2b2b2－a2，所以2·a2b2b2－a2＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋2，所以e＝2＋ 2.答案：2＋ 213．(2022·陕西榆林二模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为12，则C的离心率为________．解析：把x＝c代入双曲线：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)得y＝b2a，所以B⎝⎛⎭⎪⎫c，b2a，又A(－a，0)，直线AB的斜率为12，所以b2aa＋c＝12，可得a2＋ac＝2c2－2a2，即2c2－3a2－ac＝0，即2e2－3－e＝0，因为e >1，所以e ＝32.答案：3214．(2022·临川一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1，2)，使得P i A 1→·P i A 2→＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：设c 为半焦距，则F (c ，0)，又B (0，b )， 所以BF ：bx ＋cy －bc ＝0，以A 1A 2为直径的圆的方程为⊙O ：x 2＋y 2＝a 2， 因为P i A 1→·P i A 2→＝0，i ＝1，2，所以⊙O 与线段BF 有两个交点(不含端点)，所以⎩⎨⎧bc b 2＋c 2<a ，b >a ，即⎩⎨⎧c 4－3a 2c 2＋a 4<0，c 2>2a 2，故⎩⎨⎧e 4－3e 2＋1<0，e 2>2，解得2<e <5＋12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5＋12 [C 素养提升]15．(2022·安徽皖南名校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其右支上存在一点M ，使得MF 1→·MF 2→＝0，直线MF 2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5解析：选D.由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2.不妨设直线MF 2平行于双曲线的渐近线l ：bx ＋ay ＝0，如图所示， 从而得l 是线段MF 1的垂直平分线，且直线MF 1的方程为y ＝ab(x ＋c )． 设MF 1与l 相交于点N (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a b（x ＋c ），y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a 2c ，y ＝abc ，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，ab c .又F 1(－c ，0)，由中点坐标公式，得M ⎝⎛⎭⎪⎫c －2a 2c ，2ab c ， 将点M 的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫c －2a 2c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab c 2b2＝1， 化简得c 2＝5a 2，则离心率e ＝ca＝ 5.故选D.16．(2022·长沙雅礼中学模拟)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A (0，66)，当△APF 周长最小时，则点P 的坐标为________．解析：如图，由双曲线C的方程可知c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，所以c＝3，所以左焦点E(－3，0)，右焦点F(3，0)，因为|AF|＝（－3）2＋（66）2＝15，所以当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF|最小．由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，所以|PF|＝|PE|＋2，又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，所以△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.直线AE的方程为y＝26x＋66，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，由x＝－2，得y＝26(负值已舍)，所以点P的坐标为(－2，26)．答案：(－2，26)17．(2021·上海春季高考卷节选)(1)某团队在基地O点西侧、东侧20千米处分别设有A，B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|－|PB|＝20千米，可知P在以点A，B 为焦点的双曲线上．以O点为坐标原点，正东方向为x轴正半轴方向，正北方向为y轴正半轴方向，建立平面直角坐标系，点P在基地O点北偏东60°处，求双曲线的标准方程和P点的坐标．(2)该团队又在基地O点南侧、北侧15千米处分别设有C，D两站点，测量距离发现一点Q满足|QA|－|QB|＝30千米，|QC|－|QD|＝10千米，求|OQ|(精确到1千米)．解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a ＝10，c ＝20，所以b 2＝c 2－a 2＝300， 所以双曲线的标准方程为x 2100－y 2300＝1. 由题意可得直线OP ：y ＝33x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2100－y 2300＝1，y ＝33x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1522，y ＝562，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1522，562. (2)①由|QA |－|QB |＝30可得点Q 在以A ，B 为焦点，实轴在x 轴上且实轴长为30的双曲线右支上，设双曲线方程为x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)，则a 1＝15，c 1＝20，所以b 21＝175，双曲线的方程为x 2225－y 2175＝1；②由|QC |－|QD |＝10可得点Q 在以C ，D 为焦点，实轴在y 轴上且实轴长为10的双曲线上支上，设双曲线方程为y 2a 22－x 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，则a 2＝5，c 2＝15，所以b 22＝200，双曲线的方程为y 225－x 2200＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2225－y 2175＝1，y 225－x 2200＝1，可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫14 40047， 2 97547，所以经计算器计算得，|OQ|≈19(千米)．。
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ， 解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+， 即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥； 若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．���BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242， 而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=， 即()()21f x g x +−=①， 用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②， 由①+②得()()222f x f x ++−=， 所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−， 所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确； 由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数， 所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=， 令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…， 令8090x =，则有()()809080942f f +=， 所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______． 【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ， 所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ， 由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=， 因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠， 因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==， 因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++， 解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增， 所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点， 所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−． 函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==， 若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−． 综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点 【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ， 设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥， 所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则： 直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新， 则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新， 可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−， 所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列， 故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减， 最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数， 当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
2023-2024学年广东省部分名校高二上学期期末教学质量检测数学试题+答案解析
FY2023-2024学年广东省部分名校高二上学期期末教学质量检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为双曲线的一条渐近线，则()A. B.1 C. D.272.在等差数列中，若，则()A.4B.6C.8D.33.圆C：和圆D：的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.外离4.在数列中，若，则下列数不是中的项的是()A. B.C.3D.5.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则()A. B. C. D.或6.如图1，抛物面天线是指由抛物面抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面反射器和位于焦点上的照射器馈源，通常采用喇叭天线组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则F到该抛物线顶点的距离为()A.2B.3C.4D.67.在三棱锥SABC中，，，且，若M满足，则M到AB的距离为()A. B. C. D.8.已知双曲线的左､右焦点分别为过的直线交双曲线C右支于两点，且，则C的离心率为()A.2B.3C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列直线与直线平行，且与它的距离为的是()A. B. C. D.10.已知直线，双曲线，则()A.当时，l与C只有一个交点B.当时，l与C只有一个交点C.当时，l与C的左支有两个交点D.当时，l与C的左支有两个交点11.已知数列为等比数列，设的前n项和为，的前n项积为，若，则()A. B.为等比数列C. D.当时，取得最小值12.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角其中M对应钟上数字对应钟上数字设MN的中点为，若长度为2的时针OA指向了钟上数字8，长度为3的分针OB指向了钟上数字现在小王准备安装长度为3的秒针安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细，则下列说法正确的是()A.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则B.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则平面OBCC.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则BC与AM所成角的余弦值为D.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则四面体OABC的外接球的表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
专题20圆锥曲线离心率-解析版
专题20圆锥曲线离心率圆锥曲线离心率是高考数学命题中“永不消失的电波”,每年高考数学题中总是离不开圆锥曲线的离心率问题.为什么会如此呢?其一,离心率是圆锥曲线的重要几何特征;其二,圆锥曲线的离心率与其他基本量联系密切,容易产生知识交汇;其三,离心率与非解析几何知识相融合可以检测学生的综合分析能力.圆锥曲线离心率就是椭圆、双曲线的离心率,但由于椭圆、双曲线可以与平面几何中的三角形、四边形、圆等结合,许多几何性质叠加在一起,使应试者一时找不到突破口,形成思维卡壳点,必须寻找排除痛点的有效途径.一、充分挖掘几何图形中几何性质问题1:如图1,已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=√10,P是y轴正半轴上一点,PF1交椭圆于点A,若AF2⊥PF1,且△APF2的内切圆半径为√22,则椭圆的离心率为( )A.√54B.√53C.√104D.√154【解析】卡壳点:对图形中几何性质的挖掘成为障碍.应对策略:把直角三角形的内切圆性质与椭圆几何量之间建立联系.问题解答:设AF1=r1,AF2=r2.先挖掘信息“△APF2的内切圆半径为√22..因为PF2=PA+r1,又PF2=PA+r2−√2,所以r2−r1=√2①.再挖掘信息“AF2⊥PF1”得r22+r12=10②.由①②可得r2r1=4.故(r2+r1)2=(r2−r1)2+4r2r1=18,r2+r1=3√2=2a,2c=√10,所以e=√53.故选B.【反思】(1)通过挖掘问题中的平面几何图形来构造或列举a,b,c 的关系式,这是离心率问题中最常见的类型之一.掌握平面几何图形的特征与相关性质是高考的基本要求.(2)本题关键是挖掘出平面几何知识“直角三角形的内切圆的半径长等于两直角边之和减去斜边长的一半”,再加上“直角三角形中的勾股定理”,从而突破障碍.二、等价转化探求离心率不等式问题2:如图2,已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0),A 1,A 2是双曲线的顶点,F 是右焦点,点B(0,b),若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i =1,2),使得△P i A 1A 2构成以线段A 1A 2为斜边的直角三角形,则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A.(√2,√5+12) B.(√5+12,+∞) C.(1,√5+12) D.(√2,+∞)【解析】卡壳点:不理解题设条件中隐藏的几何性质. 应对策略:多角度理解题意,将目标层层转化.问题解答:条件“若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i =1,2),使得△P i A 1A 2构成以线段A 1A 2为斜边的直角三角形”可转化为“以A 1A 2为直径的圆与线段BF 有两个交点”,即转化为“{x 2+y 2=a 2,x c +y b =1有两解”,进而转化为“圆心(0,0)到线段x c +yb =1(0⩽x ⩽c)的距离小于半径a ",最后转化为“1a2<1b2+1c2且b >a (否则只会有一个交点)”,即“e 4−3e 2+1<0且e >√2”,即e >√2且e 2<3+√52.故选择A .【反思】(1)本题题设的几何条件代数化的转化过程是漫长的,先“由形到数”,再“由数到形”,多次转化才破解问题.(2)必须了解直线与圆有两个交点的代数意义,且了解方程组有两解所呈现的几何意义. (3)离心率问题就是要找到圆锥曲线基本量a,b,c 之间的代数关系式(等式或不等式).三、定义况性质建立离心率方程离心率是椭圆与双曲线的重要的几何性质之一,它离不开椭圆与双曲线的定义(基本定义与第二定义等),只有把问题中涉及定义的内容做精做细,才能找到基本量a,b,c 之间的数量关系.问题3:如图3,已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1的左、右焦点分别是F1,F2,过点F2且倾斜角为60∘的直线与双曲线的右支交于点A,B,若△ABF1为等腰三角形,则双曲线C的离心率是（）A.−1+√132B.1+√132C.−1+√132或1+√132D.1+√32【解析】卡壳点:对题设中的等腰三角形不会分类思考.应对策略:对等腰三角形的两腰分类分析.问题解答:解法1 r2−r1=2a,r3−r4=2a,由对称性知F1A≠F1B.若F1B=AB,即r3=r1+r4,则r1=2a,r2=4a.由余弦定理知r22=r12+(2c)2−2×r1×2ccos120∘,即3a2−c2−ac=0,所以e=−1±√132. 若F1A=AB,即r2=r1+r4,则r3=4a,r4=2a.由余弦定理知r32=r42+(2c)2−2×r4×2ccos 60∘,即3a2−c2+ac=0,所以e=1±√132.又ba<√3,所以选择A.解法2目标优先思维,由对称性知F1A≠F1B,所以只有另两种情形,但必须满足ba<√3,所以选择A.【反思】对于特殊三角形,要抓其本质特征进行分类讨论,解法2能秒杀关键在于从“形”上分析.四、几何代数法共寻离心率问题4:如图4,已知点F为椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,点M为圆O:x2+y2=b2上一动点(y轴右侧),过点M作圆O的切线,交椭圆于A,B两点,若△ABF的周长为3b,则椭圆E的离心率为_________.【解析】卡壳点:小题大做,跳入思维火坑不能出来.应对策略:由繁杂运算至简单运算的过程中,守找不同的思维切入点.抓住焦半径思考是一个智慧点.问题解答:解法1(考虑切点、切线的特殊性,结果跳入火坑)当点M为(b,0)时,AB=2bca ,AF=BF=√(bca)2+(c−b)2,则2√(bca )2+(c−b)2+2bca=3b,即4[(bc)2+(c−b)2a2]=(2bc−3ab)2.整理得−12b2c+5b2a+8abc−4ac2=0,两边同除以a3,得−12(ba )2e+5(ba)2+8(ba)e−4e2=0,即12e3−12e−9e2+5+8e√1−e2=0.将e=√53代人验算知满足题意.【反思】此处虽然考虑一种特殊位置关系,但运算太复杂,且最后的方程无法求解. 解法2(小题大做,结果发现一条性质)设直线AB:y=kx+m,由其与圆O相切可得b=√1+k2,所以m2=b2+b2k2.不妨设点M在第一象限,则k<0,m>0,故m=b√1+k2.将y=kx+m代人椭圆方程得(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2−b2)=0.整理得(a2k2+b2)x2+2a2kb√1+k2x+a2b2k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=−2a2bk√1+k2a2k2+b2,Δ=4a2b2c2k2.故|x1−x2|=−2abcka2k2+b2,|AB|=−2abck√1+k2a2k2+b2.由焦半径公式可得|AF|+|BF|=a−ex1+a−ex2=2a+2abck√1+k2.a2k2+b2.从而|AF|+|BF|+|AB|=2a,由题设知2a=3b,故e=√53解法3(几何代数一起挖掘,结果寻找到一个简捷途径)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0,)−b2=ex1,则|AM|=√|OA|2−b2=√x12+y12−b2=√x12+b2(1−x12a2|AM|+|AF|=ex1+a−ex1=a.同理可得|BM|+|BF|=ex2+a−ex2=a.从而|AF|+|BF|+|AB|=2a..由题设知2a=3b,故e=√53解法4(参数化表达,三角运算化解)设F(c,0),A(acos θ1,bsin θ1),B(acos θ2,bsin θ2),则|AM|=√|OA|2−b2=√a2cos2θ1+b2sin2θ1−b2=ccosθ1,|AF| =√(acosθ1−c)2+b2sin2θ1=√a2cos2θ1−2accosθ1+c2+(a2−c2)sin2θ1=√a2−2accosθ1+c2cos2θ1=a−ccosθ1,|AM| +|AF|=a.同理可得|BM|+|BF|=a.从而|AF|+|BF|+|AB|=2a..由题设知2a=3b,故e=√53【反思】(1)面对小题时,特殊化思维虽然是一条解题途径,但并非是一条能够迅速达到目标的最佳路径,因此,遇到障碍时,要及时修正,开辟新的思路.(2)积累圆锥曲线的一些性质和一些相关的智慧点是数学高考应试的技巧之一.（3）清圆锥曲线的本质特征,善于从几何与代数两个角度思考,从圆锥曲线的定义去思考并链接,可以找到快速求解的途径,解法3是最好的说明.五、先建切线方程减少运算量问题5:简化的奥运会主体育场的“鸟巢”钢结构俯视图如图5所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,外层椭圆方程为x 2(ma)2+y 2(mb)2=1(a >b >0,m >1),顶点A(ma,0),B(0,mb),向内层椭圆x 2a2+y 2b 2=1引切线AC,BD ,若切线AC 与BD 的斜率之积为−916,则椭圆的离心率是_______.【解析】卡壳点:代数式运算力不足.应对策略:利用椭圆上点的切线方程,减少运算量. 问题解答:设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则CA:x 1x a 2+y 1y b 2=1 ①，BD:x 2x a 2+y 2y b 2=1 ②把A 点坐标代人①式,B 点坐标代人②式得x 1=am ,y 2=bm .将x 1,y 2的值分别代人椭圆方程可得y 1=b√1−1m 2,x 2=a√1−1m 2.由题意知k AC k BD =−916=b√1−12ma−am bm −mb a√1−1m2=−b 2a 2,即b 2a 2=916.故e 2=1−916=716,解得e =√74. 【反思】(1)此题的另一种解法,运算量就大得多.设内层椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1,外层椭圆方程为x 2(ma)2+y 2(mb)2=1(a >b >0,m >1),则A(ma,0),B(0,mb). 设切线AC 的方程为y =k 1(x −ma),切线BD 的方程为y −mb =k 2x .由{(bx)2+(ay)2=(ab)2,y =k 1(x −ma)消去y 得(b 2+a 2k 12)x 2−2ma 3k 12x +m 2a 4k 12−(ab)2=0.Δ=(−2ma 3k 12)2−4(b 2+a 2k 12)[m 2a 4k 12−(ab)2]=0,得k 12=b 2a 2⋅1m 2−1.同理由{(bx)2+(ay)2=(ab)2,y =k 2x +mb消去y 得(b 2+a 2k 22)x 2+2mba 2k 2x +m 2a 2b 2−(ab)2=0.Δ=(2mba 2k 2)2−4(b 2+a 2k 22)[m 2a 2b 2−(ab)2]=0,得k 22=b 2a 2(m 2−1).所以−916=−b 2a 2,即b 2a 2=916,故e 2=1−916=716,解得e =√74. (2)本题是用数学眼光观察世界理念的产物,从北京奥运会的著名建筑“鸟巢”的设计信息中提炼抽象出这样一个数学问题.六、把垂直关系用活求离心率用代数方法解决几何图形中的问题,这是解析几何的基本研究方法,所以离心率问题也离不开代数变形、方程求解、不等式求解,挖掘几何性质或利用定义只是为了减少运算而不是完全去掉运算,所以在繁杂的数量关系中,一定水平的运算能力是解决问题的基本功. 问题6:已知直线l:y =x +1与曲线C:x 2a2+y 2b 2=1(a >0,b >0)交于不同的两点A,B,O 为坐标原点.(I)若|OA|=|OB|,求证:曲线C 是一个圆; (II)若OA ⊥OB ,当a >b 且a ∈[√62,√102]时,求曲线C 的离心率e 的取值范围.【解析】卡壳点:题设中几何条件的转化成为一个障碍.应对策略:充分利用两点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),当OA ⊥OB 时,得到x 1x 2+y 1y 2=0. 问题解答:(I)证明:设直线l 与曲线C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).因为|OA|=|OB|,所以√x 12+y 12=√x 22+y 22,即x 12+y 12=x 22+y 22, 所以x 12−x 22=y 22−y 12.因为点A,B 在曲线C 上,所以x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1.两式相减得x 12−x 22=a 2b 2(y 22−y 12).所以a 2b 2=1,即a 2=b 2.故曲线C 是一个圆.(II)设直线l 与曲线C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 因为a >b >0,所以曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆. 因为OA ⊥OB ,所以y 1x 1⋅y2x 2=−1,即y 1y 2=−x 1x 2.将y =x +1代人b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0,整理得(b 2+a 2)x 2+2a 2x +a 2−a 2b 2=0. 所以x 1+x 2=−2a 2a 2+b 2,x 1x 2=a 2(1−b 2)a 2+b 2.因为点A,B 在直线l 上,所以y 1y 2=(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1. 又因为y 1y 2=−x 1x 2,所以2x 1x 2+x 1+x 2+1=0. 所以2⋅a 2(1−b 2)a 2+b 2−2a 2a 2+b 2+1=0,所以a 2+b 2−2a 2b 2=0,即a 2+a 2−c 2−2a 2(a 2−c 2)=0， 整理得2a 4−2a 2+c 2−2a 2c 2=0,所以c 2=2a 2(a 2−1)2a 2−1.故e 2=c 2a 2=2(a 2−1)2a 2−1=1−12a 2−1.因为a ∈[√62,√102],所以2a 2−1∈[2,4],所以1−12a 2−1∈[12,34],故e ∈[√22,√32]. 【反思】为了寻找离心率的范围,题中给出某一个几何量的变化范围,本身就是一个提示,建立离心率与此几何量的关系是目标,也是智慧点.强化练习1.若离心率为e 1的椭圆与离心率为e 2的双曲线有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列,则e 12−1e 22−1等于（ ）A.−e 1B.−e 2C.−1e 1D.−1e 2【解析】由题意知c1=c2,d1=12√a2+b2=a1b2c2,d2=21√a2+b2=a2b1c2,d3=12√a2+b2=b2.从而(a2b1c2)2=a1b2c2⋅b2,即a22(a12−c12)=a1c2(c22−a22),两边同除以a12得e12−1e22−1=−e1.故选A.【反思】三个点到一直线的距离间有等量关系,因此为寻找两曲线离心率间的关系指出了方向.2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,若l与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为（）A.√2 B.√3 C.2 D.√5【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为l:x=−1,|AB|=4|OF|=4.因为A(−1,ba ),所以ba=2,e2=1+(ba )2=5,选择D.【反思】对条件“|AB|=4|OF|”的挖掘是关键.3.如图,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（）A.√2B.√3C.32D.√62【解析】解法1思维进人一般方法时:由题意OB2=3,则有，解得所以8a 2−13−a 2=3,整理得a 4−6a 2+8=0,解得a 2=2或a 2=4(舍去),选择D .解法2思维进人定义时:由题意c =3,AF 2+AF 1=4,AF 2−AF 1=2a ,解得AF 2=2+a,AF 1=2−a .又AF 12+AF 22=F 1F 22,得a =2,e =√62.选择D . 【反思】把题设条件中图形的几何性质挖掘出来.4.(1)如图1,已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,虚轴的上端点为B ,线段AB 与渐近线交于点M ,若FM 平分∠BFA ,则该双曲线的离心率e 等于（ ）A.1+√3B.1+√2C.√3D.√2（2）如图2,A,F 分别是双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a,b >0)的左顶点、右焦点,过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直,与另一条渐近线和y 轴分别交于点P 和点Q .若AP ⊥AQ ,则C 的离心率是（ ）A.√2B.√3C.1+√134D.1+√1742222222213143x y a a x y x y ⎧-=⎪-⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩228313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】(1)AB:x a +y b =1,OM:y =b a x ,解得M (a 2,b2),故M 为AB 的中点,从而判断△ABF 为等腰三角形,BF =FA,√c 2+b 2=a +c , 所以e 2−2e −2=0,解得e =2+√122=1+√3,选择A .(2)F(c,0),c 2=b ×FQ,FQ =c 2b,OQ =√c 4b 2−c 2=ac b,PQ:x c+by ac=1,联立方程{bx +ay =0,ax +by =ac,解得P (a 2c a 2−b 2,−abc a 2−b 2),于是acb−00+a ⋅−abca 2−b 2−0a 2c a 2−b2+a=−1,整理得2a 2+ac −2c 2=0,解得e =1+√174,选择D .【反思】抽象字母的代数式运算是基本功,在圆雉曲线运算中涉及方程组求解、繁分式运算都是常事,首先内心要接受,其次努力去化简,运算智慧是关键.5.如图,已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上一点,Q为双曲线渐近线上一点，点P ，Q 均位于第一象限，且2QP → =PF 2→ ,QF 1→ ∙QF 2=0→ ,则双曲线C 的离心率为（ ）A.√3−1B.√3+1C.√13−2D.√13+2【解析】设F 2(c,0),Q (x,bax),由““QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0”得(bx a)2=(c −x)(x +c)=c 2−x 2,解得x =a ,所以Q(a,b),从而得P (c+2a 3,2b 3).又点P 在双曲线上,所以(c+2a 3a)2−(2b 3b )2=1,化简得(e +2)2=13,选择C .【反思】(1)一是挖掘几何条件,即将几何条件代数化;二是运算中不能出错,细心细心再细心,代入时要细心,计算时要细心,一步一步做,不要跳步,要在草稿纸上留下痕迹,以便核对. (2)解析几何问题以运算繁杂为主要特征,因为运算要涉及运算方向、运算规则、运算次序,稍有一点出错,就可能导致解题失败.6.已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 为椭圆C 上一点,且∠F 1PF 2=π3,若点F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点在椭圆C 上,则椭圆C 的离心率为_________.【解析】本题容易设点运算进人复杂思路,难以自拔.事实上,△F 1PF 2为正三角形,由于点P 的任意性,考虑特殊化情形,即PQ 为通径时,如答图.第6题答图可得b2a2c=tan π6=√33,所以a2−c2ac=2√33,即1e −e=2√33,整理得e2+2√33e−1=0,解得e=√33.【反思】(1)对圆雉曲线小题题设的每一个信息都要把握,缺一不可,否则思维就要受阻,一定要从几何图形上去挖掘,从特殊化上去挖掘,从定义上去挖掘,一旦进入实际计算，就会有新会有繁杂的运算等着你.(2)将一般问题特殊化处理是解决小题的常用思维方式,小题不能大做.7.设F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A是该椭圆上位于第一象限的一点,过点A作圆x2+y2=b2的切线,切点为P,则|AF|−|AP|=________.【解析】设F(−c,0),A(acos θ,bsin θ),其中θ∈(0,π2)|AF|=√(acos θ+c)2+b2sin2 θ=√a2cos2 θ+2accos θ+c2+(a2−c2)sin2 θ=√a2+2accos θ+c2cos2 θ=a+ccos θ,|AP|=√|OA|2−b2=√a2cos2 θ+b2sin2 θ−b2=ccos θ,|AF|−|AP|=a.【反思】椭圆上点的三角表示是运算简化的基础.8.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0),过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若|AF2|= 2|F2B|,|AB|=|BF1|,则椭圆的离心率是__________.【解析】如答图所示,第8题答图设|AF 2|=2|F 2B |=2r 1,|AF 1|=r 2.由椭圆定义可列{r 1+3r 1=2a,r 2+2r 1=2a,所以|AF 1|=r 2=a ,|AF 2|=a,|BF 2|=a2.在△ABF 1与△BF 2F 1中运用余弦定理,cos B=(32a)2+(32a)2−a 22×32a ×32a=(32a)2+(12a)2−42×32a ×12a解得a 2=3,所以椭圆的离心率为√33.【反思】运用圆锥曲线的定义去建立几何量之间的关系是解题的关键点.9.如图,F 1和F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F 2AB 是等边三角形,求双曲线的离心率.【解析】解法1设AB交x轴于点M,并设双曲线的半焦距为c,因为△F2AB是等边三角形,所以|OM|=c2,|MA|=√32c将点A(−c2,√32c)代人双曲线方程:b2⋅c24−a2⋅34c2=a2b2,即c2(c2−a2)−3a2c2=4a2(c2−a2),他简珙c1−8a2c2+4a4=0,即e4−8e2+4=0，解得e2=4+2√3,e=√3+1.(因为e>1,所以e2=4−2√3及e=√3−1舍去)解法2连接AF1,则△AF1F2为直角三角形,且斜边F1F2之长为2c. 令|AF1|=r1,|AF2|=r2,由直角三角形的性质知:{r2−r1=2a,12r2⋅2c=r1r2,解得{r1=c,r2=2a+c.因为r12+r22=4c2,所以(2a+c)2+c2=4c2,即2a2+2ac−c2=0,整理得e2−2e−2=0. 因为e>1,所以取e=√3+1.【反思】两种解法都是运用圆雉曲线的定义与相关几何条件建立方程,即使是用解析法解题,也应不失时机地引入几何手段.。
曲线的离心率求法
圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+， （2）双曲线：222c b a =+3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解，或者带入曲线求解 （3）利用三角形的相似关系 （4）利用点线距离关系4、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的坐标是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、考点一：求离心率 方法一：焦点三角形问题例1（1）：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．3 B ．6 C ．13 D ．16答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。
四川省成都市高2024学年高三数学第一学期期末学业水平测试试题含解析
四川省成都市高2024学年高三数学第一学期期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．3C ．4D ．22．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D 5 3．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->4．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–207．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A 2B ．22C 21D ．2218．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-9．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（ ）A ．1133902-+B ．11331002-+C ．1233902-+D ．12331002-+10．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β11．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体12．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．74二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.设是关于t的方程的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为A．3B．2C．1D．0【答案】D【解析】关于t的方程的不同的两根为0，，不妨取=0，=，直线AB 过原点，斜率为==，恰是双曲线的一条渐近线，故与该双曲线的公共点的个数为0，故选D.【考点】直线的方程，双曲线的渐近线，2.已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线右支上的一点，满足，且，则该双曲线离心率为．【答案】.【解析】，在中，设，则，.【考点】双曲线的离心率.3.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．4.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1D．【答案】B.【解析】由题意可知双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因此顶点到渐近线的距离为.【考点】双曲线的标准方程与渐近线方程.5.已知双曲线与抛物线有一个共同的焦点F, 点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若, 则此双曲线的离心率等于( )．A．B．C．D．【答案】A【解析】：∵抛物线的焦点F（，0），∴由题意知双曲线的一个焦点为F（c，0），>a,（1）即p>2a．∴双曲线方程为，∵点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若,∴p点横坐标x=，代入抛物线y2=8x得P，把P代入双曲线P，得，解得或因为p>2a．所以舍去，故（2）联立（1）（2）两式得c=2a,即e=2．故选A．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的离心率的求法．6.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率的值是．【答案】【解析】根据渐近线方程有,可知其渐近线的斜率的绝对值小于1,所以两条渐近线的倾斜角分别是与,则根据,得,根据双曲线中有则离心率为.【考点】双曲线渐近线,离心率.7.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可得，所以，所以该双曲线的离心率，故选C.【考点】双曲线的标准方程及其几何性质.8.在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，所以【考点】双曲线渐近线方程9.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为所以因此因为双曲线的渐近线方程为所以该双曲线的渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程10.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以三角形为等腰三角形，因此到直线的距离等于底边上的高线长，从而因此又所以该双曲线的渐近线方程为.【考点】双曲线的渐近线11.双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知，，，因为，所以，故选C．【考点】双曲线的离心率．12.若双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为．【答案】.【解析】由双曲线的渐近线方程为及性质可知，两边平方得，即.【考点】双曲线的几何性质.13.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 .【答案】2【解析】由题意知抛物线的焦点为，∴；双曲线的焦点到其渐近线的距离.【考点】双曲线的定义、抛物线的定义.14.已知、为双曲线C:的左、右焦点,点在曲线上,∠=,则到轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】题中唯一的条件是，为了充分利用此条件，我们设，且不妨设，则根据双曲线定义有，对利用余弦定理有，即，因此可求得，下面最简单的方法是利用面积法求得到轴的距离，，可得。
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. 一、典例分析，融合贯通 典例1 【2016年山东卷理科第13题】已知双曲线)>,>(=:0012222baby－axE，若矩形ABCD的四个顶
点在E上，CDAB,的中点为E的两个焦点，且BC3=AB2，则E的离心率为 【解法1】直接法 由题意c2=BC，所以3c=AB，
于是点),23（cc在双曲线E上，代入方程，得1492222=bc－ac， 在由2cba=+22得E的离心率为2==ace. 【点睛之笔】直接代入，少走弯路！ 【解法2】通径法
易得2bA(c,)a，2bB(c,)a，所以22b|AB|a，|BC|2c，由2AB3BC，222cab得离心率e2或1e2（舍去），所以离心率为2.e 【点睛之笔】通径法，此径通幽！
【点睛之笔】几何法，利用图形画出美好未来！ 【解后反思】 . 解法1：直接将数据代入，直奔主题，不走回头路！ 解法2：利用通径，减少计算量！ 解法3：利用数形结合法，以形助数！
典例2 【2009全国卷Ⅰ，理4】设双曲线12222byax(a＞0, b＞0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A.3 B.2 C.5 D.6
【点睛之笔】设而不求法，不求也能求！ 【解法2】导数法 设切点00(,)Pxy
'2,yx . 切线斜率02bkxa
02bxa
2002
20
,21,2bbyxaabya
224ba
.
又2222222,45cabcaaa
5cea ，故选C.
【点睛之笔】导数法，快速确定解题方向！ 【解后反思】 解法1:设而不求法，再也不求人！ 解法2：利用导数的几何意义，迅速突破难点，确定解题方略！
3. 典例3双曲线12222byax的离心率为e1,双曲线12222axby的离心率为e2, 则 2221
11ee_________, e1+e2 的最小值为______. e1·e2的最小值为______ .
由双曲线离心率定义知：bbaea
bae222221, , 故有2212111ee. . 【点睛之笔】均值不等式，不患寡而患不“均”！ 【解法2】换元法 不妨设1,121yexe，则问题相当于：,11122yx求yx、xy的最小值。
由均值不等式得：xyyxyx
21121112222 ，∴ 2xy，等号成立，当且仅当yx ，即 21ee，
进而推出 ,ba即122ee
时.而 822222)(222222xyyxxyyxyx
82222，∴ 22yx，等号成立，当且仅当122ee时取等号（由,11122
yx去分母可得：
2222yxyx） .
故答案依次为：1,22,2 . 【点睛之笔】换元法，换了都说好！ 【解后反思】 解法1：一正二定三相等，解起题来不需等！ 解法2：换元法，越换越简练，越换越明了！ 二、精选试题，能力升级 . 1.【2018辽宁省八中模拟】已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点为1F、2F，在双曲线上存
在点P满足12122PFPFFF
,则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A. 12e B. 2e C. 12e D. 2e 【答案】B
2.【2018广东省海珠区一模】已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两条渐近线均与圆
22650xyx相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（ ）
A. 63 B. 62 C. 355 D. 52 【答案】C 【解析】双曲线222210,0xyabab的渐近线方程为byxa，即0bxay，圆
22:650Cxyx
化为标准方程2234,3,0xyC，半径为2， 双曲线
222210,0xyabab的两条渐近线均和圆22:650Cxyx相切，
222
22
32,944bbbaba
222,944bba
222222224,54babcacaa， 223595,5cacea， 双曲线离心
率对于355，故选C. 3.【2018广西柳州市一模】若双曲线22221xyab (0,0)ab
上存在一点P满足以OP为边长的正方形
的面积等于2ab（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ） . A. 51,2 B. 71,2 C. 5,2 D. 7,2 【答案】C
4.【2018湖南省永州市一模】已知点P为双曲线22221(0,0)xyabab右支上一点， 12,FF分别为双
曲线的左右焦点，点I为12PFF
的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121212IPFIPFIFFSSS成立，则
双曲线的离心率取值范围为（ ）A. 1,2 B. 1,2 C. 0,2 D. 2,3 【答案】A
【解析】 如图，设圆I与12FF的三边12FF、1PF
、2PF分别相切于点,,EFG，连接IE、IF、IG，则
1212,,IEFFIFPFIGPF，它们分别是1212,,IFFIPFIPF的高
12112211,2222IPFIPFrrSPFIFPFSPFIGPF， 121212122IFFrSFFIEFF其中r是12PFF
的内切圆的半径，因为121212IPFIPFIFFSSS所以1212224rrrPFPFFF，两边约去
2r得1212121211,22PFPFFFPFPFFF，根据双曲线定义，得12122,2PFPFaFFc，
2ac离心率为2cea，双曲线的离心率取值范围为1,2，故选A.
5.【2018陕西西工大附中六模】已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线与抛物线28yx的 . 准线分别交于,AB两点， O为坐标原点，若ABO的面积为43，则双曲线的离心率为( ) A. 72 B. 2 C. 13 D. 4 【答案】B
6.【2013课标全国Ⅰ，理4】已知双曲线C：2222=1xyab(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( )．A．y＝14x B．y＝13x C．y＝12x D．y＝±x
【答案】：C 【解析】：∵52cea，∴ 22222254cabeaa.∴a2＝4b2，1=2ba.∴渐近线方程为12byxxa.
7.【2011全国新课标，理7】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )
A． 2 B．3 C． 2 D． 3 【答案】B 【解析】 . 8.【2015高考新课标1，理5】已知M（00,xy）是双曲线C：2212xy上的一点，12,FF
是C上的两
个焦点，若120MFMF•
，则0y的取值范围是( )
（A）（-33，33） （B）（-36，36） （C）（223，223） （D）（233，233） 【答案】A 【解析】由题知12(3,0),(3,0)FF，220012xy，所以12MFMF•= 0000(3,)(3,)xyxy•
=2220003310xyy
，解得03333y，故选A.
9.【2018湖南两市九月调研】已知F为双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点，定点A为双曲线虚轴
的一个端点，过,FA两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若3ABFA，则此双曲