2011年高考四川卷理科数学(WORD版)及答案解析精校版

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2011年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2011年高考理科数学试题（天津卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题目）和第Ⅰ卷（非选择题目）两部分，共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()().P AB P A P B =棱柱的体积公式.V Sh =圆锥的体积公式1.3V Sh =其中S 表示棱柱的底面面积其中S 表示圆锥的底面面积 h 表示棱柱的高 h 表示圆锥的高一、选择题目：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，复数131ii--= A ．2i + B ．2i -C ．12i -+D ．12i --2．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．1105．在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为A ．154-B ．154C ．38-D ．386．如图，在△ABC 中，D 是边AC上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===，则sin C 的值为ABC．3D．67．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃--⎪⎝⎭C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭第II 卷二、填空题目：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m11．已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r =________.12．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则线段CE 的长为__________.13．已知集合{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________.14．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()tan(2),4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．16．（本小题满分13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率；（ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X . 17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B的中心，1AA =1C H ⊥平面11AA B B，且1C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长．18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．19．（本小题满分14分）已知0a >，函数2()ln ,0.f x x ax x =->（()f x 的图像连续不断）（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当18a =时，证明：存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2f x f =；（Ⅲ）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明ln 3ln 2ln 253a -≤≤．20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2n n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *n ∈N ，且122,4a a ==．（Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（III ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nk k kS n N a =<∈∑．2011参考答案一、选择题目：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分. BABDCDCB二、填空题目：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分. 9．12 10．6π+ 111213．{|25}x x -≤≤ 14．5 三、解答题15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分. （I ）解：由2,42x k k Z πππ+≠+∈，得,82k x k Z ππ≠+∈. 所以()f x 的定义域为{|,}82k x R x k Z ππ∈≠+∈ ()f x 的最小正周期为.2π （II ）解：由()2cos 2,2a f a =得tan()2cos 2,4a a π+=22sin()42(cos sin ),cos()4a a a a ππ+=-+ 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin a aa a a a a a+=+-- 因为(0,)4a π∈，所以sin cos 0.a a +≠因此211(cos sin ),sin 2.22a a a -==即由(0,)4a π∈，得2(0,)2a π∈.所以2,.612a a ππ==即16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分. （I ）（i ）解：设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),i A i ==则2132322531().5C C P A C C =⋅=（ii ）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B A A =，又22111322222222253531(),2C C C C C P A C C C C =⋅+⋅= 且A 2，A 3互斥，所以23117()()().2510P B P A P A =+=+= （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.212279(0)(1),101007721(1)(1),101050749(2)().10100P X P X C P X ==-===-==== 所以X 的分布列是 X 012P9100 2150 49100X 的数学期望921497()012.100501005E X =⨯+⨯+⨯=17．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点. 依题意得(22,0,0),(0,0,0),(2,2,5)A B C - 111(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)A B C（I ）解：易得11(2,2,5),(22,0,0)AC A B =--=-，于是111111cos ,3||||3AC A B AC A B AC A B ⋅===⋅⨯所以异面直线AC 与A1B 1所成角的余弦值为3（II ）解：易知111(0,22,0),(2,AA AC ==- 设平面AA 1C 1的法向量(,,)m xy z =，则11100m A C m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.⎧-=⎪⎨=⎪⎩不妨令x =可得m =，同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量(,,)n x y z =，则11110,0.n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.⎧-=⎪⎨-=⎪⎩不妨令y =可得n =于是2cos ,,||||7m n m n m n ⋅===⋅从而sin ,7m n =所以二面角A—A 1C 1—B的正弦值为7（III ）解：由N 为棱B 1C 1的中点，得N 设M （a ，b ，0），则2(,,222MN a b =-- 由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得11110,0.MN A B MN AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2()(22)0,22325()(2)()(2)50.222a ab ⎧-⋅-=⎪⎪⎨⎪-⋅-+-⋅-+⋅=⎪⎩解得2,22.4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故22(,,0).24M因此22(,,0)24BM =，所以线段BM 的长为10||.4BM = 方法二：（I ）解：由于AC//A 1C 1，故111C A B ∠是异面直线AC 与A 1B 1所成的角. 因为1C H ⊥平面AA 1B 1B ，又H 为正方形AA 1B 1B 的中心，1122,5,AA C H ==可得1111 3.AC B C ==因此22211111111111112cos .23AC A B B C C A B AC A B +-∠==⋅所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为2.3（II ）解：连接AC 1，易知AC 1=B 1C 1，又由于AA 1=B 1A 1，A 1C 1=A 1=C 1，所以11AC A ∆≌11B C A ∆，过点A 作11AR A C ⊥于点R ，连接B 1R ，于是111B R AC ⊥，故1ARB ∠为二面角A —A 1C 1—B 1的平面角.在11Rt A RB ∆中，2111112214sin 221().33B R A B RA B =⋅∠=⋅-= 连接AB 1，在1ARB ∆中，2221111114,,cos 2AR B R AB AB AR B R ARB AR B R+-==∠=⋅27=-，从而135sin .7ARB ∠=所以二面角A —A 1C 1—B 1（III ）解：因为MN ⊥平面A 1B 1C 1，所以11.MN A B ⊥ 取HB 1中点D ，连接ND ，由于N 是棱B 1C 1中点，所以ND//C 1H且1122ND C H ==. 又1C H ⊥平面AA 1B 1B ，所以ND ⊥平面AA 1B 1B ，故11.ND A B ⊥ 又,MNND N =所以11A B ⊥平面MND ，连接MD 并延长交A 1B 1于点E ，则111,//.ME A B ME AA ⊥故由1111111,4B E B D DE AA B A B A ===得1DE B E ==，延长EM 交AB 于点F ，可得12BF B E ==连接NE. 在Rt ENM ∆中，2,.ND ME ND DE DM ⊥=⋅故所以24ND DM DE ==可得4FM =连接BM ，在Rt BFM ∆中，4BM ==18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.（I ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c -> 由题意，可得212||||,PF F F =2.c =整理得22()10,1cc caa a+-==-得（舍），或1.2c a =所以1.2e = （II ）解：由（I）知2,,a c b == 可得椭圆方程为2223412,x y c += 直线PF 2方程为).y x c =-A ，B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得2580.x cx -= 解得1280,.5x x c ==得方程组的解21128,0,5,.5x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设8(,),(0,)55A c cB 设点M的坐标为833(,),(,),(,)55x yAM x c y c BM x y =--=则，由),.y x c c x y =-=-得于是838(,),1555AM y x y x =-- ().BM x=由2,AM BM ⋅=-即38)()255y x x y x -⋅+=-，化简得218150.x --=将22105,0.16x y c x y c x +===>得所以0.x >因此，点M的轨迹方程是218150(0).x x --=>19．本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.（I ）解：2112'()2,(0,)2ax f x ax x x -=-=∈+∞，令'()0,f x =解得当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x)+∞ '()f x +0 - ()f x极大值所以，()f x的单调递增区间是(0,()2f x a的单调递减区间是).2a+∞ （II ）证明：当211,()ln .88a f x x x ==-时由（I ）知()f x 在（0，2）内单调递增，在(2,)+∞内单调递减.令3()()().2g x f x f =-由于()f x 在（0，2）内单调递增，故3(2)(),2f f >即g(2)>0.取23419'2,(')0.232e x e g x -=>=<则所以存在00(2,'),()0,x x g x ∈=使即存在003(2,),()().2x f x f ∈+∞=使（说明：'x 的取法不唯一，只要满足'2,(')0x g x ><且即可）（III ）证明：由()()f f αβ=及（I）的结论知2aαβ<<，从而()[,]f x αβ在上的最小值为().f a又由1βα-≥，,[1,3],αβ∈知12 3.αβ≤≤≤≤故(2)()(1),ln 24,(2)()(3).ln 24ln39.f f f a a f f f a a αβ≥≥-≥-⎧⎧⎨⎨≥≥-≥-⎩⎩即从而ln 3ln 2ln 2.53a -≤≤20．本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.（I ）解：由*3(1),,2nn b n N +-=∈ 可得1,n n b ⎧=⎨⎩为奇数2,n 为偶数又1120,n n n n n b a a b a +++++=123123234434543;5;4.=-=-=当n=1时,a +a +2a =0,由a =2,a =4,可得a 当n=2时,2a +a +a =0,可得a 当n=3时,a +a +2a =0,可得a（II ）证明：对任意*,n N ∈2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++=②21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+即*1()n n c c n N +=-∈又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （III ）证明：由（II ）可得2121(1)kk k a a -++=-，于是，对任意*2k N k ∈≥且，有133********,()1,1,(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-将以上各式相加，得121(1)(1),kk a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k=1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*,2n N n ∈≥，44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意*,n N ∈2121212212n nn nS S S S a a a a --++++ 32121241234212()()()n nn nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n n n=--+--++----- 22211121()()()41244(41)44(41)n n nn n =-+-+--+-- 111().4123n n ≤-+=-选择填空解析2011年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题目（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•天津）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．【解答】解：复数===2﹣i故选B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目．2．（5分）（2011•天津）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明充分性；由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．【解答】解：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义．3．（5分）（2011•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．6【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．4．（5分）（2011•天津）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110B．﹣90C．90D．110【考点】等差数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出【解答】解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3•a9，∵{a n}公差为﹣2，∵a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4，所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10==110故选D【点评】本题是基础题，考查等差数列的前n项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型．5．（5分）（2011•天津）在的二项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．【考点】二项式定理．【专题】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为2，求出展开式中，x2的系数，即得答案．【解答】解：展开式的通项为T r+1=（﹣1）r22r﹣6C6r x3﹣r令3﹣r=2得r=1所以项展开式中，x2的系数为﹣故选C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．6．（5分）（2011•天津）如图，在∵ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】根据题中条件，在∵ABD中先由余弦定理求出cosA，利用同角关系可求sinA，利用正弦定理可求sin∵BDC，然后在∵BDC中利用正弦定理求解sinC即可【解答】解：设AB=x，由题意可得AD=x，BD=∵ABD中，由余弦定理可得∵sinA=∵ABD中，由正弦定理可得⇒sin∵ADB=∵∵BDC中，由正弦定理可得故选：D．【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等知识解三角形的问题，反复运用正弦定理、余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识，并能灵活选择基本工具解决问题．7．（5分）（2011•天津）已知，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】比较大小的方法：找1或者0做中介判断大小，log43.6＜1，log23.4＞1，利用分数指数幂的运算法则和对数的运算法则对c进行化简，得到＞1＞b，再借助于中间值log2进行比较大小，从而得到结果．，【解答】解：∵log23.4＞1，log43.6＜1，又y=5x是增函数，∵a＞b，＞==b而log23.4＞log2＞log3，∵a＞c故a＞c＞b．故选C．【点评】此题是个中档题．本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小，以及中介值法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．8．（5分）（2011•天津）对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）的解析式，并求出f （x）的取值范围，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．【解答】解：∵，∵函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∵c的取值范围是，故选B．【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．二、填空题目（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2011•天津）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为12．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男运动员48人，女运动员36人，∵这支田径队共有48+36=84人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，∵每个个体被抽到的概率是，∵田径队有男运动员48人，∵男运动员要抽取48×=12人，故答案为：12．【点评】本题考查分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题．10．（5分）（2011•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为6+πm3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积．【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2，高为3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1则V圆锥=•π•3=πV长方体=1×2×3=6则V=6+π故答案为：6+π【点评】本题考查的知识是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析几何体的形状是解答本题的关键．11．（5分）（2011•天津）已知抛物线C的参数方程为（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=．【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线的参数方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．【分析】由抛物线C的参数方程为我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，我们根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵抛物线C的参数方程为则抛物线的标准方程为：y2=8x则抛物线C的焦点的坐标为（2，0）又∵斜率为1的直线经过抛物线C的焦点则直线的方程为y=x﹣2，即经x﹣y﹣2=0由直线与圆（x﹣4）2+y2=r2，则r==故答案为：【点评】本题考查的知识点是直线与的圆位置关系，抛物线的简单性质及抛物线的参数方程，其中根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r的方程，是解答本题的关键．12．（5分）（2011•天津）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF求出k的值，利用切割定理求出CE．【解答】解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k=，∵AF=2，BF=1，BE=，AE=，由切割定理得CE2=BE•EA==，∵CE=．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，常考题型．13．（5分）（2011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B={x|﹣2≤x≤5}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出A∩B．【解答】解：集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，所以A={x|﹣4≤x≤5}；集合，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥﹣2}，所以A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5}，故答案为：{x|﹣2≤x≤5}．【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．14．（5分）（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∵BC，∵ADC=90°，AD=2，BC=1，P 是腰DC上的动点，则的最小值为5．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∵=（5，3a﹣4b）∵=≥5．故答案为5．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

2011年高考真题（河北省）——理科数学（河北省） Word版含答案

绝密 ★ 启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结束后，讲本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3、第I 卷红12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）复数z =1+i ，z 为z 的共复数，则z z -z -1=（A ）-2i （B ）-I （C ）I （D ）2i（2）函数)0(2y ≥=x x 的反函数为（A ）)(42R x x y ∈= （B ）)0(42≥=x x y （C ）)(42R x x y ∈= （D ）)0(42≥=x x y （3）下面四个条件中，使b a >成立的充分而不必要的条件是（A ）1+>b a （B ）1->b a（C ）22b a > （D ）33b a >（4）设πS 为等差数列}{πa 的前n 项和，若11=a ，公差2=d ，242=-+k k S S ，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数)0(cos )(>=ωωx x f ，将)(x f y =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）31 （B ）3 （C ）6 （D ）9(6)已知直二面角，点βια--，ι⊥AC ，C 为垂足，β∈B ，ι⊥BD ，D 为垂足，若2=AB ，1==BD AC ，则D 到平面ABC 的距离等于（）(A) 32 (B) 33 (C) 36(D) 1(7) 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）(A)4种 (B) 10种 (C) 18种 (D)20种（8）曲线12+=-x e y 在点（0，2）处的切线与直线0=y 和x y =围成的三角形的面积为（A ）31 （B ）21 （C ）32（D ）1（9）设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=2x(1-x),则（A ）（B ）（C ）（D ）（10）已知抛物线C ：的焦点为F ，直线y=2x-4与C 交与A ，B 两点，则cos ∠AFB=（A ）（B ）（C ）（D ）（11）已知平面截一球面得圆M ，过圆心M 且与成二面角的平面截该球面得圆N.若该球面得半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（A ）7π （B ）9π （C ）11π （D ）13π（12）设向量a ，b ，c 满足|a|=|b|=1，a b=，<a-c,b-c>=,则|c|的最大值等于（A ）2 （B ）（C ）（D ）1第II 卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号，姓名和科目。

2011年高考真题（河北省）——理科数学（河北省） Word版含解析

2011年高考全国卷I 理科数学试题详细解析（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i（D ）2i【思路点拨】先求出的z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。

【精讲精析】选B .1,1(1)(1)(1)1z i zz z i i i i =---=+----=-.（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。

【精讲精析】选B .在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解x 得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞（B ）1a b -＞（C ）22a b ＞（D ）33a b ＞【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。

（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。

思路二：利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

【精讲精析】选D .22112(21)2(21)224 5.k k k k S S a a a k d k k +++-=+=++=++⨯=⇒=（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。

2011届高考数学考前抢分押题卷——四川卷理1

2011届高考数学考前抢分押题卷——四川卷：理1一．选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3|0,|31x M x N x x x +⎧⎫=<=≤-⎨⎬-⎩⎭，则集合{}|1x x ≥为（） A ．MN B ．MN C ．()R MN ð D ．()R MN ð2．已知复数1234i.i z z t =+=+，且12z z ⋅是实数，则t =（） A ．43B ．34C ．34-D ．43-3．下列命题：①若()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，(,)42θππ∈，则(s i n )(c o s f fθθ>；②若锐角,αβ满足cos sin αβ>，则2αβπ+<； ③在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的充要条件; ④要得到函数cos()24xy π=-的图象，只需将sin2x y =的图象向左平移4π个单位．其中真命题的个数有（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．10张奖券中有2张是有奖的，甲．乙两人中各抽1张，甲先抽，然后乙抽，设甲中奖的概率为1P ，乙中奖的概率为2P ，那么（） A ．12P P > B ．12P P < C ．12P P = D 12,P P 大小不确定 5．已知22lim()21x x ax b x →∞--=+，其中,a b R ∈，则a b -的值为（）A ．-6B ．2-C ．2D ．66．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为AD 中点，O 为侧面11AA B B 的中心，P 为侧棱1CC 上任意一点，那么异面直线OP 与BM 所成的角是（） A ．90 B ．60 C ．45 D ．307．在体积为1V 的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为边1,DD AB 的中点，正方体的外接球的体积为V ,有如下四个命题；①1BD ②1BD 与底面ABCD 所成角是45；③1V V =； ④MN 平面1D BC ．其中正确命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知平面上三点,,A B C 满足||3,||4,||5AB BC CA ===，则AB BC BC CA CA AB ++的值等于（） A ．25B ．24C ．－25D ．－24快餐公司个数情况图快餐公司盒饭年销量的平均数情况图万盒/个个9．已知函数288(1)()65(1)x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，()ln g x x =，则(),()f x g x 两函数的图像的交点个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．在1[,2]2x ∈上，函数2()f x x Px q =++与33()22x g x x=+在同一点取得相同最小值，那么()f x 在1[,2]2x ∈上的最大值是（）A ．134B ．4C ．8D ．5411．若椭圆22111(1)x y m n m n +=>>和双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有公共的焦点1F ，2F ,P 是它们的一个公共点，则12PF PF 的值是（） A ．2212m m -B ．12m m -CD ．124()m m -12．设全集34120{(,)|,},{(,)|280}260x y U x y x y P x y x y x y +->⎧⎪=∈∈=--≤⎨⎪-+≥⎩R R ，222{(,)|,}Q x y x y r r =+≤∈R +，若Q ⊆U C P 恒成立，则实数r 最大值是（） A ．165 B ． 145C ．125D ．75二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试．．．．．题卷上作答无效．．．．．．．）13．某校高中研究性学习小组对本地区2005年至2007年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如上图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒． 14．如果不等式(1)a x >-的解集为A ，且{|02}A x x ⊆<<，那么实数a 的取值范围是．15．点P 是双曲线2222221222:1(0,0):x y C a b C x y a b a b-=>>+=+和圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中12,F F 是双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为．16．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A ，B n ，且n n A B =7453n n ++，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是．三．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分）在ABC ∆中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sin A B ==（Ⅰ）求A B +的值；（Ⅱ）若1a b -=，求,,a b c 的值． 17．（本小题满分10分）ABCD 是边长2a 的正方形，ABEF 是矩形，且二面角C AB F --是直二面角，AF a =，G 是EF 的中点．（Ⅰ）求证：平面AGC ⊥平面BGC ；（Ⅱ）求GB 与平面AGC 所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B AC G --的大小．G A BCD E F18．（本小题满分12分）下面玩掷骰子放球的游戏：若掷出1点，甲盒中放入一球；若掷出2点或是3点，乙盒中放入一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放入一球! 设掷n次后，甲．乙．丙盒内的球数分别为,,x y z（Ⅰ）当3n=时，求x．y．z成等差数列的概率；（Ⅱ）当6n=时，求x．y．z成等比数列的概率；（Ⅲ）设掷4次后，甲盒和乙盒中球的个数差的绝对值为ξ，求Eξ．19．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于,M N两点，当线段,M N的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l20．（本小题满分12分）已知点*1122(1,),(1,),,(1,)()n n B y B y B y N N ∈在直线112y x =+上，点1122(,0),(,0),A x A x 33(,0),A x ,(,0)n n A x 顺次为x 轴上的点,其中1(01)x a a =<<，对于任意*n N ∈，点1,,n n n A B A +构成以n B ∠为顶角的等腰三角形, 设1n n n A B A +∆的面积为．．．．n S ．（Ⅰ）证明：数列{}n y 是等差数列；（Ⅱ）求21n S -；（用a 和n 的代数式表示）；（Ⅲ）设数列2121n n S S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，判断n T 与8n*()n ∈N )的大小，并证明你的结论；21．（本小题满分14分）已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若方程()0f x m +=在1[,]e e内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底数）；（Ⅲ）令()()g x f x kx =-，若()g x 的图象与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x (其中12x x <)AB 的中点为0(,0)C x求证：()g x 在0x 处的导数/0()0g x ≠．x参考答案一：1-5 DBBCD 6-10 ABCCB 11-12 BC 二：13．【答案】：85 14．【答案】：[)2,a ∈+∞151 16．【答案】：5 三：17．解：（Ⅰ）∵,A B 为锐角，sin A B =∴ cos A B ==…2分cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-=---4分 ∵ 0A B <+<π∴ 4A B π+=…4分（Ⅱ）由（I ）知34C π=，∴ sin C …5分由sin sin sin a b cA B C==得=，即,a c =…8分又∵ 1a b -=∴1b -= ∴ 1b =GABCD EFHO∴ a c =…10分18．解：【解法一】：（Ⅰ）因为正方形ABCD CB AB ∴⊥ 又二面角C AB F --直二面角． ...2,,,CB ABEF AC ABEF CB AG AD a AF a ABEF G EF ∴⊥⊂∴⊥==平面平面又是矩形是的中点222,2,,AG BG AB a AB AG BG ∴====+,AG BG CB BG BAG BGC∴⊥=∴⊥又平面,AG AGCAGC BGC ⊂⊥而平面故平面平面…3分（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知平面AGC ⊥平面BGC ，且交于GC ，在平面BGC 内用BH GC ⊥，垂足为H ，则BH ⊥平面AGC ．.BGH BG AGC ∴∠是与平面所成的角…4分,,tan Rt CBG BG CBBGH BG ∴∆∴===在中BGH BG AGC ∴∠=即与平面所成的角为…6分（Ⅲ）由（Ⅱ）知BH ⊥平面AGC ，作BO AC ⊥，垂足为O ，连结,HO HO AC ⊥，,,,.BOH B AC G Rt ABC BO BC BG Rt CBG BH CG ∴∠--∆=⋅∆===为二面角的平面角在中在中,sin BH Rt BOH BOH BO BOH B AC G ∴∆==∴∠=--在中即二面角的大小为…10分【解法二】：如图，以A 为原点建立直角坐标系A xyz -，则A （0，0，0），B （0，2a ，0），C （0，2a ，2a ），(,,0)G a a ，(,0,0)F a（Ⅰ）(,,0),(,,0),(0,0,2),AC a a BG a a BC a ==-=(,,0)(,,0)0,(,,0)(0,0,2)0,,,,AG BG a a a a AG BC a a a AG BG AG BC AG BGC AG AGC ∴⋅=⋅-=⋅=⋅=∴⊥⊥∴⊥⊂平面又平面故平面ACG ⊥平面BGC…3分（Ⅱ）设GB 与平面AGC 所成角为θ由题意可得：(,,0),(0,2,2),(,,0)AG a a AC a a BG a a ===- 设平面AGC 的一个法向量为(,,1)n x y =，由0,0,1,,(1,1,1).220,1,0AG n ax ay x n ay a y AC n ⎧⋅=+==⎧⎧⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+==-⋅=⎩⎩⎪⎩||sin ||||BC n BG n θ⋅∴==⋅ ∴GB 与平面AGC 所成角的大小为…6分（Ⅲ）因(1,1,1)n =-是平面AGC 的一个法向量，,(,0,0),|n |n ,|cos ||||n |AF ABCD ABCD AF a AF AF AF αα⊥=⋅∴===⋅又平面平面的一个法向量设与的夹角为得 B AC G ∴--二面角的大小为…10分19．解：（Ⅰ）因3x y z ++=，且2y x z =+，所以012x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，或111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，或210x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ …1分当0x =，1y =，2z =时，只投掷3次出现1次2点或3点．2次4点或5次6点，即此时的概率为101231111()()()6324C ⋅⋅⋅=．…2分当1,1,1x y z ===时，只投掷3次出现1次1点．1次2点或是3点．1次4点或5点或6点，即此时的概率为11111321111()()()6326C C ⋅⋅⋅⋅=…3分当2,1,0x y z ===时，只投掷3次出现2次1点．1次2点或3点，即此时的概率为121031111()()()63236C ⋅⋅⋅=． …4分故当3n =时，,,x y z 成等差数列的概率为111446369++=；…5分（Ⅱ）当6n =，且x y z 、、成等比数列时，由6x y z ++=，且2y x z =⋅ 得：2x y z ===．此时概率为2222226421115()()()63272C C C ⋅⋅⋅⋅⋅=； …7分（Ⅲ）ξ的可能值为0，1，2，3，4．4111122222243242111111107(0)()()()()()()263263432P C C C C C ξ==+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=1131132211111122114442143111111111115(1)()()()()()()()()()()623263263212P C C C C C C C C ξ==+++=222222331113444411*********(2)()()()()()()()()62326363648P C C C C ξ==+++=3313114411111(3)()()()()623212P C C ξ==+=；4444441117(4)()()631296P C C ξ==+=；107515511797012344321264812129681E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …12分20．解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为22221(0),x y a b ab+=>>焦距为2c ，由题设条件知，28,,a b c == 所以221 4.2b a ==故椭圆C 的方程为22184x y +=…4分（Ⅱ）椭圆C 的左准线方程为4x =-所以点P 的坐标（-4，0），显然直线l 的斜率k 存在，所以直线l 的方程为：(4)y k x =+．如图，设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,),x y x y 线段MN 的中点为00(,)G x y ，由22(4),184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)163280k x k x k +++-=． ……① 由2222(16)4(12)(328)0k k k ∆=-+->解得：k ……②…9分因为12,x x 是方程①的两根，所以21221612k x x k+=-+，于是1202x x x +==22812k k -+，0024(4)12k y k x k =+=+ ．因为2028012k x k =-≤+，所以点G 不可能在y 轴的右边，又直线1211,F B F B 方程分别为2,2,y x y x =+=-- 所以点G 在正方形Q 内（包括边界）的充要条件为000022y x y x ≤+⎧⎨≥--⎩即222222482,1212482,1212k k k k k k k k ⎧≤-+⎪⎪++⎨⎪≥-⎪++⎩ 亦即222210,2210.k k k k ⎧+-≤⎪⎨--≤⎪⎩ 解得：k ≤故直线l 斜率的取值范围是：[…12分21．解：（Ⅰ）由于点*1122(1,),(1,),,(1,)()n n B y B y B y N N ∈在直线112y x =+上，112n y n =+112n n y y +-=，所以数列{}n y 是等差数列…2分（Ⅱ）由已知有1,2n n x x n ++=，那么12,n n x x n ++=同理122(1),n n x x n +++=+以上两式相减，得22n n x x +-=， ∴13521,,,...,,...n x x x x -成等差数列；2462,,,...,,...n x x x x 也成等差数列． …4分211(1)222n x x n n a -=+-⨯=+-，22(1)2(2)(1)22n x x n a n n a =+-⨯=-+-⨯=- 点212(22,0),(2,0)n n A n a A n a -+--，则2122(1)n n A A a -=-，2212n n A A a +=，11,2n y n =+212122*********(1)(1)(1)22n n n n A B A n n n S S a y a y a ---∆--+==⨯-⨯=-=-⨯ …6分（Ⅲ）由（Ⅰ）得:222122212(1)2n n n n A B A n n S S a y ay a n +∆==⨯⨯==+， ……10分则2221(1)(1)(21)1(1)(21)(1)(21)2228n n a a n n a a n n n n S S --+++-++++⎛⎫=≤⨯= ⎪⎝⎭ 而2210n n S S ->，则18(1)(21)n n k T k k =≥++∑，即11161116(22)(21)2122n n n k k T k k k k ==⎛⎫≥=- ⎪++++⎝⎭∑∑ ∴11111116()()()34562122n T n n ⎛⎫≥-+-++- ⎪++⎝⎭ ∴11111111116()()()2()345621224622n T n n n ⎛⎫≥++++++-+++ ⎪+++⎝⎭ 11111623222n T n n n ⎛⎫≥+++- ⎪+++⎝⎭ ，由于 11222n n +>++ 2223422n n n ++++<=, 234n >+, 从而11422234n n n +>+++, …10分同理:11432134n n n +>+++……11422234n n n +>+++以上1n +个不等式相加得：1114(1)2()232234n n n n n ++++>++++ 即1112(1)232234n n n n n ++++>++++，从而 2(1)181634234n n n T n n +⎛⎫>-= ⎪++⎝⎭ …12分22．解：（Ⅰ）()2a f x bx x '=-，()242a f b '=-，()2ln 24f a b =-． ∴432ab -=-，且ln2462ln22a b -=-++． …2分解得：2,1a b ==． …3分（Ⅱ）()22ln f x x x =-，令()2()2ln h x f x m x x m =+=-+，则()2/22(1)2x h x x x x -=-=，令()/0h x =，得1x =（1x =-舍去）．在1[,]e e 内，当1[,1)x e∈时，/()0h x >， ∴ ()h x 是增函数；当[1,]x e ∈时，/()0h x <， ∴ ()h x 是减函数 …5分则方程()0h x =在1[,]e e 内有两个不等实根的充要条件是1()0,(1)0,()0.h e h h e ⎧≤⎪⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎪⎩…6分即2212m e <≤+，…8分（Ⅲ）2()2ln g x x x kx =--，/2()2g x x k x =--．假设结论成立，则有21112222120002ln 0, 2ln 0, 2, 220. x x kx x x kx x x x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩①②③④ …9分 ①－②，得221121222ln()()0x x x k x x x ----=． ∴12012ln 22x x k x x x =--． …10分由④得0022k x x =-， ∴12120ln 1x x x x x =- …11分即121212ln 2x x x x x x =-+，即11212222ln 1x x x x x x -=+．⑤令12x t x =，22()ln 1t u t t t -=-+（01t <<)， …12分则22(1)()(1)t u t t t -'=+＞0．∴()u t 在01t <<上增函数， ∴()(1)0u t u <=，…13分 ∴⑤式不成立，与假设矛盾． ∴()00g x '≠． …14分。

2011年高考数学真题文科(四川卷)word解析版

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)k kn kn n P k C P P -=-第一部分（选择题共60分）1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本大题共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．若全集{1,2,3,4,5}M =，{2,4}N =，则M N =ð（A ）∅ （B ）{1,3,5} （C ）{2,4}（D）{1,2,3,4,5}答案：B解析：∵{1,2,3,4,5}M =，则M N =ð{1,3,5}，选B ．2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（A ）211 （B ） 13（C ）12 （D ）23答案：B解析：大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占221663=，选B ．3．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（A ）(2，3)（B ）(－2，3)（C ）(－2，－3)（D ）(2，－3)答案：D解析：圆方程化为22(2)(3)13x y -++=，圆心(2，－3)，选D ．4．函数1()12x y =+的图象关于直线y =x 对称的图象像大致是答案：A解析：1()12x y =+图象过点(0,2)，且单调递减，故它关于直线y =x 对称的图象过点(2,0)且单调递减，选A ． 5．“x ＝3”是“x 2＝9”的（A ）充分而不必要的条件（B ）必要而不充分的条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要的条件答案：A解析：若x ＝3，则x 2＝9，反之，若x 2＝9，则3x =±，选A ． 6．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A ）12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒（B ）12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥（C ）233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面（D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面答案：B解析：由12l l ⊥，23//l l ，根据异面直线所成角知1l 与3l 所成角为90°，选B ．7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（A ）0 （B ）BE（C ）AD （D ）CF答案：D解析：BA CD EF CD DE EF CF ++=++=，选D ．8．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ答案：C解析：由222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得222a b c bc ≤+-，即222122b c a bc +-≥，∴1cos 2A ≥，∵0A π<<，故03A π<≤，选C ．9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6=（A ）3 × 44（B ）3 × 44+1（C ）44（D ）44+1答案：A解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ．10．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（A ）4650元（B ）4700元（C ）4900元（D ）5000元答案：C解析：设派用甲型卡车x （辆），乙型卡车y （辆），获得的利润为u （元），450350u x y =+，由题意，x 、y 满足关系式12,219,10672,08,07,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≥⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩作出相应的平面区域，45035050(97)u x y x y =+=+在由12,219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩确定的交点(7,5)处取得最大值4900元，选C ．11．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- 答案：A解析：令抛物线上横坐标为14x =-、22x =的点为(4,114)A a --、(2,21)B a -，则2AB k a =-，由22y x a a '=+=-，故切点为(1,4)a ---，切线方程为(2)60a x y ---=，该直线又和圆相切，则d =，解得4a =或0a =（舍去），则抛物线为2245(2)9y x x x =+-=+-，定点坐标为(2,9)--，选A ．12．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b =α，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则mn=（A ）215 （B ）15 （C ）415 （D ）13答案：B解析：∵以原点为起点的向量(,)a b =α有(2,1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)共6个，可作平行四边形的个数2615n C ==个，结合图形进行计算，其中由(2,1)(4,1)、(2,1)(4,3)、(2,3)(4,5)确定的平行四边形面积为2，共有3个，则31155m n ==，选B ．第二部分（非选择题共90分）注意事项：1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．2．本部分共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．9(1)x +的展开式中3x 的系数是_________．（用数字作答）答案：84解析：∵9(1)x +的展开式中3x 的系数是639984C C ==．14．双曲线2216436x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么P 到左准线的距离是____．165=，则为α，圆柱侧面积S π，此时球的表面积与2x =，则称()f x 为单函解析：对于①，若12()()f x f x =，则12x x =±，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题共l2分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A 、B ，则111()1424P A =--=，111()1244P A =--=．答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14、14．（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ，则1111111111113()()()()4244222442444P C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为3418．（本小题共l2分）2[()]20f β-=．余弦公式、诱导公式3sin4x π，最小值min ()2f x =-． 4sin sin 5αβ=-2πβ=．=1，延长A 1C 1至点P ，本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力．解法一：（Ⅰ）连结AB 1与BA 1交于点O ，连结OD ，∵C 1D ∥平面AA 1，A 1C 1∥AP ，∴AD =PD ，又AO =B 1O ， ∴OD ∥PB 1，又OD ⊂面BDA 1，PB 1⊄面BDA 1， ∴PB 1∥平面BDA 1．（Ⅱ）过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连结BE ．∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC =A ，∴BA ⊥平面AA 1C 1C ．由三垂线定理可知BE ⊥DA 1． ∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角．在Rt △A 1C 1D中，1A D =，又1111122AA D S AE ∆=⨯⨯=，∴AE = 在Rt △BAE中，BE =，∴2cos 3AH AHB BH ∠==．故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23．解法二：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，(0,2,0)P ．（Ⅰ）在△P AA 1中有11C D AA =，即1(0,1,)D ．∴1(1,0,1)A B = ，1A D =设平面BA 1D 则11110,10.2A B a c A D b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ∵1111(1)2B P ⋅=⨯-+⨯ n ∴PB 1∥平面BA 1D ，又2(1,0,0)=n 为平面AA 112123312==⨯．故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23． 20．（本小题共12分）已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和．（Ⅰ）当1S 、3S 、4S 成等差数列时，求q 的值；（Ⅱ）当m S 、n S 、l S成等差数列时，求证：对任意自然数k ，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）由已知，1n n a aq -=，因此1S a =，23(1)S a q q =++，234(1)S a q q q =+++．当1S 、3S 、4S 成等差数列时，1432S S S +=，可得32aq aq aq =+．化简得210q q --=．解得q =．（Ⅱ）若1q =，则{}n a 的每项n a a =，此时m k a +、n k a +、l k a +显然成等差数列．若1q ≠，由m S 、n S 、l S 成等差数列可得2m l nS S S +=，即(1)(1)2(1)111m l n a q a q a q q q q ---+=---．整理得2m l n q q q +=．因此，11()22k m l n k m k l k n k a a aq q q aq a -+-++++=+==．所以，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列． 21．（本小题共l2分）过点C (0，1)的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆与x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；（Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅为定值．查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．解：（Ⅰ）由已知得1,c b a ==2a =椭圆的右焦点为，此时直线l 的方程为 1y =+1211,7y y ==-，所以221)80x kx ++=．2)，联立得4,2 1.x k y k =-⎧⎨=+⎩k故OP OQ ⋅为定值． 22．（本小题共l4分）已知函数21()32f x x =+，()h x（Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)24f x h a x h x --=---；（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1()()[(1)(2)()]6f n h n h h h n -+++≥ ．本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥，2()312F x x '∴=-+．令()0F x '∴=，得2x =（2x =-舍去）．当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<，故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数． 2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=．（Ⅱ）方法一：原方程可化为42233log [(1)]log ()log (4)2f x h a x h x --=---，即为4222log (1)log log log x -=，且,14,x a x <⎧⎨<<⎩①当14a <≤时，1x a <<，则14a xx--=，即2640x x a -++=， 364(4)2040a a ∆=-+=->，此时3x ==，∵1x a <<，2640x x a -++=，.x214,(3) 5.x x a a x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩ 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1()()6n S f n h n =-（*n ∈N ）从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，1k k k a S S -=-=又1[(4(46k a k k =+-2216=106=>．即对任意2k ≥时，有k a ，又因为11a =，所以12n a a a +++则(1)(2)()n S h h h n ≥+++ ，故原不等式成立．。

2011年高考数学江苏卷理科(word完美解析版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式：（1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高（3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高试卷总分200 试卷时间 150一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填在题中横线上)1.已知集合A ＝{-1,1,2,4}，B ＝{-1,0,2}，则A∩B＝________.【答案】{-1,2}【解析】由交集的定义知A∩B＝{-1,1,2,4}∩{-1,0,2}＝{-1,2}. 【失分警示】把“∩”，“∪”意义混淆，导致求解结果错误. 【评析】本题主要考查“∩”的含义的理解及运算能力，正确识读“∩”符号的含义是解答本题的关键，属容易题. 2.函数的单调增区间是________.注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

h ttp://【答案】1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使有意义，则2x+1>0，即x>-12，而y ＝为(0，+∞)上的增函数，当x>-12时，u ＝2x+1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【失分警示】忽视2x+1>0这一约束条件是失分的主要原因. 【评析】本题主要考查复合函数单调性的判断方法及定义域的求解，考查学生逻辑推理及运算求解能力，属中等难度试题.3.设复数z 满足i(z+1)＝-3+2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________. 【答案】1【解析】解法一：∵i(z+1)＝-3+2i ， ∴z＝32i i -+-1＝-(-3i-2)-1＝1+3i ，故z 的实部是1.解法二：令z ＝a+bi(a ，b∈R)，由i(z+1)＝-3+2i 得i[(a+1)+bi]＝-3+2i ， -b+(a+1)i ＝-3+2i ，∴b＝3，a ＝1，故z 的实部是1.【失分警示】误区一：误认为i 2＝1；误区二：忽视复数相等的条件，运算失误导致求解结果错误.【评析】本题考查复数的有关概念及运算，将复数问题实数化是解决此类问题的关键，属容易题.4.根据如图所示的伪代码，当输入a ，b 分别为2,3时，最后输出的m 的值为________.【答案】3【解析】由已知可知，m 为a ，b 中的最大值，故最后输出的m 值为3.【失分警示】读不懂程序语句，导致求解结果错误.【评析】本题主要考查程序语句，对程序中条件语句的正确理解是解答本题的关键，属容易题.5.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________.【答案】13【解析】从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数的种数为24C ＝6(种)，其中一个数是另一个数的两倍的数对为1,2和2,4.故符合条件的概率为26＝13.【失分警示】把24C 误认为24A 是导致本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查组合知识和古典概型，考查学生逻辑能力和分析问题、解决问题的能力，属容易题.6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.【答案】165【解析】记星期一到星期五收到的信件数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则X ＝∴s 2＝15[(x 1-X )2+(x 2-X )2+(x 3-X )2+(x 4-X )2+(x 5-X )2]＝15[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]＝165.【失分警示】误区一：X 求解错误.误区二：方差公式记忆错误导致s 2求解结果错误.【评析】本题主要考查方差的公式，考查学生的运算求解能力.公式记忆准确，运算无误是解答本题的关键，属中等难度试题.7.已知tan 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝2，则tan tan 2x x的值为________. 【答案】49【解析】【失分警示】两角和或差的正切公式记忆错误是学生丢分的主要原因.【评析】本题主要考查两角和或差的正切公式的应用，考查学生的运算求解能力，本题中由tan 4⎛⎫+ ⎪⎝⎭x π＝2正确求得tanx ＝13是解答本题的关键，属中等难度试题.8.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________. 【答案】4【解析】假设直线与函数f(x)＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍. 假设P 点的坐标为002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则|PQ|＝2|OP|＝≥4.当且仅当20x ＝204x ，即x 0＝2时，取“＝”.【失分警示】误区一：将线段PQ 的长误认为是|PQ|2. 误区二：将|OP|最小值误认为是所求线段PQ 长的最小值.【评析】本题考查两点间距离公式及均值定理等相关知识，考查学生分析问题、解决问题的能力，将最值问题转化为均值定理来求解是解答本题的关键，属中等难度试题.9.函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________.【答案】62【解析】由图可知A ＝2，，∴T＝π.又2πω＝T ，∴ω＝2ππ＝2. 根据函数图象的对应关系得2×3π+φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ-23π(k∈Z).取φ＝3π，则f(x)223x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f(0)＝23π6【失分警示】误区一：误将2π作为函数的周期，导致求ω出错. 误区二：不能根据题意正确求得φ的值，进而导致函数解析式求错，从而求错f(0)的值. 【评析】本题主要考查y ＝Asin(ωx+φ)的图象与性质以及三角函数周期公式T ＝2πω(ω>0)的求法，属理解层次，由图象准确确定φ的值是解答本题的关键.10.已知1e ，2e 是夹角为23π的两个单位向量，a ＝1e -22e ，b ＝k 1e +2e .若a ·b＝0，则实数k 的值为________. 【答案】54【解析】由题意a ·b ＝0即有(1e -22e )·(k 1e +2e )＝0，∴k 21e +(1-2k) 1e ·2e -222e ＝0.又|1e |＝|2e |＝1，〈1e ，2e 〉＝23π，∴k -2+(1-2k)·cos23π＝0， ∴k -2＝122k -，∴k＝54. 【失分警示】误区一：向量内积的定义理解不到位；误区二：运算失误，例如将cos23π误认为是12导致求解结果错误.【评析】本题主要考查向量内积的运算，考查学生的运算求解能力.属中等难度试题.11.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1-a)＝f(1+a)，则a 的值为________. 【答案】-34【解析】分类讨论：(1)当a>0时，1-a<1,1+a>1. 这时f(1-a)＝2(1-a)+a ＝2-a ； f(1+a)＝-(1+a)-2a ＝-1-3a.由f(1-a)＝f(1+a)得2-a ＝-1-3a ，解得a ＝-32，不符合题意，舍去.(2)当a<0时，1-a>1,1+a<1，这时f(1-a)＝-(1-a)-2a ＝-1-a ； f(1+a)＝2(1+a)+a ＝2+3a ，由f(1-a)＝f(1+a)得-1-a ＝2+3a ，解得a ＝-34.综合(1)，(2)知a 的值为-34【失分警示】由f(1-a)＝f(1+a)，误认为函数f(x)的周期为1，导致求解结果错误. 【评析】本题主要考查分段函数的相关知识，能根据题目要求对a 进行分类讨论是解答此题的关键，属中等难度试题.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f(x)＝e x(x>0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M.过点P 作l 的垂线交y 轴于点N.设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________. 【答案】2e +12e【解析】设P(x 0，0x e)(x 0>0), f ′(x)＝(e x )′＝e x，∴点P 处的切线l ，其斜率为f ′(x 0)＝0x e ，过点P 作l 的垂线l′，其斜率为-0x1e .∴直线l 的方程为，令x ＝0得直线l′的方程为，令x ＝0得由题意令∴当x0<1时，g ′(x0)>0，函数g(x0)为增函数.当x0>1时，g ′(x0)<0，函数g(x0)为减函数.∴g(x0)在x0＝1处取极大值，亦即x0>0时t的最大值.【失分警示】误区一：导数的几何意义掌握不到位，不能求出y M，y N.误区二：求得函数关系t＝g(x0)后，不能利用导数求t的最值.【评析】本题考查导数的几何意义、直线方程、导数的应用等相关知识，知识点较多，难度偏大，考查学生的运算求解能力、分析问题解决问题的综合能力.13.设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.33【解析】∵a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，又a1＝1，∴a3＝q，a5＝q2，a7＝q3，又a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a4＝a2+1，a6＝a2+2.由1＝a1≤a2≤a3≤…≤a7，即有解得33≤q≤3，故q 的最小值为33.【失分警示】不理解题意，无法获得相应的不等关系是学生失分的主要原因.【评析】本题主要考查等差、等比数列的通项公式，考查学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，属中等难度试题. 14.设集合，B ＝{(x ，y)|2m≤x+y≤2m+1，x ，y∈R}.若A∩B≠∅，则实数m 的取值范围是________.【答案】【解析】由A≠∅可知m 2≥2m ，解得m≤0或m≥12.由题意知，若A∩B≠∅，则有(1)当2m+1<2，即m<12时，圆心(2,0)到直线x+y ＝2m+1的距离为d 1＝≤|m|，化简得2m 2-4m+1≤0，解得1-22≤m≤1+22，所以1-22≤m<12.(2)当2m≤2≤2m+1，即12≤m≤1时，A∩B≠∅恒成立.(3)当2m>2，即m>1时，圆心(2,0)到直线x+y ＝2m 的距离为d 2＝≤|m|，化简得m 2-4m+2≤0，解得2-2≤m≤2+2，所以1<m≤2+2.综上可知：满足题意的m 的取值范围为.【失分警示】读不懂题意，分析不彻底是解答本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查圆与直线的位置关系，考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.能根据圆心与直线的位置关系分类讨论是解答本题的关键，本题属较难题目.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.(Ⅰ)若sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2cos A ，求A 的值；(Ⅱ)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值. 【解析】(Ⅰ)由题设知sin Acos 6π+cos Asin 6π＝2cos A.从而sin A ＝3cos A ，所以cosA≠0，tan A ＝3.因为0<A<π，所以A ＝3π.(Ⅱ)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2+c 2-2bccos A ，得a 2＝b 2-c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝2π.所以sin C ＝cos A ＝13.【失分警示】由余弦定理及b ＝3c ，求得a ＝22c 后，方向不明确，思维受阻.事实上有两个方向均可，一是注意到a 2+c 2＝9c 2＝(3c)2＝b 2，出现直角三角形，二是利用正弦定理，并由a ＝22c>c ，直接求解.当然方法二要注意到a>c ，角C 不可能是钝角，不需要分类讨论. 【评析】本题考查同角三角函数的关系，两角和公式，正弦定理，余弦定理，对运算能力有较高要求，对解题程序设计能力考查较为深入，不同的思路运算量差别较大.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点.求证：(Ⅰ)直线EF∥平面PCD ； (Ⅱ)平面BEF⊥平面PAD.【解析】(Ⅰ)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(Ⅱ)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.【失分警示】证明过程中关键步骤省略或遗漏常导致无谓失分，此外学生对如何证面与面垂直认识模糊、思路不清也是失分的原因之一.【评析】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定、性质，对考生的文字或符号表达能力、空间想象能力、推理论证能力均有较高要求，难度中等偏难.17.(本小题满分14分)请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE＝FB＝x(cm).(Ⅰ)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(Ⅱ)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得a＝2x，h＝6022x-＝2 (30-x)，0<x<30.(Ⅰ)S＝4ah＝8x(30-x)＝-8(x-15)2+1 800，所以当x＝15时，S取得最大值.(Ⅱ)V＝a 2h ＝22(-x 3+30x 2)，V′＝62x(20-x). 由V′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值.此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12. 【失分警示】应用问题的难点是建立适当的数学模型.对变量取值范围的限制不准确常常导致失分.对实际问题求最值时，也易犯经验主义错误，想当然地认为正方体时取最值.【评析】本题考查函数的概念、导数求法等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力、运算能力及解决实际问题的能力等，要求高，难度较大，易错点颇多.18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆24x +22y ＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限.过P 作x 轴的垂线，垂足为C.连结AC ，并延长交椭圆于点B.设直线PA 的斜率为k.(Ⅰ)若直线PA 平分线段MN ，求k 的值；(Ⅱ)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ；(Ⅲ)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.【解析】(Ⅰ)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M(-2,0)，N(0，-2)，所以线段MN 中点的坐标为21,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝221--＝22.(Ⅱ)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得24x +242x ＝1，解得x ＝±23，因此P 24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 24,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭.于是C 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AC 的斜率为＝1，故直线AB 的方程为x-y-23＝0.因此，.(Ⅲ)解法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入24x +22y ＝1，解得x ＝±.记μ＝，则P(μ，μk)，A(-μ，-μk).于是C(μ，0).故直线AB 的斜率为，其方程为y ＝2k (x-μ)，代入椭圆方程得(2+k 2)x 2-2μk 2x-μ2(3k 2+2)＝0，解得或x ＝-μ.因此.于是直线PB 的斜率因此k 1k ＝-1，所以PA⊥PB. 解法二：设P(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A(-x 1，-y 1)，C(x 1,0).设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB 上，所以从而k 1k+1＝2k 1k 2+1＝2因此k 1k ＝-1，所以PA⊥PB.【失分警示】第(Ⅰ)小问常见错误是联解直线AP 与直线MN 的方程组.求出交点坐标(用k 表示)，再由中点坐标公式构建关于k 的方程求k.运算复杂，步骤较多，易造成计算错误或耗时失分.处理第(Ⅱ)小问思维受阻后，如果利用第(Ⅲ)小问的结论通过面积法求点P 到直线AB 的距离，事实上并不太容易，需要联解方程组,当然利用k PB ＝-12可较快求出B 点坐标.【评析】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，是解析几何的经典题型.对考生的运算能力有较高的要求，对考生的心理素质的要求也较高，属难题.19.(本小题满分16分)已知a ，b 是实数，函数f(x)＝x 3+ax ，g(x)＝x 2+bx, f ′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数.若f ′(x)g′(x)≥0在区间I 上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I 上单调性一致.(Ⅰ)设a>0.若f(x)和g(x)在区间[-1，+∞)上单调性一致，求b 的取值范围；(Ⅱ)设a<0且a≠b.若f(x)和g(x)在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.【解析】f ′(x)＝3x 2+a ，g′(x)＝2x+b.(Ⅰ)由题意知f ′(x)g′(x)≥0在[-1，+∞)上恒成立.因为a>0，故3x 2+a>0，进而2x+b≥0，即b≥-2x 在区间[-1，+∞)上恒成立，所以b≥2.因此b 的取值范围是[2，+∞).(Ⅱ)令f ′(x)＝0，解得x 3a -若b>0，由a<0得0∈(a，b).又因为f ′(0)g′(0)＝ab<0，所以函数f(x)和g(x)在(a ，b)上不是单调性一致的.因此b≤0.现设b≤0.当x∈(-∞，0)时，g′(x)<0；当x∈,3a ⎛-∞-- ⎝时， f ′(x)>0.因此，当x∈,3a ⎛-∞-- ⎝时， f ′(x)g′(x)<0. 故由题设得a≥3a -b≥3a -从而-13≤a<0，于是-13≤b≤0.因此|a-b|≤13，且当a ＝-13，b ＝0时等号成立. 又当a ＝-13，b ＝0时，f ′(x)g′(x)＝6x 219x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而当x∈1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭时f ′(x)g ′(x)>0，故函数f(x)和g(x)在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调性一致.因此|a-b|的最大值为13.【失分警示】当a<0时，由于f ′(x)的符号不确定，容易误认为先对a进行分类讨论，其次再对b进行分类讨论时，分类标准难以确定，导致分类混乱，也是常见的失分原因. 【评析】本题考查函数的概念、性质及导数等基础知识，对数形结合思想、函数与方程思想均有考查，对分类讨论思想的考查要求很高，要求考生具备较强的综合思维能力和运算能力，属难题.20.(本小题满分16分)设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1＝1，前n项的和为S n，已知对任意的整数k∈M，当整数n>k时，S n+k+S n-k＝2(S n+S k)都成立.(Ⅰ)设M＝{1}，a2＝2，求a5的值；(Ⅱ)设M＝{3,4}，求数列{a n}的通项公式.【解析】(Ⅰ)由题设知，当n≥2时，S n+1+S n-1＝2(S n+S1)，即(S n+1-S n)-(S n-S n-1)＝2S1.从而a n+1-a n ＝2a1＝2.又a2＝2，故当n≥2时，a n＝a2+2(n-2)＝2n-2.所以a5的值为8.(Ⅱ)由题设知，当k∈M＝{3,4}且n>k时，S n+k+S n-k＝2S n+2S k且S n+1+k+S n+1-k＝2S n+1+2S k，两式相减得a n+1+k+a n+1-k＝2a n+1，即a n+1+k-a n+1＝a n+1-a n+1-k.所以当n≥8时，a n-6，a n-3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，且a n-6，a n-2，a n+2，a n+6也成等差数列.从而当n≥8时，2a n＝a n+3+a n-3＝a n+6+a n-6，(*)且a n+6+a n-6＝a n+2+a n-2.所以当n≥8时，2a n＝a n+2+a n-2，即a n+2-a n＝a n-a n-2.于是当n≥9时，a n-3，a n-1，a n+1，a n+3成等差数列，从而a n+3+a n-3＝a n+1+a n-1，故由(*)式知2a n＝a n+1+a n-1，即a n+1-a n＝a n-a n-1.当n≥9时，设d＝a n-a n-1.当2≤m≤8时，m+6≥8，从而由(*)式知2a m+6＝a m+a m+12，故2a m+7＝a m+1+a m+13.从而2(a m+7-a m+6)＝a m+1-a m+(a m+13-a m+12)，于是a m+1-a m＝2d-d＝d.因此，a n+1-a n＝d对任意n≥2都成立.又由S n+k+S n-k-2S n＝2S k(k∈{3,4})可知(S n+k-S n)-(S n-S n-k)＝2S k，故9d＝2S3且16d＝2S4.解得a4＝72d，从而a2＝32d，a1＝2d.因此，数列{a n}为等差数列.由a1＝1知d＝2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n-1.【失分警示】使用S n与a n之间的关系式时，易忽略n≥2的条件.此外，对题意的理解困难导致思维受阻也是本题的失分之处.【评析】本题考查数列的概念，数列的通项与前n项和之间的关系，以及等差数列、等比数列的基础知识，对考生的分析探究能力、运算能力、逻辑推理能力均有较高要求.数学II （附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定．．．．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分。

2011年高考数学北京理(word版含答案)

选择题1．已知集合P =｛x ︱x 2≤1｝，M =｛a ｝.若P ∪M =P ,则a 的取值范围是（）. （A ）(－∞, －1] （B ）[1, +∞）（C ）[－1，1] （D ）（－∞，－1] ∪[1，+∞） 2．复数i 212i-=+（）.（A ）i （B ）－i（C ）43i 55-- （D ）43i 55-+ 3．在极坐标系中，圆ρ=－2sin θ的圆心的极坐标是（）.（A ）(1,)2π （B ）π(1,)2-（C ） (1,0) （D ）(1，π)4．执行如下图所示的程序框图，输出的s 值为（）. （A ）－3 （B ）－12（C ）13（D ）25．如下图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G .给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ； ②AF ·AG =AD ·AE ； ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（）. （A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③6．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为,()x A f x x A <=≥（A ，c 为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是（）. （A ）75，25 （B ）75，16 （C ）60，25 （D ）60，16 7．某四面体的三视图如下图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）.（A ）8（B）（C ）10（D）8．设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t ∈R .记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（）. （A ）{}9,10,11 （B ）{}9,10,12（C ）{}9,11,12（D ）{}10,11,12填空题9．在ABC △中，若b =5，π4B ∠=，tan A =2，则sin A =____________；a =_______________. 10．已知向量a =1），b =（0，－1），c =（k.若a －2b 与c 共线，则k =___________________. 11．在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=－4，则公比q =_____________；12...n a a a +++=___________. 12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个.（用数字作答）13．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩≥，．若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_______.14．曲线C 是平面内与两个定点F 1（－1，0）和F 2（1，0）的距离的积等于常数)1(2>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于21a 2. 其中，所有正确结论的序号是 . 解答题15．已知函数π()4cos sin()16f x x x =+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期;（Ⅱ）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16．如下图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，底面ABCD 是菱形，2,60A B B A D =∠=. (Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC （Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.17．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.（Ⅰ）如果X =8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果X =9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望.（注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数）18．已知函数2()()e x kf x x k =-.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e，求k 的取值范围. 19．已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.20．若数列12,:,...,(2)n n A a a a n ≥满足11(1,2, (1)k k a a k n +-==-，则称n A 为E 数列，记()n S A =12n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足150a a ==，且5()S A >0的E 数列5A ；（Ⅱ）若112a =，n =2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n ≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由..0)(,01==n A S a参考答案1.C提示：本题应先确定集合P 从而得出a 的取值范围. 2.A 提示：i 2(i 2)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5---===++-. 3.B提示：把极坐标转化为普通方程为22(1)1x y ++=，求出圆心为(0,1)-，再化为极坐标π(1,)2-. 4.D提示：i 0=，211213s -==+； i 1=，11131213s -==-+；i 2=，1123112s --==--+， i 3=，31231s --==-+；当i 4=时，跳出循环. 5.A提示：由切线长定理易知,CE CF BF BD ==，所以AD AE AB BC CA +=++，①正确由切割线定理2A D A F A G =⋅，所以A F A G A DA E ⋅=⋅，②正确；因为AFD ADG ∠=∠，所以A FB A D G ∠≠∠，因此AFB △与ADG △不相似，③不正确.6.D提示：由题意可知4A <30=15=，解得60c =，16A =. 7.C提示：根据三视图还原几何体如下图所示.10PAC s =△， 8PAB s =△，PBC s =△，6ABC s =△.8.C提示：平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，CD 在直线y =4上.设y =k (k =1,2,3)与AD 的交点为Ａk ，与BC 的交点为B k ，则所求的整点均在线段A k B k 上（不含四边形边界）.因为|A k B k |=|AB |=4，所以线段A k B k 上的整点有3个或4个.所以N （t ）∈[9,12]，不难求出44 C123123331,23123424424t t t t t A A A t B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，+4，，+4，，+4，,因此，当t 是4的倍数时，A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3均是整点，N （t ）=9；当t 是2的倍数时，只A 2，B 2是整点，N （t ）=11；当t 是上述两种情形以外时，A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3均不是整点，此时N （t ）=12.综上，N （t ）的值域为{9,11,12}.提示：由tan 2A =，得到sin A =sin sin a b A B =得到a = 10.1提示：2-a b=与(k =c共线，所以3k =，因此1k =.11.－2 2121--n 提示：3341142a a q q =⋅=⋅=-，所以2q =-；12n a a a +++=2112422n -+++++=1(12)212n --=1122n --.12.14提示：用数字2,3组成四位数共有16个，减去都是2或3的两个数，所以共有14个. 13.（0，1）提示：在坐标系中画出函数图像，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是(0,1). 14.②③提示：由题意可知212PFPF a ⋅=2a .若要化简曲线方程比较困难.而①曲线C 经过原点，把(0,0)代人得出1a =，不合题意；②图像关于原点对称，把(,)x y2a =方程依然成立，所以图像关于原点对称；③12212121sin 22F F Pa s PF PF F PF =⋅∠△≤. 15．解：（Ⅰ）因为π()4cos sin()16f x x x =+-1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=π2sin(2)6x =+.所以)(x f 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为ππππ2π,2.64663x x --+≤≤所以≤≤ 于是，当πππ2,626x x +==即时，)(x f 取得最大值2；当πππ2,,()666x x f x +=-=-即时取得最小值－1.16．证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .又因为P A ⊥平面ABCD . 所以P A ⊥BD .所以BD ⊥平面P AC . （Ⅱ）设AC ∩BD =O . 因为∠BAD =60°，P A =PB =2,所以BO =1，AO =CO =3.如下图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O －xyz ，则P （0，－3，2），A （0，－3，0），B （1，0，0），C （0，3，0）. 所以).0,32,0(),2,3,1(=-= 设PB 与AC 所成角为θ，则cos 4||||2PB AC PB AC θ⋅===⋅.（Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-=BC 设P （0，－3，t ）（t >0），则),3,1(t --=.设平面PBC 的法向量(,,)x y z =m , 则0,0BC BP ⋅=⋅=m m .所以0,0.x x tz ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩ 令,3=y 则.6,3t z x ==所以)6,3,3(t=m .同理，平面PDC 的法向量)6,3,3(t-=n .因为平面PCB ⊥平面PDC , 所以⋅m n =0，即03662=+-t. 解得6=t .所以P A =6.17.解（1）当X =8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为8891035;44x +++==方差为.1611])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s （Ⅱ）当X =9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学的植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21.事件“Y =17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y =17）=.81162= 同理可得;41)18(==Y P ;41)19(==Y P .81)21(;41)20(====Y P Y P 所以随机变量Y 的分布列为：EY =17×81+18×41+19×41+20×41+21×81 =19.18.解：（Ⅰ）221()()e .xk f x x k k'=-令()0f x '=，得k x ±=.当k >0时，)()(x f x f '与的情况如下:所以，)(x f 的单调递增区间是(k -∞-,)和),(+∞k ；单调递减区间是),(k k -.当k <0时，)()(x f x f '与的情况如下:所以，)(x f 的单调递减区间是（,k -∞）和(,)k -+∞；单调递增区间是),(k k -（Ⅱ）当k >0时，因为11(1)e ek kf k ++=>，所以不会有1(0,),().e x f x ∀∈+∞≤当k <0时，由（Ⅰ）知)(x f 在（0，+∞）上的最大值是24().e k f k -= 所以1(0,),()e x f x ∀∈+∞≤等价于241().e ek f k -=≤ 解得102k -<≤. 故当1(0,),()ex f x ∀∈+∞≤时，k 的取值范围是).0,21[- 19.解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a所以c ==所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-.离心率为.23==a c e（Ⅱ）由题意知，||1m ≥.当1=m 时，切线l 的方程为1=x ，点A ，B 的坐标分别为),23,1(),23,1(-此时3||=AB .当m =－1时，同理可得3||=AB .当1||>m 时，设切线l 的方程为()y k x m =-．由2222222(),(14)844014y k x m k x k mx k m x y =-⎧⎪+-+-=⎨+=⎪⎩得．，设A ，B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418k m k x x k mk x x +-=+=+. 又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切所以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242k m k k m k k +--++=2.3||342+=m m由于当1m =±时，,3||=AB 所以),1[]1,(,3||34||2+∞--∞∈+=m m m AB .因为||2,||||AB m m ==+ 且当3±=m 时，|AB |=2，所以|AB |的最大值为2.20.解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E 数列A 5.（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 数列A 5）（Ⅱ）必要性：因为E 数列A n 是递增数列，所以)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k . 所以A n 是首项为12，公差为1的等差数列. 所以a 2000=12+（2000－1）×1=2011. 充分性，由于a 2000－a 1999≤1，a 1999－a 1998≤1…… a 2－a 1≤1所以a 2000－a 1≤1999，即a 2000≤a 1+1999.又因为a 1=12，a 2000=2011,所以a 2000=a 1+1999.故110(1,2,,1999),k k n a a k A +-=>=即是递增数列.综上，结论得证.（Ⅲ）令1(1,2,,1), 1.k k k k c a a k n c +=-=-=±则因为211a a c =+，a 3=a 1+c 1+c 2，…… 1121,n n a a c c c -=++++所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S)].1()2)(1()1)(1[(2)1(121--++--+----=n c n c n c n n 因为).1,,1(1,1-=-±=n k c c k k 为偶数所以所以121(1)(1)(1)(2)(1)n c n c n c ---+--++-为偶数, 所以要使2)1(,0)(-=n n A S n 必须使为偶数, 即4整除(1),441(*)n n n m n m m -==+∈N 亦即或.当4143424(*),0,1,n k k k n m m E A a a a ---=∈===-N 时数列的项满足14=k a ， ),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a当41(*),n n m m E A =+∈N 时数列的项满足，4143420,1,k k k a a a ---===- 44111(1,2,,),0,0,()0;k m n a k m a a S A +=====时有当4243(),(1)n m n m m n n =+=+∈-N 或时不能被4整除，此时不存在E 数列A n ，使得.0)(,01==n A S a。

2011年高考数学(广东卷,理科)word版(全解全析)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑ , ay b x =- . 其中,x y 表示样本均值.n 是正整数，则()n na b a b -=-12(n n a a b --++ (21)n n ab b --+）.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i - 【解析】B ;依题意得211z i i==-+，故选B .2．已知集合{(,)|A x y =,x y 为实数,且}221x y +=,{(,)|B x y =,x y 为实数,且}y x =,则A B 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】C;题意等价于求直线y x =与圆221x y +=的交点个数,画大致图像可得答案为C . 3. 若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则⋅(2)=c a +bA ．4B ．3C ．2D ．0 【解析】D;因为a ∥b 且a ⊥c ,所以b ⊥c ，从而⋅⋅⋅(2)=20c a +b c a +c b =，故选D . 4. 设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A ．()()f x g x +是偶函数B ．()()f x g x -是奇函数C ．()()f x g x +是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数【解析】A;依题意()(),()()f x f x g x g x -=-=-,故()|()|()|()|f x g x f x g x -+-=+,从而()|()|f x g x + 是偶函数，故选A .5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为A ．B ．C ．4D ．3【解析】C;目标函数即z y =+,画出可行域如图所示，代入端点比较之，易得当2x y ==时z 取得最大值4,故选C ．6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12B ．35C ．23D ．34【解析】D;设甲队获得冠军为事件A ,则A 包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率1113()2224P A =+⨯=,从而选D ．7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．【解析】B ;该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面，高为 3的四棱柱，又平行四边形的底边长为3,,所以面积 S=从而所求几何体的体积V Sh ==故选B ． 8.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T ,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z = 且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B . ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C . ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D . ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【解析】A;因为T V Z = ,故必．有．1∈T 或1∈V ,不妨设1∈T ,则令1c =,依题意对,a b T ∀∈,有ab T ∈,从而T 关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A 了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取T N =,则V 为所有负整数组成的集合,显然T 封闭,但V 显然是不封闭的,如(1)(2)2V -⨯-=∉;同理,若{T =奇数}，{V =偶数}，显然两者都封闭，从而选A ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

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2011年高考四川卷理科数学(WORD版)及答案解析精校版D(A)(0，6π] (B)[ 6π，π) (C )(0，3π] (D) [ 3π，π) 7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是8．数列{}na 的首项为3，{}nb 为等差数列且1(*)nn n ba a n N +=-∈ ．若则32b=-，1012b =，则8a =（A ）0 （B ）3 （C ）8（D ）119．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（A ）4650元（B ）4700元（C ）4900元（D ）5000元10．在抛物线25(0)y xax a =+-≠上取横坐标为14x=-，22x=的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- 11．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)na n N ∈，且{}na 的前n 项和为nS ，则lim nn S →∞=（A ）3 （B ）52 （C ）2 （D ）3212．在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn= （A ）415 （B ）13 （C ）25 （D ）23二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．计算121(lg lg 25)100=4--÷ ．14．双曲线22x y =1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是．15．如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是．16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12xx =，则称函数()f x 为单函数．例如，函数()21f x x =+（x R ∈）是单函数．下列命题：①函数2()f x x =（x R ∈）是单函数； ②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12xx ≠，则12()()f x f x ≠；③若f ：A B →为单函数，则对于任意b B ∈，它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数．其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）答案：B解：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==．答案：A 解：12i i i i i -+=--=- 答案：B解：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定答案D 解：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF++=++=+=+=答案：B解：连续必定有定义，有定义不一定连续．答案：C解：由题意正弦定理22222222211cos 023b c a a b c bc b c a bc A A bc π+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤答案：A解：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域．当10,0()1,122xx y ><<⇒<<，故选A答案：B 解：由已知知128,28,nn n bn a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==答案：C解：由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件080712********x y x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪+≥⎪+≤⎪⎩画出可行域在12219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的点75x y =⎧⎨=⎩代入目标函数4900z =．答案：A解：由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a k a---=-,设直线方程为(2)y a x b=-+，则223651(2)b a =+-又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩答案：D解：由题意1(2)()3f x f x +=,在[22,2]n n -上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213nn n n nn f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=-答案：D基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515n C==⨯=由其中面积为1的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1) 其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3) 其中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5) 其中面积为4的平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5) 其中面积为5的平行四边形的个数(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3) 其中面积为8的平行四边形的个数(4,1)(4,5) 其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1) 答案：20- 解：12111(lg lg 25)100lg 20410010--÷=÷=-答案：16解：8,6,10a b c ===，点P 显然在双曲线右支上，点P 到左焦点的距离为20，所以205164c d d a ==⇒= 答案：22R π解：22222max224()Sr R r r R r S π=⋅-=-侧侧时，22222222R r R r r r R=-⇒=⇒=，则222422R R R πππ-=答案：②③ 解：①错，12x x =±;④错()f x 在某区间上具有单调性，不一定在整个定义域上单调．故②③正确．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题共12分）已知函数73()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈ (Ⅰ)求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知44cos(),cos(),(0)552a πββααβ-=+=-<<≤，求证：2[()]20f β-=18．（本小题共12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有人独立来该租车点则车骑游．各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ；19．(本小题共l2分)如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1．D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．(I)求证：CD=C1D；(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离．20．(本小题共12分)设d 为非零实数，12211*1(2(1)]()n n n nn n n n n a C d C d n C d nC d n N n --=+++-+∈(1)写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设*()n n b nda n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．本小题考查等比数列和组合数的基础知识以及基本的运算能力,分析问题、解决问题的能力和化归与转化等数学思想．21．(本小题共l2分)椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．时，求直线l的方程；(I)当|CD | =322(II)当点P异于A、B两点时，求证：OP OQ为定值．本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基础知识，考查平面解几何的思想方法及推理运算能力．22．(本小题共l4分) 已知函数21(),()32f x x h x x =+= (I)设函数()()()F x f x h x =-，求()F x 的单调区间与极值；(Ⅱ)设a R ∈，解关于x 的方程42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x x --=--- (Ⅲ)试比较1001(100)(100)()k f h h k =-∑与16的大小．本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识及基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想．解：(Ⅰ) 7733()sin cos cos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++ 222sin()4x x x π==-max 2,()2T f x π∴==（Ⅱ）因为4cos()cos cos sin sin (1)5βααβαβ-=+=4cos()cos cos sin sin (2)5βααβαβ+=-=-又0cos 022ππαβββ<<≤⇒=⇒=cos cos 0αβ=2()2(())20f f ββ∴=-=本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等到概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）所付费用相同即为0,2,4元．设付0元为1111428P =⋅=，付2元为2111248P =⋅=，付4元为31114416P =⋅= 则所付费用相同的概率为123516P P P P =++=(Ⅱ)设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,81(0)811115(2)4422161111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416P P P P P ξξξξξ====⋅+⋅===⋅+⋅+⋅===⋅+⋅===⋅=故ξ的分布列为 ξ 0 2468P1851651631611684822E ξ=+++=本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．解：：（I ）连接1B A 交1BA 于O ,1//B P 1面BDA ,111,,B P AB P AB P D OD ⊂=1面面面BA点，1//B P OD∴,又O 为1B A 的中点，D ∴为AP 中中点．1C ∴1为A P ,1ACD PC D ∴∆≅∆1C D CD∴=,D 为1CC 的（II ）由题意AH AD⊥,11,AB AC AB AA AB C C⊥⊥⇒⊥1面AA ,过B 作连接BH ，则BH AD ⊥,AHB ∴∠为二面角1A A D B--的平面角．在1AA D ∆中，11551,AA AD A D ===,则25253525,,cos 553355AH AH BH AHB BH ==∠===(Ⅲ)因为11C B PDB PCDVV -=，所以1111133B PDPCD h SA B S ∆∆⋅=⋅,111A B =11111244PCD PC C PC D S S S ∆∆∆=-=-=,在1B DP ∆中，11119553525544,5,32255252B D B P PD DB P DB P +-===∠==∠=⋅，1135315,2243B PD S h ∆∴=⋅==解法二：如图，以1A 为原点，11A B ，11A C ，1A A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系111A B C A -，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ．（Ⅰ）设1C D x =，AC∥1PC ，111C P C D xAC CD x∴==-．由此可得(0,1,)D x ，(0,1,0)1xP x+-， 1(1,0,1)A B ∴=，1(0,1,)A D x ∴=，1(1,1,0)1xB P x=-+-．设平面1BA D 的一个法向量为1(,,)n a b c =，则111100n A B a c n A D b cx ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩令1c =-，则1(1,,1)n x =-．1PB ∥平面1BA D ，111(1)(1)(1)001xn B P x x∴=⨯-+⋅++-⨯=-由此可得12x =，故1CD C D =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面1BA D 的一个法向量为11(1,,1)2n =-，又2(1,0,0)n=为平面1AA D 的一个法向量．12121212cos ,33||||12n n n n n n ∴<>===⨯．故二面角1A A DB --的平面角的余弦值为23．（Ⅲ）1(1,2,0)PB =-，1(0,1,)2PD =- 设平面1B DP 的一个法向量为3111(,,)n a b c =，则31111312002n PB a b c n PD b ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩令11c=，可得31(1,,1)2n=．又1(0,0,)2DC =， C∴到平面1B DP 的距离33||13||DC n d n ==．解：（Ⅰ）由已知可得2123,(1),(1)a d a d d a d d ==+=+．当n ≥2，k ≥1时，因为11k k n n k C C n--=，所以1111110(1)nn nk k k k k k n n n n n k k k k a C d C d d C d d d n ----=======+∑∑∑由此可见，当1d ≠-时，{}na 是以d 为首项，1d +为公比的等比数列；当1d =-，11a=-，0na=（n ≥2），此时{}na 不是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(1)n nad d -=+，从而21(1)n nbnd d -=+20212221(1)2(1)3(1)(1)n n S d d d d d d nd d -=++++++++20121[(1)2(1)3(1)(1)]n d d d d n d -=++++++++ ①当1d =-时，21nSd ==．当1d ≠-时，①式两边同乘以1d +得2123(1)[(1)2(1)3(1)(1)]n n d S d d d d n d +=++++++++ ②由②-①得：2221(1(1))[(1)()(1)1(1)n n nn d dS d d n d d d n d d d ⋅-+=-++=+-+-+化得即得：1(1)(1)nnS dn d =+-+综上，1(1)(1)nnS dn d =+-+．解：由已知可得椭圆方程为2212y x +=，设l 的方程为1(0),y k x k -=-为l 的斜率．则1212222222212122242122(2)2101221222k y kx y y x x k k k x kx y k x x x y y k k ⎧⎧=++=⎧+=-⎪⎪⎪⎪⎪++⇒++-=⇒⎨⎨⎨--++=⎪⎪⎪==⎩⎪⎪+⎩+⎩2422221212222288889()()22(2)(2)2k k k x x y y k k k k ++-+-=+=⇒=⇒=++l∴的方程为21y x =+或21y x =+为所求．（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为1y kx =+，(01)k k ≠≠±且，所以P 点坐标为1(,0)k -．设11(,)C x y ，22(,)D x y ，由（Ⅰ）知12222kx xk +=-+，12212x xk =-+，直线AC 的方程为11(1)1y y x x =++，直线BD 的方程为12(1)1y y x x =--将两直线方程联立，消去y 得2112(1)11(1)y x x x y x ++=--．因为121,1x x-<<，所以11x x +-与21y y 异号．222222121122222121212(1)22(1)(1)(1)1()1(1)22(1)(1)(1)y x x x x x x x y x x x x x +-++++==⋅=------22222211122()211122k k k k k k k k --++-++==--+-+++．又22121212222(1)(1)2(1)1()1221k k k k y y k x x k x x k k k -++-=+++==-⋅+++．11k k -∴+与12y y 异号，11x x +-与11k k -+同号， 1111x k x k +-∴=-+，解得x k =-因此Q 点坐标为0(,)k y -，1(,0)(,)1OP OQ k y k=--= 故OP OQ 为定值．本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法以及推理运算、分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）由21()()()32F x f x g x x x =-=+（x ≥0）知， 2()32F x x'=，令()0F x '=，得916x =当9016x ≤<时，()0F x '<；当916x >时，()0F x '>；故当9[0,)16x ∈时，()F x 单调递减；当9(,)16x ∈+∞时，()F x 单调递增；所以916x =是其极小值点，且极小值为9()16F 18=．（Ⅱ）因为33(1)124f x x --=-,故原方程可化为422log (1)log(4)log ()x h x h a x -+-=-；即2221log (1)log4log 2x x a x-+-=-等价于:1040(1)(4)x x a x x x a x->⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪--=-⎩214(3)5x x a a x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩故画出函数图象后,由方程与函数的思想,讨论得:(1)当14a <≤时,原方程有一解35x a=-(2)当45a <<时,原方程有两解1,235x a=-(3)当5a =时,原方程有一解3x =; (4)当15a a ≤>或时,原方程无解．(Ⅲ) 由已知得10010011()k k h k k===∑．设数列{}na 的前n 项和为nS ，且1()()6nSf ng n =-，*()n N ∈．从而有111aS ==，当2100k ≤≤时，14341166kk k k k a S S k k -+-=-=-，又1[(43)(41)1]6kak k k k k =---226(43)(41)106(43)(41)1k k k k k k k k =-+--=>-+--则对任意的2100k ≤≤，有kak>．又因为111a ==10010011k k k a k==>∑，故10011(100)(100)()6k f h h k =->∑．。