排列组合中常用的分析方法及例题

4.排列组合中常用的分析方法

（1）拿到题后首先弄清什么是一个事件？是排列？还是组合？

如：从0、1、2、3、4、5六个数中选取三个数，能被5整除的三位数有多少个？

一个事件：①三位数②能被5整除 ⇒排列。 条件：①5或0必须在末尾② 0不能在首位 （2）深刻理解构成一个事件的条件是什么？

（3）判断是逐个满足条件组成所求事件与求对立事件的简繁程度，从而确定是直接求出还是间接求出——扣除法。

如：从5名男生，3名女生中选出4名学生，至少有一个女生的选法有多少种？

很显然，对立面是没女生比较简洁，用扣除法。若用直接法，得求出只有1或2或3名女生的选法之和，费事。。。

（4）无论是求事件A ，还是求其对立事件，接下来应考虑的是逐步完成事件A ，还是分类完成事件A （5）完成一个事件A 应注意

①模型化——转化为入座问题

②考虑条件时，应将不稳定的条件转化为稳定的条件，例如不占有的问题转化为占有的问题。

如：由0、1、2、3、4、5组成多少个能被5整除的三位数？0不能占首位，则1~5占首位，且0，5占末尾。

把复杂问题变为简单的问题；把有条件的问题转化为无条件的问题。 ③善于用数形结合思想和实排法 ④用有序问题解决无序问题

有序问题往往很好解决，无序问题有时反而很麻烦。 二、例题

（一）排列应用题 1.简单排列问题

如：4列火车停放到8个站台上，共几种？ 2.条件排列问题

（1）若干元素占有或不占有一定的位置

例1（2004·天津文16）从0，1，2，3，4，5中任选3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有 个。（用数字作答） 一个事件：①三位数②能被5整除 ⇒排列。 条件：①5或0必须在末尾② 0不能在首位

从正面考虑还是从反面考虑？位置有条件，元素也有条件，双关的。但0，5很特殊。0不能在首位，有时候还必须在个位。

解法一：从正面入手逐个满足条件

以位置为准，一种情况：0在个位时，前面2位数是1~5，没有条件排列；另外一种：5在个位时，前两位有条件，0不能在第一位，因此让1~4去“抢”第一个位置，剩下的4个数再“抢”中间的位置。因此，以个位（位置）为准，0和5是不一样的，因此我们必须分为2类。过程如下：

0在个位的三位数有：

2

5

20A =

5在个位的三位数有：11

44

=16·A A

则能被5整除的三位数共有：211

544

=36A A A +（个）

解法2：从反面入手

由已知数可组成三位数共有：2

5

5=100A ⨯

其中不能被5整除的三位数有444=64⨯⨯

（第一步：个数上的1，2，3，4不满足；第二步：1~5去掉一个还剩4个，百位上占一个，有4种；最后十位还剩4个数，有4种。根据分步乘法计数原理，共有64种）

所以能被5整除的三位数有2111

54445=36A A A A ⨯

－个

例2 用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，且2不在左起第二位，4不在左起第四位，问这样的五位数共有多少个？

正面考虑（不占有问题转化为占有问题） 2不在第二位⇒1，3，4，5在第二位 4不在第四位⇒1，2，3，5在第四位 从位置考虑，先考虑第二位，（再考虑元素）但1，3，5占第二位与4占第二位情况不同（4占不占第2位）

解法1：以位置为准，先满足第二位数，再满足第四位数，把不占有变为占有，首先按排第二位的数，显然4占与不占不一样，故分两类：

4在第二位，（其他四个数无条件排列）有

4

4=24A 个

4不在第二位，第二位由1，3，5去占，有13

A ，再由1，3，5余下的两个和2去占4号位有（或4去占第1，3，5个位置）13

A ，最后由余下的三个去占三个位，有33

A ，故有： 113

333

=54A A A

共有41134

33

3

+=78A A A A 个

解法2：从反面入手

由已知的五位数可组成5位数共有：

5

5

=120

A （个） 其中：2在第二位的有44

A ，4在第四位的有44

A .（2在第二位的同时4可能也在第4位，反之亦然。有重

复）

2在第二位且4在第四位的有：33

A

所以共有5

4

3

5432=78

A A A -+（个） 注：

5

1

3

3

53332=78A A A A --个（1

3

33A A 是只满足1个条件的，3

3A 是两个条件都满足）

解法3：先满足一个条件，然后扣除不满足另一条件的。 2不在第二位的有：

1

4

4

4=96

A A （个） 其中有不合条件的——2不在第二位且4在第四位的有1

3

3

3

=18

A A （个） 共有：

1413

4433=78

A A A A -（个） 小结：扣除法：①不考虑条件求总数，扣除不满足条件1的和不满足条件2的情况数，再加上两个条件同

时不满足的情况数。②先满足一个条件，然后扣除不满足另一条件的。③3个条件，先满足2个，在扣除不满足第三个的；先满足1个，扣除不满足2和3的。 例3 生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看。现从甲乙丙等六名工人中安排4人分别照看每一道工序，第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人，则不同的安排方案有（）

A.24种

B.36种

C.48种

D.72种

解法1：若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有

2

4

=12A 种；

若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲丙二人之一来完成，故完成方案共有1

22

4

·=24A A 种；∴则不同的安排方案共有21

24

2

4

·=36A A A +种。

解法2：先排一、四，再排二、三

一、四两道工序的排法有：甲丙，乙甲，乙丙3种方法。其余两道工序任意，其排法有

2

4

=12A 所以共有：