高三数学一轮复习《数列》练习题 (含答案)

高三数学一轮复习《数列》练习题 （含答案）一、单选题1．已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（ ） A ．最大值为－4B ．最小值为4C ．最小值为－4D ．最大值为42．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且34S =，714S =，则23n n S a +-最小时，n 的值为（ ）. A ．2 B ．1或2 C ．2或3 D ．3或44．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S .若1q >，2152m m m a a a +++=，且29m m S S =，*m ∈N ，则m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2k S =，28k S =，则4k S =（ ） A ．28B ．32C ．16D ．246．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（ ） A ．()()5111a γγ++-万元 B ．()()55111a γγγ++-万元C ．()()54111a γγγ++-万元 D ．()51a γγ+万元7．由1a =4，3d =确定的等差数列{}n a ，当an =28时，序号n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．128．在等差数列{}n a 中，1815360a a a ++=，则9102a a -的值为（ ） A ．6B ．8C ．12D ．139．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若26712a a a ++=，则9S =A ．20B ．27C ．36D ．4510．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()nn S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是 A ．290B ．920C ．511D ．101111．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1012．等比数列{}n a 中，3103384a a ==，，则该数列的通项n a =（ ） A ．32?3n -B ．13?2n -C ．3?2nD ．33?2n -二、填空题13．在等比数列{}n a 中，23341,2a a a a +=+=，则45a a +=________.14．在正项等比数列{}n a 中，若3453a a a π=，()313237sin log log log a a a ++⋯+的值为______________.15．已知数列{}n a 的通项公式212n a n n=+，其前n 项和为n S ，则10S =_____．（用分数作答）16．已知a 是1,2的等差中项，b 是1-，16-的等比中项，则ab 等于___________.三、解答题17．已知实数111,,a b c 成等差数列，求证：,,222b b b ac --成等比数列.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4120S =，13n n a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设321log n n b a -=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19．设数列{}n a 满足11a =，1123n n n a a -+-=⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.21．已知数列{}n a 中，13a =，点()1,n n a a +在直线3y x =上. (1)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项的和n S ； (2)设*,N n nnb n a =∈，证明：1234n b b b +++<.22．若数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()221log *n n b a n N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.24．已知数列1a ，2a ，…，6n a 的项{1,2}i a ∈，其中1,2,3,i =…，6n ，*n ∈N ，其前6n 项和为6n S ，记6n S 除以3余数为1的数列1a ，2a ，…，6n a 的个数构成的数列为{}n b ，*n ∈N . （1）求1b 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式，并化简.参考答案1．B解：∵递增等差数列{an }中，a 1a 2=﹣2， ∴a 1(a 1+d )=﹣2，且d >0， ∴d =112a a --，∴a 1<0， ∴a 3=a 1+2d =114a a --≥4=， 当且仅当a 1=﹣2时，等号成立， ∴a 3有最小值4. 2．D当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=， 整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确；B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++， ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.3．C解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为34S =，714S =，所以1132342767142a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a =，13d =，所以2223(1)11550[1(2)]23318n n n n n n S a n n +----=+⨯-++=，因为n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，其有最小值. 4．B因为2152m m m a a a +++=，所以252m m m a a q a q +=，得到25102q q -+=，因为1q >，所以2q .由29m m S S =，得()()211121291212m m a a --=⨯--，又10a ≠，所以()212912mm -=-，因为*m ∈N ，则120m -≠， 所以129m +=，解得3m =， 5．B由等差数列{}n a 前n 项和的性质，可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列， ∴()2322k k k k k S S S S S -=+-，解得318k S =. ∴ 2，6，10，418k S -成等差数列， 可得4210618k S ⨯=+-，解得432k S =. 6．B设每年偿还x 万元，则()()()()()234511111x x x x x a γγγγγ++++++++=+，所以()()()5511111xa γγγ++--=+， 解得()()55111a x γγγ+=+-．7．A解：因为14a =，3d =，所以()1131n a a n d n =+-=+，所以3128n a n =+=，解得9n = 8．C因为1815360a a a ++=，所以8560a =，所以812a =， 所以910180108212a a a a a a =+-==-， 故选：C. 9．C因为{}n a 为等差数列，26712a a a ++=，131212+=a d ∴，因此144+=a d 又()9111989936942S a d a d a d ⨯=+=+=+，936S =∴. 10．C由()2(1)nn S a n n N n*=+-∈得2(1)n n S na n n =--， 当2n ≥时，11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=， 所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =，所以()43n a n n N *=-∈，从而()2133222(1)2n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+， 所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和115121111S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.11．A∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 12．D设等比数列{}n a 的公比为q ，因为3103384a a ==，，可得71033841283a q a ===，解得2q ,所以数列{}n a 的通项公式为33332n n n a a q --==⨯.13．4设公比为q ，由23341,2a a a a +=+=， 得()2323342a q a q q a a a a q =+=+=+=， 所以()453434224a a a q a q q a a +=+=+=⨯=. 14数列{}n a 是正项等比数列，∴343a π= ，()3132373127log log ......log log ...a a a a a a +++= ， ()77733312744...3a a a a a π=== ，∴()73313237312737log log ......log log ...log 33a a a a a a ππ⎛⎫+++=== ⎪⎝⎭， ()3132377sin log log log sinsin 33a a a ππ∴++⋯+===15．175264因为数列{}n a 的通项公式21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以10111111111...21324351120S ⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭，111111752121226411⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭， 故答案为：17526416．6±因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==， 因为b 是1-，16-的等比中项，所以2(1)(16)16b =-⨯-=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±.17．因为111,,a b c 成等差数列，所以112a c b +=，即2b ac a c=+且0abc ≠，又()()2220222444b b b b ac b b a c ac a c ac a c a c ⎛⎫⎛⎫-⋅-=-++=-++=> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 所以2222b b b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立且各项均不为零，所以：,,222b b ba c --成等比数列.18．（1）3nn a =（2）n T 21nn =+ （Ⅰ）∵13n na a +=，∴{}n a 是公比为3q =的等比数列，又()4141312013a S -==-，解得13a=.∴{}n a 是以13a =为首项，以3q =为公比的等比数列，通项公式为113n nn a a q -==.（Ⅱ）∵213log 321n n b n -==- ∴()()11113352121n T n n =+++⨯⨯-+ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭11(122121nn n =-=++） 19．（1）13-=n n a ，*n N ∈；（2）3n n S n =⋅，*n N ∈.（1）由已知，当2n ≥时， 2123n n n a a ---=⋅，()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()12211312133312313n n n ----=+++++=+⨯=-当1n =时，11131a -==符合上式，13n n a -∴=，*n N ∈.（2）由（1）知()()121213n n n b n a n -=+=+⨯，()0113353213n n S n -=⨯+⨯+++⨯①3n S =()()1213353213213n n n n -⨯+⨯++-⨯++⨯②①-②得()()121232333213n n n S n --=++++-+⋅()()121213332131n n n -=++++-+⋅+()132213113nn n -=⨯-+⋅+-23n n =-⋅所以，3nn S n =⋅，*n N ∈.20．（1）122,5,31n b b b n ===-；（2）300.解：（1）[方法一]【最优解】：显然2n 为偶数，则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+， 所以2223n n a a +=+，即13n n b b +=+，且121+12b a a ===， 所以{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是122,5,31n b b b n ===-． [方法二]：奇偶分类讨论由题意知1231,2,4a a a ===，所以122432,15b a b a a ====+=． 由11n n a a +-=（n 为奇数）及12n n a a +-=（n 为偶数）可知， 数列从第一项起，若n 为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若n 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以*23()n n a a n N +-=∈，则()11331n b b n n =+-⨯=-．[方法三]：累加法由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N ． 所以11213(1)11222b a a -==++=+=， 322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=，则222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++12(1)131n n n =+-+=-⨯．所以122,5b b ==，数列{}n b 的通项公式31n b n =-． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++110()102103002b b +⨯=⨯-=． [方法二]：分组求和由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+， 所以2122123n n n a a a +-=+=+．所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列{}n a 的前20项和为： 201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．(1)3nn a =，1332n n S +-=；因为点()1,n n a a +在直线3y x =上，所以13n na a +=，又13a =， 故数列{n a }是以3为公比，3为首项的等比数列，所以3nn a =，()31313n n S -==-1332n +-. (2)由题可知3n n nb =，记12nn T b b b =+++，所以212333n nnT =+++① ①13⨯，得2311123333n n nT +=+++②①-②，得2111211111132133333233223n n n n n n n n nT ++++⎛⎫=+++-=--=- ⎪⨯⎝⎭，故332443n n n T +=-⨯，又32043nn+>⨯，故34nT <，即证. 22．（1）2n n a =；（2）2n T n =.（1）数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-，*n N ∈.2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，化为：12n n a a -=，1n =时，1122a a =-，解得12a =.∴数列{}n a 是等比数列，首项为2，公比为2.2n n a ∴=.（2）221log 21n n b a n -==-.因为12n nb b ，∴数列{}n b 是等差数列，首项为1，公差为2，所以21()(1+21)22n n n a a n n T n +-∴===. 23．（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-， 当2n ≥时，由1439n n S S +=-①， 得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=， 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-， 所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-； 所以31λ-≤≤.24．（1）121b =（2）6213n n b -=，*n ∈N 解：（1）因为前六项的和除以3余数为1 所以这6项中包含2个1或5个1，其余均为2，所以这样的数列共有256621C C +=个，故121b =（2）因为1a ，2a ，…，6n a 和6n S 除以3余数为1，所以这6n 项中包含2个1或5个1……或61n -个1，其余均为2，所以2561666n n n n n b C C C -=+++，设6n S 除以3余数为2，0的数列1a ，2a ，…，6n a 的个数构成的数列分别为{}n c ，n d同理，1462666n n n n nc C C C -=+++，036666nn n n n d C C C =+++∵146261642666666n n n n n n n n n n n c C C C C C C b ---=++⋯+=++⋯+=∵66222n nn n n n n b c d d b ++=⇒=-结合（1）猜想6213n n b -=，*n ∈N下面用数学归纳法证明当1n =时，6121213b -==，成立 假设当n k =时，有6213k k b -=，*k ∈N 成立，且6213k k k c b -==，6223k k d += 则当1n k =+时，数列共()66k +项，分两步看，第一步先看前6k 项，前6k 项的和除以3余数为1，2，0的数列的个数分别为k b ，k c ，k d ，第二步看后6项，最后6项的和除以3众数为0，2，1的数列的个数分别为22，21，21∴6666(1)1212122212221212221213333k k k k k k k k b b c d ++--+-=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=所以当1n k =+时，猜想也成立 综上，6213n n b -=，*n ∈N。